PD Dr. D. Horstmann SS 2010 Dipl.-Math. C. Pomrehn Probeklausur

PD Dr. D. Horstmann
Dipl.-Math. C. Pomrehn
SS 2010
Probeklausur
“Mathematik I & II für Studierende der Biologie”
Die Besprechung der Porbeklausur findet am 26.07.2010 um 11:00 in einer globalen Übung
im Geo-Bio-Hs statt!
Bitte runden Sie in ihren Rechnungen stets auf drei Nachkommastellen!
1. Aufgabe:
Die Länge der erwachsenen Ringelnattern (natrix natrix) wird in der Literatur mit 100 bis 130 cm
angegeben. Dabei sind aber die Weibchen im Durchschnitt länger als die Männchen. Ein Zoologe hat
bei 11 Weibchen die folgenden Längen (in cm) beobachtet:
123, 134, 117, 128, 120, 135, 109, 117, 125, 124, 131.
(a) Nehmen Sie an, dass die Länge der Ringelnatter annähernd normalverteilt ist.
Geben Sie ein 95%-iges Konfidenzintervall für die durchschnittliche Länge einer weiblichen Ringelnatter an, indem Sie
i. das arithmetische Mittel berechnen,
ii. die Varianz und die Standardabweichung der Stichprobe berechnen,
iii. die Formel zur Berechnung des Konfidenzintervalls angeben.
(b) Stellen Sie die Daten mit Hilfe eines Boxplots dar. Bestimmen Sie hierzu:
i.
ii.
iii.
iv.
den Median,
das 25%-Quantil,
das 75%-Quantil,
xmin und xmax .
2. Aufgabe: Multiple choice
Bei den einzelnen Aufgabenteilen sind mitunter mehr als eine Antwort richtig. Kreuzen Sie die richtigen
Lösungen an! Falsch angekreuzte Antworten führen zu Punktabzug in den einzelnen Teilaufgaben. Es
gibt jedoch keine negative Gesamtpunktzahl pro Aufgabenteil.
Sei f (x) =
x2 −5
x−2 ,
dann ist die Ableitung f 0 (x) gegeben durch:
f 0 (x) =
x2 −4x+5
.
(x−2)2
f 0 (x) =
3x3 −4x−5
.
(x−2)2
f 0 (x) =
2x
.
(x−2)4
f 0 (x) = 1 +
1
.
(x−2)2
1
Die Differentialgleichung y 00 + 2y 0 − 2y = 0 hat die Lösung
y(x) = cos(x2 ).
y(x) = e(−1+
y(x) = e(−1+
y(x) = e(−1+
R
√
√
√
3)x .
3)x
+ 17e(−1−
3)x2 .
√
3)x .
cos(x) · xdx =
= sin2 (x) + cos2 (x) − 1.
= sin(x) (x − sin(x)) + cos(x) (1 − cos(x)) + 1
= cos(x) · x + sin(x).
= sin(x) · x + cos(x).
3. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
Die Exponentialabbildung ist definiert durch exp(t) :=
k+1 tk .
k=1 (−1)
k
P∞
Es gilt : 1 = exp(0) = exp(t) exp(−t).
Der natürliche Logarithmus ln ist in seinem Definitionsbereich monoton steigend.
Ein Polynom vom Grad n hat mindestens n reelle Nullstellen.
Für eine invertierbare (n × n)-Matrix A gilt:
1
det(A−1 ) = det(A)
.
Sei f eine streng monoton steigende, stetige Funktion mit Umkehrfunktion g.
Dann ist g streng monoton fallend und stetig.
Ist f eine auf dem Intervall [a, b] stetige Funktion.
Dann nimmt f ihr Maximum an, d.h es gibt ein x ∈ [a, b],
so dass f (x) ≥ f (y) für alle Werte y ∈ [a, b] .
Sei f eine differenzierbare Funktion.
Dann ist ihre Ableitung f 0 stetig.
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4. Aufgabe:
Beweisen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion die nachfolgende Aussage:
n
X
k2 =
k=1
n(n + 1)(2n + 1)
.
6
5. Aufgabe:
Bestimmen Sie die Lösung des nachfolgenden inhomogenen linearen Differentialgleichungssystems:
2 0
−ex
0
Y (x) =
Y (x) +
,
−1 1
ex − 1
indem Sie
(a) zunächst die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix
2 0
A=
−1 1
bestimmen,
(b) die Lösungen der homogenen Gleichung angeben,
(c) eine Lösung des inhomogenen Systems mit dem Ansatz
a + b · ex
Y (x) =
c
ermitteln,
(d) die allgemeine Lösung des Systems angeben. Hierbei versteht man unter der allgemeinen Lösung
die Summe der Lösung des inhomogenen Systems und der Lösungen des homogenen Systems.
6. Aufgabe:
Ein Mann um die 60, Nichtraucher, kommt zum Arzt mit Atembeschwerden. Er weist die Symptome B = { Chr. Husten, Auswurf } auf. Für den Arzt kommen drei Möglichkeiten in Frage. Der
Patient ist gesund, der Patient leidet an Tuberkulose oder der Patient hat Lungenkrebs. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein 60jähriger Nichtraucher gesund ist, liegt statistisch bei 99%. Hingegen liegt
die Wahrscheinlichkeit, dass ein 60jähriger Nichtraucher Lungenkrebs hat, statistisch bei 0.1% und
die Wahrscheinlichkeit, dass 60jähriger Nichtraucher an Tuberkulose erkrankt ist, statistisch bei 0.9%.
Aus der allgemeinen Krankenstatistik weiß der Arzt, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass der
Patient die vorliegenden Symptome aufweist unter der Voraussetzung, dass der Patient gesund ist, bei
1% liegt. Weiter weiß er, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass der Patient die vorliegenden Symptome unter der Voraussetzung aufweist, dass der Patient Lungenkrebs hat, bei 60% und die bedingte
Wahrscheinlichkeit, dass der Patient die vorliegenden Symptome unter der Voraussetzung aufweist,
dass er Tuberkulose hat, bei 90% liegt. Welche Diagnose wird der Arzt stellen?
Berechnen Sie hierfür zunächst die Wahrscheinlichkeiten, dass
(a) der Patient die Symptome B aufweist,
(b) der Patient gesund ist unter der Voraussetzung, dass er die Symptome B aufweist,
(c) der Patient Tuberkulose hat unter der Voraussetzung, dass er die Symptome B aufweist,
(d) der Patient Lungenkrebs hat unter der Voraussetzung, dass er die Symptome B aufweist.
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7. Aufgabe:
Zur Bestimmung der Blutgerinnungszeit von weiblichen Testpersonen wurden folgende Werte (in Sekunden) gemessen:
22; 24; 28; 28; 32; 33; 34; 39.
Bestimmen Sie ein 95% Konfidenzintervall für die Blutgerinnungszeit bei Frauen.
8. Aufgabe:Multiple choice
Kreuzen Sie die richtigen Lösungen an!
Sei f eine stetige Wahrscheinlichkeitsdichte. Dann hat die Funktion f folgende Eigenschaften:
a) f (x) ≥ 0 für alle x ∈ (−∞, ∞).
R1
b) 0 f (x)dx = 1.
Das Merkmal “Haarlänge eines Menschen“ ist ein stetiges Merkmal und seine Zufallsvariation
wird durch eine diskrete Zufallsvariable beschrieben.
Für eine stetige
R a Zufallsvariable X mit Dichtefunktion f gilt:
P (X ≤ a) = −∞ f (s)ds
für a ∈ R.
Der Erwartungswert
einer stetigen Zufallsvariablen X mit Dichtefunktion f ist gegeben durch
R∞
E(X) = −∞ x · f (x)dx.
Bei der Mittelwertschätzung reicht es stets eine Stichprobe vom Umfang n = 100 zu verwenden.
Ein Konfidenzintervall für den Erwartungswert, zum Konfidenzniveau (1 − α) ist ein Intervall
in dem mit einer Wahrscheinlichkeit von (1 − α) der Erwartungswert µ enthalten ist.
9. Aufgabe :
Eine stetige Zufallsvariable X habe die folgende Dichtefunktion:

