5. Übung Logik und Logikprogrammierung Mit

TU Ilmenau, Fachgebiet Automaten und Logik
Prof. Dr. D. Kuske, M.Sc. C. Köcher
SS 2017
5. Übung Logik und Logikprogrammierung
Mit ∗ gekennzeichnete Aufgaben geben Bonuspunkte.
Abgabe : bis Montag, den 08.05.2017 um 15:00 Uhr am Lehrstuhl oder vor der Übung.
Geben Sie bitte Namen, Matrikelnummer und die Übungsgruppe an.
Aufgabe 1∗
(1+1+1 Punkte)
Leiten Sie mithilfe der Äquivalenzen auf Folie 124 die folgenden Äquivalenzen her!
(a) a → b ≡ ¬b → ¬a
(b) a ∨ (a ∧ b) ≡ a
(c) ¬a → ⊥ ≡ a
Aufgabe 2∗
(2+2 Punkte)
Sei G = (V, E) ein abzählbar unendlicher Graph. Ein Teilgraph von G ist ein Graph H = (U, T )
mit U ⊆ V und T ⊆ E. Wir sagen G ist 3-färbbar, wenn es eine Funktion f : V → {R, G, B}
gibt mit (u, v) ∈ E ⇒ f (u) 6= f (v) für alle u, v ∈ V .
(a) Konstruieren Sie eine Menge aussagenlogischer Formeln Γ, die genau dann erfüllbar ist,
wenn G 3-färbbar ist.
Hinweis: Verwenden Sie die atomaren Formeln {pv7→X | v ∈ V, X ∈ {R, G, B}} mit der
intendierten Bedeutung „der Knoten v hat die Farbe X“.
(b) Beweisen Sie mithilfe des Kompaktheissatzes der Aussagenlogik, dass ein abzählbarer
Graph genau dann 3-färbbar ist, wenn jeder endliche Teilgraph 3-färbbar ist.
Aufgabe 3∗
(2+2 Punkte)
Sei T = (V, E) ein endlich verzweigter Baum mit unendlich vielen Knoten.
(a) Geben Sie eine Menge aussagenlogischer Formeln ΓT so an, dass ΓT genau dann erfüllbar
ist, wenn T einen unendlichen Pfad von der Wurzel aus besitzt.
Hinweis: Verwenden Sie atomare Formeln {pv | v ∈ V }, wobei pv die intendierte Bedeutung „der Knoten v liegt auf einem unendlichen Pfad“ hat.
(b) Verwenden Sie den Kompaktheitssatz der Aussagenlogik um zu beweisen, dass T einen
unendlichen Pfad von der Wurzel aus besitzt.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass T beliebig lange endliche Pfade von der Wurzel aus
besitzt.
Bitte wenden!
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Aufgabe 4∗
(2+2 Punkte)
In einem Chemielabor stehen die Apparaturen zur Verfügung, um folgende chemische Reaktionen durchzuführen:
2H2 + O2 → 2H2 O
2Fe + 6HCl → 2FeCl3 + 3H2
CaCO3 → CaO + CO2
CaO + H2 O → Ca(HO)2
Ferner sind folgende Grundstoffe in ausreichender Menge vorhanden: Fe, O2 , HCl und CaCO3 .
(a) Geben Sie eine aussagenlogische Formalisierung für die oben beschriebenen Sachverhalte
an und beweisen Sie durch geeignete Anwendung des Markierungsalgorithmus für HornFormeln, dass es unter diesen Voraussetzungen möglich ist, Ca(HO)2 herzustellen.
(b) Konstruieren Sie aus dem Ablauf des Markierungsalgorithmus eine SLD-Resolution. Gehen
Sie dabei wie im Beweis von Lemma B auf Folie 168 vor.
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