Einführung in die Topologie (SS 14) - math.uni

Einführung in die Topologie (SS 14)
Bernhard Hanke
Universität Augsburg
28.04.2013
Bernhard Hanke
1/7
Definition
Sind (X , d) und (X 0 , d 0 ) metrische Räume, so heißt f : X → X 0
I
eine Isometrie, falls f bijektiv ist und für alle x, y ∈ X :
d 0 (f (x), f (y )) = d(x, y )
In diesem Fall ist auch f −1 eine Isometrie und f ein
Homöomorphismus.
I
isometrische Einbettung, falls für alle x, y ∈ X :
d 0 (f (x), f (y )) = d(x, y )
In diesem Fall ist die induzierte Abbildung f : X → f (X ) eine
Isometrie.
Eine Vervollständigung eines metrischen Raumes X ist ein vollständiger
metrischer Raum Y zusammen mit einer isometrischen Einbettung
f : X → Y , so dass f (X ) dicht in Y liegt, d.h. f (X ) = Y .
Bernhard Hanke
Vollständige metrische Räume
2/7
Proposition
Es sei X ein metrischer Raum. Dann existiert eine isometrische Einbettung
von X in einen vollständigen metrischen Raum.
Satz (Existenz der Vervollständigung)
Ist X ein metrischer Raum, so existiert eine Vervollständigung
X ,→ Y .
Proposition (Eindeutigkeit der Vervollständigung)
Es sei X ein metrischer Raum und es seien
f1 : X → Y1 , f2 : X → Y2
Vervollständigungen von X . Dann existiert genau eine Isometrie
φ21 : Y1 → Y2
mit φ21 |f1 (X ) = f2 ◦ f1−1 .
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Vollständige metrische Räume
3/7
Beispiel
Für U ⊂ Rn und 1 ≤ p < ∞ definiert man
I
den Banach-Raum Lp (U) bestehend aus Äquivalenzklassen von
messbaren Funktionen f : U → R, so dass |f |p Lebesgue-integrierbar
ist, versehen mit der Metrik
Z
p
|f (x) − g (x)|
dp (f , g ) :=
1/p
.
U
I
den Vektorraum Cc∞ (U) der unendlich oft differenzierbaren
Funktionen U → R mit kompaktem Träger, versehen mit der gleichen
Metrik.
Die kanonische Inklusion
Cc∞ (U) ,→ Lp (U)
ist eine Vervollständigung von (Cc∞ (U), dp ).
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Vollständige metrische Räume
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Kompaktheit
Definition
Es sei X ein topologischer Raum. Eine offene Überdeckung von X ist eine
Familie (Ui )i∈I offener Teilmengen von X , mit
[
Ui = X .
i∈I
Der Raum X heißt kompakt, falls jede offene Überdeckung von X eine
endliche Teilüberdeckung besitzt, also
[
Ui = X .
i∈I0
für eine endliche Teilmenge I0 ⊂ I .
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Kompaktheit
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Eine Familie C von Teilmengen von X habe die endliche Schnitteigenschaft,
falls der Schnitt je endlich vieler Mengen aus C nichtleer ist.
Proposition
Ein Raum X ist genau dann kompakt, falls jede Familie (Ci )i∈I von
abgeschlossenen Teilmengen von X , die dieTendliche Schnitteigenschaft
besitzt, einen nichtleeren Schnitt hat, d.h. i∈I Ci 6= ∅.
Beispiele
I
Q ∩ [0, 1] ist nicht kompakt.
I
Ist X ein kompakter Raum und Y homöomorph zu X , so ist Y
ebenfalls kompakt.
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Kompaktheit
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Proposition
Jede kompakte Teilmenge eines Hausdorffraumes ist abgeschlossen.
Proposition
Ist X kompakt und f : X → Y stetig, so ist auch f (X ) ⊂ Y kompakt.
Proposition
Jeder abgeschlossene Teilraum eines kompakten Raumes ist kompakt.
Proposition
Es sei f : X → Y eine bijektive stetige Abbildung von einem kompakten
Raum in einen Hausdorffraum. Dann ist f ein Homöomorphismus.
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Kompaktheit
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