Experimentalphysik II (Kip SS 2009) Inhalt der Vorlesung

Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Inhalt der Vorlesung Experimentalphysik II
Teil 1: Elektrizitätslehre, Elektrodynamik
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Elektrische Ladung und elektrische Felder
Kapazität
Elektrischer Strom
Magnetostatik
Elektrodynamik
Schwingkreise und Wechselstrom
Teil 2: Optik
7. Elektromagnetische Wellen
8. Optik
400
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
8 Optik
Messung der Lichtgeschwindigkeit mit
Drehspiegelmethode (Foucault 1862)
8.1. Lichtgeschwindigkeit
Versuch: Experimentelle Bestimmung
der Lichtgeschwindigkeit
l
ΔL
2s
c=
Δt
L
s
Δt
s =15km⇒Δt ≈10−4s
α = ω Δ t = 2π f Δ t
Δ L = l 2α = 4 π f Δ t l
Ll
2L
⇒c=
= 8π f
Δt
ΔL
401
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Messung der Lichtgeschwindigkeit mit der Drehspiegelmethode (Foucault 1862)
c =
( L 1 + L 2 + L 3 )( l1 + l 2 )
2L
= 8π f
Δt
ΔL
l = l1 + l2 = 4.52 m
L = L1 + L2 + L3 = 15.32 m
Messwert: ΔL ≈ 3 mm
f = 500 s-1
ΔL
402
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Die Lichtgeschwindigkeit ist heute als
Naturkonstante fest definiert. Dies hat
den entscheidenden Vorteil, dass die
in der Praxis sehr hohe Messgenauigkeit von Zeiten bzw. Frequenzen
(z.B. mit Atomuhren) auf Längenmessungen übertragen werden kann.
Nutzbare Längennormale sind dann
z.B. Vielfache von Lichtwellenlängen
bestimmter Spektrallinien. Die Lichtgeschwindigkeit c ist definiert durch
c=
1
μ 0ε 0
= 2.99792458 ⋅108 m/s
In Vakuum entspricht c der Phasengeschwindigkeit in der Wellengleichung
r
r 1 ∂ E
ΔE − 2 2 = 0 mit c =
c ∂t
2
1
μ 0ε 0
Michelson-Morley-Experiment
Mit einem empfindlichen Interferometer
haben Michelson und Morley 1887 versucht, die Lichtgeschwindigkeit relativ
zum absoluten Raum (Äther) zu messen.
Spiegel
halbdurchlässiger
Spiegel
L⊥
Spiegel
L||
Lichtquelle
v
Erdbewegung
Schirm
403
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Falls es ein Medium als Träger elektromagnetischer Wellen gäbe, so müsste
dieses den ganzen Raum durchsetzen.
Es wäre ferner ein „absoluter Raum“
erforderlich, relativ zu dem gleichförmige
Bewegungen gemessen werden könnten.
Damit wäre χ abhängig vom Bezugsystem. Das Michelson-Experiment zeigt,
dass die Lichtgeschwindigkeit in allen
Bezugsystemen den gleichen Wert hat.
Es gibt keinen „Lichtäther“.
Lichtgeschwindigkeit in Materie
Die Herleitung der Wellengleichung für
das elektrische und magnetische Feld
verläuft analog im mit Materie gefüllten
Raum. Die Materie habe die magnetische Permeabilität μ und die Dielektrizitätskonstante ε. Als Gleichung für
das elektrische Feld ergibt sich jetzt:
r
r 1 ∂E
1
ΔE − 2 2 = 0 mit c =
c ∂t
μ0 μrε 0ε r
2
Die Lichtgeschwindigkeit ist in Materie
um den Faktor 1 / με verändert. Der
Brechungsindex n von Materie ist
definiert als der Quotient aus der
Vakuumlichtgeschwindigkeit c und der
Lichtgeschwindigkeit cn in Materie:
c
n = = με
cn
404
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Da für die meisten Materialien μ = 1
gilt, folgt für den Brechungsindex in
guter Näherung n = ε . Der Brechungsindex ist also direkt mit der
Dielektrizitätskonstanten und damit
der Polarisation der Materie verknüpft.
Für den Zusammenhang zwischen
der Frequenz ω, der Wellenzahl k und
der Phasengeschwindigkeit c der
Lichtwelle in Materie gilt dann:
ω
c
c
cn = = ⇒ ω = k
k n
n
Der Brechungsindex ist in der Regel
von der Wellenlänge λ des Lichtes
abhängig. Dies wird als Dispersion
bezeichnet. Für gängige Materialien
wie Glas oder Diamant gilt qualitativ:
(ungefähre Werte für n bei λ = 589 nm)
405
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
8.2 Welle-Teilchen-Dualismus
Huygens 1690
„Licht ist eine Wellenerscheinung“
Theorie zur Wellennatur des
Lichts. Sie konnte ebenfalls
Reflexion, Brechung und die
Spektralfarben des weißen Lichts
erklären.
