Kapitel 2 Der Wissensstand der klassischen Physik am Ende des 19

Kapitel 2
Der Wissensstand der klassischen
Physik am Ende des 19.
Jahrhunderts oder was wir bis jetzt
verwendet haben
Ende des 19. Jahrhunderts bildete die Physik eine wohlgeordnete und übersichtliche
Wissenschaft, so dass sogar die Meinung aufkam, dass die Physik eine im Wesentlichen
abgeschlossene Disziplin sei.
Die Theoretische Physik umfasste im Prinzip mehrere getrennte Bereiche, von denen
einige die Begriffe der Physik der Massenpunkte (erster Teil der L1: Mechanik) benützten und einige die Begriffe der Kontinuumsphysik (zweiter Teil der L1, Elektrodynamik,
oder auch Wellenlehre, Optik, Hydrodynamik) benützten.
Eines der ersten umfassendsten Lehrbücher zur Theoretischen Physik beginnt in seinem ersten Band — der Mechanik — mit den Worten [1] (und auch wir haben in der
L1 so angefangen):
Einer der Grundbegriffe der Mechanik ist der Begriff des
Massenpunktes. Unter dieser Bezeichnung versteht man einen Körper,
dessen Ausmaße man bei der Beschreibung seiner Bewegung
vernachlässigen kann.
Die Autoren fügen sogleich eine Fußnote an, in der es heißt:
Statt
‘‘Massenpunkt´´ werden wir oft ‘‘Teilchen´´ sagen.
Tatsächlich werden die beiden Begriffe synonym verwendet, Massenpunkt ist lediglich
die ältere, Teilchen die jüngere. Der Begriff Punkt“ist der Inbegriff des Diskreten;
”
15
Kapitel 2. Der Wissensstand der klassischen Physik am Ende des 19. Jahrhunderts
oder was wir bis jetzt verwendet haben
schon Euklid definiert zu Beginn seiner berühmten Element“: Ein Punkt ist, was
”
keine Teile hat.
Somit können wir zusammenfassen, dass die Physik des ausgehenden 19. Jahrhunderts
die Natur wahlweise mit folgenden Paaren beschreibt:
• Kontinuumsphysik — Physik des Diskreten
• Wellenphänomene — Teilchenphänomene
• Physik der Felder — Physik der Massenpunkte
Sowohl die Begriffsbildung und die physikalischen Vorgänge sind dabei in beiden
Bereichen grundverschieden und scheinbar unvereinbar. Entweder zwei Lichtstrahlen
durchdringen sich ohne Effekt (Welleneigenschaft) oder sie bestehen aus Teilchen, dann
stoßen sie aneinander (Teilcheneigenschaft). Der Hausverstand sagt, dass dieser Widerspruch nicht auflösbar ist. Aber schauen wir uns das mal genauer an.
2.1
Begriffe der Physik des diskreten Massenpunktes
Wie wir im vorigen Semester (L1) gesehen haben, ist die Beschreibung der Bahn eines Massenpunktes der zentrale Punkt der Mechanik. Newton hat dazu den Kraftbe”
griff“und damit die Bewegungsgleichungen entworfen. Im Speziellen haben wir erkannt,
dass aus der Bahnkurve ~r(t) zu jedem Zeitpunkt t und Ort ~r der Impuls p~(t) = m ~r˙ (t)
gleichzeitig bestimmt werden kann (Zur Erinnerung, der Impuls war ein besseres Konzept als die Geschwindigkeit). Im nichtrelativistischen Fall ist die kinetische Energie
gegeben durch
Ekin =
p~ 2
.
2m
(2.1)
Für ein Teilchen unter Einwirkung einer konservativen Kraft haben wir gesehen, dass
das Konzept des Potentials sehr mächtig ist. Für die Bewegung eines Teilchens in
einem äußeren Potential V ist die kinetische Energie alleine nicht erhalten, jedoch ist
die Gesamtenergie eine Erhaltungsgröße
H = Ekin + V (~r) .
(2.2)
H haben wir auch unter dem Namen Hamilton kennengelernt.
Wir haben in L1 eine andere wichtige Erhaltungsgröße kennengelernt, den Drehimpuls. Er ist dann erhalten, wenn das vorliegende System bezüglich eines ausgezeichneten
16
2.2. Begriffe der Kontinuumsphysik
Punktes dreh-invariant ist (Zusammenhang Symmetrie und Erhaltungsgröße)! Der Koordinatenursprung kann dann in diesen ausgezeichneten Punkt gelegt werden und ist
durch das Vektorprodukt
~ = ~r × p~
L
(2.3)
definiert. Als Beispiel haben wir die Planetenbewegung um ein Zentralgestirn (wobei
beide als Massenpunkte idealisiert wurden) betrachtet. Dabei haben wir bemerkt, dass
falls keine Periheldrehungen vorliegen, es neben der Energie und dem Drehimpuls noch
eine weitere Erhaltungsgröße gibt, den Lenz–Runge Vektor.
Charakteristisch für die Physik der Massenpunkte oder Teilchen sind nicht nur der
Begriff der Bahn, sondern auch der Stoß und die Streuung, also das Verhalten von
mehreren Teilchen, die in Wechselwirkung treten.
2.2
Begriffe der Kontinuumsphysik
In der Kontinuumsphysik hingegen ist der zentrale Begriffe die Dichte ρ. Sie kann vom
Ort und der Zeit abhängen, also ρ(~r, t). Das räumliche Integral über die Dichte in
einem gegebenen, beliebigen Volumen V ist die entsprechende Größe, z.B. Masse oder
Ladung
Z
Q(t) =
d3 x ρ(~r, t) .
(2.4)
V
Da wir das Volumen beliebig gelassen haben, kann sich die Masse/Ladung durch Einund Ausströmen im Allgemeinen ständig ändern. In der Elektrodynamik haben wir
gesehen, dass die Erhaltungsgröße der Kontinuumsphysik dadurch bestimmt ist, dass
jede zeitliche Änderung durch Ein- und Ausströmen zustande kommt, also dass es
weder Quellen noch Senken geben kann.
In der Elektrodynamik (L1) haben wir aus den beiden inhomogenen Maxwellgleichungen die Kontinuitätsgleichung, also den Satz von der Erhaltung der elektrischen Ladung
in diesem Fall, hergeleitet
∂
ρ(~x, t) + div~j(~x, t) = 0 .
∂t
(2.5)
Oder in der vierdimensionalen Schreibweise
∂ µ
j = 0
∂xµ
17
(2.6)
Kapitel 2. Der Wissensstand der klassischen Physik am Ende des 19. Jahrhunderts
oder was wir bis jetzt verwendet haben
mit (j µ ) = (c ρ, ~j). Diese wichtige Kontinuitätsgleichung ist der mathematische
Ausdruck eines Erhaltungssatzes in der Kontinuumsphysik. Zu jeder kontinuierlich, erhaltenen Größe gehört demnach eine Dichte und ein Stromdichtevektor, die zusammen
die obige Gleichung erfüllen müssen.
Die Lösungen der Maxwellgleichungen sind mathematische Objekte, die Wellen genannt werden. Typische Phänomene sind Interferenz und Beugung. An Hand dieser
Phänomene stellt man fest, ob es sich bei einem vorliegender Prozess um ein Kontinuumsphänomen handelt oder nicht: Indem man nach der Existenz von Interferenz fragt,
weist man nach, dass das untersuchte Objekt einen Wellencharakter“hat.
”
2.3
Entdeckung des Elektrons: Alles ist teilbar?
Das Jahr 1897 gilt als Entdeckung des Elektrons durch J.J. Thomson. Damit wurde
erstmalig klar, dass die Teilbarkeit einer bis dahin kontinuierlich gedachten Größe, der
elektrischen Ladung, eine grundsätzliche Grenze hat!
Die Ladung eines Elektrons hat die elektrische Elementarladung1 e, ist einerseits endlich (> 0), andererseits nicht mehr weiter teilbar. Genau dieses hat Demokrit — allerdings von den Atomen — gefordert.
Natürlich sind räumliche Ausdehnung und Teilbarkeit gerade zu synonym, etwas ist
entweder ausdehnungslos (punktförmig) oder teilbar. Bei der elektrischen Ladung wird
dieser Widerspruch jedoch nicht sofort sichtbar, trotzdem könnte man genauso die Elementarladung als Atom der elektrischen Ladung“bezeichnen, da eine Ladung Q nicht
”
mehr jeden beliebigen Wert annehmen kann, sie tritt nur in ganzzahligen Vielfachen
der Elementarladung e auf
Q = n·e
(n . . . ganze Zahl)
(2.7)
Heute spricht man davon, dass die elektrische Ladung quantisiert ist! Da die üblicherweise auftretenden Ladungen so riesige Zahlen n enthalten, fällt die Quantisierung
in der Alltagsphysik nicht auf, d.h. ist im Wesentlichen nicht messbar. Die Geschwindigkeit einer Modelleisenbahn lässt sich mit einem Trafo scheinbar stufenlos verstellen.
1
Die Unteilbarkeit der Elementarladung gilt auch noch nach der Entdeckung der Quarks, man muss
ihnen nur Drittelladungen zuweisen.
18
Kapitel 3
Wie soll man mit Quantenobjekten
umgehen?
