4.¨Ubung Liealgebren - TU Darmstadt/Mathematik

Fachbereich Mathematik
AG 5 Funktionalanalysis
Dr. Helge Glöckner
SS 2004
4. Übung Liealgebren
A
TECHNISCHE
UNIVERSIT ÄT
DARMSTADT
18. Mai 2004
Aufgabe G11 (so(3, K) ist einfach).
(a) Nach Aufgabe H6 (b) ist K3 mit dem Vektorprodukt eine zu so(3, K) isomorphe Liealgebra.
Zeige, dass (K3 , ×) (und somit auch so(3, K)) eine perfekte Liealgebra ist.
(b) Folgere, dass so(3, K) eine einfache Liealgebra ist.
Aufgabe G12 (gl(2, K) ist reduktiv).
(a) Bestimme das Zentrum der Liealgebra gl(2, K).
(b) Zeige, dass gl(2, K) eine reduktive Liealgebra ist, falls char(K) 6= 2.
Aufgabe G13 (sl(2, C) ∼
= so(3, C)).
(a) Zeige, dass der Homomorphismus von Liealgebren ad : sl(2, C) → gl(sl(2, C)) injektiv ist.
Ist g := im(ad) sein Bild, so ist also die Ko-Einschränkung φ := ad|g : sl(2, C) → g ein
Isomorphismus von Liealgebren.
(b) Zeige, dass β : sl(2, C) × sl(2, C) → C, β(u, v) := tr(ad(u) ◦ ad(v)) eine symmetrische
bilineare Abbildung ist. Zeige, dass g ⊆ o(sl(2, C), β).
(c) Die folgenden Matrizen bilden eine Basis von sl(2, C):
x :=
0 1
,
0 0
y :=
0 0
,
1 0
h :=
1 0 .
0 −1
Bestimme die Matrizen von ad(x), ad(y), ad(h) ∈ End(sl(2, C)) bzgl. der Basis x, y, h.
(d) Bestimme die Matrix von β bzgl. der Basis x, y, h von sl(2, C).
(e) Unter Benutzung der Ergebnisse aus (d) finde die Matrix von β bzgl. der Basis:
√
√
√
2
2
2
(x − y) ;
v3 :=
h.
(x + y) ;
v2 := i
v1 :=
4
4
4
Schließe, dass o(sl(2, C), β) ∼
= so(3, C) und g = o(sl(2, C), β), somit sl(2, C) ∼
=g∼
= so(3, C).
Warnung: sl(2, R) und so(3, R) sind nicht isomorph !
Aufgabe G14 (Multiplikative Jordan-Zerlegung).
A ∈ M (n, K) heißt unipotent, falls A − 1 nilpotent ist, also A = 1 + N mit N nilpotent.
(a) Zeige, dass jede unipotente Matrix invertierbar ist. [Geometrische Reihe ! ]
(b) Nun sei K = C oder K = R. Zeige: Zu jeder Matrix A ∈ GL(n, K) existiert genau ein Paar
einer unipotenten Matrix Au ∈ GL(n, K) und einer halbeinfachen Matrix As ∈ GL(n, K)
derart, dass A = Au As = As Au . Diese Zerlegung heißt multiplikative Jordan-Zerlegung.
[Hinweis: Die multiplikative Zerlegung lässt sich aus der additiven gewinnen und umgekehrt ! ]
Wer mit den Quaternionen vertraut ist, sollte die folgende Aufgabe (bzw. bekannte Teile) nur überfliegen.
Aufgabe H18 (Allgemeinbildung: Die Hamiltonschen Quaternionen).
n
o
a b
(a) Zeige, dass H :=
:
a,
b
∈
C
eine Unteralgebra der assoziativen Algebra M (2, C)
−b̄ ā
ist, betrachtet als Algebra über R.
a b
(b) Berechne die Determinante von A = −b̄ ā ∈ H. Zeige, dass A eine invertierbare Matrix
ist, falls A 6= 0 und zeige, dass A−1 ∈ H. [Also ist H eine reelle Divisionsalgebra. ]
(c) Mache Dir klar, dass die folgenden Matrizen eine Basis des reellen Vektorraums H bilden:
1 0
i 0 0 1
0 i 1 :=
, i :=
, j :=
, k :=
.