0,
für x ≤ −2


 1
1
x
+
,
für
−2≤x≤0
4
2
f (x) =
1
1
− x + 2 , für 0 ≤ x ≤ 2


 4
0,
für x ≥ 2.
(a) Skizzieren Sie die Dichtefunktion.
(b) Bestimmen Sie die hierzu gehörige Verteilungsfunktion. Geben Sie hierfür zunächst die Formel
zur Berechnung der Verteilungsfunktion an.
(c) Skizzieren Sie die Verteilungsfunktion.
(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert zwischen −1 und
1
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annimmt?
10. Aufgabe:
Bei einem Kreuzungsversuch werden schwarze, braunäugige und weiße, blauäugige Kaninchen gekreuzt.
Nach einer Versuchsreihe ergaben sich 100 Kaninchen davon hatten 23 Kaninchen schwarzes Fell und
braune Augen, 45 Kaninchen hatten schwarzes Fell und blaue Augen, 14 Kaninchen hatten weißes Fell
und blaue Augen, und 18 Kaninchen hatten weißes Fell und braune Augen.
(Die Kaninchen mit geflecktem Fell wurden den Gruppen zugeordnet, deren Farbe bei Ihnen überwiegte.)
Die Behauptung, dass diese Ereignisse im Verhältnis 2: 4 : 1 : 1 eintreten, soll mit Hilfe eines χ2 -Tests
mit einer Signifikanz von α = 1% überprüft werden.
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