Ferienkurs Experimentalphysik 1

Ferienkurs Experimentalphysik 1
Vorlesung 4
Gase und spezielle Relativitätstheorie
Ann-Kathrin Straub, Christoph Raab, Markus Perner
25.03.2010
1 Gase
1.1 Ideales Gas
Zu Beginn betrachten wir das ideale Gas (d.h. es werden gewisse Dinge in unserem
Modell eines Gases vereinfacht bzw. idealisiert) und passen dieses Modell später an die
Realität an. Wir machen dabei folgende Annahmen:
• Die Gasteilchen sind Massenpunkte, d.h. sie haben keine Ausdehnung, kein Volumen und kein Trägheitsmoment und besitzen somit ausschließlich die drei Freiheitsgrade der Translation.
• Es herrscht keine anziehende Wechselwirkung zwischen den einzelnen Gasmolekülen, d.h. diese können sich frei bewegen und es findet keine Kondensation statt.
• Es finden nur elastische Stöße der Moleküle untereinander und mit den Wänden
des Behälters statt.
• Die kinetische Energie ist deutlich größer als die potentielle Energie (bei einer
eventuellen äußeren Kraft)
Da die Dichte % in Gasen sehr viel kleiner ist als in Flüssigkeiten oder Festkörpern,
nehmen Gase das komplette ihnen zur Verfügung stehende Volumen ein. Neben der
Dichte gibt es noch andere Variablen, sog. Zustandsgrößen, welche den Zustand des
Gases vollständig charakterisieren. Diese sind im Wesentlichen die Temperatur T in
Kelvin, die Teilchenzahl N , der Druck p und das Volumen V .
1.2 Die ideale Gasgleichung
Experimentell findet man zwischen den Zustandsgrößen folgende Zusammenhänge:
a) Gesetz von Boyle und Mariotte (T = const., N = const.):
pV = const.
b) Gesetz von Gay-Lussac (p = const., N = const.):
V /T = const.
c) Gesetz von Amontons (V = const., N = const.):
p/T = const.
d) Außerdem findet man für V = const., T = const.:
p∝N
1
Aus a-c) folgt für ein Gas mit konstanter Teilchenzahl N
pV
= const.
T
und mit d) bei variabler Teilchenzahl N
pV
= N kB
T
mit dem Proportionalitätsfaktor kB = 1.38 · 10−23 JK−1 die als Boltzmann-Konstante
bekannt ist. Man erhält letztendlich die Zustandsgleichung für ideale Gase
pV = N kB T = nRT
(1)
mit der Gaskonstante R = 8.31 Jmol−1 K−1 und der Stoffmenge n = N/NA mit der
Avogadro-Konstante NA = 6.02 · 1023 mol−1 .
1.3 Kompressibilität
Eine Eigenschaft des idealen Gases ist die sog. Kompressibilität κ. Die Kompressibilität gibt an um welchen Bruchteil sich das Volumen des Gases verringert, wenn man den
Druck erhöht (und umgekehrt). Sie ist gegeben durch
κ=−
1 ∂V
V ∂p
(2)
und besitzt die Einheit m2 N−1 . Das Minuszeichen steht davor, damit die Kompressibilität
beim normalen Verhalten von Gasen immer positiv ist (eine Druckerhöhung soll eine
Verkleinerung des Volumens bewirken). Für eine konstante Temperatur lässt sich diese
Gleichung vereinfacht als
κ = 1/p
(3)
schreiben. Ein Gas lässt sich also desto leichter komprimieren, je kleiner sein Druck ist.
1.4 Barometrische Höhenformel
Betrachtet man eine infinitesimal dünne Luftschicht mit der Dicke dz und Fläche A,
dann hat diese die Masse
dm = %dV = %Adz.
2
Diese infinitesimale Luftschicht erzeugt einen durch die Schwerkraft bedingten Druck
dp =
dFg
dmg
=−
= −%gdz.
A
A
Aus dem Gesetz von Boyle und Mariotte und der Definition der Dichte ergibt sich, dass
der Druck eines Gases proportional zur Dichte ist
pV =
pm
p
p0
%0
= const. ⇒
=
= const. ⇒ % = p.
%
%
%0
p0
Setzt man diesen Ausdruck in die Gleichung darüber für % ein, so erhält man
%0
dp
= − gdz ⇒
p
p0
ˆp
dp0
%0
= −g
0
p
p0
ˆz
dz 0 .
