Inhaltsverzeichnis - Fakultät für Mathematik und Informatik

INHALTSVERZEICHNIS
i
Inhaltsverzeichnis
I
Collegium Logicum
1
Die Aussagenlogik
1.1 Syntax der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Definition der aussagenlogischen Formeln . . . . . . .
1.1.2 Induktion und Rekursion . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Beweis durch Induktion über den Formelaufbau . . . .
1.1.4 Definition durch Rekursion über den Formelaufbau . .
1.2 Semantik der Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Wahrheitsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Interpretation von aussagenlogischen Formeln . . . . .
1.2.3 Definition der wichtigsten semantischen Begriffe . . .
1.2.4 Einige wichtige allgemeingültige Formeln . . . . . . .
1.2.5 Einige wichtige Äquivalenzen . . . . . . . . . . . . .
1.2.6 Boolesche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.7 Einsetzungsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.8 Ersetzungsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Entscheidungsverfahren für Boolesche Normalformen
1.3.2 Boolescher Repräsentationssatz . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Das Dualitätsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Der semantische Folgerungsbegriff: Erfüllbarkeit . . . . . . .
1.4.1 Zusammenhang zwischen Folgerung und Erfüllbarkeit
1.5 Der syntaktische Folgerungsbegriff: Beweisbarkeit . . . . . .
1.5.1 Axiomensysteme und Beweise . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Korrektheit und Vollständigkeit . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Einige Axiomensysteme der Aussagenlogik . . . . . .
1.6 Vollständigkeit und Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
1.6.1
1.6.2
1.6.3
1.6.4
1.6.5
1.6.6
1.6.7
1.6.8
1.6.9
2
3
ii
Verallgemeinerte Expansion . . . . . . . . . . . . . .
Lemma über die Negation . . . . . . . . . . . . . . .
Tautologiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Deduktionstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Widerspruchsfreiheit und Vollständigkeit von Theorien
Lemma über Beweisbarkeit und Konsistenz . . . . . .
Vervollständigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verallgemeinerter Vollständigkeitssatz . . . . . . . . .
Kompaktheitssatz der Aussagenlogik . . . . . . . . .
Strukturen und formale Sprachen
2.1 Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Mehrsortige Strukturen . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Symbole für formale Sprachen . . . . . . . . .
2.2 Unterstrukturen und Morphismen . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Satz über Unterstrukturen . . . . . . . . . . .
2.2.3 Homomorphes Bild, Identifizierung . . . . . .
2.3 Terme einer Sprache . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Interpretation von Termen . . . . . . . . . . .
2.3.2 Spracherweiterung durch Namen . . . . . . . .
2.3.3 Erzeugte Unterstrukturen . . . . . . . . . . . .
2.4 Formeln einer Sprache . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Beweis durch Induktion über den Formelaufbau
2.4.2 Freie und gebundene Variable . . . . . . . . .
2.4.3 Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modelle und Theorien
3.1 Das Wahrheitsprädikat: Modelle . . . . . . . . . .
3.1.1 Satz über neue Konstanten . . . . . . . . .
3.2 Axiome und Theorien . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Der Kompaktheitssatz und einige Folgerungen . . .
3.3.1 Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Satz über die Existenz unendlicher Modelle
3.4 Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Diagrammlemma . . . . . . . . . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
3.5
4
3.4.2 Universelle Theorien . . . . . . . . . . .
3.4.3 Modellerweiterungssatz von Keisler . . .
3.4.4 Erhaltungssatz für universelle Formeln .
3.4.5 Satz von Łoś-Tarski . . . . . . . . . . .
Einige mathematische Theorien . . . . . . . . .
3.5.1 Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Gruppen- und Körpertheorie . . . . . . .
3.5.3 Axiomatisierbarkeit: Elementare Klassen
3.5.4 Zahlentheorie . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.5 Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . .
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Gesetze der Prädikatenlogik
4.1 Ein Axiomensystem für die Prädikatenlogik . . . . . . . . . .
4.1.1 Axiomensystem von Shoenfield . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Definition eines Beweises . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Der Tautologiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Substitution und universeller Abschluß . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Hintere Generalisierung . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Satz über die Generalisierung . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Substitutionssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.5 Abschlußsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Ersetzung und Umbenennung, Gleichheit . . . . . . . . . . .
