Mathematik für Betriebswirte I (Lineare Algebra) 1. Klausur Wintersemester 2015/2016 02.02.2016 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrikelnummer: Studienfach: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Name des Tutors: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vorkurs Mathematik besucht? Ja Nein Unterschrift der/des Studierenden: Überprüfen Sie die Klausur auf Vollständigkeit, sie besteht aus 12 Seiten. Bemerkungen: Aufgabe max. Pkt. 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 10 Summe 90 Note err. Pkt. Aufgabe 1: Vollständige Induktion (10 Punkte) Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass für alle n ∈ N die Gleichung n X i(i + 1)(i + 2) = i=1 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 4 gilt. Lösung: (2 Punkte) Induktionsanfang (n = 1): 1 X 1(1 + 1)(1 + 2) = 6 = i=1 24 4 (2 Punkte) Induktionsschluss (n 7→ n + 1): Zu zeigen ist: n+1 X i(i + 1)(i + 2) = i=1 (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) 4 (6 Punkte) Ansatz: n+1 X i(i + 1)(i + 2) = n X i(i + 1)(i + 2) + (n + 1)(n + 2)(n + 3) i=1 i=1 = (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) 4 2 Aufgabe 2: Mengenlehre (10 Punkte) Aufgabe 2.1. Es seien A,B,C ⊂ Ω drei Teilmengen einer Grundmenge Ω, und es gelte: A ⊂ B und B ∩ C = ∅. Bestimmen Sie die folgenden Mengen: a) C\A b) A\B Aufgabe 2.2. Gegeben seien in R die Mengen: A={x ∈ R : −7 ≤ x < 5}, C = (−1, ∞) B = [0, 5] Ermitteln Sie die folgenden Mengen: a) A ∩ C b) A ∩ C c) A ∪ B ∩ C Lösung 2.1: a) (2 Punkte) C\A = C b) (2 Punkte) A\B = ∅ Lösung 2.2: a) (2 Punkte) A ∩ C = {x ∈ R : −1 < x < 5} b) (2 Punkte) A ∩ C = {x ∈ R : −7 ≤ x ≤ −1} c) (2 Punkte) A ∪ B ∩C = {x ∈ R : x ∈ (−1, 5) ∨ x ∈ (5, ∞)}={x ∈ R : (−1, ∞) \ {5}} 3 Aufgabe 3: Komplexe Zahlen (10 Punkte) Aufgabe 3.1. Berechnen Sie den folgenden Ausdruck: |−3i| (3 − 3i) · (3 − 3i) + 3 + 9i 1 − 3i ! · 1 + 3i 3 Aufgabe 3.2. Bestimmen Sie alle reellen und komplexen Lösungen der folgenden Gleichung: −2z 2 + 16z − 130 = 0 Lösung 3.1: (5 Punkte) |−3i| 1−3i + (3−3i)·(3−3i) 3+9i · 1+3i 3 √ (−3)2 1+3i = + (3+3i)·(3−3i) 3+9i · 1+3i 3 =3 Lösung 3.2: (5 Punkte) −2z 2 + 16z − 130 = 0 Die Gleichung ist äquivalent zu: z 2 − 8z + 65 = 0 Mit der p-q-Formel ergibt sich: z1 = 4 + 7i ∨ z2 = 4 − 7i 4 Aufgabe 4: Surjektivität und Injektivität (10 Punkte) Gegeben sei die folgende Abbildung mit nicht leeren Mengen D und E: f :D→E x 7→ f (x) = −2x2 + 4x a) Untersuchen Sie f mit D = R und E = (−∞, 2] auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität. Begründen Sie ihre Antwort kurz und skizzieren Sie den Verlauf des Graphen von f . b) Bestimmen Sie D und E derart, dass f 1. injektiv, aber nicht surjektiv ist. 2. f bijektiv ist. c) Bestimmen Sie für den bijektiven Fall die Umkehrfunktion von f . Lösung a) (2 Punkte) f ist nicht injektiv; f ist surjektiv; f ist nicht bijektiv b) (2 Punkte) 1. Für D = (−∞, 1] und E = R ist f injektiv, aber nicht surjektiv. (2 Punkte) 2. Für D = (−∞, 1] und E = (−∞, 2] ist f bijektiv. c) (6 Punkte) Umkehrfunktion für D = (−∞, 1] und E = (−∞, 2]: y = −2x2 + 4x x und y vertauschen: 1 x = −2y 2 + 4y ⇔ −2y 2 + 4y − x = 0 ⇔ y 2 − 2y + x = 0 2 Mit der p-q-Formel ergibt sich: r 1 y1 = 1 + 1 − x 2 r ∨ y2 = 1 − f −1 : E → D q −1 x 7→ f (x) = 1 − 1 − 12 x 5 1 1− x 2 Aufgabe 5: Lineare Unterräume (10 Punkte) Prüfen Sie folgende Mengen auf Abgeschlossenheit bzgl. der Addition und Multiplikation. Bestimmen Sie, ob es sich bei den Mengen um reelle Vektorräume