¨Ubungen zur Vorlesung Berechenbarkeit und Formale Sprachen

Prof. Dr. Rolf Wanka
Bernd Bassimir, Ulrich Dorsch,
Moritz Mühlenthaler, Manuel Schmitt
Erlangen, 28. Januar 2014
Abgabe bis 4. Februar 2014, 11:45 Uhr
Übungen zur Vorlesung
Berechenbarkeit und Formale Sprachen
WS 2013/2014
Blatt 13
Je mehr Plus-Zeichen +, desto wichtiger, je mehr Sterne ?, desto schwieriger.
AUFGABE 63:
[Präsenzaufgabe, + + +, ??] Zeigen Sie, daß die folgenden Funktionen primitiv rekursiv sind.
(a) f (n, x) = xn
(b) g(y, x) = blogx (y)c
AUFGABE 64 (4 Punkte):
[+ + ++, ?(??)] Zeigen Sie direkt durch Anwendung der Definition, daß die folgenden Sprachen
die kontextfreie Pumpeigenschaft haben:
(a) L1 = {w | w ∈ {a, b}∗ , #a (w) = #b (w)};
dabei bezeichnet #t (w), wie oft der Buchstabe t im Wort w vorkommt, z. B. #n (Erlangen) = 2.
(b) Ldurch 3 = {n | n ∈ {0, . . . , 9}∗ ist die Dezimaldarstellung einer durch 3 teilbaren Zahl} die
kontextfreie Pumpeigenschaft hat.
AUFGABE 65 (4 Punkte):
[+ + ++, ?] Sei k ∈ IN. Zeigen Sie durch Anwendung des Pumping-Lemmas für kontextfreie Sprachen, daß die Sprachen
Lk = {0n 1n 0n 1n | n ≥ k}
nicht kontextfrei sind.
AUFGABE 66 (4 Punkte):
[++, ??] Sei L eine kontextfreie Sprache, und sei R eine reguläre Sprache (d. h. es gibt einen deterministischen endlichen Automaten, der R akzeptiert).
Zeigen Sie: L ∩ R ist kontextfrei.
Hinweis: Nutzen Sie, daß die Klasse der durch Kellerautomaten akzeptierten Sprachen gleich der
Klasse der durch kontextfreie Grammatiken erzeugten Sprachen ist. (Sie brauchen hier also keine
Grammatiken)
AUFGABE 67 (4 Punkte):
[++, ?]
(a) Nutzen Sie das Ergebnis der Aufgabe 66, um zu zeigen, daß
L = {a, b, c}∗ ∪ {,i an bn cn | i ≥ 1, n ≥ 1}
nicht kontextfrei ist, obwohl L die kontextfreie Pumpeigenschaft hat.
(b) Nutzen Sie die Ergebnisse der Aufgaben 65 und 66, um zu zeigen, daß
L = {ww | w ∈ {0, 1}∗ }
nicht kontextfrei ist.
AUFGABE 68 (4 (Bonus-) Punkte):
Geben Sie eine kontextfreie Grammatik an, die die (Programmier-)Sprache der WHILE-Programme
erzeugt.
AUFGABE 69:
Diese Aufgabe brauchen Sie nicht abzugeben, aber sie ist äußerst wichtig!
Eine Aufgabe der Klausur im August 2011 (Punkte sind Punkte aus der Klausur, Gesamtpunktzahl
ist 45):
Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen (die jeweiligen Beweise sind
äußerst kurz):
(a) Jede reguläre Sprache L hat die kontextfreie Pumpeigenschaft.
[2 Punkte]
(b) Sei L1 eine entscheidbare Sprache, und sei L2 eine echte Teilmenge von L1 . Dann
ist L2 ebenfalls entscheidbar.
[2 Punkte]
(c) Sei L0 die Menge der rekursiv aufzählbaren Sprachen. Es gibt Sprachen L ∈ L0
mit L 6∈ NP.
[2 Punkte]
Schreiben Sie zuerst zur Aussage “Stimmt“ oder Stimmt nicht“ und dann Ihre Be”
gründung. Ohne Begründung keine Punkte!