¨Ubungen zur Vorlesung Kommunikation in Parallelen

Rolf Wanka
Erlangen, 13. Januar 2010
Übungen zur Vorlesung
Kommunikation in Parallelen Rechenmodellen
WS 2009/2010
Blatt 10
AUFGABE 26:
Seien ā = (a1 , . . . , an ) und b̄ = (b1 , . . . , bn ) zwei beliebige Zahlenfolgen. Man sagt, b̄ dominiert ā,
falls für alle i ∈ {1, . . . , n} gilt: ai ≤ bi .
sort(ā) möge die sortierte Zahlenfolge bezeichen.
(a) Zeigen Sie: Falls ā von b̄ dominiert wird, dann wird auch sort(ā) von sort(b̄) dominiert.
(b) Nutzen Sie dies, um zu zeigen: Werden die Spalten einer beliebigen n × m-Matrix sortiert
und dann die Zeilen, dann bleiben die Spalten sortiert.
(c) Wenn die Matrix aus (b) schlangenförmig numeriert ist (siehe Aufgabe 13 auf Blatt 4) und
das Sortieren der Spalten und der Zeilen bzgl. dieser Numerierung erfolgt (also eine Runde
von S HEAR S ORT ausgeführt wird) welche Dominanzen können Sie garantieren und warum?
(d) Betrachten Sie nun ein schlangenförmig numeriertes n × 2-Gitter. Beweisen Sie mit Dominanzen und ohne 0-1-Prinzip, daß zwei Runden von S HEAR S ORT zum Sortieren ausreichen.
AUFGABE 27:
Seien α und β beliebige Zahlen mit α > 0 und β > 1, und seien n und c natürliche Zahlen. Ein
bipartiter (α, β, n, c)-Expander ist ein bipartiter Graph G = (A, B, E) mit
(1) |A| = |B| = n,
(2) alle Knoten haben Grad min{n, c},
(3) ∀ X ⊆ A, |X| ≤ α · n: |Γ(X)| ≥ β · |X| und
∀ Y ⊆ B, |Y | ≤ α · n: |Γ(Y )| ≥ β · |Y |
Dabei bezeichent Γ(U) die Menge aller Nachbarn der Knoten in U.
Zeigen Sie durch ein probabilistisches Existenz-Argument:
Ist α < β1 · (4βe1+β )−1/(c−β−1) bei beliebigem n, so gibt es (α, β, n, c)-Expander.