4.4.1 Ersetzungstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Eigenschaften des Gleichheitsprädikates . . . . . . . .
4.5 Pränexe Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Umformungen mit der Negation . . . . . . . . . . . .
4.5.2 Umformungen mit Konjunktion und Disjunktion . . .
4.5.3 Umformungen mit der Implikation . . . . . . . . . . .
4.5.4 Das Dualitätsprinzip für die Prädikatenlogik . . . . . .
4.6 Das Deduktionstheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Erweiterungen von Theorien, Widerspruchsfreiheit . . . . . .
4.7.1 Erweiterungen und Expansionen . . . . . . . . . . . .
4.7.2 Satz über rein sprachliche Erweiterungen von Theorien
4.7.3 Widerspruchsfrei/widerspruchsvoll . . . . . . . . . .
4.7.4 Beweisbarkeit und Widerspruchsfreiheit . . . . . . . .
4.8 Termmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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iv
4.8.1 Kanonische Struktur einer Theorie, Termstruktur . . . . .
4.8.2 Satz über Termmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Vervollständigung von Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9.1 Satz von Lindenbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Henkin-Theorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11 Der Gödelsche Vollständigkeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11.1 Vollständigkeit der Prädikatenlogik / Modellexistenz-Satz
4.11.2 Satz von Löwenheim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11.3 Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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II Mengenlehre
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Grundlagen der Mengenlehre
5.1 Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Ordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Definition der Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Satz: Charakterisierung von Ordinalzahlen . . . . .
5.1.4 Die Ordnung der Ordinalzahlen . . . . . . . . . . .
5.2 Mengen und Klassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Komprehensionsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Auswege aus den Antinomien . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Die mengentheoretische Sprache mit Klassentermen
5.2.4 Überblick über verschiedene Axiomensysteme . . .
5.3 Extensionalität und Aussonderung . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Relationen und Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Vereinigung und Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Vereinigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Potenzmenge und allgemeines Produkt . . . . . . .
5.6 Überblick über die ZF-Axiome . . . . . . . . . . . . . . . .
Mengen von Mengen von . . .
6.1 Induktion und Rekursion . . . . . . . . . . .
6.1.1 Ordnungen auf Klassen . . . . . . . .
6.1.2 Minimumsprinzip . . . . . . . . . . .
6.1.3 Induktionsprinzip für Wohlordnungen
6.1.4 Segmente . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.5 Rekursionssatz für Wohlordnungen .
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INHALTSVERZEICHNIS
6.2
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III
9
v
6.1.6 Repräsentationssatz für Wohlordnungen . .
6.1.7 Transfinite Rekursion . . . . . . . . . . . .
Die von-Neumannsche Hierarchie . . . . . . . . .
Die Rolle des Unendlichkeitsaxioms . . . . . . . .
6.3.1 PA in mengentheoretischer Sprache . . . .
6.3.2 Die Theorie der endlichen Mengen . . . . .
6.3.3 Anwendungen der numerischen Rekursion
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Das Auswahlaxiom
7.1 Zermelos Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Mengentheoretisch äquivalente Formen . . . . .
7.1.2 Der Zermelosche Wohlordnungssatz . . . . . . .
7.1.3 Maximumsprinzipien von Zorn und Hausdorff .
7.2 Anwendungen des Auswahlaxioms . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Jeder Vektorraum besitzt eine Basis. . . . . . . .
7.2.2 Der Satz von Hahn-Banach . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Nicht-meßbare Mengen . . . . . . . . . . . . .
7.2.4 Äquivalenz verschiedener Stetigkeitsdefinitionen
7.2.5 Satz von Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.6 Boolesches Primidealtheorem . . . . . . . . . .
Mächtigkeiten und Kardinalzahlen
8.1 Endliche und abzählbare Mengen . . . . . .
8.2 Abzählbare Mengen . . . . . . . . . . . . .
8.3 Überabzählbare Mengen . . . . . . . . . .
