Stochastik I SS 2017 Blatt 2

Prof. Dr. Matthias Birkner
Peter Nelson
2. Übung zur Vorlesung
„Stochastik I“
im Sommersemester 2017
Aufgabe 1: (4 Punkte)
Es sei eine Funktion F auf den reellen Zahlen definiert durch


0,
falls x < −3



x + 3,
falls − 3 ≤ x < 0
F (x) =
3
x + 4,
falls 0 ≤ x < 3



35,
falls x ≥ 3.
Berechnen Sie für das zu F gehörige Lebesgue-Stieltjes Maß die Maße der folgenden Mengen.
(a) {3},
(c) (−3, 0] ∪ (1, 3),
(b) [−3/2, 4),
(d) {x : |x| + 2x2 > 1}.
Aufgabe 2: (4 Punkte)
Eine Funktion F : Rd → [0, 1] heißt Verteilungsfunktion, wenn gilt:
a) F ist koordinatenweise monoton steigend.
b) F ist rechtsstetig, d.h. F (x(n) ) → F (x) falls x(n) ↓ x koordinatenweise.
c) F (x(n) ) → 1, wenn x(n) → (+∞, . . . , +∞).
(n)
d) F (x(n) ) → 0, wenn mini=1,...,d xi
→ −∞.
e) Es seien x, y ∈ Rd mit x = (x1 , . . . , xd ) < y = (y1 , . . . , yd ) (koordinatenweise) beliebig.
Die Menge der Ecken des von x und y beschriebenen d-dimensionalen Quaders lässt sich
(i )
(i )
(1)
(2)
schreiben als u = (z1 1 , . . . , zd d ) : i1 , . . . , id ∈ {1, 2} , wo zj = xj , zj = yj Dann
gilt:
X
(−1)#{1≤m≤d : im =1} F (u) ≥ 0.
u Ecken
Wir ordnen jedem Wahrscheinlichkeitsmaß µ auf (Rd , B(Rd )) eine Verteilungsfunktion Fµ zu
durch Fµ ((x1 , . . . xd )) := µ((−∞, x1 ] × · · · × (−∞, xd ]). Zeigen Sie, dass Fµ tatsächlich eine
Verteilungsfunktion ist und die Abbildung µ 7→ µF eine Bijektion der Menge der Wahrscheinlichkeitsmaße auf (Rd , B(Rd )) auf die Menge der Verteilungsfunktionen definiert.
Aufgabe 3: (4 Punkte)
In dieser Aufgabe möchten wir einen geeigneten Maßraum für die unendliche, unabhängige
Wiederholung eines Zufallsexperimentes auf einer endlichen Menge E konstruieren. Im Unterschied zu der Konstruktion in Blatt 0, Aufgabe 3 basiert unser Ansatz nun darauf, einen
Inhalt auf den Zylindermengen anzugeben.
PSei dazu (pe )e∈E ein Wahrscheinlichkeitsvektor auf
E, das heißt pe ≥ 0 für alle e ∈ E und e∈E pe = 1. Das Ergebnis des ersten Experiments
bezeichnen wir mit ω1 , das des zweiten mit ω2 usw. Der Raum des gesamten Experimentes ist
demnach Ω = E N . Wir definieren
[ω1 , . . . , ωn ] := {ω 0 ∈ Ω : ω10 = ω1 , . . . , ωn0 = ωn }
als die Menge der Folgen, die mit ω1 , . . . , ωn beginnen. Sei A0 = ∅. Für n ∈ N definieren
wir das System der Zylindermengen, die nur von den
S ersten n Koordinaten abhängen, An :=
{[ω
Funktion µ([ω1 , . . . , ωn ]) :=
Qn1 , . . . , ωn ] : ω1 , . . . , ωn ∈ E}, und setzen A := n∈N0 An . Die
0 ∈Ω
p
definiert
einen
Inhalt
auf
A.
Wir
setzen
für
alle
ω,
ω
i=1 ωi
(
0
2− inf{n∈N : ωn 6=ωn } ,
falls ω 6= ω 0 ,
0
d(ω, ω ) :=
0,
sonst.
Zeigen Sie:
a) (Ω, d) ist ein kompakter metrischer Raum.
b) [ω1 , . . . , ωn ] ⊂ Ω ist kompakt.
c) σ(A) = B(Ω, d).
d) µ ist leerstetig.
Hinweis: Wie sieht B2−n (ω) aus?
Aufgabe 4: (4 Punkte)
Zeigen Sie: Es gibt keine auf der Potenzmenge der reellen Zahlen definierte Mengenfunktion
µ : 2R → [0, ∞], welche die folgenden drei Eigenschaften besitzt:
• µ ist σ-additiv, also ein Maß auf 2R .
• µ ist translationsinvariant, d.h. µ(A) = µ(A + x) für alle A ⊆ R und x ∈ R.
• µ ((0, 1]) = 1.
Anleitung: Man führe einen Widerspruchsbeweis. Betrachte die folgende Äquivalenzrelation
auf R: Zwei beliebige reelle Zahlen heißen äquivalent, falls sie sich nur um eine rationale Zahl
unterscheiden:
x ∼ y ⇔ x − y ∈ Q.
Es sei K ein Repräsentantensystem für ∼, d.h. eine Menge, die mit jeder Äquivalenzklasse
genau ein Element gemeinsam hat. OBdA kann K ⊆ (0, 1] angenommen werden (warum?).
Die Mengen K + q, sind paarweise disjunkt für verschiedede rationale Zahlen q ∈ Q. Angenommen
nun, ein Maß µ mit den geforderten Eigenschaften existiert. Durch Betrachtung von
S
q∈(0,1]∩Q (K + q) zeige man, dass µ(K + q) = 0 für alle q und führe dies zum Widerspruch.
Abgabe: Bis Freitag, den 05.05.2017 um 11:59.