Wir werden hier das quantenmechanische Kalkül anhand von typischen (modernen)
Experimenten mit Quantenobjekten erarbeiten. Wie bereits erwähnt, soll hier nicht der
(vergebliche) Versuch unternommen werden, die Gesetze der QM herzuleiten, ich will
sie aber auch nicht einfach auf den Kopf werfen“. Daher werden wir schrittweise
”
vorgehen. Wobei wir bereits mit dem einfachsten Experiment tief in die Quantentheorie vorstoßen werden und mit der Begriffsbildung von Zustand, Präparation und
Messung beginnen. Und es bei weiteren Experimenten wiederholen und vertiefen.
3.1
Ein Experiment mit polarisiertem Licht
Wir betrachten zunächst einen ganz einfachen Versuchsaufbau und werden sehen, dass
wir dabei bereits tief in die Quantentheorie eindringen müssen. Anschließend werden
wir unsere ersten quantenmechanischen Rechnungen durchführen.
3.1.1
Polarisiertes Licht quantenmechanisch verstehen
Wir starten mit polarisiertem Licht und versuchen eine Interpretation im Rahmen
der Korpuskulartheorie, also in Termen von Photonen. Alle experimentellen Befunde
können in diesem Fall (solange die Intensität genügend groß ist) auch mit der klassischen Elektrodynamik (Wellentheorie des Lichtes) verstanden werden. Da es aber
andere Experimente gibt, die nur in Termen von Photonen verstanden werden können,
muss es auch möglich sein, die Polarisationsexperimente im Rahmen der Quantentheorie zu beschreiben, denn diese soll ja die klassische Theorie enthalten. Wir werden auf
diese Weise Aufschluss über typisch quantenmechanische Verhaltensweisen erhalten,
19
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
Abbildung 3.1: Wie die Polarisierung geändert wird.
die auch für Systeme zutreffen, bei denen eine klassische Interpretation nicht möglich
ist.
Gegenüber anderen Objekten haben Photonen einige Vorteile. Sie haben untereinander (nahezu) keine Wechselwirkung, ein Experiment mit einem Photonstrahl gibt daher
Aufschluss über das einzelne Photon; die Charakterisierung der Zustände und damit
unsere erste Begriffsbildung ist relativ einfach.
Wie stellt man einen linear polarisierten Lichtstrahl her? Dazu produziert man einen
unpolarisierten Strahl und lässt diesen durch einen Polarisator a (z.B. eine Polarisationsbrille) treten. Ein solcher Polarisator lässt nur den Anteil des Lichtes durch, der
parallel zu einer bestimmten Richtung (Durchlasrichtung ~a) polarisiert ist. Den polarisierten Strahl lassen wir durch einen zweiten Polarisator b treten, dessen Durchlasrichtung gegenüber der des ersten Polarisators um einen Winkel α verdreht ist. Wir messen
die durchgelassene Intensität als Funktion von α, die gemessene Intensität ergibt
I = I0 cos2 α .
(3.1)
Im Rahmen der klassischen Elektrodynamik ist dieses Resultat leicht herzuleiten.
Eine ebene, linear polarisierte elektromagnetische Welle, die in der z–Richtung läuft
(Polarisatoren senkrecht auf diese Richtung), wird durch einen elektrischen Feldvektor
~ und einen magnetischen Feldvektor B
~ mit den Komponenten (~ak y–Richtung, der
E
Einfachheit halber)
Ey = −Bx = A cos(kz − ωt)
Ex = Ez = By = Bz = 0
ω
ω = 2π ν , k =
c
(3.2)
beschrieben. Der zweite Polarisator lässt nur den Anteil des Lichtes durch, dessen EVektor parallel zur Durchlassrichtung ist, das ist die Projektion von Ey auf diese Rich20
3.1. Ein Experiment mit polarisiertem Licht
Abbildung 3.2: Wie aus unpolarisierten Licht, polarisiertes entsteht.
tung, also Ey cos α (cos α =
~a·~b
).
|~a||~b|
~2
Die dazu senkrechte Komponente wird absorbiert.
Die Intensität ist proportional E , also erhalten wir ∼ Ey2 cos2 (α).
Nun versuchen wir eine quantenmechanische Beschreibung. Wir fassen den Lichtstrahl
als einen Strahl von Photonen (=Lichtteilchen) auf. Den Zustand eines Photons, seine Kenngrößen oder Eigenschaften, können wir dann durch die Energie, die Bewegungsrichtung und die Polarisation charakterisieren. Wir denken uns Energie und
Richtung fixiert (wir gehen davon aus, dass sie sich während des Experimentes nicht
ändern) und betrachten nur die Polarisation. Wir müssen uns zuerst davon überzeugen, ob die Aussage, der Zustand der Photonen oder sogar eines Photons nach dem
Polarisator a ist solch, dass dieser in Richtung ~a polarisiert ist, ein korrektes Konzept
ist.
Es muss also einen eindeutigen Test geben, ob vorgegebene Teilchen in einer betreffenden Klasse sind oder nicht. Ein solcher ist leicht durchzuführen. Stellen wir den
Polarisator b parallel zu a (α = 0) und messen die Intensität, so können wir feststellen: Die Photonen eines gegebenen Strahls sind dann und nur dann im Zustand der
~a–Polarisation, d.h. in der Richtung ~a polarisiert, wenn sie einen Polarisator mit der
21
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
Durchlassrichtung parallel zu ~a ungeschwächt passieren.
Als nächstes müssen wir untersuchen, ob eine weitere Unterteilung möglich ist. Wenn
wir außer der Polarisation noch Energie und Bewegungsrichtung vorgeben, ist dies
nach allgemeinem physikalischen Wissen nicht der Fall, d.h. diese Angaben legen den
Zustand fest. Das ist keineswegs evident, sondern das Resultat vieler Experimente,
das geändert werden müsste, wenn uns neue Experimente dazu zwingen würden. Es
muss beachtet werden, dass wir zur Zustandsdefinition der Polarisation den Begriff des
elektromagnetischen Feldes nicht verwendet haben. Es war für die Definition des Polarisationszustandes nicht notwendig, die klassische Aussage Ey 6= 0, Ex = Ez = 0
zu benutzen. Sie kann auch mit keinem der vorhin beschriebenen Experimente gemessen werden. Eine eingehende quantenmechanische Analyse zeigt, dass der Begriff
elektromagnetisches Feld eines Photons“physikalisch sinnlos ist. Ein solches kann erst
”
realisiert werden, wenn viele Photonen vorhanden sind. Das Versagen dieses Begriffes
beschränkt aber in keiner Weise unsere Möglichkeiten, Polarisationszustände experimentell herzustellen und zu untersuchen.
Die Tatsache, dass wir einen Messapparat (Polarisator) dazu verwendet haben, einen
Zustand zu erklären, ist für die Quantentheorie typisch. Dieser Apparat ist alles, was
man für die Beschreibung des Zustandes braucht und diese so gegebene Beschreibung
funktioniert sowohl für wenig intensive Strahlen, für die man kein elektrisches Feld definieren kann, als auch für intensive, für die eine klassische Wellenbeschreibung möglich
wäre.
Ein weiterer für die QM typischer Punkt ist, dass unsere Zustandsdefinition die Registrierung vieler identisch präparierter Photonen enthält: Wenn das Vorliegen des Zustandes festgestellt werden soll, müssen Intensitätsmessungen vorgenommen, d.h. viele
Teilchen gezählt werden. Das ist auch kein Hindernis bei intensitätsschwachen Strahlen.
Man verwendet als Nachweisgerät einen Photovervielfacher genügender Empfindlichkeit und detektiert über genügend lange Zeiten. Man bestimmt also den Zustand von
identisch präparierten Objekten. Den Zustand eines einzelnen Photons kann man offenbar auf diese Weise nicht bestimmen: Registriert man hinter dem Polarisator einen
Click, so sagt dieser nichts über die Polarisation des Teilchens vor dem Polarisator aus,
denn es kann z.B. auch einem schräg polarisierten Strahl entstammen. Dass es nicht
sinnvoll ist, den Zustandsbegriff anzuwenden, wenn es keine Gesamtheit identischer
Objekte gibt, liegt also am Begriff selbst (bzw. an seiner Definition).
Zusammenfassend können wir sagen, dass der Polarisator a die Photonen so präpariert,
das diese nachher in ~a Richtung polarisiert sind.
Nun betrachten wir das Experiment mit dem um den Winkel α verdrehten zweiten
Polarisator b im Sinn der Quantentheorie. Es wäre naheliegend anzunehmen, dass der
zweite Polarisator jedes Photon irgendwie in zwei neue spaltet, von denen eines parallel zur Durchlassrichtung polarisiert ist und durchgelassen wird, das zweite hingegen
22
3.1. Ein Experiment mit polarisiertem Licht
senkrecht dazu polarisiert ist und absorbiert wird. Wenn das so wäre, müsste aber der
durchgelassene Strahl aus genauso vielen Photonen wie der einfallende bestehen. Um
die niedrigere Intensität zu erklären, müsste man annehmen, dass der durchgelassene
Strahl im Mittel weniger Energie transportiert. Wegen E = hν müsste sich dann die
Frequenz ν ändern.
Wie Messungen der Frequenz jedoch zeigen, ist das nicht der Fall. Jedes Photon hat
nach Durchdringen des Polarisators genau dieselbe Energie wie vorher. Die Abnahme der Intensität bedeutet daher die Abnahme der Anzahl der Photonen pro Sekunde.
