Aufgaben

UNIVERSITÄT DUISBURG-ESSEN
Fachbereich Physik, Campus Essen
WS 2004/2005
Dr. habil. Axel Pelster
Mathematik-Eingangstest
Donnerstag, 21. Oktober 2004, 14.00 Uhr bis 16.00 Uhr, T03 R06 D86
Name:
Matrikelnummer:
Aufgabe
a
1
Algebra
1
2
b c d
1 1 1 3
3
4
3
a b
1 1
Funktionen
6
a b a b c a
1 2 1 1 1 2
5
7
b c
2 2
d
2
Diff.-Rechn.
8
a b c d e f
1 1 1 1 1 1
Punkte
gesamt
Aufgabe
Punkte
gesamt
Diff.-Rechn.
9
10
a
b
3 3
3
Int.-Rechn.
11
a b c d e
1 1 1 1 1
12
a b
1 1
Vektorrechn.
13
14
15
a b a b
1 1 1 1 1
16
a b
1 1
Σ
55
I. Algebra
Aufgabe 1 (4 Punkte)
a) Kürzen Sie:
(1 Punkt)
x2 + 2x
=
(x + 2)2
b) Vereinfachen Sie:
u
−
v
1
+
u
v
u =
1
v
c) Machen Sie den Nenner rational:
√
(1 Punkt)
(1 Punkt)
48
=
7+1
d) Bestimmen Sie die Lösungen von x2 − 10x + 21 = 0:
(1 Punkt)
Aufgabe 2 (3 Punkte)
Lösen Sie das lineare Gleichungssystem in x und y:
Aufgabe 3 (3 Punkte)
Bestimmen Sie die Lösung:
√
x+5=x−1
4x + 7y = a
2x + 3y = b
II. Funktionen
Aufgabe 4 (2 Punkte)
a) Geben Sie ein Beispiel für eine (nicht konstante) Folge an an, die für n → ∞ gegen den
Grenzwert 1 konvergiert.
(1 Punkt)
b) Bestimmen Sie den Grenzwert:
(1 Punkt)
3x2 − 3
=
x→1 x − 1
lim
Aufgabe 5 (3 Punkte)
a) Vereinfachen Sie:
ln
(1 Punkt)
e2x
=
e5x
b) Lösen Sie:
2x−3 = 31−x
(2 Punkte)
Aufgabe 6 (3 Punkte)
a) Wieviel Grad hat ein Winkel, wenn sein Bogenmaß π/2 beträgt?
b) Vereinfachen Sie
(1 Punkt)
(1 Punkt)
1 − cos2 x
=
sin x cos x
c) Gegeben sei das folgende Dreieck:
Drücken Sie sin α durch u, v und w aus!
(1 Punkt)
Aufgabe 7 (8 Punkte)
Fertigen Sie Skizzen der folgenden Funktionen an. Zeichnen Sie die Funktionen in die vorgegebenen
Koordinatensysteme ein, nachdem Sie den Maßstab geeignet gewählt haben.
y
y
6
6
- x
a)
- x
b)
y = cos2 (x)
y = sin x und y = sin(2x)
y
y
6
6
- x
c)
- x
d)
y =1−x
2
(x − 1)2 + (y − 0.5)2 = 2.25
III. Differentialrechnung
Aufgabe 8 (6 Punkte)
Bilden Sie die erste Ableitung (den Differentialquotienten) y 0 = f 0 (x) der folgenden Funktionen
y = f (x):
a) f (x) = 5x3
b) f (x) =
√
x
(1 Punkt)
(1 Punkt)
c) f (x) = ex
(1 Punkt)
d) f (x) = ln x
(1 Punkt)
e) f (x) = sin x
(1 Punkt)
f) f (x) =
√
1 + x2
(1 Punkt)
Aufgabe 9 (3 Punkte)
Unter allen Rechtecken mit den Seitenlängen a und b ist bei gegebenem Flächeninhalt A dasjenige
mit minimalem Umfang U zu bestimmen.
Aufgabe 10 (6 Punkte)
a) Bestimmen Sie die Extremwerte und Wendepunkte der Funktion f (x) =
1
1
−
. (3 Punkte)
x2 x
b) Skizzieren Sie im folgenden Diagramm den Verlauf der 1. und der 2. Ableitung der eingezeichneten Funktion!
(3 Punkte)
IV. Integralrechnung
Aufgabe 11 (5 Punkte)
Geben Sie die unbestimmten Integrale a), b), c) und die bestimmten Integrale d), e) an.
a)
Z
dx
=
x
(1 Punkt)
b)
Z
sin x dx =
(1 Punkt)
c)
Z
x cos x dx =
(1 Punkt)
d)
Z1
xdx
=
1 + x2
(1 Punkt)
0
e)
Z1
−1
√
4e−x dx =
(1 Punkt)
V. Vektorrechnung
Aufgabe 12 (2 Punkte)
a) Zeichnen Sie den Vektor ~a + ~b ein.
(1 Punkt)
1
³
³
~b
³³
³³
³³
³
PP
P
³³
PP
³
PP
~a
PP
PP
P

PP
PP
P
q



1
3



b) Für ein kartesisches Koordinatensystem seien ~a = 
 2  und ~b =  2  die Komponenten3
0
darstellungen zweier Vektoren. Berechnen Sie:


......

~a − ~b = 
 ...... .
......
(1 Punkt)
Aufgabe 13 (2 Punkte)
a) Wann verschwindet das Skalarprodukt zweier Vektoren ~a und ~b: ~a · ~b = 0?
(1 Punkt)
b) Berechnen Sie das Skalarprodukt der beiden folgenden Vektoren:
(1 Punkt)

 

2
2

 

 −1  ·  4  =
5
−3
Aufgabe 14 (2 Punkte)
a) Wann ist das Vektorprodukt (oder Kreuzprodukt) zweier Vektoren ~a und ~b der Nullvektor:
~a × ~b = ~0?
(1 Punkt)
b) Berechnen Sie das Vektorprodukt der beiden folgenden Vektoren:



(1 Punkt)

2
2

 

 −1  ×  4  =
−3
5
Aufgabe 15 (1 Punkt)
Es seien ~a, ~b, ~c drei fest vorgegebene Vektoren. Was für eine geometrische Figur wird dann durch
~a + x~b + y~c
beschrieben, wenn x, y alle reellen Zahlen durchlaufen? (Die Endpunkte dieser Summenvektoren
durchlaufen die gefragte Figur.)
Aufgabe 16 (2 Punkte)
a) Zeichnen Sie die Gerade, die durch die Punkte P1 = (x1 , y1 ) = (0, 1) und P2 = (−2, −1) geht,
in das Koordinatensystem ein. (Einheit = 2 Kästchen)
(1 Punkt)
y
6
1
-
1
x
b) Geben Sie die Gleichung dieser Geraden in den Koordinaten x und y an:
(1 Punkt)