0
p0
Löst man diese separierbare DGL unter der Bedingung, dass auf Höhe z = 0 der Druck
p0 herrsche, so erhält man die barometrische Höhenformel
p(z) = p0 e−gz%0 /p0
(4)
die den Luftdruck abhängig von der Höhe beschreibt. Dabei ist das Verhältnis %0 /p0
temperaturabhängig. Die Barometrische Höhenformel gilt bis zu einer Höhe von etwa 10
km. Ab dieser Höhe führt der Einfluss der Temperatur zu Abweichungen.
1.5 Kinetische Gastheorie
Die mittlere kinetische Energie von Gasmolekülen, die sich in einem endlichen Volumen V befinden, ergibt sich mit Hilfe der idealen Gasgleichung zu
Ekin =
m 2 3
v = kB T.
2
2
(5)
Dabei gilt der Gleichverteilungssatz, der besagt, dass sich bei einem Gas, das genügend lange bei einer konstanten Temperatur gehalten wird, die Energie der einzelnen
Atome/Moleküle durch Stöße gleichmäßig auf alle Freiheitsgrade f verteilt, so dass im
Mittel jedes Teilchen die Energie
Ekin =
f
kB T
2
besitzt, wobei f die Zahl der ihm zur Verfügung stehenden Freiheitsgrade ist.
3
In der kinetischen Gastheorie spielen Wahrscheinlichkeitsdichten bzw. Verteilungsfunktionen eine große Rolle. Eine Verteilungsfunktion f (u) gibt an, wie die Größe u
unter den Teilchen verteilt ist, sie ist also die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Größe u
in einem System.
Nehmen wir als Beispiel die Geschwindigkeit: Das System sei ein Gas, also ein Volumen
mit vielen Teilchen. Dann haben die Teilchen nicht alle genau die gleiche Geschwindigkeit
(sonst würde sich das Gasvolumen als Ganzes bewegen wie z.B. beim Wind) und manche
Geschwindigkeiten treten häufiger auf als andere. Die Verteilungsfunktion f (v) gibt nun
an welche Geschwindigkeiten häufig auftreten und welche selten. Desweiteren ist f (v)dv
die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen zu finden, dessen Geschwindigkeitsbetrag v sich
im Intervall [v, v + dv] befindet. Will man ein größeres (nicht infinitesimales) Intervall
[v1 , v2 ] betrachten, so ist die Wahrscheinlichkeit P ein Teilchen mit einer Geschwindigkeit
v1 ≤ v ≤ v2 zu finden, über das Integral
ˆv2
P (v1 ≤ v ≤ v2 ) =
dv f (v)
v1
gegeben.
Bemerkungen:
i) Es lässt sich keine Wahrscheinlichkeit dafür angeben, dass ein Teilchen in einem
System eine bestimmte Geschwindigkeit hat bzw. diese Wahrscheinlichkeit wäre
dann Null.
ii) Die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen mit irgendeiner Geschwindigkeit zu finden
muss Eins betragen (sog. Normierung), also
ˆ∞
dv f (v) = 1.
0
Im Allgemeinen (also wenn man keine Beträge sondern z.B. die Komponenten der
Geschwindigkeit betrachtet) sind natürlich auch negative Werte zulässig.
Eine wichtige Verteilungsfunktion in der kinetischen Gastheorie ist die Verteilung der
Teilchengeschwindigkeiten in einem idealen Gas. Für eine Komponente i = x, y, z
lautet sie
r
f (vi ) =
m
mvi2 /2
exp −
.
2πkB T
kB T
(6)
Da die Geschwindigkeitskomponenten voneinander unabhängig sind, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, eine Geschwindigkeit im Intervall [v, v+dv] zu finden, einfach das Produkt
der Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Komponenten und damit die Verteilungsfunk-
4
tion für den Geschwindigkeitsvektor v gleich dem Produkt der Verteilungsfunktion der
Geschwindigkeitskomponenten vx , vy und vz
f (v) =
m
2πkB T
3/2
mv2 /2
exp −
kB T
.
Um nun die Verteilungsfunktion für den Geschwindigkeitsbetrag zu erhalten, integriert
man obige Gleichung zuerst über den gesamten Raum in Kugelkoordinaten
˚
ˆ2π
dvx dvy dvz f (vx , vy , vz ) =
ˆπ
dϑ sin ϑ
dϕ
|0
ˆ∞
0
{z
=4π
}0
dv v 2 f (|v|, ϕ, ϑ) .