Wir schließen daraus, das ein Bruchteil cos2 α der auf den zweiten Polarisator fallenden
Photonen durchgelassen und ein Bruchteil sin2 α absorbiert wird. Die Wahrscheinlichkeit dafür, das Photonen in dem durch den Polarisator a bestimmten Zustand den
Polarisator b durchdringen, ist
W = cos2 α .
(3.3)
Ist das die richtige“Interpretation der experimentellen Ergebnisse?
”
Man könnte gegen diese Interpretationen einwenden, dass sich die identisch präparierten Photonen in dem durch a hergestellten Zustand nicht gleich benehmen, wenn
sie auf b treffen. Dies bedeutet, dass man mit dem Begriff identisch vorsichtig umgehen
muss: Er ist so gemeint, dass sich die Teilchen dann identisch benehmen, wenn nach
ihrer Identität gefragt wird, dass es also eine Anordnung gibt, gegenüber der sie sich
identisch verhalten (nämlich die mit α = 0).
Achtung: Dies wird uns noch öfter begegnen, eine Interpretation eines Experiments
muss oft total“geändert werden, falls man ein neues Element dazu nimmt (hier der
”
zweite Polarisator), da dabei — gegen unseren Hausverstand — praktisch ein neues Experiment erfolgt! Man muss also allgemein immer sehr vorsichtig sein, welche
Schlussfolgerungen aus einem Experiment wirklich folgen und welche nur, wenn man
Zusatzannahmen (oft versteckt) macht.
Die angeführte statistische Interpretation bezieht sich zunächst auf viele Photonen,
es war von einem absorbierten bzw. durchgelassenen Bruchteil die Rede. Man kann
aber auch für ein einzelnes Photon keine exakten, sondern nur statistische Aussagen
machen: Die Wahrscheinlichkeit für die Absorption ist sin2 α, die für das Durchdringen,
die Gegenwahrscheinlichkeit, cos2 α. Das kann man experimentell sehen, indem man das
Experiment mit einem sehr intensitätsschwachen Strahl und einem Photovervielfacher
durchführt. Dieser spricht nur gelegentlich an, die Clicks sind in der Zeit statistisch
verteilt, aber immer solche eines ganzen“Photons (es kommen nie halbe“Teilchen
”
”
an).
Die statistische Interpretation wird also durch das Experiment gestützt. Die Teilchennatur der Photonen bleibt durch sie gesichert. Sie stellt den auffallendsten Unterschied
23
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
zwischen klassischer Physik und Quantenphysik dar. Die klassische Beschreibung ist
vollkommen deterministisch: Bei gegebenen Anfangsbedingungen kann (wenigstens im
Prinzip) das Resultat jedes Experimentes genau berechnet werden. In der Quantentheorie ist das anders: Der Zustand enthält die maximale mögliche Information über ein
Kollektiv identischer Objekte. Über die meisten Experimente können nur statistische
Aussagen gemacht werden. Dieser Zug der Quantentheorie wurde von vielen Physikern
kritisiert, vor allem von solchen der älteren Generation, die noch mit der klassischen
Physik aufgewachsen sind (z.B. Einstein). Es hat viele Versuche gegeben, nach verbor”
genen“Variablen zu suchen (siehe Kapitel 1), die eine deterministische Beschreibung
ermöglichen sollten. Keiner von ihnen war in dem Sinn erfolgreich, dass man dabei auf
Variablen mit besonderer physikalischer Bedeutung gestoßen ist.
Es ist aber zu beachten, das die Wahrscheinlichkeit für jedes Experiment streng determiniert ist: es ist Aufgabe der Quantentheorie, sie zu berechnen. Ein weiterer, von der
klassischen Physik her ungewohnter Aspekt der Quantentheorie kann an dem Experiment ebenfalls abgelesen werden. Die Photonen, die den zweiten Polarisator b durchquert haben, sind nicht mehr im selben Quantenzustand wie vorher. Wie man mit einem
dritten Polarisator leicht nachmessen kann, sind sie in dem durch die Durchlassrichtung von b bestimmten Zustand. Diese Änderung des Zustandes durch eine Messung
ist ein weiterer wesentlicher Zug der Quantentheorie. Klassisch ändert sich der Inhalt
eines Buches nicht, wenn es gelesen wird, jedoch ein quantenmechanisches Buch wäre
für jeden Leser ein neues!
Bei klassischen Systemen kann man die Störung des Systems durch die Messung vernachlässigen (d.h. als beliebig klein ansehen), da man es mit großen Objekten zu tun
hat. Bei Quantensystemen ist diese Vernachlässigung nicht erlaubt: Der Zustand wird
bei einer Messung immer verändert, wenn man nicht gerade nach dem Zustand testet,
in dem das System vor der Messung war.
Puuhhhhhhh, jetzt sind wir mit dem einfachst möglichsten Experiment, bereits in die
Tiefen der QM eingedrungen. Wir werden alle hier erwähnten Erkenntnisse mit neuen
Experimenten wiederholen bzw. vertiefen.
Halten wir unsere Erkenntnisse mal soweit fest:
• Die QM macht nur statistische Aussagen, sie ist eine statistische Theorie. Für ein einzelnes Photon gib es keine
exakten, sondern nur statistische Aussagen.
24
3.1. Ein Experiment mit polarisiertem Licht
~
Abbildung 3.3: Ein E–Vektor
einer elektromagnetischen Welle kann in zwei orthogonale
Komponenten zerlegt werden. Beim linear polarisierten Licht besteht der Lichtstrahl
~
entweder nur aus einer Komponente des E–Vektors
oder aus mehreren Lichtstrahlen,
~
deren E–Vektoren in verschiedene Richtungen zeigen können, die aber immer zur selben
Zeit ihre Schwingungsknoten haben. Zirkular polarisiertes Licht erhält man aus der
~
Überlagerung zweier Lichtstrahlen, deren E–Vektoren
im rechten Winkel zueinander
stehen, betragsmäßig die selbe Amplitude besitzen und eine Phasenverschiebung von
π
~
aufweisen. Der E–Vektor
beschreibt eine Spirale, die rechts– oder linksdrehend ist.
2
Sind die Amplituden nicht gleich, ergibt sich eine elliptische Polarisation.
• Sagt man, ein Objekt sei in diesem oder jenem Zustand,
so impliziert man, dass das Objekt einer Gesamtheit von
identisch präparierten Objekten angehört.
• Dass man einen Messapparat (Polarisator) dazu verwendet einen Zustand zu erklären, ist typisch für die Quantentheorie. Es entspricht der interpretatorischen Freiheit,
was man dem Quantenobjekt zuordnet und was man dem
Objekt zuordnet, das es messen soll.
• Die Experimente zeigen, dass es keinen Sinn macht, hal”
be“Photonen anzunehmen. Die Reduktion der Intensität
bedeutet eine Reduktion der Zählrate, der Anzahl an Photonen pro Zeiteinheit.
25
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
• Der Zustand enthält die maximale mögliche Information
über ein Kollektiv (ensemble) identischer Objekte.
• Der Zusand wird im Allgemeinen durch eine Messung
verändert.
• Aufgabe der Quantentheorie ist es, die Wahrscheinlichkeiten für jedes Experiment vorherzusagen, d.h. ein Re”
zept“zu präsentieren, wie man diese berechnet.
3.1.2
Unsere ersten quantenmechanischen Berechnungen
Ein Quantenobjekt wird durch das Symbol
|Fi
(3.4)
charakterisiert, wobei F für den Zustand steht, also polarisiert in ~a Richtung, oder horizontal (H) oder vertical (V) polarisiert, der Spin zeigt in ⇑ Richtung oder z Richtung,
das Teilchen ist dort oder da, die Katze ist tot oder nicht, das Teilchen ist im Zustand
ψ und so weiter.
Wir haben im vorigen Experiment verwendet, dass die Polarisation in einen Anteil
parallel zur Polarisationsrichtung des Polarisator b und einen Anteil normal zur Polarisationsrichtung zerlegt werden kann. Damit haben wir das Superpositionsprinzip
verwendet, ein sehr grundlegendes Prinzip der Quantentheorie.
Zur Auswertung des Superpositionsprinzips liegt es nahe, die physikalischen Zustände
durch mathematische Größen zu repräsentieren, die man linear kombinieren kann.
Dafür bietet es sich an, auf die in der Mathematik entwickelten Begriffe des Vektors und
des Vektorraumes zurückzugreifen. Daher versuchen wir, die Menge der physikalischen
Zustände mit einem komplexen (mit einem nur reellen funktioniert es nicht) Vektorraum in Verbindung zu bringen. Die Elemente eines solchen Vektorraumes nennen wir
nach Dirac ket-Vektoren | i und bezeichnen sie dementsprechend mit
|ψi, |φi, . . .
(sprich ket-ψ u.s.w) .
(3.5)
Genau genommen beschreibt das in der Halbklammer | i enthaltene Symbol, dass
der ket-Vektor |ψi dem Zustand ψ zugeordnet ist. Für diese ket-Vektoren gelten die
26
3.1. Ein Experiment mit polarisiertem Licht
üblichen Vektorraumgesetze. Inbesondere, da der Vektorraum V abgeschlossen ist, gilt
für alle |ψ1 i ∈ V und |ψ2 i ∈ V und ∀ c1 , c2 ∈ C das Superpositionsprinzip
c1 |ψ1 i + c2 |ψ2 i ∈ V ,
(3.6)
also ergibt einen neuen Zustandsvektor, ein Teilchen in einem Zustand, der sich durch
die Addition“der zwei vorigen Zustand“ψ1 , ψ2 ergibt.