8.4 Mächtigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.1 Satz von Cantor-Schröder-Bernstein
8.4.2 Vergleichbarkeitssatz von Hartogs .
8.4.3 Satz von Cantor . . . . . . . . . . .
8.5 Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1 Operationen auf den Kardinalzahlen
8.5.2 Satz von Hessenberg . . . . . . . .
8.5.3 Satz von Bernstein . . . . . . . . .
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Grundlagen der Modelltheorie
Hin und her: Vollständigkeit und elementare Äquivalenz
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INHALTSVERZEICHNIS
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Elementare Äquivalenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Die Theorie der dichten linearen Ordnung . . . . . . . . . . . . . 175
Kategorizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
10 Auf und ab: Elementare Substrukturen
10.1 Elementare Substrukturen . . . . . . . . . . . .
10.2 Diagrammlemma (Fortsetzung) . . . . . . . . .
10.3 Kriterium von Tarski . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Satz von Löwenheim-Skolem-Tarski (abwärts) .
10.5 Satz von Löwenheim-Skolem-Tarski (aufwärts)
10.6 Test von Vaught . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11 Vereinigungen, Durchschnitte und Ketten
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11.1 Satz über Ketten von Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
11.2 Satz von Chang- Łoś-Szusko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
12 Produkte und Ultraprodukte
12.1 Direktes Produkt . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Filter und Ultrafilter . . . . . . . . . . . . . .
12.3 Ultrafiltersatz, Boolesches Primidealtheorem
12.4 Reduziertes Produkt . . . . . . . . . . . . . .
12.5 Satz von Łoś . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6 Kompaktheitssatz . . . . . . . . . . . . . . .
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13 Modellvollständigkeit
198
13.1 Robinsonscher Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
IV
Unvollständigkeit und Unentscheidbarkeit
14 Berechenbare Funktionen
14.1 Turing-Maschinen . . . . . . . . . . . . . .
14.2 URM-berechenbare Funktionen . . . . . .
14.3 Churchsche These . . . . . . . . . . . . . .
14.4 Aufzählbarkeitssätze . . . . . . . . . . . .
14.5 Primitiv-rekursive Funktionen . . . . . . .
14.6 Rekursive und partiell-rekursive Funktionen
14.7 Partielle Entscheidbarkeit . . . . . . . . . .
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205
205
207
208
209
209
212
214
INHALTSVERZEICHNIS
vii
15 Definierbarkeit berechenbarer Funktionen
15.1 Eine endlich-axiomatisierbare Teiltheorie von PA
15.2 Arithmetische Formeln . . . . . . . . . . . . . .
15.3 Enderweiterungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4 Erhaltungseigenschaften unter Enderweiterungen
15.5 Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.6 Gödels Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.7 Definierbarkeitssatz für rekursive Funktionen . .
15.8 Repräsentierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . .
16 Die Gödelschen Sätze
16.1 Gödel-Nummern . . . . . . . . . . . . . .
16.2 Diagonalisierungslemma . . . . . . . . . .
16.3 Satz von Gödel-Rosser . . . . . . . . . . .
16.4 Erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz .
16.5 Kombinatorische Prinzipien . . . . . . . .
16.6 Zweiter Gödelscher Unvollständigkeitssatz
16.7 Wahrheit ist nicht arithmetisch definierbar .
16.8 Unentscheidbarkeit . . . . . . . . . . . . .
17 Literatur
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202
Teil IV
Unvollständigkeit und
Unentscheidbarkeit
203
Hans Magnus Enzensberger: Hommage à Gödel
Münchhausens Theorem, Pferd, Sumpf und Schopf,
ist bezaubernd, aber vergiß nicht:
Münchhausen war ein Lügner.
Gödels Theorem wirkt auf den ersten Blick
etwas unscheinbar, doch bedenk:
Gödel hat recht.
In jedem genügend reichhaltigen System // lassen sich Sätze formulieren,
die innerhalb des Systems // weder beweis- noch widerlegbar sind,
es sei denn das System // wäre selber inkonsistent.
Du kannst deine eigene Sprache // in deiner eigenen Sprache beschreiben:
aber nicht ganz.
Du kannst dein eignes Gehirn // mit deinem eignen Gehirn erforschen:
aber nicht ganz.
Usw.
Um sich zu rechtfertigen // muß jedes denkbare System
sich transzendieren, // d.h. zerstören.
Genügend reichhaltig oder nicht:
Widerspruchsfreiheit
ist eine Mangelerscheinung
oder ein Widerspruch.
(Gewißheit = Inkonsistenz.)
Jeder denkbare Reiter, // also auch Münchhausen,
also auch du bist ein Subsystem // eines genügend reichhaltigen Sumpfes.
Und ein Subsystem dieses Subsystems // ist der eigene Schopf,
dieses Hebezeug // für Reformisten und Lügner.