{z
}
|
=:f (v)
Da uns die Richtung der Geschwindigkeit nicht interessiert sondern nur deren Betrag,
können wir die Integration über alle Richtungen direkt ausführen. Multipliziert mit der
Teilchendichte n, also der Anzahl an Teilchen pro Volumen in dem Gas, erhält man
eine Verteilungsfunktion n(v) für die Teilchendichte in der Geschwindigkeit. Genauer
gesagt gibt n(v)dv an, wieviele Teilchen pro Volumeneinheit sich in dem Gas mit einer
Geschwindigkeit zwischen v und v+dv bewegen. Dies ist die Maxwell-Boltzmannsche
Geschwindigkeitsverteilung
r 3/2
2
m
mv 2 /2
2
n(v)dv =
nv exp −
.
π kB T
kB T
(7)
Es gilt f (v) = n(v)/n. Das Maximum dieser Verteilung liegt bei der wahrscheinlichsten
Geschwindigkeit
r
2kB T
vw =
.
(8)
m
Immer wenn man den Mittel- oder Erwartungswert A ≡ hAi einer Größe A(v) (die
von v abhängig sein kann oder nicht) berechnen will, multipliziert man diese Größe
mit der Verteilungsfunktion f (v) und integriert über alle möglichen Werte von v (beim
Betrag also von 0 bis ∞, bei einer Komponente von −∞ bis ∞). Die mittlere Geschwindigkeit ist also demnach
ˆ∞
v=
0
r 3/2 ˆ∞
r
2
2
m
mv
/2
8kB T
2
dv vf (v) =
dv v 3 exp −
=
= √ vw . (9)
π kB T
kB T
πm
π
0
wobei das Integral durch partielle Integration gelöst wurde.
5
Durch z.B. zweimalige partielle Integration lässt sich auch noch das mittlere Geschwindigkeitsquadrat
v2 =
3kB T
3
= vw2 .
m
2
(10)
berechnen. Dieses Ergebnis
haben wir bereits in Gl. (??) verwendet. Man beachte, dass
p
2
v 2 6= v und somit v 2 6= v (man kann leicht zeigen, dass v 2 = v 2 · 3π/8 gilt).
Mit diesem Ergebnis lässt sich außerdem die mittlere freie Weglänge
Λ=
1
nσ
(11)
herleiten, wobei σ der sog. Stoßquerschnitt ist. Sie gibt die Strecke an, die ein Teilchen
im Mittel durchläuft bevor es mit einem anderen Teilchen zusammenstößt. Die mittlere
Zeit zwischen zwei Stößen ist dann durch
τ=
Λ
1
p
=
v
nσ 2v 2
gegeben, wobei bei einer
p Bewegung von beiden Teilchen v durch die mittlere Relativgeschwindigkeit ∆v = 2v 2 ersetzt werden muss.
(Mathematica Applets: http://bit.ly/9nmnOK, http://bit.ly/bl1vLo, http://bit.ly/bI18Rh)
6
2 Spezielle Relativitätstheorie
2.1 Hintergrund
Im Jahre 1881 wurde in einem Experiment von Michelson und Morley gezeigt, dass sich
Licht für Beobachter in der gleichen Geschwindigkeit ausbreitet, welche unterschiedliche
Geschwindigkeiten relativ zueinander haben. Motiviert von drei Postulaten entwickelte
Einstein die spezielle Relativitätstheorie:
1. Die Lichtgeschwindigkeit c ≈ 3.0 · 108 m/s ist in allen Inertialsystemen die Selbe.
2. Keine Geschwindigkeit wird größer als die Lichtgeschwindigkeit sein.
3. Kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet. Alle Naturgesetze
haben in jedem Inertialsystem die gleiche Form. Dieses Relativitätsprinzip kennt
man bereits von Galilei.
Würde die Galilei-Transformation beliebig weit anwendbar sein, hieße dass, dass das
Licht von einer Lichtquelle, welche sich relativ zum Beobachter mit der Geschwindigkeit
u bewegt, diesen mit einer Geschwindigkeit
c0 = c ± u
erreicht. Dies widerspricht dem Experiment. Ebenso würde man durch Addition von Geschwindigkeiten < c durch die Betrachtung aus relativ zueinander bewegten Bezugssystemen eine Geschwindigkeit erhalten, welche in einem günstig gewähltem Bezugssystem
> c ist. Die Galilei-Transformation von Koordinaten zwischen Inertialsystemen kann für
große Geschwindigkeiten also nicht mehr funktionieren.
Bereits bekannt war die Lorentz-Transformation als Transformation zwischen Lösungen der Maxwell-Gleichungen, den elektromagnetishcen Wellen. Fordert man nun, dass
die Elektrodynamik in allen Inertialsystemen die Gleiche ist, erhält man die LorentzTransformation als Zusammenhang der Koordinaten von verschiedenen Inertialsystemen. Behandelt man Licht als elektromagnetische Welle (anstatt z.B. als Welle in einem
Medium namens Äther), sieht man dass die Lorentz-Transformation mit den Postulaten
vereinbar ist.
