Zusatzvorlesung 6 - Berechnung von Magnetfeldern

Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Zusatzvorlesungen:
Z-1
Z-2
Z-3
Z-4
Z-5
Z-6
Ein- und mehrdimensionale Integration
Gradient, Divergenz und Rotation
Gaußscher und Stokesscher Integralsatz
Kontinuitätsgleichung
Elektromagnetische Felder an Grenzflächen
Berechnung von Magnetfeldern
337
Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Z-6 Berechnung von Magnetfeldern
Z-6.1 Einführung
Im Falle des elektrischen Feldes lieferte
das Superpositionsprinzip:
dE =
1
4πε 0
dq ( r − r ′ )
r − r′
dE
E=
ρ (r ′)( r − r ′ )
4πε 0
V′
r − r′
3
dV ′
dq = ρ dV ′
r − r'
3
1 dq ( r − r ′ )
E = dE =
4πε 0 r − r ′ 3
1
Ladung
r'
r
0
Aus der Ladungsdichte (den "Quellen")
kann mit Hilfe eines Volumenintegrals direkt das elektrische Feld berechnet werden.
338
Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Da es keine magnetischen Ladungen
gibt, wird zur Berechnung des Magnetfeldes das Feld von „kleinen Dipolen“
überlagert werden.
Wir betrachten jetzt ein von einem Strom
I durchflossenes Leiterelement dl ,dass
sich am Ort r '
befindet und am Ort r das
Magnetfeld dB erzeugt.
I dl
Leiter
dB
r
)
µ0 I dl × ( r − r '
dB =
3
4π
r −r '
Das Feld eines stromdurchflossenen
Leiters ergibt sich dann durch Integration:
dl × ( r − r '
)
µ0 I
B(r ) =
4π
r − r'
r'
Das Biot-Savartsche Gesetz besagt,
dass sich für dB das Folgende ergibt:
3
r −r '
Leiter
I
Dabei ist das Integral entlang der
Linie des Verlaufes des Leiters zu
berechnen.
0
339
Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Z-6.2 Linienintegral & Kreuzprodukt
Das vorherige Integral ist kein Linienintegral: das Resultat ist hier ein Vektor.
Trotzdem kann, ähnlich wie bei der
Berechnung der Arbeit, die Verlaufslinie
des Leiters parametrisiert werden:
Leiter
r'
(t ) =
x ′( t )
y ′( t )
dl = dr ′
dr '
(t )
dt =
dt
dt
t ∈ [t1 , t 2 ]
dl × ( r − r '
)
µ0 I
B(r ) =
4π
3
r −r '
Leiter
t2
z ′( t )
I
0
(t ) =
dr '
dx ′ ( t )
dt
dy ′ ( t )
dt
dz ′ ( t )
dt
µ0 I dr ′(t ) r − r ′(t )
=
×
dt
3
4π t dt
r − r ′(t )
1
Hiermit kann das magnetische Feld für
jeden beliebigen Strom, der entlang
einer Kurve im Raum fließt, berechnet
werden. Dies wird nun anhand der
„üblichen“ Beispiele erläutert.
340
Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
t2 = +∞
Z-6.3 Unendlich langer stromdurchflossener Draht
z
x
Das magnetische Feld im Abstand r
von einem unendlich langen stromdurchflossenen Draht wird nun berechnet. Aus der Grafik folgt:
0
dr ′(t )
= 0
dt
1
t
x
r − r ′(t ) = y
−t
0
3
r ′(t )
r − r ′(t )
(
r − r ′(t ) = x 2 + y 2 + t 2
)
0
r
0
r ′(t ) = 0
x
r= y
dr ′(t )
I
t1 = −∞
Damit ergibt sich:
1
dr ′(t ) r − r′(t )
×
=
3
dt
r − r ′(t )
x2 + y 2 + t 2
(
32
=
(x
1
2
+ y +t
2
0
)
32
x
0 × y
1
−t
−y
)
2 32
x
0
341
Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Dies muss jetzt in die Formel für das Linienintegral mit Kreuzprodukt eingesetzt werden.
Als Grenzen für den Parameter t ergeben
sich t2 = +∞ und t1 = −∞ .
dl × ( r − r '
)
µ0 I
B (r ) =
4π
1
µI
= 0
4π
t2
t1
(x
−∞
−y
1
2
+ y2 + t 2
+∞
x
0
2
+t
µI
B(r ) = 0
4π
t2
−y
(a
dt
3
r −r '
µ0 I dr ′(t ) r − r ′(t )
=
×
dt
3
4π t dt
r − r ′(t )
µ0 I
4π
∞
−∞
Leiter
B (r ) =
Es ist (z.B. Bronstein)
(x
)
32
+ y +t
2
2
0
)
32
−y
)
32
+∞
x
0
2
a2
−∞
(x
dt
2
+ y +t
2
2
)
32
−y
µ0 I
2
x
=
x2 + y2
4π
0
=
dt
2
x dt
2
=
µ0 I
2π r 2
−y
µI
x = 0 eϕ
2π r
0
342
Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Z-6.4
Zentrum einer kreisförmigen
Leiterschleife
Das magnetische Feld im Zentrum
einer kreisförmigen Leiterschleife soll
nun auch mit diesem Schema berechnet werden. Aus der Abbildung liest
man ab:
x′(t )
R cos(t )
r'
(t ) = y′(t ) = R sin(t ) , t ∈ [0, 2π ]
0
0
− R sin(t )
dr '
(t )
= R cos(t )
dt
0
− R cos(t )
(t ) = − R sin(t )
r = 0, r − r '
I
dr ′
y‘
r′
t
R
x‘
B(0) = ?
(t ) = R
r −r '
0
343
Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
dr '
(t ) r − r '
(t )
×
3
dt
r −r '
(t )
− R sin(t )
Z-6.5 Vergleich elektr./magn. Feld
− R cos(t )
1
= R cos(t ) × − R sin(t ) 3
R
0
0
=
1
R3
0
0
R 2 sin 2 (t ) + R 2 cos 2 (t )
0
=
1
0
R
1
dl ×( r − r '
) = µ0I e 2π 1 dt = µ0I e
z
z
3
4π 0 R
2R
r −r '
Leiter
dq ( r − r ′ )
Elektr. Feld:
dE =
Magn. Feld:
)
µ0 I dl × ( r − r '
dB =
3
4π
r −r '
4πε 0
r − r′
3
also
dq = ρ dV
1
Damit ergibt sich für das Feld im Ursprung:
µI
B(r ) = 0
4π
1
ε0
⇔
I dl
⇔ µ0
Beispiel: Feld eines unendlich langen
Leiters ist ( dq = λ dl ⇔ I dl ):
E=
λ
er ,
2πε 0 r
⇔
B=
µ0 I
eϕ
2π r
344