In jedem genügend reichhaltigen System,
also auch in diesem Sumpf hier,
lassen sich Sätze formulieren,
die innerhalb des Systems
weder beweis- noch widerlegbar sind.
Diese Sätze nimm in die Hand
und zieh!
(Zitiert nach: Hans Magnus Enzensberger: Die Elixiere der Wissenschaft.
Frankfurt a.M.: Suhrkamp 2002)
204
In diesem Teil gehen wir aus von den natürlichen Zahlen als algebraische
Struktur mit den Operationen der Addition und Multiplikation und zusätzlicher
Ordnung. Als Axiomensystem für die elementaren Eigenschaften dieser Struktur
haben wir bereits das Axiomensystem von G. P EANO erwähnt und gesehen, daß
es nicht ausdrucksstark genug ist, um die Struktur der natürlichen Zahlen bis auf
Isomorphie festzulegen. Tatsächlich ist es sogar nach einem berühmten Satz von
K. G ÖDEL unvollständig, und wir werden sehen, daß dieses Problem sich auch
durch die Hinzunahme weiterer Axiome nicht beseitigen läßt.
Dazu werden wir mit den Methoden der mathematischen Logik Prädikate und
Funktionen natürlicher Zahlen nach ihrer Komplexität klassifizieren, insbesondere
den Begriff der Berechenbarkeit und der Entscheidbarkeit präzisieren, um damit
Möglichkeiten und Grenzen der Beweisbarkeit für mathematischer Theorien, vor
allem für die Zahlentheorie und auch die Logik selbst aufzuzeigen.
Eine ausführlichere Darstellung der Theorie der Berechenbarkeit findet man
im Skriptum
K. Ambos-Spies: Theoretische Informatik
(http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/skripten.html).
205
Kapitel 14
Berechenbare Funktionen
14.1 Turing-Maschinen
Eine TURING-Maschine M besitzt als Speicher ein nach beiden Seiten unbeschränktes Band, das in unendlich viele Felder eingeteilt ist. Jedes Feld kann
einen Buchstaben aus dem endlichen Alphabet s1 , . . . , sn der Maschine M aufnehmen. Dabei sind zu jedem Zeitpunkt nur endlich viele Felder belegt, wobei
wir vereinbaren können, daß die leeren Feldern durch ein zusätzliches Symbol s0
gekennzeichnet sind. Der Zugriff auf das Speicherband erfolgt durch einen kombinierten Lese- und Schreibkopf von der Größe eines Feldes. Das Feld, auf das der
Kopf zeigt, heißt das Arbeitsfeld. Dieses Feld kann eingelesen und neu beschriftet
werden. Weiterhin kann sich der Kopf um ein Feld nach links oder rechts bewegen. Durch Wiederholung dieser elementaren Operationen kann also jede Stelle
des Bandes besucht, die dort stehende Information gelesen und gegebenenfalls
ersetzt oder ergänzt werden. Außerdem ist M zu jedem gegebenen Zeitpunkt in
einem von endlich-vielen Zuständen q1 , . . . , qr , die Einfluß auf das Verhalten von
M haben.
Es gibt somit 3 Typen von Operationen, genannt Anweisungen, die M ausführen kann, wenn M im Zustand qi über einem Feld steht, in dem das Zeichen s j
eingetragen ist, und die wie folgt bezeichnet werden:
(a) qi s j sk ql :
lösche s j und schreibe dafür sk ,
(b) qi s j R ql :
bewege den Kopf ein Feld weiter nach rechts,
(c) qi s j L ql :
bewege den Kopf ein Feld weiter nach links.
206
14.1. T URING -M ASCHINEN
Anschließend gehe M in allen Fällen in den Zustand ql über.
Ein Programm für M ist eine endliche Liste von Anweisungen der obigen
Formen (a) - (c), welches konsistent ist, d. h. zu einem gegebenen Paar qi , s j (für
die Ausgangssituation) gibt es in der Liste höchstens eine Anweisung, die hiermit
beginnt.