2.2 Lorentz-Transformation
Die Lorentz-Transformation wirkt, anders als die Galilei-Transformation, nicht nur zwischen drei Ortskoordinaten, sondern zwischen Ortskoordinaten und der Zeit. Man hat
also eine Abbildung
(t; x, y, z) → (t0 ; x0 , y 0 , z 0 ).
Sie transformiert einen Ort und eine Zeit (ein Ereignis) von einem Bezugssystem K in
ein anderes K 0 , welches sich gleichmäßig dazu mit einer Geschwindigkeit v bewegt und
7
zum Zeitpunkt t0 = 0 den selben Ursprung wie K hat. Der Einfachheit halber legen wir
die Geschwindigkeit v in x-Richtung. Die Lorentz-Transformation ist dann
t
0
=
x0 =
y0 =
z0 =
v γ t − 2x
c
γ(x − vt)
y
z.
(12)
(13)
(14)
(15)
Dabei wurde der Faktor γ definiert als
1
γ=q
1−
,
(16)
v2
c2
wobei immer γ > 1 gilt, da v 2 < c2 .
Sucht man eine Gleichung, welche ungestrichene Größen abhängig von gestrichenen ausdrückt, muss man nur das Relativitätsprinzip bemühen und in den obigen Formeln v
durch −v ersetzen.
Die Lorentz-Transformation ist eine lineare Abbildung, d.h. Summen von Zeit- und
Ortskoordinaten haben als Lorentz-Transformation die Summe ihrer einzelnen LorentzTransformationen
!
X
X
LT
(ti , ri ) =
LT ((ti , ri )) .
i
i
2.3 Zeitdilatation
Eine Uhr schlägt einmal bei t1 = 0 und einmal bei t2 = t und bleibt dabei am selben
Ort x = 0. Ein mit v vorbeifliegender Beobachter sieht den ersten Tick bei
(t01 , x01 ) = (0, 0)
und den zweiten Tick bei
(t02 , x02 ) = (γt, −γvt).
Er misst also eine um den Faktor γ längere Zeit
t0 = γt.
8
(17)
Dieses Phänomen nennt man die Zeitdilatation. Gemäß des Relativitätsprinzips erhält man die selbe Streckung wenn man eine Uhr betrachtet, welche am Beobachter
vorbeifliegt.
2.4 Längenkontraktion
Ein Stab befindet sich auf der x-Achse im Bezugssystem K 0 , welches sich mit v gegenüber
dem Bezugssystem K bewegt und in diesem die Länge l hat. Das hintere Ende befindet
sich zum Zeitpunkt t0 = 0 gerade im Ursprung x0 = 0. In K beobachtet man zum
Zeitpunkt t = 0 beide Enden des sich bewegenden Stabes. Der Lorentz-Transformation
zufolge ist das hintere bei x = 0, das vordere ist etwas komplizierter. Da man dieses
Ende auch zur Zeit t = 0 betrachtet, sieht man es nicht nur an einem anderen Ort,
sondern auch an einer anderen Zeit als das andere Ende.
x = γ(x0 + vt0 ) = γ(l + vt0 )
t = 0
v v = γ t0 + 2 x0 = γ t0 + 2 l
c
c
v
0
t = − 2l
c
v x = γ l − v 2l
c
1
l
= γ 2l = .
γ
γ
Der Stab hat also im anderen Koordinatensystem eine kontrahierte Länge
l0 =
l
γ
(18)
Dieses Phänomen nennt man Längenkontraktion. Das Relativitätsprinzip ist zu beachten: Ebenso werden Gegenstände im System K aus der Sicht des fliegenden Stabes
in Flugrichtung verkürzt!
2.5 Addition von Geschwindigkeiten
Eine Geschwindigkeit wird beobachtet, wenn sich ein Körper in der Zeit dt um die
Strecke dr fortbewegt. Beobachtet man nun eine Geschwindigkeit in einem bewegten
Bezugssystem, kann man diese mit ihrem Äquivalent im unbewegten System über die
Produkte der entsprechenden Differentiale und die Lorentz-Transformation verknüpfen.
