Elliptische Kurven (26192) Universität Basel im HS 2015 Blatt 13

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Elliptische Kurven (26192)
Blatt 13
Universität Basel im HS 2015
Prof. Dr. P. Habegger
Aufgabe 1. Sei Fq ein algebraischer Abschluss von Fq und E eine elliptische Kurve über
Fq . Beweisen Sie
div(Frq (f )) = Frq (div(f ))
für alle f ∈ Fq (E) r {0}. Hinweis: Beweis von Lemma 4.41 anpassen.
Aufgabe 2. Sei A eine abelsche Gruppe und G eine beliebige Gruppe. Wir statten A
mit der trivialen Operation von G aus; d.h. ga = a für alle g ∈ G und alle a ∈ A. Zeigen
Sie, dass H 1 (G, A) = Hom(G, A) die Gruppe aller Gruppenhomomorphismen G → A
ist.
Aufgabe 3. Überprüfen Sie die Riemannsche Vermutung (vgl. Satz 4.8) für die durch
y 2 + y = x3 − 7x + 6 gegebene elliptische Kurve über dem Körper Fp für jede Primzahl
p ∈ {2, 3, 5, 7, 11, 13}.
Aufgabe 4. Sei E die elliptische Kurve y 2 = x3 + 1 über Fp mit p ≡ 2 (mod 3). Zeigen
Sie #E(Fp2n ) = ((−p)n − 1)2 für alle ganzen Zahlen n ≥ 1.
Aufgabe 5. Sei E eine elliptische Kurve über dem endlichen Körper Fq wobei q = pf .
Wir nehmen #E(Fq ) = q + 1 an. Beweisen Sie
{Q ∈ E : pQ = 0} = {0}.
Aufgabe 6 (Benötigt Kentnisse der Topologie). Sei G eine topologische Gruppe und A
eine abelsche topologische Gruppe, so dass G auf A operiert und so dass die Operationsabbildung G × A → A stetig ist. Die stetigen 1-Kozykeln dieser Operation sind
1
Zcont.
(G, A) = {λ : G → A ist ein stetiger verschränkter Homomorphismus}
und die 1-Koränder sind
1
Bcont.
(G, A) = {λ : G → A : es gibt a ∈ A mit λ(σ) = σ(a) − a für alle σ ∈ G}.
1
1
(i) Zeigen Sie, dass Bcont.
(G, A) ⊆ Zcont.
(G, A).
1
1
1
Wir definieren Hcont. (G, A) = Zcont. (G, A)/Bcont.
(G, A).
Seien K und F Körper mit K ⊆ F und jedes Element von F ist algebraisch über K.
Wir statten F mit der diskreten Topologie aus. Sei G eine kompakte topologische Gruppe
bestehend aus Körperautomorphismen σ : F → F mit σ(x) = x für alle x ∈ K. Nehmen
Sie an, dass es zu jeder offenen Untergruppe H ⊆ G einen offenen Normalteiler N von
G gibt, mit N ⊆ H.
1
(ii) Zeigen Sie, dass Hcont.
(G, F ) = {0}.
Freiwillige Abgabe in den Briefkasten Gruppe Habegger“.
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