Beispiel:
Das Alphabet von M bestehe aus den Symbolen 0, 1 (und x für ein leeres Feld),
mögliche Zustände seien q1 , q2 . Das Programm P bestehe aus den folgenden 4
Anweisungen:
q1 0 R q1
q1 1 0 q2
q2 0 R q2
q2 1 R q1
Anfangs stehe M im Zustand q1 über dem ersten Feld des Bandes, das von hier
ab weitere n aufeinander folgende Felder mit dem Symbol 1 enthält, während die
übrigen Felder leer sind:
...
x
x
x
↓
1 1
1
1
1
1
x
x
x
...
Folgt M den obigen Anweisungen, so kann es diese ausführen, bis der folgende
Endzustand erreicht ist:
↓
... x x x 0 1 0 1 0 1 x x x ...
Wir wollen nun erklären, wie eine T-Maschine mit vorgegebenen Programm
eine Funktion berechnet. Da es vorkommen kann, daß Rechnungsprogramme bei
Anwendungen auf bestimmte Anfangswerte möglicherweise nicht stoppen (weil
sie z. B. in eine Schleife geraten), werden wir jetzt statt totaler Funktionen f :
Nk → N auch partielle Funktionen zulassen:
Definition
f ist eine partielle k-stellige Funktion auf den natürlichen Zahlen gdw
f : D → N für eine Teilmenge D ⊆ Nk .
14.2. URM- BERECHENBARE F UNKTIONEN
207
In diesem Falle bedeute
f (~x) ↓:
⇐⇒
f ist an der Stelle ~x definiert
f (~x) ↑:
⇐⇒
f ist an der Stelle ~x nicht definiert
f (~x) ' g(~x) :
⇐⇒
( f (~x) ↓ ⇐⇒ g(~x) ↓) und ( f (~x) ↓=⇒ f (~x) = g(~x)).
TURING-berechenbare Funktionen
Zur Darstellung von Zahlen, von denen eine Rechnung ausgeht, wählen wir s1 = 1
und benutzen es als Marke, indem n + 1 aufeinander folgende Felder mit Inhalt 1
(umgeben von Leerfeldern am Anfang und am Ende) die Zahl n darstellen. Eine
partielle Funktion f : D → N wird von M berechnet, wenn M, beginnend im Anfangszustand q1 über dem ersten Feld, welches die Zahl n darstellt, genau dann
über dem Band in einem Endzustand stoppt, wenn n ∈ D ist, und in diesem Fall
das Symbol 1 genau f (n)-mal auf dem Band im Endzustand eingetragen ist (in
obigem Beispiel ist f (5) = 3). Eine ähnliche Definition legt man im Falle mehrstelliger Funktionen fest.
Eine partielle Funktion f heißt TURING-berechenbar genau dann, wenn es
eine T-Maschine M gibt mit einem Programm, welches f berechnet.
14.2 URM-berechenbare Funktionen
S HEPERDSON -S TURGIS haben 1963 eine Variante eines Maschinenmodells vorgeschlagen: Eine unbeschränkte Register-Maschine (URM) besitzt eine unendliche Anzahl von Registern R1 , . . . , Rl , die jeweils eine Zahl enthalten; rn sei die
Zahl im Register Rn . Diese Zahlen werden von einer URM gemäß folgenden Typen von Anweisungen abgeändert:
O(n):
S(n):
T (m, n):
J(m, n, q):
0 → Rn
rn + 1 → Rn
rm → Rn
falls rn = rm ,
bzw. rn := 0
ersetze rn durch 0
bzw. rn := rn + 1
addiere 1 zu rn
bzw. rn := rm
ersetze rn durch rm
so gehe zur q-ten Anweisung über, sonst zur nächsten.
Ein Programm ist nun wieder eine nummerierte endliche Folge derartiger Anweisungen. Soll eine URM mit einem Programm P = (I1 , . . . , Ik ) eine Berechnung durchführen, so muß ein Anfangszustand der Registerinhalte gegeben sein,
in welchem die URM mit der ersten Anweisung beginnt und worauf sie dann den
weiteren Anweisungen der Liste folgt.
208
14.3. C HURCHSCHE T HESE
Beispiel:
I1 :
J(1, 2, 6)
I2 :
S(2)
I3 :
S(3)
I4 :
J(1, 2, 6)
I5 :
J(1, 1, 2)
I6 :
T (3, 1)
Beginnt die URM mit den Zahlen 9 im 1. und 5 im 2. Register (und 0 in allen
anderen), so erzeugt sie nach einigen Schritten die Zahl 4 im 3. Register und
landet dann bei der Anweisung I6 , welche die Zahl 4 in das 1. Register überträgt;
da keine weitere Anweisung folgt, stoppt hier das Programm.