”
”
Wir sehen aber auch sofort, welchen Preis wir zu zahlen haben. Gehen wir von einem
Zustand ψ aus und ordnen diesem einen ket–Vektor |ψi zu, dann sind auch
|ψi + |ψi = 2 |ψi
(3.7)
und
c |ψi
mit c ∈ C
(3.8)
ket-Vektoren zu dem Zustand ψ und entsprechen dem gleichen physikalischen Zustand,
wie wir noch öfters sehen werden.
Die physikalische Ununterscheidbarkeit von |ψi und c |ψi zeigt einen entscheidenden
Unterschied zwischen der QM und z.B. der klassischen Feldtheorie. Dieser Sachverhalt
ist ein wenig analog zum Potentialbegriff in der Mechanik, da mussten wir auch einen
Preis zahlen, das Potential war nur bis auf eine Konstante eindeutig. Allerdings kann
man in der Quantentheorie dies in keiner Weise umschiffen, egal wie man sich dreht
und wendet, man muss sozusagen immer damit leben.
Zurück zum Experiment: Nach dem ersten Polarisator a können wir sagen, dass der
Zustandsvektor des Photons durch
|Photon polarisiert in Richtung ~ai
(3.9)
gegeben ist oder kurz, wenn wir definiert haben, worüber wir sprechen durch
|~ai ,
(3.10)
oder in unserem Fall zeigt der Vektor ~a in y–Richtung, also auch so
|yi .
(3.11)
Wie kommen wir jetzt an die Intensität oder an die Wahrscheinlichkeit, mit der das
Photon beim Polarisator b durchgelassen oder absorbiert wird, heran. Das Rezept der
Quantentheorie sagt, dass eine Messung durch das mathematische Messsymbol“
”
|~bih~b|
(3.12)
27
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
erreicht wird. Dabei soll sich die rechte Hälfte auf den Zustand beziehen, der akzeptiert wird (auf das, was hineinfließt), und die linke Hälfte (ein ket-Vektor) auf den
Zustand, der herauskommt“. In der Quantentheorie wird immer von rechts nach links
”
gelesen, wie bei den Chinesen. Der rechte Ausdruck h | bezeichnet einen bra-Vektor.
Wir wollen ja schlussendlich eine Wahrscheinlichkeit, d.h. ein reelle Zahl zwischen 0
und 1 erhalten, d.h. wir suchen etwas, dass aus einem Input Zustandsvektor |ψi einen
Output Zustandsvektor |φi macht und, dies mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeitsamplitude. Wenn wir uns an die Vektorraumtheorie bzw. an die Vektorrechnung
erinnern, wissen wir, dass wir eine Linearform oder ein lineares Funktional über dem
ket–Vektorraum V suchen.
Eine Linearform L über dem Vektorraum V ist eine Abbildung von V in die Menge
der komplexen Zahlen
Lφ : V −→ C
|ψi −→ Lφ (|ψi) := hφ|ψi ∈ C
(3.13)
Für den bekannten R3 Vektorraum nichts anderes als das übliche Skalarprodukt, und
wir haben auch so etwas für die relativistische Mechanik eingeführt (z.B. xµ xµ ). Hierher
kommt auch der Begriff braket“(Engl. Klammer).
”
Zusammenfassend können wir jedem Zustand ψ einen ket-Vektor (als Representant
eines Strahls), der im Vektorraum V lebt, oder andererseits einen bra-Vektor, der im
Dualraum V † (als Representant eines Strahls) lebt, zuordnen.
bra-Dual-Vektorraum V †
physikalischer Zustand
ket-Vektorraum V
hψ|
ψ
|ψi
Beide Vektoren liegen in verschiedenen Räumen, sind also nicht identisch. Da beide
auf den gleichen physikalischen Zustand bezogen sind, müssen wir fordern, dass ihre Vektorräume V und V † umkehrbar eindeutig, also bijektiv aufeinander abgebildet
werden.
Aber zurück zu unserem Experiment. Der Polarisator b angewandt auf unser in ~a
Richtung polarisiertes Photon ergibt:
|~bih~b| |~ai = h~b|~ai |~bi .
|{z}
(3.14)
∈C
D.h. unser Photon ist nach dem Polarisator b in ~b Richtung polarisiert. Aber welche
Bedeutung hat die komplexe Zahl?
28
3.1. Ein Experiment mit polarisiertem Licht
Wie kommen wir an die Wahrscheinlichkeiten, die Vorhersagen der QM,
heran?
Wahrscheinlichkeiten sind Zahlen zwischen 0 und 1, wir haben aber behauptet, dass
~
hb|~ai eine komplexe Zahl ist. Wie erhält man aus einer komplexen Zahl eine reelle
Zahl? Durch Betrag nehmen. Dann müssen wir nur noch schauen, dass diese Zahl aus
dem Bereich [0, 1] ist, was leicht durch so genanntes Normieren zu erreichen ist. Damit
hätten wir alle formalen Kriterien einer Wahrscheinlichkeit erfüllt.
Nimmt man das Quadrat von der Wahrscheinlichkeitsamplitude h~b|~ai, dann erhält
man
¯
¯2
¯
¯2
¯
¯
¯
¯
W = ¯h~b|~ai|~bi¯ = (h~b|~ai|~bi)† (h~b|~ai|~bi) = ¯h~b|~ai¯ h~b|~bi
|{z}
1
¯2
¯
¯
¯
(3.15)
= ¯h~b|~ai¯ .
Bei unserem Experiment war der Polarisator b um den Winkel α verdreht. Zunächst
können wir durch das Superpositionsprinzip den Zustand nach Polarisator a auch so
anschreiben:
|~ai = cos(α) |~bi + sin(α) |~b⊥ i .
(3.16)
Nach dem Polarisator b haben wir den folgenden Zustand
|~bih~b| |~ai = (cos(α) h~b|~bi + sin(α) h~b|~b⊥ i) |~bi
|{z}
| {z }
1
0
= cos(α) |~bi .
(3.17)
Damit ergibt sich die Durchlasswahrscheinlichkeit zu
¯
¯2
¯
¯
W = ¯cos(α) |~bi¯ = ( cos(α) |~bi)† (cos(α) |~bi)
= cos(α)∗ cos(α)h~b|~bi = cos2 (α)
Dies ist identisch zu der Wahrscheinlichkeitsamplitude zum Quadrat.
Die Absorptionswahrscheinlichkeit ergibt sich durch
¯2
¯
¯
¯
Wabs = ¯sin(α)|~b⊥ i¯ = sin2 (α) ,
(3.18)
(3.19)
also genau die Gegenwahrscheinlichkeit zur Durchlasswahrscheinlichkeit, d.h.
W + Wabs = 1 .
29
(3.20)
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
Abbildung 3.4: Schematische Darstellung eines doppelt brechenden Kristalls (z.B. Kalkspat).
Ein paar Rechenbeispiele:
|~aih~a| |~ai = 1 · |~ai = |~ai
|~a⊥ ih~a⊥ | |~ai = 0 · |~a⊥ i
|~bih~b| (c1 · |~ai + c2 · |~a⊥ i) = (c1 · h~b|~ai + c2 · h~b|~a⊥ i) · |~bi
3.2
(3.21)
Der Zweikanalanalysator und Projektoren
Wir betrachten weiterhin polarisiertes Licht, werden aber nicht wie im vorigen Abschnitt einen Polarisator betrachten, der ein Photon durchlässt oder absorbiert, sondern einen doppelt brechenden Kristall (z.B. Kalkspat). Dieser hat die Eigenschaft,
einen unpolarisierten Lichtstrahl in zwei senkrecht zueinander linear polarisierte Anteile aufzuspalten. Wir nennen die durch den ordentlichen Strahl definierte Polarisationsrichtung ~a und die durch den außerordentlichen Strahl definierte zu ~a orthogonale
Richtung ~a⊥ (~a · ~a⊥ = 0; im R2 gibt es natürlich zu ~a zwei orthogonale Vektoren,
allerdings unterscheiden sie sich nur im Vorzeichen, das keine Rolle spielt). Falls zum
Beispiel ~a in die x-Richtung zeigt und ~a⊥ in die y-Richtung, dann stellt der ganze
Kristall einen xy-Analysator dar.
Wir werden den Apparat (und entsprechende analoge Verallgemeinerungen) oft verwenden und führen daher ein kurzes Schaltzeichen ein:
30
3.2. Der Zweikanalanalysator und Projektoren
Dabei bezeichnen 1, 2 den ordentlichen und den außerordentlichen Strahl, beziehungsweise allgemeiner, die Aufspaltung in zwei Möglichkeiten. Schalten wir einen solchen
Analysator und einen entsprechenden umgekehrten hintereinander, der so beschaffen
ist, dass er den ursprünglichen Strahl voll rekonstruiert, so nennen wir die Anordnung
einen Analysatorkreis und schreiben dafür
Per definitionem ändert eine solche Anordnung an einem Strahl nichts. Um sie praktisch
herzustellen, muss man zwischen den Analysatoren in einen der Strahlengänge ein
Stück durchsichtiges Material einbringen, damit die relative Phasenbeziehung bei der
Rekombination der Strahlen dieselbe wie vor der Trennung ist.
