¨Ubung zum Lehrerweiterbildungskurs `Stochastik` WiSe 2012/2013

Übung zum Lehrerweiterbildungskurs ’Stochastik’
WiSe 2012/2013 und SoSe 2013
Aufgabe 17 (Erwartungswert, Streuung)1
Das Medikament M heilt erfahrungsgemäß einen an Krankheit K leidenden
Patienten mit Wahrscheinlichkeit 0, 7.
1. Wie groß ist bei 10 Personen mit der Krankheit K der Erwartungswert
für die Anzahl der durch M heilbaren Patienten?
2. Berechnen Sie die Streuung der Zufallsvariablen X, die die Anzahl der
durch M heilbaren Patienten bei 10 Erkrankten beschreibt?
Lösungsskizze
1. Die Zufallsgrösse Xi habe den Wert 1, falls Person i mit i ∈ {1, 2, . . . , 10}
geheilt wird, sonst den Wert 0. Der gesuchte Erwartungswert ist dann
E(X1 + X2 + . . . + X10 ). Für diesen folgt aus der Linearität des Erwartungswerts:
E(X1 + X2 + . . . X10 ) = E(X1 ) + E(X2 ) + . . . + E(X10 ) = 10 · 0, 7 = 7.
Anmerkung Schneller gehts mit dem Satz über den Erwartungswert E
der Binomialverteilung mit Parametern n = 10 und p = 0, 7:
Es gilt E = np = 7.
2. Die im 1. Teil eingeführten Zufallsvariablen X1 , . . . , X10 können als
unabhängige Größen angesehen werden. Aus der Additivität der Varianz für Summen unabhängiger Zufallsvariablen und aus dem Verschiebungssatz erhält man
Var(X) = Var(X1 + . . . + X10 )
= Var(X1 ) + . . . Var(X10 )
10
X
=
[E(Xi2 ) − E(Xi )2 ]
1
= 10 · (0, 7 − 0, 72 ) = 10 · 0, 7 · 0, 3 = 2, 1.
Die Streuung ist damit
σ(X) =
p
Var(X) ≈ 1, 45.
Anmerkung Schneller gehts mit dem Satz über die Varianz σ der Binomialverteilung
p mit Parametern
√ n = 10 und p√= 0, 7:
Es gilt σ = np(1 − p) = 0, 7 · 0, 3 · 10 = 2, 1 ≈ 1, 45.
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nach Fillbrunn/Pahl: Statistik in der Schule Bd.I, p.266/269