Young 1801
„Licht ist eine Wellenerscheinung. Es zeigt das
Phänomen der Interferenz.“
Newton 1704
„Licht besteht aus vielen Lichtteilchen“
Definition des Begriffs Optik:
„Opticks or a Treatise of the
Reflections, Refractions, and
Colours of Light.“
406
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Maxwell 1864
„Licht ist eine elektromagnetische Welle“
Aus den Maxwell-Gleichungen
folgt sofort die Existenz von
elektromagnetischen Wellen,
die sich mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten.
Einstein 1905
„Licht besteht aus Lichtteilchen, den Photonen“
Quantitative Erklärung des
Photoeffekts. Licht verhält sich
im atomaren Bereich wie ein
Teilchen.
Die wahre Natur des Lichtes ist sehr
kompliziert. Sie kann aber im Rahmen
der Quantentheorie (⇒ Quantenelektrodynamik) verstanden werden.
Anschaulich gesprochen ist es so,
dass das Licht eine Doppelnatur hat.
Dies bedeutet, dass Licht sowohl eine
Welle als auch ein Teilchen ist. Die
Worte „Welle“ und „Teilchen“ allein
können das Phänomen Licht also nicht
vollständig erklären.
In der Optik tritt nur die Wellennatur
des Lichtes zutage. Wir werden Licht
daher in diesem Kapitel als elektromagnetische Welle betrachten. Bei
Wechselwirkung mit Materie müsste
auch der Teilchenaspekt berücksichtigt werden.
407
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
8.3 Lichtquellen
(i)
Quellen mit
Spektrum:
einem
diskreten
Bei atomaren Prozessen wird häufig
Licht mit einem diskreten Spektrum
emittiert.
Beispiel: Bariumspektrum
Wärmestrahlung des schwarzen Körpers: Plancksches Strahlungsgesetz
Spektrale Leistungsdichte f (λ,T)
8π hc / λ 5
f (λ , T ) =
exp( hc /( λ k B T )) − 1
h = 6 . 62 ⋅ 10 − 34 Js , c = 3 ⋅ 10 8 m/s
f
Auch beim Laser wird nur Licht einer
ganz bestimmten Frequenz abgestrahlt.
(ii)
Quellen mit einem
chen Spektrum:
f(λ) @ 300K
kontinuierli-
Beispiel: Thermische Quellen
408
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Wärmestrahlung des schwarzen Körpers: Plancksches Strahlungsgesetz
f(λ,T)
(kg/m2s2)
T
d
f (λ , T ) = 0
dλ
Wiensches
⇓ Verschiebungsgesetz
λmax T = 2 .898 μmK
T = 400 K ⇒ λmax = 7 .2 μm
T = 250 K ⇒ λmax = 11 .6 μm
Temperaturmessung über
Plancksches Strahlungsgesetz
(Thermographie, Pyrometrie)
λ (μm)
409
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Beispiel: Temperatur auf der Sonne
Die Sonne ist in guter Näherung ein
schwarzer Strahler. Das Strahlungsmaximum liegt bei λmax ≈ 500 nm und
entspricht der Wellenlänge von grünem
Licht (Æ Photosynthese von Pflanzen).
Das Wiensche Verschiebungsgesetz
liefert dann für die (Oberflächen-)
Temperatur der Sonne den Wert:
λmaxT = 2.898 μmK
⇒ T=
2.898 μmK
λmax
=
2.898 μmK
= 5800 K
500 nm
410
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
8.4 Geometrische Optik
Beispiel: Schatten erzeugt durch zwei
getrennte, punktförmige Lichtquellen
In der Strahlen- oder geometrischen
Optik wird die Lichtausbreitung in
guter Näherung durch Lichtstrahlen
beschrieben.
ΔΩ
Lichtbündel
Lichtstrahl
Ein Lichtstrahl entspricht formal einem
Lichtbündel im Grenzfall ΔΩ → 0.
grüne
Lampe
Figur
Wand mit
Schatten
rote Lampe
411
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Christian Huygens
(1629-1695)
8.4.1 Huygenssches Prinzip
Von jedem Punkt einer Wellenfront
wird zur Zeit t eine Kugelwelle ausgesendet. Die Überlagerung aller Wellenfronten zur Zeit t + Δt ergibt die neue
Wellenfront.
neue
Wellenfront
t t + Δt
ebene Welle
x
Δx
t + Δt
Kugelwelle
t
neue
Wellenfront
Dies ist das Huygenssche Prinzip. Mit
dem Huygensschen Prinzip können bereits viele Phänomene der Optik erklärt
werden. Die Lichtstrahlen stehen dabei
immer senkrecht auf den Wellenfronten.