handelt. y1 M1 = y2 y1 , y2 , y3 ∈ R, y1 + y2 = 0 y 3 2 0 1 M2 = 2 , 1 , 5 3 7 1 Lösung a) (6 Punkte) M1 ist ein reeller Vektorraum, denn sie ist abgeschlossen bzgl. der Addition und der skalaren Multiplikation. Es gilt: y2 = −y1 und x2 = −x1 x1 y1 + x1 y1 + x1 y1 −y1 + −x1 = −y1 − x1 = −(y1 + x1 ) ∈ M1 x3 y3 + x1 y3 + x3 y3 | {z } | {z } ∈M1 ∈M1 Sei λ ∈ R, dann gilt: y1 λ −y1 = y3 | {z } λy1 λy1 λ · (−y1 ) = −(λy1 ) ∈ M1 λy3 λy3 ∈M1 b) (4 Punkte) M2 ist kein reeller Vektorraum, denn sie ist nicht abgeschlossen bzgl. der Addition und der skalaren Multiplikation. Es gilt beispielsweise: 1 1 2 / M2 2 + 2 = 4 ∈ 3 3 6 | {z } | {z } ∈M2 ∈M2 6 Sei λ = 3, dann gilt: 1 3 · 2 = 3 | {z } 3 / M2 6 ∈ 9 ∈M2 Kürzere Lösung: M2 ist kein reeller Vektorraum, da jeder Vektorraum der ungleich {0} ist, unendlich viele Elemente besitzt. 7 Aufgabe 6: Inverse Matrizen (10 Punkte) Gegeben sei die Matrix 1 A= 2 2 0 3 8 , a ∈ R. a 1 −3 a) Für welches a ∈ R ist die Matrix A nicht invertierbar? b) Bestimmen Sie für a = 1 die Inverse A−1 der Matrix A. Lösung a) (3 Punkte) Mit dem Satz von Sarrus gilt: det(A) = a. Für a = 0 ist det(A) = 0 und somit A nicht invertierbar. b) (7 Punkte) Sei a = 1. Für die Inverse von A erhält man: 25 A−1 = 14 −8 8 −9 −5 3 −3 −2 1 Aufgabe 7: Orthogonale Matrizen (10 Punkte) Aufgabe 7.1. Prüfen Sie, ob die Matrix A orthogonal ist. √1 − √12 2 1 √1 A= √ 3 3 √1 6 √1 6 0 √1 3 √2 6 Aufgabe 7.2. Für welche k ∈ R ist die Matrix Q orthogonal? 2k 1 Q= 1 2k Lösung 7.1 (4 Punkte) Es muss gelten: A · AT = E = AT · A 1 0 0 √4 A · AT = 0 1 18 0 √418 1 ⇒ A ist nicht orthogonal. Lösung 7.2 (6 Punkte) Es muss gelten: Q · QT = E = QT · Q 2 2k 1 2k 1 4k + 1 4k 1 ! · = = Q · QT = 1 2k 1 2k 4k 1 + 4k 2 0 0 1 Ein Vergleich der Einträge liefert die folgenden Bedingungen für die Orthogonalität von Q: 4k 2 + 1 = 1 4k = 0 Beide Gleichungen haben die Lösung k = 0. Also ist die Matrix Q für k = 0 orthogonal. 9 Aufgabe 8: Rang einer Matrix (10 Punkte) Aufgabe 8.1. Zeigen Sie, dass die Matrix A regulär ist. 2 3 0 A = −1 0 1 . 1 1 1 Aufgabe 8.2. Gegeben sei die Matrix 1 A = −1 4 0 3 1 , c ∈ R. 0 c 2 Bestimmen Sie c ∈ R, so dass gilt: rang(A) = 2 und geben Sie für diesen Fall die det(A) an. Lösung 8.1 (5 Punkte) Die Matrix A ist regulär, da sie den vollen Rang rang(A) = 3 besitzt. Lösung 8.2 (5 Punkte) (1) 1 0 3 (1) 1 0 3 0 2 −1 2 1 (2) 4 (20 ) = (1) + (2) (30 ) = 4 · (1) − (3) 0 0 12 − c (3) 4 0 c Für c = 12 ist rang(A) = 2 und somit det(A) = 0 10 Aufgabe 9: Lineares Gleichungssystem (10 Punkte) Gegeben sei folgendes Gleichungssystem: −x1 + x2 + x3 = 0 x1 − 3x2 − 2x3 = b + ax3 = −2 2x1 a) Für welche Kombinationen von a,b ∈ R besitzt das Lineare Gleichungssystem genau eine Lösung, keine Lösung bzw. unendlich viele Lösungen? b) Bestimmen Sie für a = 2 und b = 5 die Lösungsmenge des Linearen Gleichungssystems. Lösung a) (6 Punkte) Zur Lösung des Gleichungssystems x wird hier der Gausssche Algorithmus verwendet. −1 1 1 0 (1) 1 −3 −2 b (2) 2 0 a −2 (3) 0 −1 1 1 (10 ) = (1) 0 0 −2 −1 b (2 ) = (1) + (2) 0 2 2 + a −2 (30 ) = 2 · (1) + (3) (100 ) = (10 ) −1 1 1 0 0 −2 −1 b (200 ) = (20 ) (300 ) = (200 ) + (30 ) 0 0 1+a b−2 Fallunterscheidung Fall 1: Für a = −1 und b = 2 besitzt das Lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Fall 2: Für a = −1 und b 6= 2 besitzt das Lineare Gleichungssystem keine Lösung. Fall 3: Für a 6= −1 und b ∈ R besitzt das Lineare Gleichungssystem genau eine Lösung. 11 b) (4 Punkte) Die Lösungsmenge lautet: −2 L = −3 1 12