Es sei nun f eine partielle n-stellige Funktion auf den natürlichen Zahlen, P
ein Programm und a1 , . . . , an , b seien vorgegebene Zahlen. Dann konvergiert das
mit a1 , . . . , an beginnende Programm gegen die Zahl b, formal: P(a1 , . . . , an ) ↓ b,
gdw es nach endlich-vielen Schritten stoppt und die Zahl b im 1. Register steht.
P berechnet f gdw für alle a1 , . . . , an , b gilt:
P(a1 , . . . , an ) ↓ b gdw f (a1 , . . . , an ) ist definiert und = b.
f ist URM-berechenbar gdw es ein Programm P gibt, welches f berechnet.
14.3 Churchsche These
Es gibt weitere Ansätze, den Begriff der berechenbaren Funktion zu präzisieren:
• G ÖDEL -H ERBRAND -K LEENE (1936): mittels eines Gleichungskalküls definierte allgemein-rekursive Funktionen
• C HURCH (1936): λ -definierbare Funktionen
• G ÖDEL -K LEENE (1936): µ-rekursive Funktionen (s.u.)
• P OST (1943): berechenbare Funktionen mittels kanonischer Deduktionssysteme
• M ARKOV (1951): berechenbare Funktionen mittels Algorithmen über endlichen Alphabeten
14.4. AUFZ ÄHLBARKEITSS ÄTZE
209
Alle diese Definitionen haben sich als formal äquivalent herausgestellt, außerdem ist bisher jede einzelne der (im intuitiven Sinne) berechenbaren Funktionen
auch berechenbar in dem obigen formalen Sinne, was Anlaß zu folgender Annahme gegeben hat:
Churchsche These: Die (intuitiv) berechenbaren Funktionen sind genau die (in
einem der obigen Sinne) formal berechenbaren Funktionen.
Ohne ausführliche Beweise ergänzen wir einige wichtige
14.4 Aufzählbarkeitssätze
• Da sich alle Programme effektiv aufzählen lassen, gibt es eine effektive
Aufzählung ϕ0 , ϕ1 , . . . , ϕn , . . . aller einstelligen berechenbaren (partiellen)
Funktionen. Mit einem Diagonalargument erhält man hieraus:
• es gibt eine totale Funktion f : N → N, die nicht berechenbar ist:
(
ϕn (n) + 1 falls ϕn (n) definiert ist,
f (n) =
0
sonst.
• Somit gibt es zwar eine Abzählung aller totalen berechenbaren Funktionen,
aber diese Abzählung kann selbst nicht berechenbar sein.
• Auch die folgenden Prädikate sind nicht entscheidbar (d. h. ihre charakteristischen Funktionen sind nicht berechenbar):
ϕn (n) ist definiert, ϕn ist totale Funktion, ϕn ist die konstante Funktion 0,
ϕn = ϕm , das n-te Programm mit Eingabe n (allgemeiner mit Eingabe m)
stoppt nach endlich-vielen Schritten (das Halteproblem).
• Existenz universaler Funktionen (bzw. Programme): Zu jeder berechenbaren 2-stelligen Funktion f gibt es eine totale berechenbare Funktion k mit
f (n, m) = ϕk(n) (m); die 2-stellige Funktion ϕ(n, m) = ϕn (m) ist berechenbar.
14.5 Primitiv-rekursive Funktionen
Zu den intuitiv berechenbaren Funktionen gehören sicher die folgenden
14.5. P RIMITIV- REKURSIVE F UNKTIONEN
210
Anfangsfunktionen
R1 0(x) = 0
R2 S(x) = x + 1
R3 Pin (x1 , . . . , xn ) = xi
Nullfunktion
Nachfolgerfunktion
i-te Projektion
Durch Einsetzen von Funktionen in bereits vorgegebene Funktionen erhalten
wir eine neue Funktion durch
Substitution
R4 f (~x) ' h(g1 (~x), . . . , gk (~x))
Wichtig ist nun das folgende Prinzip - nach diesem Muster werden nämlich
die arithmetischen Operationen Addition, Multiplikation und Potenz gebildet:
Primitive Rekursion
R5 f (~x, 0) ' g(~x)
f (~x, y + 1) ' h(~x, y, f (~x, y))
Die Klasse PRIM aller primitiv-rekursiven (abgekürzt: p.r.) Funktionen ist
die kleinste Klasse von Funktionen, die die Anfangsfunktionen enthält und abgeschlossen ist unter Substitution und primitiver Rekursion. Diese Funktionen sind
insbesondere totale Funktionen.
