1. ZAHLENSYSTEME
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PDT - 3. JG Kerbl (ca. 8W) Erstellt: 15.9.1998 16:00 1. ZAHLENSYSTEME 1.2 Zahlendarstellungen Stellenschreibweise; jeder Stelle wird ein GEWICHT zugeordnet Dezimalsystem Die Gewichte der Stellen sind 10°, .... Binärsystem Gewichte sind die Potenzen von zwei. Zeichensätze: H,L L,0 0,1 (Aufschreiben der Potenzen von 2) Binärsystem -> Dezimalsystem: Dezimalsystem -> Binärsystem: Aufsummieren der gewichteten Stellen höchste enthaltene Zweierpotenz, Rest weiter beahndeln Hexadezimalsystem Zusammenfassung von vier Stellen des Binärsystems wegen leichterer Lesbarkeit. Umwandlung Binärsystem in Hexsystem und umgekehrt. Kennzeichnung einer Hexadezimalzahl Übungen: Umwandeln zwischen Hex-System, Dezimalsytsem und Binärsystem Einfaches Rechnen: Addieren, Multiplizieren im Zweiersystem (Anpassen der Regeln aus dem Dezimalsystem) 1.2 Darstellung negativer ganzer Zahlen 1.2.1 Darstellung mit Betrag und Vorzeichen MSB (most significant Bit) wird als Vorzeichen verwendet Null ist zwei mal vorhanden Negative Zahlen sind einfach zu erkennen. Rechnen ist schwierig 1.2.2 Einerkomplementdarstellung Invertieren aller Stellen Null ist zweifach vorhanden Negative Zahlen sind einfach zu erkennen 1.2.3 Zweierkomplementdarstellung Zuordnung der Binärzahlen zu den Werten („Zahlenkreis“) Betragsmäßig größte negative und größte positive Zahl Auch die Zweierkomplementdarstellung ist eine Stellenschreibweise. Das Gewicht der höchsten Stelle ist die größte darstellbare negative Zahl Null ist nur einmal vorhanden Negative Zahlen sind sofort zu erkennen Gerade / ungerade Zahlen sind sofort zu erkennen. Einfaches Addieren und Subtrahieren (->nächstes Kapitel) Auch die Zweierkomplementdarstellung ist eine Stellenschreibweise, das Gewicht der höchsten Stelle ist aber negativ zu werten 1.2.4 Offsetdarstellung Negative Zahlen sind einfach zu erkennen, allerdings ist das Vorzeichen „-„ der Wert 0 „Wert“ der Zahlen ist nur schwer zu erkennen Rechnen ist einfach 1.3 Rechnen mit Stellenwertsystemen 1.3.1 Addieren Dezimalsystem: Übertrag auf die nächste Stelle beim Addieren; Zweierkomplement: Uneingeschränktes Rechnen ist möglich, Erkennen von Überlauf, Möglichkeiten für das Auftreten eines Zahlenbereichsüberlaufes Funktion „Addiere eine Binärstelle“: Ausgänge: Eingänge: Summe, Übertrag (Carry Out) Summand A, Summand B, Übertrag (Carry In) Hintereinanderschaltung -> Addierwerk für .... Stellen Der Übertrag läuft durch • Addition einer positiven und einer negativen Zahl führt NIE zum Überlauf (Ergebnis kann positiv oder negativ sein) • Addition zweier positiver Zahlen bewirkt eine positive Zahl , andernfalls Überlauf • Addition zweier negativer Zahlen bewirkt eine negative Zahl, andernfalls Überlauf 1.3.2 Bildung des Komplements der Zahl Invertieren und Addieren von „1“ Vorsicht: Bei Bildung des Komplements der betragsmäßsig größten negativen Zahl kann ein Zahlenbereichsüberlauf auftreten 1.3.2 Betragsbildner Abhängig vom Wert des MSB wird entweder die Zahl selbst oder ihr Komplement für den Betrag genommen 1.3.3 Multiplizieren Das Multiplizieren kann auf eine fortgesetzte Addition zurückgeführt werden, wobei dauern eine Verschiebung des Summanden erfolgen muss. Negative Zahlen: Bildung des Betrages, Multiplikation, ggfs. Bildung des Komplements des Ergebnisses 1.4 Darstellung von Rationalen Zahlen 1.4.1 Fixkommadarstellung Verschiebung der Gewichte der Stellen; auch negative Hochzahlen sind erlaubt. Größte und kleinste Zahl bei einer binären 8:2 Darstellung (Komma benötigt keine Stelle) 00000001 11111111 -Gewichte 2^5 .... 2^-2 1.4.2 Gleitkommadarstellung Exponent (vorzeichenbehaftet), Mantisse (vorzeichenbehaftet) Relative Auflösung bleibt gleich Zahlenbereich Anzahl der Exponentenstellen Anzahl der Stellen der Mantisse Vorzeichen der Zahl Normierte Zahlen „Hidden“ Bit 1.5 Rechnen mit rationalen Zahlen 1.5.1 Betragsbildung 1.5.2 Bildung des Komplements 1* 2^-2 = 0.25 =63,75 1.5.3 Bildung der konjugierten Zahl (1/..) Division muss durch fortgesetztes Probieren („ist enthalten“) und durch Ermitteln des Restes erfolgen ! Diese Funktion ist wesentlich komplizierter durchzuführen als 1.5.4 Multiplikation 1.5.5 Addition 1.5.6 Besonderheiten Auslöschung bei Addition Abhilfe
