Elliptische Kurven (26192) Blatt 13 Universität Basel im HS 2015 Prof. Dr. P. Habegger Aufgabe 1. Sei Fq ein algebraischer Abschluss von Fq und E eine elliptische Kurve über Fq . Beweisen Sie div(Frq (f )) = Frq (div(f )) für alle f ∈ Fq (E) r {0}. Hinweis: Beweis von Lemma 4.41 anpassen. Aufgabe 2. Sei A eine abelsche Gruppe und G eine beliebige Gruppe. Wir statten A mit der trivialen Operation von G aus; d.h. ga = a für alle g ∈ G und alle a ∈ A. Zeigen Sie, dass H 1 (G, A) = Hom(G, A) die Gruppe aller Gruppenhomomorphismen G → A ist. Aufgabe 3. Überprüfen Sie die Riemannsche Vermutung (vgl. Satz 4.8) für die durch y 2 + y = x3 − 7x + 6 gegebene elliptische Kurve über dem Körper Fp für jede Primzahl p ∈ {2, 3, 5, 7, 11, 13}. Aufgabe 4. Sei E die elliptische Kurve y 2 = x3 + 1 über Fp mit p ≡ 2 (mod 3). Zeigen Sie #E(Fp2n ) = ((−p)n − 1)2 für alle ganzen Zahlen n ≥ 1. Aufgabe 5. Sei E eine elliptische Kurve über dem endlichen Körper Fq wobei q = pf . Wir nehmen #E(Fq ) = q + 1 an. Beweisen Sie {Q ∈ E : pQ = 0} = {0}. Aufgabe 6 (Benötigt Kentnisse der Topologie). Sei G eine topologische Gruppe und A eine abelsche topologische Gruppe, so dass G auf A operiert und so dass die Operationsabbildung G × A → A stetig ist. Die stetigen 1-Kozykeln dieser Operation sind 1 Zcont. (G, A) = {λ : G → A ist ein stetiger verschränkter Homomorphismus} und die 1-Koränder sind 1 Bcont. (G, A) = {λ : G → A : es gibt a ∈ A mit λ(σ) = σ(a) − a für alle σ ∈ G}. 1 1 (i) Zeigen Sie, dass Bcont. (G, A) ⊆ Zcont. (G, A). 1 1 1 Wir definieren Hcont. (G, A) = Zcont. (G, A)/Bcont. (G, A). Seien K und F Körper mit K ⊆ F und jedes Element von F ist algebraisch über K. Wir statten F mit der diskreten Topologie aus. Sei G eine kompakte topologische Gruppe bestehend aus Körperautomorphismen σ : F → F mit σ(x) = x für alle x ∈ K. Nehmen Sie an, dass es zu jeder offenen Untergruppe H ⊆ G einen offenen Normalteiler N von G gibt, mit N ⊆ H. 1 (ii) Zeigen Sie, dass Hcont. (G, F ) = {0}. Freiwillige Abgabe in den Briefkasten Gruppe Habegger“. ”