Blockieren wir zwischen den Analysatoren einen der Strahlen, so erhalten wir einen
Polarisator, wie wir ihn im ersten Experiment im vorigen Abschnitt kennengelernt
haben. Wir nennen ihn einen Projektor auf die entsprechende Polarisationsrichtung.
Das Schaltzeichen dafür ist
Hier wir auf den Ausgang (Output) 1 projiziert, zum Beispiel polarisiert in x–Richtung,
das wir auch mit horizontal polarisiert (H) bezeichnen können. Natürlich können wir
auch auf Output 2 projizieren, in unserem Fall würden wir einen in y–Richtung oder
vertikal (V ) polarisierten Strahl erzeugen:
31
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
Statt nach den Richtungen x, y (bzw. 1,2) zu analysieren, können wir auch nach zwei
anderen, zueinander und zur Strahlrichtung senkrechten Richtungen analysieren, indem wir z.B. den Analysator (bzw. die entsprechenden anderen Anordnungen) um die
Strahlrichtung um einen festen Winkel α drehen. Wir bezeichnen die entsprechenden
Apparate mit
Ein Analysatorkreis muss für alle α wieder den ursprünglichen Strahl herstellen:
Statt mit linear polarisiertem Licht kann man auch mit zirkular polarisiertem arbeiten. Klassisch wird eine zirkular polarisierte ebene Welle, die in der z–Richtung läuft,
~
durch einen E–Vektor
beschrieben, der mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um die
z-Achse rotiert. Je nach dem Drehsinn kann man zwischen rechtszirkularer und linkszirkularer Polarisation unterscheiden. Eine zirkular polarisierte Welle kann man durch
Überlagerung von zwei senkrecht zueinander linear polarisierten Wellen mit gleicher
Amplitude und 90◦ Phasenverschiebung erzeugen.
Um einen zirkular polarisierten Strahl im Teilchenbild interpretieren zu können, muss
man entsprechend einen rechtszirkularen, bzw. linkszirkularen Polarisationszustand für
das Photon definieren. Praktisch kann ein solcher Analysator z.B. aus einem Quarzkristall bestehen: Quarz ist doppeltbrechend, wobei die beiden gebrochenen Strahlen
32
3.3. Weitere Experimente mit Analysatoren
rechts- bzw. linkszirkular polarisiert sind. Bei Verdrehen um die Strahlachse ändert sich
wegen der Rotationssymmetrie an der Struktur der auslaufenden Strahlen nichts. Analog wie für lineare Polarisation kann man Analysatoren bzw. Analysatorkreise durch
charakterisieren. Analog zu vorher kann man Projektoren durch Blocken eines Strahls
erreichen. Die beschriebenen Apparate sind genauso wie die Apparate für die linear
polarisierten Strahlen dazu geeignet, Polarisationszustände eines Strahls herzustellen
und zu untersuchen. Offenbar stellt ein Projektor aus einem beliebigen Strahl einen
solchen her, dessen Photonen alle in dem Polarisationszustand sind, den der Projektor
durchlässt.
Wie stellt man fest, wie ein Strahl polarisiert ist? Mit einem Analysator kann man
offensichtlich auch untersuchen, ob ein Strahl polarisiert ist. Setzt man z.B. in den
Strahl einen linearen α–Analysator ein, so ist der Strahl 10 polarisiert, wenn man im
10 –Ausgangskanal die volle und im 20 –Ausgangskanal die Intensität 0 feststellt. Wird für
keinen Winkel α in einem Kanal die volle und im anderen die Intensität 0 gemessen, so
war der Strahl nicht linear polarisiert. Zirkulare Polarisationszustände können analog
untersucht werden. Alle charakterisierten Apparate sind wirklich herstellbar, und zwar
sogar so, dass man der hier angenommenen Idealisierung verlustfreier“Apparate (z.B.
”
kein Intensitätsverlust beim Durchgang eines Lichtstrahls durch einen Analysatorkreis)
sehr nahekommt.
3.3
Weitere Experimente mit Analysatoren
Wir führen nun mit diesen Apparaten einige Experimente durch, bei denen wir bestimmte Apparate hintereinander in einen Strahlengang einsetzen und an gewissen
Stellen (a, a1 , a2 , b1 , b2 ) die Intensität (I(ai ), I(bi )) messen. Das Ergebnis kann im Rahmen der klassischen Wellenvorstellung hergeleitet werden. Für die Quantentheorie liefert uns die relative Intensität I(bi )/I(ai ) eine Aussage über eine Wahrscheinlichkeit,
die experimentell gemessen wird. Das erste Experiment sieht so aus:
33
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
Ergebnis: I(b1 ) = I(a1 ), I(b2 ) = 0. Das Experiment entspricht auch unserer Zustandsdefinition. Der Projektor stellt den Zustand a1 (= lineare Polarisation in 1 = x–
Richtung) her (d.h. er lässt nur solche Photonen durch). Mit dem Analysator wird
dann festgestellt, dass dieser Zustand vorliegt (s.o., α = 0). In Termen von Wahrscheinlichkeiten lautet das Resultat
W (b1 |a1 ) = 1 ,
W (b2 |a1 ) = 0 .
(3.22)
Aber wir wissen bereits aus dem vorvorigen Abschnitt, wie die quantenmechanische
Rechnung dazu aussieht:
W (b1 |a1 ) = ||b1 ihb1 | |a1 i|2 = |hb1 |a1 i |b1 i|2 = |hb1 |a1 i|2 = |ha1 |a1 i|2 = 1 ,
W (b2 |a1 ) = ||b2 ihb2 | |a1 i|2 = |hb2 |a1 i |b2 i|2 = |hb2 |a1 i|2 = |ha2 |a1 i|2 = 0 .
(3.23)
oder in der vorigen Schreibweise
W (b1 |a1 ) = |h~a|~ai |~ai|2 = |h~a|~ai|2 = 1 ,
W (b2 |a1 ) = |h~a⊥ |~ai|~a⊥ i|2 = |h~a⊥ |~ai|2 = 0 .
(3.24)
Wir können natürlich genauso Strahl 1 blocken, dann sieht das Ergebnis genau umgekehrt aus(siehe Übungen):
Statt dieses Experimentes kann man auch zwei Messungen vornehmen, bei denen nur
Projektoren verwendet werden:
34
3.3. Weitere Experimente mit Analysatoren
Experiment Ia Ergebnis: I(b1 ) = I(a1 ), W (b1 |a1 ) = 1. Experiment Ib Ergebnis: I(b2 ) =
0, W (b2 |a1 ) = 0. Version Ia zeigt, dass zwei hintereinander geschaltete gleiche Projektoren so gut wie einer sind! Eine wichtige Eigenschaft, die wir oft verwenden werden
und bereits bei der Zustandsdefinition benützt haben.
Mathematisch wird ein Projektor durch
Pa1 = |a1 iha1 |
(3.25)
bezeichnet (unser Messsymbol) und die Idempotenz, also das Hintereinaderschalten
mehrerer Projektoren ergibt wieder den gleichen Projektor
Pa1 Pa1 . . . Pa1 = Pa1 = |a1 i ha1 | |a1 iha1 | . . . |a1 iha1 | = |a1 iha1 |
| {z }
(3.26)
1
Führt man hingegen das folgende Experiment durch
Experiment Ib zeigt, dass zwei hintereinandergeschaltete entgegengesetzte Projektoren
so wirken, dass der Strahl blockiert wird (Intensität 0):
Pa2 Pa2 . . . Pa1 = Pa2 Pa1 = |a2 i ha2 | |a2 iha2 | . . . |a2 i ha2 ||a1 iha1 |
| {z }
| {z }
1
= 0 · |a2 iha1 |
0
(3.27)
Allgemein können wir das so zusammenfassen: Falls wir zwei Projektoren auf verschiedene Zustände einer orthogonalen Basis (s.u.) haben, gilt
Pai Paj = δij Pai ,
35
(3.28)
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
wobei δij das Kronecker Delta ist (δ ist gleich 1 falls i = j und 0 falls i 6= j). Wir führen
jetzt eine etwas allgemeinere Notation ein, d.h. ~a ≡ a1 und ~a⊥ ≡ a2 . Damit können wir
unser Ergebnis auch so schreiben:
Pi Pj = δij Pi = |ai ihai |aj ihaj | = hai |aj i |ai ihaj | .
| {z }
(3.29)
δij
Führt man das Experiment mit anderen Projektoren durch (z.B. für zirkulare Polarisation), so kommt evidenterweise dasselbe Resultat heraus, solange der Analysator
(bzw. der zweite Projektor) und der erste Projektor auf denselben Polarisationstyp
bezogen sind. Allgemein erhalten wir die obigen Ergebnisse nur falls beide Projektoren
auf den gleichen Polarisationstyp (linear, zirkulär oder elliptisch) analysieren. Wir werden einen solchen Typ eine Basis nennen. Die entsprechenden Photonzustände (z.B.
l1 = linear polarisiert (parallel zu x, horizontal polarisiert H), l2 = linear polarisiert
(parallel zu y, vertikal polarisiert V ) nennen wir Basiszustände.
