Übungsblatt 3

Timischl/Womastek: Angewandte Statistik
Übungsblatt 3
Beispiel
Die Masse (in mg) einer Wirksubstanz W in einem Präparat sei normalverteilt mit dem
Mittelwert 10 und der Varianz 0,25.
a. Welcher Anteil von Präparaten mit der Substanz W zwischen 9mg und 11mg ist zu
erwarten?
b. Wie groß ist das 25%- und das 75%-Quantil der Verteilung von W?
Aus der Angabe wissen wir:
W ~ N(µ, σ2) mit µ=10 und σ2 = 0,25.
Zur Erinnerung:
X heißt normalverteilt mit dem Mittelwert µ und der Varianz σ2 (kurz: X ~ N(µ, σ2)),
wenn Z = (X-µ )/σ standardnormalverteilt ist. Ist Φ die Verteilungsfunktion von Z, so
gilt für reelle Zahlen x1 und x2 > x1:
P( X < x1 ) = P(( X − µ ) / σ < ( x1 − µ ) / σ ) = Φ (( x1 − µ ) / σ ),
P( X > x 2 ) = 1 − P(( X − µ ) / σ ≤ ( x 2 − µ ) / σ ) = 1 − Φ(( x 2 − µ ) / σ ).
Es folgt:
P ( x1 < X < x 2 ) = 1 − P ( X < x1 ) − P ( X > x 2 ) = Φ (( x 2 − µ ) / σ ) − Φ (( x1 − µ ) / σ )
a) Gesucht: P(9 < W < 11)
Lösungsweg:
W ist normalverteilt mit dem Mittelwert 10 und der Varianz 0,25 (Standardabweichung = 0,5).
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(9 < W <11) erfolgt mit Hilfe von Tabellenwerten
der Verteilungsfunktion F von X. Der Wert der Verteilungsfunktion F von X an der Stelle x ist
gleich dem Wert von der Standardnormalverteilungsfunktion an der Stelle
.
P(9 < W < 11) = F(11) – F(9).
F(11) errechnet sich also aus
= (Tabelle) = 0,97725;
analog folgt F(9) aus
 9 − 10 
F (9) = Φ
 = Φ(−2) = 1 − Φ(2) = 1 − 0,97725 = 0,02275.
 0,5 
Wir erhalten also für die Wahrscheinlichkeit P(9 < W < 11)= F(11) – F(9) = 0,97725 –
0,02275 = 0,95450.
Antwort: Der erwartete Anteil an Präparaten mit der Substanz W zwischen 9mg und 11mg
beträgt 95,45%.
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Timischl/Womastek: Angewandte Statistik
b)
Gesucht sind jene Werte w0,25 und w0,75 von W mit der Eigenschaft: P(W<w0,25) = 0,25
bzw. P(W< w0,75) =0,75
Zur Erinnerung:
Ist F die Verteilungsfunktion der stetigen Zufallsvariablen X und γ eine reelle Zahl aus
dem Intervall [0, 1], dann nennt man jenen Wert xγ von X, für den F(xγ) = P(X≤ xγ) = γ
gilt, das γ-Quantil von X. xγ ist also jene Stelle der X-Achse, an der die
Verteilungsfunktion den Wert γ annimmt.
Lösung mit Statistischen Tabellen:
P(W<w0,75) = F(w0,75) = Φ((w0,75-10)/0,5) = 0,75
Laut Tabelle nimmt die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung zwischen der
Stelle x= 0,67 und x=0,68 den Wert 0,75 an. Wir verwenden also für die weiteren
Berechnungen den Mittelwert zwischen diesen beiden Zahlen, also 0,675.
Wir wissen nun: Φ(0,675) = 0,75, d.h. (w0,75 -10)/0,5 = 0,675; durch Umformen erhält man
daraus w0,75 = 10,3375.
Das 25%-Quantil von W liegt symmetrisch zur Mittelwertstelle 10, d.h., w0.25 = 9,6625.
Antwort:
Das 25% Quantil beträgt 9,66, das 75%-Quantil 10,34.
Lösung mit R:
a)
> P_9bis11 <- pnorm(11,mean=10,sd=0.5)-pnorm(9,mean=10,sd=0.5)
> P_9bis11
[1] 0.9544997
b)
> w75 <- qnorm(0.75, mean=10, sd=0.5)
> w25 <- qnorm(0.25, mean=10, sd=0.5)
> print(cbind(w75, w25))
w75
w25
[1,] 10.33724 9.662755
Lösung in Excel:
Mittelwert = 10
Varianz = 0,25
Standardabw. = 0,5
a) P(9<W<11) = NORMVERT (11;10;0,5;1) – NORMVERT(9;10;0,5;1) = 0,9545
b) 75%-Quantil= NORMINV (0,75;10;0,5) = 10,3372
25%-Quantil = NORMINV(0,25;10;0,5)
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