Elliptische Kurven (26192) Universität Basel im HS 2015 Blatt 13

Elliptische Kurven (26192)
Blatt 13
Universität Basel im HS 2015
Prof. Dr. P. Habegger
Aufgabe 1. Sei Fq ein algebraischer Abschluss von Fq und E eine elliptische Kurve über
Fq . Beweisen Sie
div(Frq (f )) = Frq (div(f ))
für alle f ∈ Fq (E) r {0}. Hinweis: Beweis von Lemma 4.41 anpassen.
Aufgabe 2. Sei A eine abelsche Gruppe und G eine beliebige Gruppe. Wir statten A
mit der trivialen Operation von G aus; d.h. ga = a für alle g ∈ G und alle a ∈ A. Zeigen
Sie, dass H 1 (G, A) = Hom(G, A) die Gruppe aller Gruppenhomomorphismen G → A
ist.
Aufgabe 3. Überprüfen Sie die Riemannsche Vermutung (vgl. Satz 4.8) für die durch
y 2 + y = x3 − 7x + 6 gegebene elliptische Kurve über dem Körper Fp für jede Primzahl
p ∈ {2, 3, 5, 7, 11, 13}.
Aufgabe 4. Sei E die elliptische Kurve y 2 = x3 + 1 über Fp mit p ≡ 2 (mod 3). Zeigen
Sie #E(Fp2n ) = ((−p)n − 1)2 für alle ganzen Zahlen n ≥ 1.
Aufgabe 5. Sei E eine elliptische Kurve über dem endlichen Körper Fq wobei q = pf .
Wir nehmen #E(Fq ) = q + 1 an. Beweisen Sie
{Q ∈ E : pQ = 0} = {0}.
Aufgabe 6 (Benötigt Kentnisse der Topologie). Sei G eine topologische Gruppe und A
eine abelsche topologische Gruppe, so dass G auf A operiert und so dass die Operationsabbildung G × A → A stetig ist. Die stetigen 1-Kozykeln dieser Operation sind
1
Zcont.
(G, A) = {λ : G → A ist ein stetiger verschränkter Homomorphismus}
und die 1-Koränder sind
1
Bcont.
(G, A) = {λ : G → A : es gibt a ∈ A mit λ(σ) = σ(a) − a für alle σ ∈ G}.
1
1
(i) Zeigen Sie, dass Bcont.
(G, A) ⊆ Zcont.
(G, A).
1
1
1
Wir definieren Hcont. (G, A) = Zcont. (G, A)/Bcont.
(G, A).
Seien K und F Körper mit K ⊆ F und jedes Element von F ist algebraisch über K.
Wir statten F mit der diskreten Topologie aus. Sei G eine kompakte topologische Gruppe
bestehend aus Körperautomorphismen σ : F → F mit σ(x) = x für alle x ∈ K. Nehmen
Sie an, dass es zu jeder offenen Untergruppe H ⊆ G einen offenen Normalteiler N von
G gibt, mit N ⊆ H.
1
(ii) Zeigen Sie, dass Hcont.
(G, F ) = {0}.
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