Dieser Zusammenhang entspricht der einfachen Geschwindigkeitsaddition der Galilei-
9
Transformation. Für Geschwindigkeiten in x-Richtung (unserer Richtung von v) gilt
u0x =
dx0
dx0 dt
=
dt0
dt dt0
Setzt man die die Lorentz-Transformation in die beiden Ableitungen ein, erhält man
d
d v γ(x − vt) · 0 γ t0 + 2 x0
dt c
dt
0
v
dx
dx
−v
1+ 2 0 .
= γ2
dt
c dt
u0x =
u0x
Nach etwas Umformen ergibt dies
u0x =
ux − v
.
x
1 − vu
2
c
(19)
Für Geschwindigkeiten in einer Richtung senkrecht zu v ist die Rechnung etwas einfacher.
Exemplarisch wird sie hier für y durchgeführt (dy = dy 0 ).
dy dt
dy 0
=
0
dt dt dt0 v dx0
= uy γ 1 + 2 0
c dt
u0y =
u0y
Setzt man das obige Ergebnis für dx0 /dt0 = u0x wieder hier ein, erhält man (nach etwas
Rechnung, welche für den interessierten Leser leicht nachzuprüfen ist)
u0y =
uy
.
x
γ 1 − vu
c2
(20)
Um Ausdrücke zu erhalten, welche die ungestrichenen Größen abhängig von gestrichenen ausdrücken, kann man entweder die ganze Rechnung noch einmal durchführen oder
einfach in den Ergebnissen v durch −v ersetzen.
2.6 Minkowski-Raum
Man betrachtet einen Raum von Ereignissen, Vektoren aus Ort und Zeit (ct, r) um
sich relativistische Zusammenhänge zu verdeutlichen. Da vier Dimensionen schlecht auf
Papier zu zeichnen sind, betrachtet man zur Demonstration gerne den MinkowskiRaum mit nur einer Ortskoordinate. Ein Diagramm, dass den Ort x und die Zeit ct
gegeneinander aufträgt, heißt Minkowski-Diagramm. Trägt man in ein Diagramm die
Koordinatenachsen zweier Bezugssysteme ein, sieht man, dass die Achsen ct0 und x0 des
10
relativ zu K mit v bewegten K 0 sich symmetrisch auf die Winkelhalbierende zu drehen
falls v positiv, und davon weg wenn v negativ ist. Der Winkel, um den dies geschieht ist
tan α =
v
c
Zu beachten ist, dass dabei auch die Achsen selbst gestreckt werden! Die Winkelhalbierende ist die Menge der Ereignisse, für die x = ct gilt. Sie wird in jedem Bezugssystem
auf sich selbst abgebildet. Es gibt im Minkowski-Raum eine Art, den Äbstandßwischen
zwei Ereignissen zu messen, welche bei Lorentz-Transformationen unverändert bleibt.
Sind die Ereignisse x1 = (t1 , r1 ) und x2 = (t2 , r2 ) gegeben, so ist die Lorentznorm
|∆x| = |x1 − x2 | = (c∆t)2 − ∆r 2 .
(21)
Das Minus ist der springende Punkt des Ganzen!
Anhand dieser Norm kann man drei verschiedene Verhältnisse von Ereignissen (t1 , x1 ),
(t2 , x2 ) und (t, x) = (t1 − t2 , x1 − x2 ) festlegen:
• Zeitartig getrennt heißen Ereignisse, für
die (ct)2 − x2 > 0 gilt. Das Frühere dieser Ereignisse kann das Spätere beeinflussen,
und dieser Kausalitätszusammenhang bleibt
auch unter Lorentz-Transformation erhalten.
Es existiert eine Lorentz-Transformation (für
eine bestimmte Geschwindigkeit v), welche
die Ereignisse auf den gleichen Ort abbildet. In einem Minkowski-Diagramm mit einem Ereignis im Usprung liegt das andere
entweder im Zukunfts- oder im Vergangenheitskegel.
• Ortsartig getrennt heißen Ereignisse, für
die (ct)2 − x2 < 0 gilt. Da jede Information sich höchstens mit der Geschwindigkeit c fortbewegt, sind diese Ereignisse zu
weit auseinander, um einander beeinflussen zu können. Es existiert eine LorentzTransformation, unter der diese Ereignisse den gleichen Zeitpunkt einnehmen. Sie
sind also im verallgemeinerten Sinne gleichzeitig.
• Lichtartig getrennte Ereignisse zeichnen sie schließlich durch x2 = (ct)2 aus. Im
Minkowski-Diagramm liegen sie gerade auf der Winkelhalbierenden. Lichtartige
Ereignisse werden wieder in lichtartige Ereignisse abgebildet.
(Mathematica Applets: http://bit.ly/b8XP3V, http://bit.ly/d8FmiK)
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