Eine Frau hat Blutgruppe 0 (Genotyp 00), ihre Tochter Blutgruppe A

W. Timischl: Angewandte Statistik
VERTEILUNGEN II
1
1. Ein Produktionslos enthält 100 Widerstände. Der Hersteller garantiert, dass höchstens 5% defekt
sind. Jedes Los wird vor Lieferung geprüft, indem 10 Widerstände entnommen werden. Sind alle
10 Widerstände in Ordnung, wird das Los zur Auslieferung freigegeben. Wie groß ist bei diesem
Prüfverfahren die Wahrscheinlichkeit, dass ein Los zurückgewiesen wird, obwohl es den
Bedingungen (höchstens 5% defekt) entspricht?
N = 100 (Größe des Produktionsloses);
a = Anzahl der defekten Einheiten = 5% von 100 = 5;
n = Größe der Prüfstichprobe = 10;
Anzahl der defekten Einheiten in der Prüfstichprobe ist hypergeometrisch verteilt.
Gesucht: Wahrscheinlichkeit für Zurückweisen des Loses =
= P(nicht alle Einheiten der Prüfstichprobe sind intakt) = 1 – P(alle Einheiten sind intakt) = P(X=0)
P(X=0) = (5 über 0)(95 über 10)/(100 über 10) = 1 x 95!/ (10! 85!)/(100!/(10! 90!)) = 0,584
P(Zurückweisung) = 1- 0,584 = 41,6%
Lösung mit EXCEL:
N=
100
a=
5
n=
10
P(X=0) = HYPERGEOMVERT(0; 10; 5; 100)=
P(X>0) =
0,583752
0,416248
Lösung mit R:
> N <- 100
> a <- 5
> n <- 10
> Nintakt <- N-a
> Pintakt <- dhyper(n,Nintakt,a,n,0)
> Pzurueck <- 1-Pintakt
> print(Pzurueck)
[1] 0.4162476
2. Die Masse (in mg) einer Wirksubstanz W in einem Präparat sei normalverteilt mit dem Mittelwert
10 und der Varianz 0,25.
a. Welcher Anteil von Präparaten mit der Substanz W zwischen 9mg und 11mg ist zu
erwarten?
b. Wie groß ist das 25%- und das 75%-Quantil der Verteilung?
W ist normalverteilt mit Mittelwert 10 und Standardabweichung 0,5.
a) gesucht: P(9 < W < 11) = F(11) – F(9)
F(11) = ((11-10)/0,5) = (2) = (Tabelle) = 0,9772;
F(9) = ((9-10)/0,5) = (-2) = 1 - (2) = 0,0228;
P(9 < W < 11) = 0,9544
b) gesucht w0.75 derart, dass P(W<w0.75) = 0,75 !
P(W<w0.75) = F(w0.75) = ((w0.75-10)/0,5) = 0,75  (Tabelle) (w0.75-10)/0,5 = 0,675  w0.75= 10,3375;
das 25%-Quantil von W liegt symmetrisch zur Mittelwertstelle 10, d.h., w0.25= 9,6625.
Lösung mit EXCEL:
Mittelwert=
Varianz=
Standardabw.=
10
0,25
0,5
a) P(9<W<11)=NORMVERT(11;10;0,5;1)-NORMVERT(9;10;0,5;1) =
b) 75%-Quantil = NORMINV(0,75;10;0,5) =
25%-Quantil = NORMINV(0,25;10;0,5) =
481336137
0,9545
10,3372
9,66275
07.04.2017
W. Timischl: Angewandte Statistik
VERTEILUNGEN II
2
Lösung mit R:
> P_9bis11 <- pnorm(11,mean=10,sd=0.5)-pnorm(9,mean=10,sd=0.5)
> print(P_9bis11)
[1] 0.9544997
> w75 <- qnorm(0.75, mean=10, sd=0.5)
> w25 <- qnorm(0.25, mean=10, sd=0.5)
> print(cbind(w75, w25))
w75
w25
[1,] 10.33724 9.662755
3. Für eine bestimmte Diagnosegruppe ist ein Laborparameter X normalverteilt mit einem Mittelwert
von 75 Einheiten und einer Standardabweichung von 10 Einheiten. Laborwerte unter 55 und über
95 gelten als kritisch.
a. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X einen kritischen Wert annimmt?
b. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe von 5 Personen, mindestens
viermal ein nicht kritischer Wert gemessen wird?
X ist normalverteilt mit Mittelwert 75 und Standardabweichung 10.
a) Gesucht: P(X < 55 oder X > 95) = P(X < 55) + P(X > 95) = F(55) + (1- F(95))
F(95) = ((95-75)/10) = (2) = (Tabelle) = 0,9772;
F(55) = ((55-75)/10) = (-2) = 1 - (2) = 0,0228;
P(X < 55 oder X > 95) = 0,0456.
b) Y = Anzahl der kritischen Messungen in einer Messreihe von 5 Personen;
Y ist Bn,p-verteilt mit n=5 und p=1-0,0456 = 0,9544;
Gesucht: P(Y=4 oder Y=5) = P(Y=4) + P(Y=5);
P(Y=4) = (5 über 4) x 0,9544 4 x 0,04561 = 5!/(4! 1!) x 0,95444 x 0,04561 = 0,1892;
P(Y=5) = (5 über 5) x 0,9544 5 = 0,7919
P(Y=4 oder Y=5) = 0,9811.
Lösung mit EXCEL :
a)
b)
X ist normalverteilt mit Mittelwert 75 und Standardabweichung 10
P(X < 55) =NORMVERT(55;75;10,1) =
P(X > 95) = 1 - NORMVERT(95;75;10;1)=
P(X < 55 oder X > 95) =
Y ist binomialverteilt mit n=5 und p = 1- 0,0455 =
P(Y >=4) = 1 - P(Y <= 3) = 1-BINOMVERT(3;5;0,9545…;1)=
0,02275
0,02275
0,0455
0,9545
0,98112
Lösung mit R:
> Pless55 <- pnorm(55,mean=75,sd=10)
> Pgreater95 <- 1-pnorm(95,mean=75,sd=10)
> Pkritisch <- Pless55 + Pgreater95
> print(cbind(Pless55, Pgreater95, Pkritisch))
Pless55 Pgreater95 Pkritisch
[1,] 0.02275013 0.02275013 0.04550026
> Pmindest4 <- 1-pbinom(3,5,1-Pkritisch)
> print(Pmindest4)
[1] 0.9811177
481336137
07.04.2017