412
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
8.4.2 Reflexion und Brechung
Versuch: Strahlengang ebener Spiegel
Hält man einen geraden Stab unter
einem Winkel schräg ins Wasser, so
erscheint der Stab im Bereich der
Wasseroberfläche abgeknickt. Diese
„optische Täuschung“ kommt daher,
dass Lichtstrahlen beim Übergang
von einem Medium in ein anderes
(hier von Luft in Wasser) ihre Richtung ändern: "Brechung des Lichtes".
Die Linse erzeugt mit der Lichtquelle
paralleles Licht. Durch die Spaltblende
werden einzelne, getrennte Strahlen
erzeugt. Die Reflexion ist deutlich zu
erkennen.
Lichtquelle
ebener Spiegel
Linse
Spalt
413
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Beispiel: Reflexion am Spiegel
Lichtstrahlen werden an Oberflächen
reflektiert. Dabei sind Einfalls- und
Ausfallswinkel gleich.
Gegenstand
Spiegel
Gegenstand
Spiegel
α
α
α
he
c
s
ti
op hse
Ac
optische Achse
Der Lichtstrahl scheint für den Betrachter aus dem Spiegel zu kommen.
414
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Konstruktion des virtuellen Spiegelbildes
Man sieht ein virtuelles aufrechtes
Spiegelbild des Gegenstandes.
Spiegel
Spiegel
415
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Verhalten an einer ebenen Grenzfläche:
einfallender
Strahl
Einfallsebene
I1
reflektierter
Strahl
I3
α1 α1'
Medium 1
Grenzfläche
α2
gebrochener
Strahl
I2
Medium 2
(i) Reflexionsgesetz
Bei Reflexion sind der Einfalls- und der
Ausfallswinkel gleich groß, also:
α1 = α '1
Außerdem liegt der reflektierte Strahl
auch in der Einfallsebene.
(ii) Snelliussches Brechungsgesetz
sin α1 n2
=
sin α 2 n1
Ist das Medium 1 das Vakuum mit n1 = 1,
dann folgt:
sin α1 n2
=
= n2
sin α 2 1
416
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Eine Konsequenz des Brechungsgesetzes ist die „Totalreflexion“ beim
Übergang vom optisch dichteren ins
optisch dünnere Medium, d.h. für
n2 > n1 .
Für Winkel größer als dieser Grenzwinkel der Totalreflexion kann das Licht
nicht in das Medium 1 eindringen.
Medium 1
Dabei wird der Strahl so gebrochen,
dass er das Medium nicht mehr verlassen kann. Im Grenzfall ist:
n1
α2
n2 sin α T = n1 sin (π 2 ) = n1
n1
⇒ sin αT =
n2
n2 > n1
αT
α1
Beispiel: Übergang Glas/Luft
n2 > n1
nLuft
1 2
≈
=
nGlas 1.5 3
Medium 2
sin αT =
⇒ α T ≈ 41.8°
417
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Übergang Wasser/Luft
Beispiel: Totalreflexion in Glasfasern
Unter dem flachen Winkel kann der
Lichtstrahl das optisch dichtere Medium
(n > 1) nicht verlassen und wird fast
verlustfrei reflektiert.
n2 > 1
Glasfaser
n1 = 1
Luft oder
Vakuum
Lichtstrahl
418
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Lichtleiter
Glasfaser
Laser
Laser
Plexiglasstab
419
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Beweis des Brechungsgesetzes mit
Hilfe des Huygensschen Prinzips:
c1t = AB sin α 1
n1
α1
α1
A
α2
c 2 t = AB sin α 2
α2
B
c2t
n2
c1t
In verschiedenen Medien haben Lichtwellen unterschiedliche Geschwindigkeiten. Die Strecken sind:
⇒
c1 sin α 1
=
c2 sin α 2
Ersetzen der Geschwindigkeiten durch
die Brechungsindizes ergibt:
⇒
c0 n1 sin α1 n2
c1
=
=
=
c2 c0 n2 sin α 2 n1
Damit folgt
bzw.
n sin α = const.
n1c1 = n2 c2
⇒ n c = const.