Nun betrachten wir ein weiteres Experiment, hier ist der zweite Projektor um den
Winkel α verdreht:
Welche Wahrscheinlichkeit bzw. Intensität werden wir erhalten? Hier können wir wieder
das Superpositionsprinzip verwenden
|b1 i = cos α |a1 i + sin α |a2 i
|b2 i = − sin α |a1 i + cos α |a2 i
(3.30)
Damit ist die Wahrscheinlichkeit für Kanal b1 durch
W (b1 |a1 ) = |Pb1 |a1 i|2 = |cos α ha1 |a1 i |b1 i|2 = cos2 α
(3.31)
und für Kanal b2 durch
W (b2 |a1 ) = |Pb2 |a1 i|2 = |sin α ha1 |a1 i |b2 i|2 = sin2 α
(3.32)
gegeben. In der Intensität ausgedrückt, die ein Experimentator misst, erhält man damit
I(b1 ) = I(a1 ) cos2 α ,
I(b2 ) = I(a1 ) sin2 α .
(3.33)
Auch die Resultate dieses Experimentes kann man durch zwei Messungen erhalten,
bei denen nur Projektoren verwendet werden, z.B.:
36
3.3. Weitere Experimente mit Analysatoren
Ergebnis W (b1 |a1 ) = cos2 α. Oder falls b1 geblockt wird W (b2 |a1 ) = sin2 α. Diese zwei
Experimente entsprechen offenbar den früher mit den Polarisatoren durchgeführten
Experimenten.
Mit anderen Projektoren bzw. Analysatoren erhält man andere Zahlen. Wird z.B. der
erste Projektor durch einen für zirkulare Polarisation ersetzt und der Analysator ist
einer für linear polarisierte Polarisation,
so können wir die Wahrscheinlichkeit erraten,
W (b1 |a1 ) = W (b2 |a1 ) =
1
,
2
(3.34)
da wir diesen Fall klassisch verstehen können: Der Projektor stellt einen Strahl mit
(links-) zirkularer Polarisation her; da eine zirkularpolarisierte Welle aus zwei senkrecht
zueinander linear polarisierten Wellen mit gleicher Amplitude aufgebaut werden kann,
filtert jeder der beiden zweiten Projektoren die halbe Intensität heraus.
Wie sieht aber die quantenmechanische Rechnung dazu aus?
Dazu ändern wir unsere Notation ein wenig. Bezeichnen wir die zwei möglichen Outputs, Basiszustände, eines Analysators, der linear polarisiertes Licht produziert, mit
|Hi, |V i ,
mit hH|Hi = hV |V i = 1 und hH|V i = hH|V i = 0 ,
(3.35)
wobei wir wählen, dass der horizontal H schwingende Anteil sich im Kanal 1 befindet,
während der vertikal schwingende Anteil im Kanal 2 zu finden ist. Durch die obigen
Bedingungen haben wir eine orthonormierte (= orthogonale und normierte) Basis erhalten.
37
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
Hingegen bezeichnen wir die zwei Outputs, Basiszustände, eines Analysators, der zirkular polarisiertes Licht erzeugt, mit
|Ri, |Li ,
mit hR|Ri = hL|Li = 1 und hR|Li = hL|Ri = 0 ,
(3.36)
wobei die rechtsdrehende (R) Welle in Kanal 1 und die linksdrehende (L) in Kanal
zwei erzeugt werden soll.
Damit erhalten wir für das obige Experiment:
W (H, R) = |hH|Ri|2
W (V, R) = |hV |Ri|2 .
(3.37)
Da beide Wahrscheinlichkeiten nach unserer klassischen Überlegung, die ja hier genauso zutrifft falls die Intensität hoch genug ist, 12 ist, stellt sich die Frage, ob wir
den Zusammenhang zwischen den verschiedenen Basiszuständen eruieren können. Also
ob wir aus |hH|Ri|2 = |hV |Ri|2 = 12 schließen können, was hH|Ri bzw. hV |Ri ist.
Da die Übergangsamplituden im Allgemeinen komplex sein können, erhalten wir keine
eindeutige Lösung! Nur das Argument der komplexen Zahl ist eindeutig:
1
hH|Ri = eiφ1 √
2
1
hV |Ri = eiφ2 √ ,
2
(3.38)
wobei φ1 , φ2 beliebige (reelle) Phasen sind.
Und damit können wir den Zusammenhang zwischen der Basis H/V und R so hinschreiben:
¢
1 ¡
|Ri = √ eiφ1 |Hi + eiφ2 |V i .
2
(3.39)
Jetzt gilt, wie bereits besprochen, dass eine so genannte Overallphase, also eine komplexe Zahl vor einem Zustandsvektor, den gleichen physikalischen Zustand beschreibt,
daher können wir eine Phase herausziehen
¢
1 ¡
|Ri = eiφ1 √ |Hi + ei(φ2 −φ1 ) |V i .
2
(3.40)
Es kommt also nur auf die Phase φ := φ2 − φ1 zwischen dem Zustandsvektor |Hi und
|V i an, diese relativ Phase ist im Experiment messbar, wie wir gleich sehen werden.
Sie ist sehr typisch für die Quantentheorie.
38
3.3. Weitere Experimente mit Analysatoren
Damit können wir den Zusammenhang zwischen der Basis H/V und dem Basisvektor
R auch so hinschreiben:
¢
1 ¡
|Ri = √ |Hi + eiφ |V i .
(3.41)
2
Der Zusammenhang mit |Li ergibt sich durch die Bedingungen an die orthonomierte
Basis hR|Li = 0 und der Tatsache, dass falls wir nicht den zweier Kanal geblockt hätten
und damit den Zustand |Li erzeugt hätten, die klassische Überlegung die gleichen
Wahrscheinlichkeiten ergibt. D.h. wir können |Li anschreiben durch
ª
1 ©
|Li = √ |Hi + eiχ |V i
2
und aus
½
¾½
¾
1
−iχ
iφ
hL|Ri = 0 =
hH| + e
hV | |Hi + e |V i
2
½
¾
1
i(φ−χ)
hH|Hi + e
hV |V i
=
2
½
¾
1
i(φ−χ)
=
1+e
2
(3.42)
!
(3.43)
folgt, dass ei(φ−χ) = −1 sein muss und damit χ = φ + kπ mit k = 1, 3, 5, . . . . Damit
haben wir gefunden
ª
1 ©
|Li = √ |Hi − eiφ |V i .
2
(3.44)
Ist die relative Phase φ bestimmbar? Dazu brauchen wir uns nur eine kleine Variante
unseres Experiments überlegen:
Das Ergebnis können wir uns wieder gleich überlegen, da die zirkular polarisierte Welle rotationssymmetrisch ist, Abb. 3.3, folgt, egal wie wir den zweiten Analysator zum
~ Vektor kann immer zu gleichen Teiersten Projektor verdrehen, der momentane E
len aus horizontal und vertikal polarisiertem Licht bestehend aufgefasst werden, d.h.
39
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
die Wahrscheinlichkeit im oberen oder unteren Kanal Photonen zu finden sind immer
gleich:
1
2
1
W (V α, R) =
2
W (Hα, R) =
Die quantenmechanische Rechnung dazu ist
¯¡
¯2
¢
W (Hα, R) = ¯ cos α hH| + sin α hV | |Ri¯
¯¡
¢¡
¢¯2
= ¯ cos α hH| + sin α hV | |Hi + eiφ |V i ¯
¯2
1 ¯¯
=
cos α + eiφ sin α¯
2
¢
1¡
=
1 + 2 cos α sin α cos φ .
2
(3.45)
(3.46)
Damit für alle α’s 12 herauskommt, muss φ = k π2 , wobei k eine ungerade Zahl ist, gelten.
Damit haben wir den Zusammenhang zwischen zwei orthonormierten Basen, den linear
und zirkulär polarisierten Basen, gefunden:
1
|Ri = √ (|Hi + i |V i)
2
1
|Li = √ (|Hi − i |V i) .
2
(3.47)
Das Vorzeichen ist wieder Konvention (d.h. hier die Wahl k = 1, 5, 9 . . . ).
Hier sehen wir auch zum ersten Mal, dass wir komplexe Zahlen,
Vektoren benötigen, um den Unterschied zwischen linear und zirkular polarisiertem Licht beschreiben zu können. Und dass relative
Phasen im Gegensatz zu Overall–Phasen messbar sind!
3.3.1
Verschiedene Analysatoren und deren Zusammenhang
Fassen wir unsere Experimente aus dem vorigen Abschnitt zusammen. In unserer ersten
Serie haben wir jeweils linear polarisierende Analysatoren verwendet, die wir zueinander um einen Winkel α gedreht haben. Die gleichen Ergebnisse würden wir erhalten
falls wir nur mit z.B. zirkular polarisierenden Analysatoren arbeiten würden. In unserer zweiten Serie haben wir untersucht, wie linear polarisiertes Licht mit zirkular
polarisierten Licht zusammen hängt.
40
3.3. Weitere Experimente mit Analysatoren
Die Zusammenhänge sind jeweils durch vier (komplexe) Zahlen beschrieben,
hH 0 |Hi
hV 0 |V i
hH 0 |V i
hV 0 |Hi
=
=
=
=
hHα|Hi
hV α|V i
hHα|V i
hV α|Hi
=
=
=
=
cos α ,
sin α ,
cos α ,
− sin α
(3.48)
und
1
i
1
i
hH|Ri = √ , hV |Ri = √ , hH|Li = √ und hV |Li = − √ .
