Übungsblatt 13

Wahrscheinlichkeitstheorie und Inferenz I
Prof. Dr. Matthias Schmid, Georg Schollmeyer, Lisa Möst
13. Übungsblatt
Aufgabe 1
Sei X eine Zufallsvariable und folge einer Weibull-Verteilung mit Parametern α > 0 und
β > 0, d.h. mit Dichte
f (x; α, β) = αβxβ−1 exp(−αxβ ),
x ≥ 0.
Welcher Verteilung folgt Y = X β ? Bestimmen Sie hierzu die Dichte von Y und suchen
Sie diese im Vorlesungsskript.
Aufgabe 2
Bei der Lufthansa ist aus Erfahrung bekannt, dass etwa 18% der Fluggäste ihre gebuchte
Reise nicht antreten. Um die Auslastung der Flugzeuge möglichst hoch zu halten, werden
mehr als die verfügbaren 150 Plätze in einem Airbus A320 verkauft.
1. Berechnen Sie mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Passagier nicht mitgenommen werden kann, wenn 170 Plätze verkauft
werden.
2. Wieviele Plätze sollte die Lufthansa maximal verkaufen, wenn die Wahrscheinlichkeit
für ein solches Missgeschick kleiner 0.01 sein soll?
Hinweis: Nehmen Sie an, dass die Entscheidungen über das Antreten der Reise zwischen
den einzelnen Passagieren unabhängig sind. Desweiteren in R: Φ(x) = pnorm(x) und
Φ−1 (x) = qnorm(x).
Aufgabe 3
Es seien X1 , . . . , Xn unabhängig identisch verteilt mit Xi ∼ χ22 (χ2 -Verteilung mit zwei
Freiheitsgraden). Zeigen Sie, daß
n
1X
Xi P 1
→ .
exp −
n i=1
2
2
Aufgabe 4
Es seien X1 , . . . , Xn stu mit Xi ∼ U (0, 1) für alle i = 1, . . . , n. Zeigen Sie, daß
n
Y
! n1
Xi
P
→c
i=1
und bestimmen Sie die Konstante c.
Aufgabe 5
Sei Y eine N (0, 1)-verteilte Zufallsvariable und Xi , i = 1, . . . , n, N (0, 1)-verteilte Zufallsvariablen.
Zeigen Sie, dass
Y
D
s n
−→ N (0, 1).
1X 2
X
n i=1 i
Übungen: Donnerstags 10–12h und 12–14h
1
Bearbeitung: 30.01.2014
Wahrscheinlichkeitstheorie und Inferenz I
Prof. Dr. Matthias Schmid, Georg Schollmeyer, Lisa Möst
Aufgabe 6
Seien X1 , . . . , Xn u.i.v. mit Xi ∼ LogN (µ, σ 2 ),
13. Übungsblatt
σ 2 < ∞.
Zeigen Sie zunächst, dass log(Xi ) ∼ N (µ, σ 2 ).
Zeigen Sie dann, dass
√

n
n
Y
! n1
Xi

D
− exp(µ) → N (0, σ 2 exp(µ)2 ).
i=1
Hinweis:
Die Dichte von Xi , i = 1, . . . , n, lautet
1
1 (log(xi ) − µ)2
√ · exp −
· I(0,∞) (xi ).
fXi (xi ) =
2
σ2
xi σ 2π
Übungen: Donnerstags 10–12h und 12–14h
2
Bearbeitung: 30.01.2014