Lösung zum 1. Übungsblatt - THI

Berechenbarkeit und Logik
Institut für Theoretische Informatik
Sommersemester 2009
Leibniz Universität Hannover
Lösung zum 1. Übungsblatt
02.04.2009
Aufgabe 1:
Zeigen Sie: Eine Sprache ist rekursiv-aufzählbar gdw. sie Wertebereich einer
berechenbaren (evtl. partiellen) Funktion ist.
Lösung : ⇒:
Sei
L
L=∅
r.a. Falls
gilt, so ist
L
der Wertebereich der überall unde-
nierten Funktion. Diese Funktion ist berechenbar. Ansonsten ist
L
Wertebereich einer
totalen berechenbaren Funktion.
⇐: Sei
L ⊆ Σ∗
f . Falls L = ∅ gilt, so ist
x0 ∈ L. Sei M die TM, die f berechnet.
0
Wir denieren eine neue TM M , die auf Eingabe hk, li die TM M auf Eingabe k für l
Schritte simuliert. Hält M nach höchstens l Schritten an, so gibt M ein Wort x ∈ L aus.
0
0
0
Dann gibt M ebenfalls x aus. Andernfalls gibt M das Wort x0 aus. M berechnet also
0
eine totale Funktion f .
0
Nun ist also jedes Wort, das von M ausgegeben wird, auch in L. Auÿerdem gilt für
jedes Wort x ∈ L: Es gibt Zahlen k und l, sodass M auf Eingabe k nach l Schritten hält
0
und x ausgibt. Also gibt M auf Eingabe hk, li ebenfalls x aus. Demnach ist also L der
0
Wertebereich von f .
L
Wertebereich einer berechenbaren Funktion
r.a. Ansonsten gibt es ein
Aufgabe 2:
bare Menge
Zeigen Sie: Eine Sprache
B ⊆N×N
A
ist rekursiv-aufzählbar gdw. es eine entscheid-
gibt, so dass
x ∈ A ⇐⇒ ∃y (x, y) ∈ B.
Lösung : ⇒ Sei A r.a. Da A damit auch semi-rekursiv ist, gibt es eine TM M , die genau
auf den Elementen von
A
hält.
Wir denieren die Menge
B = {(x, y) | Die
TM
M
hält auf Eingabe
x
nach
y
Diese Menge ist entscheidbar, da man zur Berechnung von
Schritte auf Eingabe
x
Schritten an} .
cB (x, y)
einfach
M
für
y
simulieren muss.
x in A liegt, falls M auf Eingabe x irgendwann anhält. D.h. aber
x ∈ A ⇐⇒ ∃y(x, y) ∈ B .
⇐ Es gebe eine entscheidbare Menge B mit x ∈ A ⇐⇒ ∃y(x, y) ∈ B . Wir wollen
zeigen, dass A semi-rekursiv ist. Dazu müssen wir eine berechenbare Funktion f nden,
deren Denitionsbereich A ist.
Dazu denieren wir eine TM M , die f berechnen wird: Auf Eingabe x berechnet M
so lange cB (x, 0), cB (x, 1), cB (x, 2), . . ., bis M ein y ndet mit cB (x, y) = 1. Dann hält
M an. Auÿerdem gilt dann x ∈ A. Falls es kein solches y gibt, dann hält M auf Eingabe
x niemals an und auÿerdem gilt x ∈
/ A.
Auÿerdem gilt, dass
Aufgabe 3:
Zeigen Sie:
Lösung : K = {x | Mx
K ≡m K0 .
K0 = {hx, yi | Mx
≤m Aus der Vorlesung. Reduktionsfunktion: f (x) = hx, xi.
≥m Für beliebige x, y konstruiere TM M(x,y) wie folgt:
Eingabe: w
Lösche w .
Simuliere Mx auf Eingabe y . Falls Mx hält, akzeptiere.
hält bei Eingabe
x},
gdw.
M(x,y)
hx, yi ∈ K0
gdw.
hält auf Eingabe
y}.
f (hx, yi) = hM(x,y) i.
Mx hält auf Eingabe y gdw. M(x,y) hält auf allen Eingaben
hM(x,y) i gdw. f (hx, yi) = hM(x,y) i ∈ K .
Die Reduktionfunktion sei deniert als
Dann gilt:
hält bei Eingabe