2
2
2
2
(3.49)
Das können wir auch kompakter zusammenschreiben. Dazu identifizieren wir den Zustandsvektor mit einem Spaltenvektor
µ ¶
µ ¶
1
0
|Hi ≡
, |V i ≡
(3.50)
0
1
Dann können wir den Zusammenhang von linear polarisierten Basiszuständen (H/V )
zu den linear polarisierten Zuständen (H 0 /V 0 ) auch so schreiben
¶
¶µ
µ 0 ¶
µ
H
H
cos α sin α
(3.51)
=
V
V0
− sin α cos α
Diese Matrix, die wir im folgenden U (α) nennen wollen, ist uns aus dem R2 bekannt, sie
beschreibt nichts anderes als die Rotation eines 2 dimensionalen Vektors um den Winkel
α. Bzw. beschreibt diese Matrix das Verhalten der Komponenten eines Vektors in der
Ebene bei Drehung des Koordinatensystems. Allgemein gilt für Drehspiegelmatrizen
R · RT = RT · R = 1, falls auch gilt det R = 1 beschreibt R eine Rotation. D.h.
es sind genau diese Matrizen, die das (reelle) Skalarprodukt erhalten. Das entspricht
genau dem, das wir bei den aller ersten Experimenten mit einem Polarisator gemacht
haben.
Was wir benötigen ist eine Matrix mit solchen Eigenschaften, die das (komplexe)
Skalarprodukt unserer komplexen Vektoren unverändert lassen!
In Experimenten können nur Wahrscheinlichkeiten gemessen werden, ein kurzes Nachrechnen zeigt, dass die Matrix
µ iφ
¶
e 1 cos α eiφ2 sin α
0
U (α) =
(3.52)
eiφ3 sin α eiφ4 cos α
mit der Zusatzbedingung
ei(φ2 −φ1 ) = −ei(φ4 −φ3 )
41
(3.53)
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
das Skalarprodukt und damit die Wahrscheinlichkeiten invariant lässt (bis auf eine
Gesamtphase).
Bei der zweiten Serie hatten wir die Transformation aus der Basis (H/V ) zu (R/L)
betrachtet. Diese wird durch die Matrix
Ã
!
√1
2
√1
2
√i
2
−i
√
2
(3.54)
gewährleistet, sie gibt also an, wie man von linear polarisiertem Licht zu zirkulär polarisiertem Licht kommt, wir bezeichnen diese Matrix daher durch U (zirk, l). Und die
vorige Basistransformation durch U (l0 , l) und analog dazu kann man die Transformationsmatrix zwischen beliebigen Basen berechnen.
Welche allgemeinen Eigenschaften haben solche Matrizen?
Der Zusammenhang zwischen den Basen zwischen zwei Analysatoren a und b ist durch
die Transformationsmatrix
U (b|a)ik = hbi |ak i i, k = 1, 2
(3.55)
gegeben. Mit k werden die zwei Basiszustände von Analysator a bezeichnet (also falls
a = l, dann k = H, V ) und mit i die Basiszustände von Analysator b.
Diese 2 × 2 Matrizen besitzen die folgenden Eigenschaften:
1. U −1 (b|a) = U (a|b) bzw. U · U −1 = U −1 · U = 1 (Invertierbarkeit).
2. U † (b|a) = U −1 (b|a) bzw. U † U = U · U † = 1 (Unitarität).
3. U (c|b) · U (b|a) = U (c|a) (Gruppeneigenschaft).
Die erste Eigenschaft ist leicht bewiesen
U (b|a) · U −1 (b|a) = U (b|a) · U (a|b) =
X
hbi |aj ihaj |bk i = δik
(3.56)
j
und Ausdruck der Orthonormierung. Die zweite wichtige Eigenschaft beweist sich durch
(U −1 (a|b))ik = (U (b|a))ik = hbi |ak i = hak |bi i∗
= ((U (a|b))ki )∗ = (U † (a|b))ik .
Dies bedeutet inbesondere, dass das Photon seine Polarisierung nie verliert!
42
(3.57)
3.3. Weitere Experimente mit Analysatoren
Die letzte Eigenschaft, die Gruppeneigenschaft, beweist sich über
¡
j
X
¢
¡X
¢
|bj ihbj | |ak i
U (c|b) · U (b|a) ik =
2hci |bj ihbj |ak i = hci |
j=1
j=1
|
{z
1
}
= hci |ak i = (U (c|a))ik .
(3.58)
Dabei haben wir benützt,
P dass die Summe aller Projektoren eines vollständig, orthogonalen Basissystems jj=1 |bj ihbj | = 1 sich zur Einheit addiert oder anders formuliert
eine solche Summe ist ein Analysatorkreis. Das ist eine sehr wichtige Formel, die wir oft
verwenden werden, und welche die Vollständigkeit der Basis ausdrückt. Schematisch
entspricht es dem Analysator
Zusammenfassend haben wir gefunden, dass verschiedene Basen
stets durch unitäre Matrizen zusammenhängen und eine Gruppe
bilden! D.h. die Matrizen, die das Skalarprodukt erhalten
hφ|U † U |ψi = hφ|ψi ,
(3.59)
müssen die obigen Eigenschaften haben. (Hinweis: U muss nicht
unbedingt als Matrix darstellbar sein.)
3.3.2
Unterschiedliche Projektoren hintereinandergeschaltet
Betrachten wir das folgende Experiment:
43
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
Welches Ergebnis erwarten wir? Der erste Analysator a erzeugt horizontal polarisiertes
Licht. Der zweite zirkular polarisierende Analysator b lässt nur links polarisierendes
Licht durch. Der dritte Projektor c lässt wiederum nur vertikal polarisiertes Licht durch.
Das Ergebnis können wir klassisch errechnen, der zweite Analysator lässt nur 50% der
hereinkommenden Photonen durch, der dritte wiederum nur 50% der hereinkommenden
Photonen, d.h. W (c|a) = 14 . Die quantenmechanische Rechnung dazu können wir auch
schon hinschreiben:
|V ihV |LihL|Hi
−→ W (V |L|H) = |hV |LihL|Hi|2 =
1
.
4
(3.60)
Wir erkennen, dass durch eine Messung sich der Zustand ändert, jedoch keine Regene”
ration“erfolgt: Vor dem zirkularen Filter enthält der Strahl keine vertikal polarisierten
Photonen, hinter diesem Filter sind sie offenbar wieder vorhanden.
Das gleiche erhalten wir, falls wir unser Experiment so adaptieren:
|V ihV |RihR|Hi
−→ W (V |R|H) = |hV |RihR|Hi|2 =
1
.
4
(3.61)
Aber wie sieht es mit dieser experimentellen Anordnung aus:
Naiv würden wir erwarten, dass jetzt doppelt so viele Photonen durchkommen. Das
ist aber nicht der Fall, man erhält sogar, dass kein Photon durchkommt. Das ist sofort klar, falls wir uns an den vorigen Abschnitt erinnern, wo wir gezeigt haben, das
44
3.3. Weitere Experimente mit Analysatoren
ein Analysatorkreis nichts am Zustand ändert, oder mathematisch die Summe aller
Projektoren die Einheit ergibt. Die ganze Schaltung entspricht:
¡
¢
|V ihV | |RihR| + |LihL| |Hi = |V ihV |Hi = 0|V i
|
{z
}
1
−→ W (V |1|H) = W (V |H) = 0 .
(3.62)
Wir lernen daraus, dass man bei mehreren offenen Wegen die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten nicht addieren darf, und dass man ohne komplexe Übergangselemente,
ohne komplexe Wahrscheinlichkeitamplituden nicht auskommt.
Im Rahmen der klassischen Wellentheorie kennen wir dieses Phänomen bereits. Es
handelt sich um einen Spezialfall der allgemeinen Welleneigenschaft Interferenz, zu
der es immer kommt, wenn mehrere Strahlen aus derselben Quelle überlagert werden.
Kann Licht auf mehreren Wegen an eine bestimmte Stelle gelangen, so ist das gesamte elektrische Feld an dieser Stelle die Vektorsumme der Felder, die den entlang der
einzelnen Wege laufenden Wellen entsprechen. Die gesamte Intensität ist das Quadrat
des resultierenden elektrischen Vektors, der länger oder kürzer sein kann, als jeder der
Summanden, aus denen er sich zusammensetzt; er kann auch die Länge Null haben.
Der wesentliche Zug, dass man die Vektoren erst addieren und dann quadrieren muss,
ist eine Folge der Wellentheorie des Lichtes.
In der quantentheoretischen Beschreibung, um die es hier geht, dürfen wir das klassische Wellenbild nicht benützen, da es für intensitätsschwache Strahlen, bzw. für einzelne Photonen nicht funktioniert. Das ist aber auch der Kern, warum wir erstaunt sind.
Bei klassischen Wellen erklärt sich die Auslösung einfach (Berg trifft auf Tal). Aber,
wenn wir nun ein einziges Photon durchschicken und dann, nachdem es sicher schon
registriert wurde, noch eines und so weiter und trotzdem finden wir ein Interferenzbild,
also Bereiche die bevorzugt besucht, andere die weniger bis gar nicht besucht werden,
finden wir keine dem Hausverstand genügende Erklärung. Wir müssen sagen, jedes
Photon interferiert mit sich selbst!
In unserem entwickelten Formalismus stellt es sich so dar: die Wahrscheinlichkeitsamplituden interferieren miteinander. Aber was soll schon eine Wahrscheinlichkeitsamplitude sein?!
Kein Wunder also, dass diese einfachen“Experimente, von denen wir noch einige dis”
kutieren werden (siehe auch Kapitel 6), schon zu soviel Kopfzerbrechen führen (geführt
haben)!
