Grundlagen der Theoretischen Informatik II

Grundlagen der Theoretischen Informatik II
Übungsblatt 11
(für die 27. Kalenderwoche)
zur Vorlesung von Prof. Dr. J. Dassow
im Sommersemester 2012
Magdeburg, 26. Juni 2012
1. Zeigen Sie, dass das folgende Problem unentscheidbar ist:
Gegeben eine kontextfreie Grammatik G, ist G mehrdeutig?
Hinweis: Reduzieren Sie das Postsche Korrespondenzproblem auf dieses Problem: Gegeben ist
eine Instanz (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xk , yk ) für ein k ≥ 0 des Postschen Korrespondenzproblems
P ⊆ X + ×X +. Es seien a1 , . . . , ak Symbole, die nicht zu X gehören, und es sei T = X ∪{a1 , . . . , ak }.
Es seien G1 = ({S1 }, T, P1 , S1 ) die kontextfreie Grammatik mit
R
P1 = {S1 → ai S1 xR
i | i = 1, . . . , k} ∪ {S1 → ai xi | i = 1, . . . , k}
und G2 = ({S2 }, T, P2 , S2 ) die kontextfreie Grammatik mit
P2 = {S2 → ai S2 yiR | i = 1, . . . , k} ∪ {S2 → ai yiR | i = 1, . . . , k}.
Betrachten Sie nun die Grammatik G = ({S, S1 , S2 }, T, P1 ∪ P2 ∪ {S → S1 , S → S2 }, S).
Wir geben hier nochmal die Definition und ein Lemma zur Reduzierbarkeit:
Definition: Es seien L1 ⊆ X1∗ und L2 ⊆ X2∗ zwei Sprachen. Wir sagen, dass L1 auf L2 reduzierbar
ist, falls eine Funktion τ : X1∗ → X2∗ existiert, so dass gilt
i) τ ist berechenbar,
ii) für alle a ∈ X ∗ gilt: a ∈ L1 ⇐⇒ τ (a) ∈ L2 .
Lemma: Es seien L1 ⊆ X1∗ und L2 ⊆ X2∗ zwei Sprachen. Wenn L1 auf L2 reduzierbar ist und L2
entscheidbar ist, dann ist auch L1 entscheidbar.
2. Zeigen Sie, dass es keine Turing-Maschine gibt, die zu einer beliebigen natürlichen Zahl n ein Wort
xn der Länge n mit einer Kolmogorov-Komplexität von mindestens n2 ausgibt.
3. Man weise nach, dass 99 % aller Wörter der Länge n mit mit n ≥ 8 eine Kolmogorov-Komplexität
von mehr als n − 8 haben.
4. Für eine Zahl n sei a1 a2 . . . ar die k-äre Darstellung von n für ein k ≥ 5 und w(n) = 1a1 01a2 0 . . . 1ar 0.
Es sei A der Algorithmus, der Folgendes berechnet:
– Für die Eingabe 0 wird 0 ausgeben.
– Für ein Wort v = 1v ′ berechnet A zuerst die Zahl n, deren Binärdarstellung v ist und gibt
w(n) aus.
– In allen anderen Fällen liefert A kein Ergebnis.
Also ist


für v = 0,
0
A(v) = w(n)
für v = bin(n) und v beginnt mit 1,


nicht definiert sonst.
a) Zeigen Sie, dass es eine Folge v1 , v2 , . . . , vn , . . . gibt, für die die Differenz |A(vi )| − |vi | streng
monoton wachsend ist (und damit gegen unendlich strebt).
b) Zeigen Sie, dass es eine Folge v1 , v2 , . . . , vn , . . . gibt, für die die Differenz |vi | − |A(vi )| streng
monoton wachsend ist (und damit gegen unendlich strebt).
5. Zeigen Sie, dass es eine Konstante c derart gibt, dass für alle natürlichen Zahlen n und m die
Beziehung K(n · m) ≤ min{2K(n) + K(m), K(n) + 2K(m)} + c gilt.