Ubung 3 - (IGPM) | RWTH Aachen
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Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Partielle Differentialgleichungen – WS 09/10 Prof. Dr. W. Dahmen – Prof. Dr. S. Müller Dipl.-Ing. M. Rom – Dipl.-Math. P. Esser Übung 3 Aufgabe 7: (Fourier-Analyse) Auf dem Einheitsquadrat Ω := (0, 1)2 soll das Randwertproblem −∆u = 1 u = 0 in Ω auf ∂Ω gelöst werden. Als Ansatz für u wird die Zerlegung u(x) = ∞ X ak,l ϕk,l (x) k,l=0 mit den Funktionen ϕk,l (x) = sin(kπx1 ) sin(lπx2 ) und den zu bestimmenden Koeffizienten ak,l gewählt. Gehe nun wie folgt vor: a) Zeige, dass die Rechteckfunktion f ür 1 F (x) := −1 f ür 0 f ür die Fourier-Entwicklung F (x) = π4 (sin x + x ∈ (0, π) x ∈ (π, 2π) x = 0, π, 2π sin 3x 3 + sin 5x 5 + · · · ) hat. b) Stelle mit Hilfe von a) die Funktion ( 1 f ür f (x) := 0 f ür in der Form f (x) = P∞ k,l=0 bk,l x∈Ω x ∈ ∂Ω ϕk,l (x) dar. c) Zeige, dass die Funktionen ϕk,l für k, l ∈ N Eigenfunktionen von −∆ sind. d) Löse mit Hilfe von c) das obige Randwertproblem. e) Zeige, dass die Lösung nicht aus C 2 (Ω) ist. 2 Aufgabe 8: (Koordinatentransformation und Typeneinteilung) Wir betrachten die partielle Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten a, b, c, d, e, f , gegebener rechter Seite r(x, y) und der gesuchten Funktion u(x, y), auxx + 2buxy + cuyy + dux + euy + f u = r(x, y). (1) Wir führen eine Koordinatentransformation ξ = φ(x, y), η = ψ(x, y) der Form ξ γ1 0 x = Q mit γ1 , γ2 > 0 η 0 γ2 y durch, wobei Q eine orthogonale Matrix mit λ1 0 a b T QAQ = ist, und λ1 , λ2 die Eigenwerte von A = sind. 0 λ2 b c a) Zeige, dass für v(φ(x, y), ψ(x, y)) = u(x, y) dann auxx + 2buxy + cuyy = λ1 γ12 vξξ + λ2 γ22 vηη gilt. b) Zeige, dass man die Koordinatentransformation stets so wählen kann, dass (1) nach der Transformation elliptischen vξξ + vηη = F (v, vξ , vη , r̃) parabolischen vξξ = G(v, vξ , vη , r̃) im Fall die Form hat, hyperbolischen vξξ − vηη = H(v, vξ , vη , r̃) wobei F , G und H linear sind und r̃(φ(x, y), ψ(x, y)) = r(x, y) ist. Aufgabe 9: (Allgemeiner Differenzenstern, M-Matrix) Wir betrachten die partielle Differentialgleichung a11 (x, y) 0 − div(A ∇u) = f mit A := A(x, y) = , 0 a22 (x, y) wobei die aii (x, y) hinreichend glatt sind. a) Leite einen 5-Punkt-Differenzenstern für diese PDE her. b) Für welche a11 (x, y), a22 (x, y) ist die entstehende Diskretisierungsmatrix eine MMatrix, also irreduzibel diagonaldominant? 3 Aufgabe 10: (Programmieraufgabe: C++-Matrix/Vektor-Klasse) Um die im weiteren Verlauf der Vorlesung auftretenden numerischen Verfahren implementieren zu können, benötigen wir Klassen, um Matrizen und Vektoren zu speichern. Diese sollen alle notwendigen Operationen bereitstellen: • Skalarprodukt zweier Vektoren • Addition zweier Vektoren • Multiplikation Skalar * Vektor/Matrix • Multiplikation Matrix * Vektor • Operator = bei Vektoren/Matrizen • Operator == bei Vektoren • Euklidische Norm eines Vektors Wir haben schon bei einfachen Differenzenverfahren gesehen, dass die auftretenden Matrizen häufig dünnbesetzt sind, d.h. sie enthalten nur wenige Nicht-Null-Einträge. Um diese effizient zu speichern, bietet sich das Compressed Row Storage-Format an (siehe z.B. http://de.wikipedia.org/wiki/Compressed Row Storage). Alternativ könnte man z.B. Hash-Maps verwenden (std::tr1::unordered map<T>). Für die Vektoren empfiehlt sich die Verwendung von std::valarray<T>. [Bearbeitungszeit Aufgabe 10: 2 Wochen]