420
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Eine Anwendung des Brechungsgesetzes findet man beim Prisma:
an der Grenzfläche
gespiegelter Strahl
γ
α1
·
α3
α2
Versuch: Strahlengang im Prisma
α3
α2
Θ
·
α1
einfallendes
Licht
Lichtstrahl
Für symmetrischen Strahlengang erhält man die Winkelbeziehungen:
2α 2 = γ ,
α 3 = α1 − α 2
austretendes
Licht
Θ = 2 α 3 = 2 (α 1 − α 2 )
⇒
Θ + 2α 2 = 2α 1
⇒
Θ + γ = 2α1
421
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Wenn die Umgebung Luft ist, d.h.
n = 1, und das Prismenmaterial den
Brechungsindex nP hat, dann folgt
nach dem Brechungsgesetz
⎛1
⎞
sin ⎜ (Θ + γ )⎟
sin α1
2
⎠
= nP = ⎝
γ
sin α 2
sin
2
Mit zunehmender Wellenlänge der
Strahlung nimmt n ab, d.h. der gesamte Ablenkwinkel des Lichtstrahls Θ
nimmt ebenfalls ab. Rotes Licht wird
also weniger stark abgelenkt als
blaues. Das Prisma wirkt als Spektrometer.
bzw.:
γ
⎛Θ+ γ⎞
sin ⎜
⎟ = nP sin
2
⎝ 2 ⎠
Damit ist der Zusammenhang des
Ablenkwinkels Θ und des Prismenwinkels γ für einen bestimmten
Brechungsindex nP gegeben.
422
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Farbspektrum des sichtbaren Lichts
700 λ
600
500
nm 400
Schon Newton entdeckte 1670, dass
sich weißes Licht durch ein Prisma in
ein Spektrum verschiedener Farben
zerlegen lässt („Regenbogenfarben“).
Zerlegung des weißen Lichtes durch
ein Prisma in seine Farben.
423
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Farbscheibe
Die Spektralfarben werden auf eine drehbare Scheibe gemalt. In Ruhe sind die
verschiedenen Farben gut erkennbar. Versetzt man die Scheibe in schnelle
Umdrehungen, dann erscheint sie weiß, da das Auge wegen seiner Trägheit über
alle Farben mittelt.
Farbscheibe in Ruhe
Farbscheibe in schneller Rotation
424
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Beispiel: Regenbogen
Entstehung des Regenbogens
Sonnenlicht
Wassertropfen
zum Beobachter
425
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Der Regenbogen erscheint unter einem
Winkel von 42° bzgl. der Richtung der
einfallenden Strahlung von der Sonne.
Eine Rechnung zeigt, dass unter
diesem Winkel die meisten Strahlen
abgelenkt werden.
Beim sekundären Regenbogen werden
die Lichtstrahlen zweimal im Wassertropfen reflektiert.
2. Regenbogen: umgekehrte Farbfolge
426
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
8.5 Optische Abbildungen
Prinzipielles
optisches
Gerät
Bild
Gegenstand
Von jedem Punkt eines Gegenstandes gehen viele Lichtstrahlen in verschiedene Richtungen aus.
(z.B. Linse)
Alle Strahlen, die auf einen Bildpunkt fallen, müssen von einem
Gegenstandspunkt ausgegangen
sein.
427
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Beispiel: Prinzip der Lochkamera
Nach dem Strahlensatz gilt:
b B
=
g G
Ein kleiner Lochdurchmesser
lässt nur ein eng begrenztes
Strahlenbündel durch, was eine
scharfe Abbildung ergibt. Andererseits kommt nur wenig Licht
hindurch, so dass das Bild recht
dunkel wird. Hier muss ein
Kompromiss zwischen Helligkeit
und Schärfe gefunden werden.
Lochblende
B
Bild
G
b
Gegenstand
g
428
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Lochkamera
Schirm
Dia
großes Loch
Lochblende
mittleres Loch
Herr Knopp
Original
von
Wilhelm
Busch
kleines Loch
429
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
(ii) Hohlspiegel:
8.5.1 Spiegel und Linsen
(i) Ebener Spiegel:
Spiegel
α2
α1
d << r
M
α1 = α 2
r
α
Quelle
P
s
F
s
s
Q
α
α
Q′
virtuelles Bild
der Quelle
f
Parallele Strahlen werden durch einen
Hohlspiegel im Brennpunkt F zusammengeführt.