Beispiele primitiv-rekursiver Funktionen
Die folgenden Funktionen sind primitiv-rekursiv:
x+y
x·y
xy
max(x, y)
min(x, y)
|x − y|
x−̇y =
(
x−y
0
falls x ≥ y,
sonst
Summe
Produkt
Potenz
Maximum
Minimum
absolute Differenz
Differenz auf N
211
14.5. P RIMITIV- REKURSIVE F UNKTIONEN
sg(x) =
sg(x) =
(
0
falls x = 0,
1
falls x > 0
(
1
falls x = 0,
0
falls x > 0
Signum, Vorzeichen
Antisignum, negiertes Vorzeichen
Beweis: Addition, Multiplikation und die Potenz sind offenbar primitiv-rekursiv.
Für die übrigen Fälle benötigt zeigt man zuerst, daß die Vorgängerfunktion x−̇1
primitiv-rekursiv ist, und zwar wegen
0−̇1
= 0
(x + 1)−̇1 = x
und definiert dann −̇ durch primitive Rekursion
x−̇0
= x
x−̇(y + 1) = (x−̇y)−̇1
Die übrigen Funktionen kann man direkt mittels + und −̇ definieren:
|x − y|
max(x, y)
min(x, y)
sg(x)
sg(x)
=
=
=
=
=
(x−̇y) + (y−̇x)
x + (y−̇x)
max(x, y)−̇|x − y|
1−̇x
1−̇sg(x)
Abschlußeigenschaften
Primitiv-rekursive Funktionen sind abgeschlossen unter
(i) Fallunterscheidung:
Sind g, f0 , f1 , . . . , fk primitiv-rekursiv, so auch f mit


 f0 (~x) f alls g(~x) = 0,



 f ~x)
f alls g(~x) = 1,
1
f (~x) = .
.
..
..





 f (~x) f alls g(~x) ≥ k.
k
14.6. R EKURSIVE UND PARTIELL - REKURSIVE F UNKTIONEN
212
(ii) beschränktem µ-Operator:
Ist g primitiv-rekursiv, so auch f mit
f (~x, z) = µy < z (g(~x, y) = 0),
wobei
µy < z R(~x, y) =
(
das kleinste y < z mit R(~x, y) falls ein solches existiert
z
sonst.
14.6 Rekursive und partiell-rekursive Funktionen
Ein Beispiel einer berechenbaren, aber nicht p.r. Funktion ist die
Die Ackermannsche Funktion:
Diese ist eine 2-stellige Funktion, die durch die folgenden Gleichungen rekursiv
bestimmt ist:
A(0, y) = y + 1
A(x + 1, 0) = A(x, 1)
A(x + 1, y + 1) = A(x, A(x + 1, y))
Es handelt sich hier um eine doppelte Rekursion, trotzdem kann man leicht
nachprüfen, daß sich jeder Wert A(x, y) von endlich-vielen “früheren” Werten
A(u, v) mit u < x oder u = x ∧ v < y bestimmen läßt. Schreiben wir Fn (m) für
A(n, m), so erhalten wir:
F0 (m) = m + 1
F1 (m) = m + 2
F2 (m) ≈ 2m
F3 (m) ≈ 2m
2
..
F4 (m) ≈ 2
2.
(m − mal)
Das bedeutet also, daß die ACKERMANNsche Funktion die Grundrechenarten
iteriert und insbesondere in der ersten Stelle (die die Anzahl der Iterationen angibt)
14.6. R EKURSIVE UND PARTIELL - REKURSIVE F UNKTIONEN
213
sehr schnell wächst. Tatsächlich majorisiert sie jede p.r. Funktion: Ist f eine kstellige p.r. Funktion, so gibt es eine Zahl n mit
f (x1 , . . . , xk ) ≤ Fn (max(x1 , . . . , xk ))
für alle x1 , . . . , xk . Somit kann die 2-stellige Funktion A nicht p.r. sein (obwohl
andererseits alle Fn p.r. sind!). Daß die ACKERMANNsche Funktion trotzdem berechenbar ist, ersieht man daraus, daß sie aus einer p.r. Funktion erhalten werden
kann mittels
Minimalisierung
R6 f (~x) ' µy (g(~x, y) ' 0),
d. h.


