Theoretische Mechanik SS 2015

Theoretische Mechanik SS 2015
Prof. Dr. W. Strunz, PD Dr. G. Plunien, Institut für Theoretische Physik, TU Dresden
http://tu-dresden.de/physik/tqo/lehre
1. Übung
1. Das begleitende Dreibein:
Ein Massenpunkt bewege sich entlang einer Raumkurve (Trajektorie) ~r(t). Das
Bogenlängen d~r(t) element dℓ entlang der Trajektorie ist gegeben durch dℓ = |d~r(t)| = dt dt = v(t) dt. Die
Bogenlänge ℓ ist ebenso wie die Zeit t ein geeigneter Parameter für die Beschreibung der Kinematik des Massenpunktes, wenn ℓ = ℓ(t) bzw. t = t(ℓ) eindeutig umkehrbare Funktionen
sind.
r
, der Normalenvektor
a) Zeigen Sie, dass per definitionem der Tangentenvektor ~eT = d~
dℓ
d~
eT
d~
eT
~eN = dℓ /| dℓ | und der Binormalenvektor ~eB = ~eT × ~eN ein (lokales) orthogonales und
normiertes Dreibein bilden.
b) Zeigen Sie, dass die momentane Beschleunigung ~a die Komponentenzerlegung besitzt:
d~eT
v2
~eN ,
~eN = R
,
R
dℓ
wobei v der Betrag der momentanen Geschwindigkeit und R der momentane Krümmungsradius der Bahnkurve ist (Radius des Kreisbogens, durch den die Bahnkurve im Zeitintervall [t, t + dt] approximiert werden kann).
~a = v̇ ~eT +
2. Teilchen auf einer Schraubenlinie:
Ein Teilchen bewegt sich auf einer Trajektorie gegeben durch
~ x + ρ sin(ωt) E
~ y + h ωt E
~z .
~r(t) = ρ cos(ωt) E
(1)
Dabei sind ρ, ω und h vorgebene Konstanten. Berechnen Sie für diese Bewegung
a) die Bogenlänge ℓ(t),
b) die Dreibeinvektoren {~eT , ~eN , ~eB } und den momentanen Krümmungsradius der Bahnkurve,
c) die Komponenten der Kraft, die notwendig ist um das Teilchen auf die Schraubenlinie zu
zwingen.
~
d) Überlegen Sie sich eine geeignete Konfiguration elektrischer und magnetischer Felder E
~ sowie geeignete Anfangsbedingungen ~r(t0 = 0), ~v(t0 = 0), sodass die Schraubenlinie
und B
Gl. (1) als eine Lösung der Newtonschen Bewegungsgleichung für ein geladenes Teilchen
~ + q ~v × B
~ resultiert.
(Masse m, Ladung q) unter Einwirkung der Lorentz-Kraft F~L = q E
c
– bitte wenden –
1
3*. Infinitesimale Drehungen und Drehvektor:


cos(ϕ) sin(ϕ) 0
Die Rotationsmatrix R(ϕ) =  − sin(ϕ) cos(ϕ) 0  mit ϕ = ϕ(t) vermittelt Drehungen
0
0
1
um die z-Achse. Es gelte o. E. d. A. ϕ(t0 ) = 0.
Für infinitesimale Drehungen um den Winkel dϕ(t0 ) = ϕ̇(t0 )dt = ω(t0 )dt gilt für die Matrixelemente Rij (dϕ(t0 )) = δij + Ωij (t0 )dt.
a) Zeigen Sie, dass Ωij = −Ωji gelten muß.
P
b) Zeigen Sie, dass allgemein gilt: Ωij = k εijk ωk bzw. die Umkehrung ωk =
(Der vorliegende Fall entspricht ω1 = ω2 = 0, ω3 ≡ ω.)
1
2
P
ij
εijk Ωij .
c) Verifizieren
mit Hilfe des Transformationsgesetzes für die Vektorkomponenten
X
xi =
Rji x′j , dass für inf. Drehungen (bei t0 ) resultiert:
j
dxi =
X
δji dx′j
−
j
X
εijk ωk dt x′j
k
!
bzw. vi = vi′ −
X
εijk ωk x′j .
(2)
jk
d) Was folgt entsprechend Gl. (2) für dvi bzw. für die Komponenten ai der Beschleunigung?
4. Vektoranalysis I:
VerwendenX
Sie die Darstellung des Vektorprodukts mittels des Levi-Civita Symbols
~
~ k und verifizieren Sie die folgenden Identitäten:
εijk ai bj E
(~a × b) =
ij
a) ∇ ×
~
x
|x|
= 0;
∇·
~
x
|x|
=
2
.
|x|
b) Ist das Kraftfeld F~ (~x) = λ |~x~x|n konservativ? Bestimmen Sie gegebenenfalls das dazugehöri~ x).
ge skalare Potential Φ(~x) mit F~ = −∇Φ(~
c) Ein geladenes Teilchen (Ladung q, Masse m) bewege sich in einem konstanten elektrischen
~ 0 und B
~ 0 . Durch die Lorentz-Kraft F~L = q (E
~ 0 + ~v × B
~ 0 ) wird
und magnetischen Feld E
c
das Teilchen sowohl abgelenkt als auch beschleunigt.
ZP2
Berechnen Sie das Arbeitsintegral A = d~r · F~L entlang der Trajektorie ~r(t) des Teilchens.
P1
2