430
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
oder für achsennah einfallende Strahlen,
d.h. α << 1
s
s
r
f ≈
2
α
α
r
Versuch: Fokussierung im Hohlspiegel
Für den Strahlengang folgt:
r
r
= cos α ⇒ s =
2s
2 cos α
Man entwickelt nun für α << 1:
1
α2
α2
= 1+
± L ≈ 1+
cos α
2
2
Die Brennweite f des Hohlspiegels ist
damit:
r ⎛ α2 ⎞
⎟⎟ =
f = r − s = r − ⎜⎜1 +
2⎝
2 ⎠
r ⎛ α2 ⎞
⎜⎜1 − ⎟⎟
2⎝
2 ⎠
parallele
Lichtstrahlen
Hohlspiegel
Brennpunkt
431
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
d = r1 sin α1 , α 2 + α 3 = α1
(iii) Linse (konvex):
α3
α1
d
Kugeloberfläche
d
⇒ sin α1 = , α 3 = α1 − α 2
r1
Nach dem Brechungsgesetz gilt
α2
r1
sin α1 = n sin α 2
α1
n
Nun betrachten wir nur achsennahe
Strahlen, also d << r1, d.h. α1 << 1 und
α2 << 1. Dann folgt
α1 ≈
Ein parallel zur Achse auf eine
Kugeloberfläche treffender Strahl wird
um den Winkel α3 zur Achse hin
abgelenkt. Aus der Geometrie der
Anordnung folgen die Relationen:
d
,
r1
1
d
α 2 ≈ α1 =
n
n r1
Damit erhält man
α3 =
d d
d
1
−
= ⎛⎜1 − ⎞⎟
r1 r1 n r1 ⎝ n ⎠
(*)
432
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
α3
r2
d
Daraus folgt für achsennahe Strahlen
β1
α4
n (α 3 + β1 ) = β1 + α 4
⇒ α 4 = n α 3 + (n − 1) β1
β1
n
α4
Setzt man α3 nach (*) ein, wird:
d ⎛ 1⎞
d
α 4 = n ⎜1 − ⎟ + (n − 1)
r1 ⎝ n ⎠
r2
f
Für den durch die Kugeloberfläche
austretenden Strahl gilt entsprechend
d = r2 sin β1 ⇒
F
⎡1 1 ⎤
= d (n − 1) ⎢ + ⎥
⎣ r1 r2 ⎦
Der gesamte Ablenkwinkel ist damit
d
= sin β1 ≈ β1
r2
und nach dem Brechungsgesetz:
n sin (α 3 + β1 ) = sin (β1 + α 4 )
d
= tan α 4 ≈ α 4
f
also
⎡1 1 ⎤
1
= (n − 1) ⎢ + ⎥
f
⎣ r1 r2 ⎦
433
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Bei dieser Ableitung ist eine dünne
Linse vorausgesetzt worden, bei der
sich die transversale Position d des
Lichtstrahls in der Linse kaum ändert.
Außerdem gilt die Beziehung nur für
achsennahe Strahlen, d.h. d << r1 , r2 .
Für eine Linse mit gleichen Kugelflächen auf beiden Seiten, d.h. r1 = r2 = r,
folgt sofort:
f =
r
2(n − 1)
Parallele Strahlen werden also in
einem Punkt, dem „Brennpunkt“ vereinigt, der im Abstand f , der Brennweite, von der Linsenfläche liegt.
dünne Linse
F
f
f
F
der Strahl durch
das Zentrum der
Linse wird nicht
abgelenkt
Mit diesen Eigenschaften des Strahlenganges durch eine dünne Linse
können die Abbildungseigenschaften
beliebiger optischer Systeme ermittelt
werden.
434
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Es gibt auch „Zerstreuungssysteme“.
Das Spiegelbild an einem sphärischen
Spiegel erscheint beispielsweise verkleinert.
(iv) Sphärischer Spiegel
„virtueller“
Brennpunkt
sphärischer
Spiegel
f
(v) Linse (konkav)
F
F
Die Ursache liegt in der Auffächerung
der Lichtstrahlen an der Oberfläche
des sphärischen Spiegels.
„virtueller“
Brennpunkt
f
f
435
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Fokussierung paralleler Strahlen in der
Brennebene:
Parallele Strahlen werden hinter einer
konvexen dünnen Linse immer in
einer Ebene mit dem Abstand f fokussiert, der sogenannten Brennebene. Für Strahlen, die unter einem
beliebigen Winkel α zur optischen
Achse eintreffen, gilt:
x
tan α =
f
Diese Beziehung gilt aber exakt nur für
achsennah einfallende Strahlen.
F
α
optische Achse
Brennebene
8.5.2 Abbildungsgesetze
x
f
Die Funktion der Linse entspricht hier
einer räumlichen Fourier-Transformation.
436
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
g
b
1
2
3
G
G
F
optische
Achse
x
F
B
B
f
f
x´
Zur Abbildung müssen die drei vom Gegenstand G ausgehenden Strahlen wieder in
einem Punkt des Bildes B zusammenlaufen. Ein paralleler Strahl (1) geht hinter der
der Linse durch deren Brennpunkt F. Ein durch den vorderen Brennpunkt F
einfallender Strahl (3) verläuft hinter der Linse parallel zur optischen Achse. Der
durch das Zentrum der Linse laufende Strahl (2) bleibt unbeeinflusst. Mit diesen drei
Strahlen (eigentlich sind schon zwei ausreichend) wird die Abbildung konstruiert.