das kleinste y so daß




(i) g(~x, z) definiert ist für alle z ≤ y und
f (~x) =

(ii) g(~x, y) = 0,
falls ein derartiges y existiert,




undefiniert
sonst.
Dieses Prinzip kann von totalen zu partiellen Funktionen führen (z. B. für
g(x, y) = |x − y2 |). Die Klasse R (oder C) aller rekursiven Funktionen ist die
kleinste Klasse von Funktionen, die die Anfangsfunktionen enthält und abgeschlossen ist unter Substitution, primitiver Rekursion und Minimalisierung. Man
spricht mitunter auch von allgemein-rekursiven, µ-rekursiven Funktionen oder
(auf Grund der C HURCHschen These) von den berechenbaren Funktionen (C =
computable functions). Von rekursiven Funktionen werden wir vorwiegend im
Falle totaler berechenbarer Funktionen sprechen.
Jede p.r. Funktion ist also auch eine rekursive Funktion (während die ACKER MANN sche Funktion ein Beispiel für eine rekursive, aber nicht p.r. Funktion ist),
und die Abschlußeigenschaften der p.r. Funktionen gelten (geeignet modifiziert
für partielle Funktionen) auch für rekursive Funktionen.
Definition
Eine zahlentheoretische Relation R ⊆ Nk heißt primitiv-rekursiv bzw. rekursiv (oder auch: entscheidbar) gdw ihre charakteristische Funktion cR primitivrekursiv bzw. rekursiv ist, wobei
(
1 falls R(~x),
cR (~x) =
0 sonst.
14.7. PARTIELLE E NTSCHEIDBARKEIT
214
Somit sind z. B. die Prädikate x = y, x 6= y, x ≤ y, x < y primitiv-rekursiv.
14.7 Partielle Entscheidbarkeit
Eine Relation R ⊆ Nk heißt partiell- (oder positiv-) entscheidbar bzw. r.e. gdw.
sie Definitionsbereich einer berechenbaren Funktion ist:
R r.e. : ⇐⇒ R = {~x | f (~x) ↓} für eine berechenbare Funktion f .
In diesem Fall kann man für f auch die partielle charakteristische Funktion von
R wählen:
R r.e. ⇐⇒ pcR ist rekursiv,
(
1
falls ~x ∈ R,
wobei
pcR (~x) =
undefiniert sonst.
Während es also für eine entscheidbare Relation R ein effektives Verfahren
gibt, welches die Frage beantwortet, ob R zutrifft oder nicht, kann man für eine
partiell-entscheidbare Relation somit nur den Fall bestätigen, daß die Relation
zutrifft. Die Bezeichnung r.e. = recursively enumerable = rekursiv-aufzählbar,
in der neueren Literatur auch c.e. = computably enumerable, erklärt sich aus der
folgenden Charakterisierung:
Eine nicht-leere Teilmenge A ⊆ N ist partiell entscheidbar gdw sie Wertebereich einer rekursiven Funktion ist, also von einer rekursiven Funktion aufgezählt
wird:
A r.e. ⇐⇒ A = 0/ ∨ A = { f (x) | x ∈ N} für eine rekursive Funktion f : N → N.
Jede rekursive Relation ist auch r.e.; die Umkehrung gilt, wenn auch das Komplement r.e. ist:
A ⊆ Nk ist entscheidbar gdw A und Nk − A sind r.e.
Ist wieder ϕn die n-te berechenbare Funktion (in einer geeigneten effektiven
Aufzählung), so sind die Mengen
{n | ϕn (n) ↓}
r.e., aber nicht rekursiv, während
{n | ϕn (n) ↑}
nicht einmal r.e. ist.
Von besonderer Bedeutung wird später sein, daß für Theorien T mit einer rekursiven Menge von Axiomen die Folgerungsmenge C(T) = {σ | T ` σ } r.e. ist. Insbesondere ist also eine rekursiv-axiomatisierbare vollständige Theorie entscheidbar!