45
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
3.4
Allgemeine Apparate bzw. Operatoren
Bisher haben wir gelernt, wie man gewisse Apparate (Projektoren, Analysatorkreise
und daraus aufgebaute Schaltungen“) algebraisch darstellt. Wir interessieren uns nun
”
für die Verallgemeinerung auf beliebige Apparate. Zunächst betrachten wir wieder die
Photonpolarisation. Jeder Apparat, der nur auf die Polarisation wirkt, kann als Kasten
mit einer Eingangs- und einer Ausgangsöffnung gedacht werden, der die Energie der
Photonen sowie die Strahlrichtung nicht ändert, wohl aber die Polarisation und die
Intensität beeinflusst. Wir bestrahlen nun einen solchen Apparat der Reihe nach mit H
und V polarisiertem Licht und messen die relative Intensität des auslaufenden Strahls
nach Passieren eines H bzw. V Projektors. Die Schaltung ist also z.B.
Auf diese Weise messen wir 4 positive Zahlen (Wahrscheinlichkeiten). Diese reichen
aber nicht aus, um den Apparat eindeutig zu charakterisieren. Das sieht man an folgendem Beispiel: Nehmen wir für A einen R Projektor, so sind alle vier Wahrscheinlichkeiten 1/4. Für einen L Projektor ist das aber auch der Fall; der Apparat ist daher
nicht eindeutig bestimmt. Nach der vorhergehenden Untersuchung ist das nicht verwunderlich, denn wir wissen bereits, dass wir jede Messung durch komplexe Zahlen
charakterisieren müssen. Daher sollten 4 komplexe (bzw. 8 reelle) Zahlen zur Charakterisierung ausreichen.
Algebraisieren wir unser Schaltbild nach unseren bisherigen Regeln, wobei wir für den
Apparat einfach A schreiben, so erhalten wir für das gezeichnete Bild den Ausdruck
|HihH| A |HihH| .
(3.63)
Wir haben gesehen, dass falls für A bekannte Apparate eingesetzt werden, so resultiert
für hH| A |Hi stets eine komplexe Zahl. Wir versuchen daher, das für einen beliebigen
Apparat durchzuhalten: wir fordern, dass hH| A |Hi für jeden Apparat eine komplexe
Zahl sein soll, deren Betragsquadrat die Bedeutung einer Wahrscheinlichkeit hat. Algebraisieren wir die vier angedeuteten Messexperimente, so erhalten wir vier komplexe
Zahlen, die wir als 2 × 2–Matrix schreiben:
µ
¶
hH| A |Hi hH| A |V i
A(l|l) :=
(3.64)
hV | A |Hi hV | A |V i
46
3.4. Allgemeine Apparate bzw. Operatoren
Wir nennen diese Matrix eine Darstellung vom Apparat A in der H/V Basis. Eine
andere Darstellung erhält man, indem man die zwei linearen Analysatoren gegen andere austauscht. Durch solche Experimente kann man die Wirkung“eines beliebigen
”
Apparates A, also alle 4 komplexen Zahlen erhalten.
Schalten wir vor und nach dem Apparat A einen zirkularen Analysatorkreis erhalten
wir
µ
|Hi hH|Ri · hR| A |Ri · hR|Hi + hH|Li · hL| A |Ri · hR|Hi
¶
hH|Ri · hR| A |Li · hL|Hi + hH|Li · hL| A |Li · hL|Hi hH| .
(3.65)
Betrachten wir am Anfang und Ende wieder alle vier Möglichkeiten erhalten wir
A(l|l) = U (l|z) · A(z|z) · U (z|l) = U (l|z) · A(z|z) · U † (l|z) ,
(3.66)
dabei ist U die unitäre Matrix, die eine Basis in eine andere umwandelt. Damit kennen
wir den Zusammenhang zwischen den verschiedenen Darstellungen eines allgemeinen
Apparates.
Wir erkennen auch das falls wir A mit eiα , also einer belieben Phase multiplizieren,
diese aus allen Summanden als Faktor herausgehoben werden kann und fällt damit bei
der Bildung des Betragsquadrates —nur dieses ist messbar— wieder heraus. D.h. wir
brauchen nicht 8 reelle Zahlen, sondern nur 7 (vier Beträge, 3 Phasen) zur Bestimmung
eines allgemeinen Apparates.
Jetzt haben wir gelernt, wie wir im Formalismus jeden beliebigen Apparat durch
eine Matrix beschreiben können. Hier sei darauf hingewiesen, dass nicht jede Matrix
ein Messapparat ist. Welche mathematischen Einschränkungen an die Matrix gemacht
werden müssen, werden wir später noch genauer behandeln.
Ein Kriterium können wir leicht angeben: wir haben stets Apparate betrachtet, in
denen keine Objekte erzeugt werden. Für solche darf die Summe der Ausgangsintensitäten höchstens gleich der Eingangsintensität sein, d.h. es muss für ein vollständiges
System (|bi i) von Basiszuständen und irgendeinen Zustand, z.B. |a1 i)
X
|hbi |A|a1 i|2 ≤ 1
(3.67)
i
gelten. Die analoge Beziehung für Matrixelemente in einer Zeile
X
|ha1 |A|bi i|2 ≤ 1
i
ist ebenfalls erfüllt.
47
(3.68)
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
3.5
Das Observablenaxiom oder wie das Experiment mit der Theorie zusammenhängt
Wir haben bis jetzt sehr viel über Operatoren gesprochen und sehr wage darüber, wie
es mit der im Experiment beobachteten Größe, Observable, zusammenhängt. Das
Axiom, also eine nicht überprüfbare Feststellung, können wir so formulieren:
Das Observablenaxiom:
(1) Jede physikalische Observable A wird durch einen linearen
hermitischen Operator A in der Theorie dargestellt.
(2) Der Erwartungswert hAiψ von A im (normierten) Zustand ψ
ist durch
hAiψ = hψ| A |ψi = T r(A |ψihψ|)
(3.69)
gegeben. Die Hermitizität von A garantiert, dass der Erwartungswert reell ist.
Nach diesem Axiom muss man für jede physikalische beobachtbare Größe einen hermitischen Operator konstruieren können. Interessant ist die Frage, ob auch die Umkehrung
gilt. Das muss eindeutig verneint werden; nicht jeder hermitische Operator entspricht
einer Observablen. Es ist aber oft hilfreich die Menge aller hermitischen Operatoren zu
betrachten und dann später eventuell Superauswahlregeln“zu definieren.
”
Ein weiteres Grundprinzip der empirischen Wissenschaften ist, dass Messungen reproduzierbar sein müssen.
Wie wir bei der Diskussion von Spin 12 Teilchen sehen werden, sind die möglichen
Eigenwerte eines Operators die im Experiment gemessenen Werte. Weiters haben wir in
unseren Experimenten erkannt, dass falls sich das Teilchen schon in einem der möglichen
Eigenzustände befindet, dann ändert dies eine weitere Messung nicht. Allgemein können
wir dies so zusammenfassen:
48
3.5. Das Observablenaxiom oder wie das Experiment mit der Theorie
zusammenhängt
Messwerte:
(3) Durch Messung eines diskreten Messwertes der Observablen
A stellt man einen Eigenzustand |ai des zugehörigen Operators A her:
A |ai = a |ai .
(3.70)
Die möglichen Messwerte von der Observablen A sind also die
Eigenwerte vom Operator A.
Ein Spezialfall eines Messoperators ist der Projektor, den wir als ersten kennengelernt
haben. Diese Operatoren sind durch die Idempotenz, also
Pb1 · · · · · Pb1 = Pb1 · Pb1 = Pb1 ,
(3.71)
definiert. Die Eigenwertgleichung lautet daher
Pb1 · · · · · Pb1 |Eigenzustandi = Pb1 · Pb1 |Eigenzustandi = Pb1 |Eigenzustandi =
λ · · · · · λ|Eigenzustandi = λ2 |Eigenzustandi = λ|Eigenzustandi .
(3.72)
Die Lösungen dieser Eigenwertgleichung sind λ = 0 und λ = 1. Die Eigenvektoren
zum Projektor Pb1 = |b1 ihb1 | können wir daher gleich erraten
Pb1 |b1 i = 1 · |b1 i
Pb1 |b2 i = 0 · |b1 i ,
(3.73)
wobei |b2 i alle Zustandsvektoren sind, die orthogonal auf |b1 i sind. Die zum Projektionsoperator Pb1 gehörende Observable legt also fest, ob der Zustand |b1 i vorliegt oder
nicht, entspricht also der Frage ans Quantensystem: Bist Du im Zustand b1 oder
nicht?
Alle möglichen Werte eines Messoperators werden als Spektrum bezeichnet. Es stellt
sich heraus, dass jeder Operator in die so genannte Spektraldarstellung zerlegt werden
kann
X
X
A =
an |an ihan | =
an Pn
(3.74)
n
n
und das sogar eindeutig! Hierbei erfolgte die Summe über alle möglichen Messwerte.
Wir sehen also, dass wir einen beliebigen Operator immer in Projektoren zerlegen
können.
49
Kapitel 3. Wie soll man mit Quantenobjekten umgehen?
Insbesondere gilt also nicht:
A · A 6= A
X
X
X
X
(
an Pn ) · (
am Pm ) =
a2n Pn · Pn +
an am Pn · Pm
n
=
m
X
n
i.Allg.
a2n Pn 6= an Pn .
n6=m
(3.75)
n
50