437
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Mit dem Strahlensatz für die entsprechenden Längen folgt sofort:
G g x g− f g
= = =
= −1
f
B b f
f
Daraus ergibt sich die Linsengleichung:
g g
= −1 : g
b f
1 1 1
⇒
= +
f g b
Leicht folgt mit dem Strahlensatz auch
noch eine andere Beziehung:
Daraus folgt
Gleichung“:
direkt
die
„Newton-
f 2 = x ⋅ x′
Definition der Brechkraft D einer Linse:
D=
1
f
[ D] = 1 m = 1 Dioptrie
Die Gesamtbrechkraft mehrerer dicht
hintereinander angeordneter dünner
Linsen ist:
Dges = D1 + D2 + D3 + L + Dn
1 f ges = 1 f 1 + 1 f 2 + 1 f 3 + L + 1 f n
G x f
= =
B f x′
438
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Versuch: Linsengesetz
Schirm
Lampe
Linse
Dia
g
b
Das Bild auf dem Schirm,
ist nur scharf, wenn:
1
1 1
= +
f
g b
439
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
8.5.3 Mehrlinsensysteme
f2
f1
Konstruktion des
Strahlenganges
Zwischenbild
α
B
F1
F2
z
b
d
Um den Strahlengang durch ein System von zwei Linsen zu finden, wird zunächst für
die erste Linse ein Zwischenbild konstruiert. Damit wird dann das Bild B hinter der
zweiten Linse bestimmt. Es gilt:
tan α =
z
f1
und
z d − f1
=
B
b
(*)
440
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Für die zweite Linse gilt nach dem
Linsengesetz:
1
1
1
+
=
b d − f1 f 2
⇒
1 1
1
(d − f1 ) − f 2
= −
=
b f 2 d − f1
f 2 (d − f1 )
Mit (*) folgt:
z d − f1 (d − f1 )(d − f1 − f 2 )
=
=
B
b
f1 (d − f1 )
=
d − f1 − f 2
f2
Also erhält man:
z=B
d − f1 − f 2
f2
Mit (*) und (**) folgt weiter:
tan α =
z
d − f1 − f 2
B
=B
=−
f1
f1 f 2
fs
Daraus ergibt sich schließlich die
effektive Brennweite für das System aus
beiden Linsen zu:
1 1 1
d
= + −
f s f1 f 2 f1 f 2
Sind die Brennweiten groß gegen den
Linsenabstand, also f1, f2 >> d
vereinfacht sich die Gleichung zu:
1 1 1
= +
f s f1 f 2
Dies ist die Begründung für die vorher
angegebene Additivität der Brechzahlen
bei Linsensystemen.
441
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
tatsächlicher Strahlengang
F1
F2
Brennebene
α
tan α = −
B
fs
(**)
-B
α
B
Ersatz durch eine Linse mit
gleicher effektiver Brennweite.
fs
442
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Beispiel: Kombination aus Sammel- und Zerstreuungslinse gleicher Brennweite f
d
f
-f
Der Linsenabstand sei kleiner als die Brennweite, also f > d > 0. Dann folgt:
1 1 1 d
d
= − + 2 = 2 >0
fs f f f
f
d.h. eine fokussierende und eine defokussierende Linse gleicher Brennweite f, die im
Abstand d < f montiert sind, ergeben immer eine effektive Sammellinse.
443
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
8.6 Optische Geräte
(i) Auge
Das Auge erzeugt mit einer Linse ein
Bild auf der Netzhaut. Die Brennweite
der Linse ist in einem bestimmten
Bereich variabel, um Nah- und Fernsicht zu ermöglichen.
normalsichtiges Auge:
Fernsicht:
r→∞
Bild auf der
Netzhaut
Nahsicht:
r ≈ 25 cm
444
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Kurzsichtigkeit
Weitsichtigkeit
F
F
Korrektur der Weitsichtigkeit durch
eine konvexe Linse:
Korrektur der Kurzsichtigkeit durch eine
konkave Linse:
F
F
445
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
(ii) Lupe
Verwendung einer Lupe:
Auge
α
G
β
G
s0
s0 = deutliche Sehweite
Für den Winkel, unter dem der
Gegenstand G für das normale Auge
erscheint, gilt:
tan α =
G
s0
fL
fL
Hält man eine Linse zwischen das Auge
und den Gegenstand, dann wird der
Winkel
tan β =
G
fL
Da fL < s0 erhält man die Vergrößerung:
V=
tan β s0 25 cm
=
≈
tan α f L
fL
446
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
(iii) Mikroskop
Okular
Objektiv
Zwischenbild
Δ
G
β
z
fobj
fok
fobj
Es gelten folgende Relationen
tanβ =
z
Δ fobj
GΔ
=
⇒ z=
,
fok z G
fobj
und weiter:
tan β =
GΔ
f ok f obj
fok
Die Vergrößerung ist also umso höher,
je kleiner die Brennweiten von Okular
und Objektiv sind. Vergleich zur Lupe:
G
tan α = ,
s0
tan β Δ ⋅ s0
V=
=
tan α f ok f obj
447
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
(iv) Astronomisches Fernrohr
Okular
Objektiv
Zwischenbild
α
β
z
fobj
fok
fok
Daraus folgt die Vergrößerung:
Für die Winkel gilt:
tan β =
z
f ok
tan α =
z
f obj
V=
tan β f obj
=
tan α f ok
Astronomische Fernrohre sollten daher
eine möglichst große Brennweite des
Objektivs haben.