0 1
0 −i
−1 0
i 0
Diese Matrizen erfüllen i2 = j2 = k2 = −1 sowie ij = k, jk = i und ki = j.
(d) Zeige, dass A∗ := A
T
∈ H für A ∈ H. Zeige, dass (r1 + ui + vj + wk)∗ = r1 − ui − vj − wk.
(e) Wir identifizieren nun R mit R1. Zeige, dass qq ∗ = r2 +u2 +v 2 +w2 für q = r1+ui+vj+wk
√
mit r, u, v, w ∈ R. Wir setzen |q| := qq ∗ (das ist also die Euklidische Norm auf H ∼
= R4
2
bzgl. der Basis 1, i, j, k). Zeige, dass |q| = det(q) (siehe (b) !) und schließe, dass |pq| = |p|·|q|
für alle p, q ∈ H. Also hat |.| auf H die vom Betrag reeller Zahlen vertrauten Eigenschaften.
Aufgabe H19 (so(4, R) ∼
= so(3, R) ⊕ so(3, R)).
(a) Nach Aufgabe H6 (b) ist R3 mit dem Vektorprodukt eine zu so(3, R) isomorphe Liealgebra.
Zeige, dass
φ : R3 → HL , φ(x, y, z) := 12 (xi + yj + zk)
ein injektiver Homomorphismus von Liealgebren ist, mit Bild Ri + Rj + Rk. Also ist s :=
Ri + Rj + Rk eine zu so(3, R) isomorphe Unter-Liealgebra von HL (und somit einfach).
(b) Es sei A eine assoziative Algebra mit 1. Zeige, dass die folgenden Abbildungen injektive
Homomorphismen von Liealgebren sind:
λ : AL → gl(A),
x 7→ Lx
mit Lx (z) := x · z und
ρ : AL → gl(A),
x 7→ −Rx
mit Rx (z) := z · x.
Zeige, dass [λ(A), ρ(A)] = {0}.
(c) Wählen wir A := H in (b), so erhalten wir Homomorphismen λ, ρ : HL → gl(H) mit
[λ(H), ρ(H)] = {0}. Zeige, dass λ(s) ∩ ρ(s) = {0} und folgere, dass
λ(s) + ρ(s) ∼
= s⊕s ∼
= so(3, R) ⊕ so(3, R) als Liealgebra.
(d) Es sei Re(r + ui + vj + wk) := r für r, u, v, w ∈ R. Zeige: β : H × H → R, β(x, y) := Re(xy ∗ )
ist ein Skalarprodukt auf dem R-Vektorraum H und 1, i, j, k eine Orthonormalbasis bzgl.
β. Somit o(H, β) ∼
= o(4, R) = so(4, R).
(e) Zeige, dass ρ(s), λ(s) ⊆ o(H, β) (benutze Re(pq) = Re(qp)). Schließe, dass λ(s) + ρ(s) =
o(H, β) und folgere, dass so(4, R) ∼
= so(3, R) ⊕ so(3, R). Ist so(4, R) halbeinfach ?
Aufgabe H20 (so(4, C) ∼
= so(3, C) ⊕ so(3, C)).
Zeige, dass so(n, R) eine reelle Form von so(n, C) ist. Aus so(4, R) ∼
= so(3, R) ⊕ so(3, R) folgt
∼
daher so(4, C) = so(3, C) ⊕ so(3, C). Begründe dies.
Aufgabe H21 (Zum Beweis von Satz II.3.7).
Es sei A eine Algebra über K, D ∈ der(A) und λ, µ ∈ K. Zeige, dass für alle n ∈ N und a, b ∈ A
n X
n
n
(D − (λ + µ)1) .(a · b) =
(D − λ1)k (a) · (D − µ1)n−k (b) .
k
k=0