448
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
(v) Spiegelteleskop
Spiegel
Okular
α
β
z
fok fok
Es gilt wieder:
z
z
tan α = , tan β =
fs
f ok
fs
Daraus folgt die Vergrößerung:
V=
f
tan β
= s
tan α f ok
449
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Dieselbe Optik wird in der Radioastronomie für Radiowellen benutzt:
Das Radioteleskop
Effelsberg
Empfangsantenne
= „Okular“
Sie liegt im Brennpunkt des Hohlspiegels
Hohlspiegel
450
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
8.7 Wellenoptik
8.7.1 Beugung und Interferenz
Nach dem Huygensschen Prinzip ist
jeder Punkt einer Wellenfront Ausgangspunkt einer Kugelwelle.
ebene
Welle
r
E1 ( r , t )
Kugelwelle
r
E2 (r , t )
Das führt zur Beugung. Das Licht läuft
quasi „um die Ecke“.
Die verschiedenen Wellen überlagern
sich, was zu Interferenzen führt. Zwei
Wellenfelder gleicher Frequenz und
fester Phase überlagern sich in der Art:
r
r
r
ER (r , t ) = E1 (r , t ) + E2 (r , t )
⇒ I R ∝ ER2 = (E1 + E2 )
2
451
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
konstruktive Interferenz
Kohärenz:
Zwei Wellenfronten sind kohärent,
wenn ihr Phasenunterschied zeitlich
konstant ist.
r
r,t
destruktive Interferenz
Δϕ = const.
In diesem Fall gibt es konstruktive
oder destruktive Interferenz.
452
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Michelson-Interferometer:
fester
Spiegel
Wellenfeld
E1
Wellenfeld
E2
ebene Welle
halbdurchlässiger
Spiegel
a
x/2
verschiebbarer
Spiegel
Photodiode
oder Schirm
Über die Verschiebung
Δx = x/2 wird die Wellenlänge λ gemessen.
453
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Die Wellenfelder E1 und E2 haben die
gleiche Amplitude E0, jedoch unterschiedliche Laufwege und damit auch
unterschiedliche Phasenlagen:
Wellenfeld 1:
I R ∝ E1 E1* + E1 E2* + E2 E1* + E2 E2*
Nun ist
E1 E1* = E02 exp(iωt ) exp(−i 2ka)
⋅ exp(−iωt ) exp(i 2ka)
E1 = E0 exp(iωt ) exp(− i 2ka )
= E02
Wellenfeld 2:
E2 = E0 exp(iωt ) exp(− ik (2a + x) )
= E0 exp(iωt ) exp(− i 2ka) exp(− ikx)
E2 E2* = E02
und analog
E1 E + E2 E = E1 E + (E1 E
*
2
*
1
*
2
)
* *
2
Durch Überlagerung entsteht:
ER = E1 + E2 , I R ∝ ER ER* = ER2
Also:
I R ∝ (E1 + E2 )(E1 + E2 )
*
(
= (E1 + E2 ) E1* + E2*
)
Allgemein gilt:
A + A* = a + ib + (a − ib) = 2a
= 2 Re( A)
454
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Man erhält:
I R,max ∝ 4E02
2 Re( E1E2* ) = 2 Re ( E0 exp(iωt )
exp(−i 2ka) E0 exp(−iωt )
exp(+i 2ka) exp(ikx) )
(
= 2 Re E02 exp(ikx)
)
= 2 E02 Re ( cos(kx) + i sin(kx) )
= 2 E02 cos(kx)
x1
Damit wird die Gesamtintensität:
I R ∝= 2 E02 (1 + cos(k x) )
Zwei Minima liegen im Abstand Δx :
kΔx = 2π =
2π
Δx
λ
Δx
x2
x3
x
Damit ist die Wellenlänge des Lichtes:
Δx = λ
Mit dem Interferometer können also sehr
genau Lichtwellenlängen gemessen werden.
455
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
8.7.2 Beugung am Spalt
Lichtquelle
f1
Schirm
paralleles
Licht
x
a
f1
Spalt
Die wegen des Huygensschen
Prinzips
am
Spalt
gebeugten
Strahlen interferieren miteinander,
was zu einer Intensitätsverteilung mit
Maxima und Minima führt.
I
f2
x
456
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Berechnung der Strahlintensität hinter
dem Spalt:
Pro Strecke dy im Spalt erhält man
folgenden Beitrag dE zur Feldstärke:
dE = A exp ( iωt )
a
−
2
α
x
exp ( −i k y sin α ) dy
a
2
yα
y
x
x = y sin α
Die Feldstärke ist:
E = E0 exp ( i (ωt − kx) )
= E0 exp ( iωt ) exp ( −i k y sin α )
Die Gesamtfeldstärke entlang des Spaltes ist dann:
Eges = A exp ( i ωt )
a 2
⋅
∫
exp ( −i k y sin α ) dy
−a 2
Die Integration ergibt:
Eges =
A exp ( iωt )
−ik sin α
+a 2
⋅ ⎡⎣exp ( −i ky sin α ) ⎤⎦ − a 2
457
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
⇒ Eges =
A exp ( iωt )
−ik sin α
⎡ ⎛
a
⎞
⎛ a
⋅ ⎢exp ⎜ −i k sin α ⎟ − exp ⎜ i k sin α
2
⎠
⎝ 2
⎣ ⎝
Da
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
Wir definieren die Abkürzung:
ϕ(α ) = k
a
sin α
2
Damit folgt:
A exp(iωt )
i 2ϕ(α)
⋅ [exp(iϕ(α) ) − exp(− iϕ(α) )]
Eges =
A exp(iωt ) exp(iϕ) − exp(− iϕ)
=
2i
ϕ
exp(iϕ) − exp(− iϕ)
= sin ϕ
2i
ist die Feldstärke:
sin ( ϕ(α ) )
Eges = A exp ( iωt )
ϕ(α )
Die Intensität der Strahlung ist dann:
⎛ sin ( ϕ(α ) ) ⎞
⎟
⎝ ϕ(α ) ⎠
2
*
I ges (α ) ∝
= Eges Eges
= A2 ⎜
Es ergibt sich also:
I ges (α ) = I 0
sin 2
(
(
ka
2
ka
2
sin α
sin α
)
)
2
458
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Man hat also Minima, wenn:
100%
nλ = a sin α
Iges
1
Maxima liegen vor, wenn:
0.8
0.6
sin 2 ϕ = 1
0.4
0.2
0
-10
-5
0
4,5%
5
10
1,6%
ϕ(α)
Die Intensität hat Minima bei (ϕ ≠ 0):
1
k a sin α = n π
2
1 2π
a sin α = n π
=
2 λ
sin ϕ = 0 ⇒ ϕmin =
n∈ Z
ϕmin
also
π 3π 5π
ϕ= , , ,L
2 2 2
1⎞
1
⎛
n
ka sin α
−
=
π
⎜
⎟
2⎠
2
⎝
1 2π
a sin α
=
2 λ
Daraus folgt für die Maxima:
1⎞
⎛
−
n
⎜
⎟ λ = a sin α
2⎠
⎝
459
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Hauptmaxima liegen vor, wenn
8.7.3 Beugung am Gitter
g sinα = nλ (n = 0,1,2,K)
g
Δx
g
Dabei ist n die Ordnung der Interferenz.
Analog zur Rechnung am Einzelspalt
folgt für die Intensität:
α
α
2
I ges
1.
sin 2 ϕ sin ( N Ψ )
= I0
⋅
2
sin 2 Ψ
ϕ
2.
3.
4.
5.
Der Wegunterschied zwischen dem nten und (n+1)-ten Strahl ist:
Δx = g sin α
Beugung am Beugung an
N Spalten
Einzelspalt
Hierbei sind:
1
ka sin α
2
1
Ψ (α ) = kg sin α
2
ϕ(α ) =
460
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Intensitätsverteilung hinter dem Gitter
mit N = 5 Spalten für zwei unterschiedliche Wellenlängen:
n=−2
n=−1
n=1
n=0
n =−2
n =2
N=5
I
Bei Verwendung eines Gitters mit
N = 50 Spalten erhält man wesentlich
schärfere Linien:
n =−1
N=50
I
25
2500
20
2000
15
1500
10
1000
5
500
n =2
n =1
n =0
0
0
-6
-4
-2
0
2
4
-6
6
α
-4
-2
0
2
4
6
α
461
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Es gilt offensichtlich:
8.7.4 Beugung von Röntgenstrahlen
Δx
= d sin Θ
2
Wellenlänge λ
Damit folgt für die Maxima der
Röntgenstrahlung die sog. BraggGleichung:
α
Θ
Θ
Δx
2
d
Δ x = N λ ⇒ 2 d sin Θ = N λ
Messung
ist bekannt
Die Röntgenwellenlängen
sehr kurz:
Kristall
sind
λ R ≈ 10 −9 − 10 −10 m
Durch Messung des Winkels Θ
kann die Gitterkonstante d von
Kristallen bestimmt werden.
462
Experimentalphysik II (Kip SS 2009)
Prinzipieller Aufbau eines Streuexperiments mit Röntgenstrahlung:
Laue-Diagramme von Zinkblende
Kristall
Kollimatoren
Röntgenröhre
463