Klausurvorbereitung - Teil II

Technische Universität Chemnitz
Elementarmathematik für ChemikerInnen
WS 2013/14
Gregor Leimcke
Klausurvorbereitung - Teil II
Komplexe Zahlen
1. (7 Punkte) Bestimmen Sie die komplexe Zahl z, welche die Gleichung
(4−5 i) z − 12 + 3 i
= 1 − 6i
i
löst! Geben Sie das Ergebnis in algebraischer, Polar- (trigonometrischer) und Exponentialdarstellung an!
Lösung:
algebraische Darstellung:
z = 2 + 2i √
Polardarstellung: 2 2 cos π4 + sin π4
√ π
Exponentialdarstellung: 2 2 ei 4
2. (6 Punkte) Skizzieren Sie in der komplexen
√ Ebene die Menge aller komplexen Zahlen z,
die der Bedingung 2 ≤ |z − 3 + 3i| ≤ 3 2 genügen! Enthält die Menge reelle Zahlen,
wenn ja, welche?
Lösung:
√
Lösung sind alle Kreise mit Mittelpunkt (3, −3) und Radius 2 ≤ r ≤ 3 2.
Menge reeller Zahlen: [0, 6]
3. (6 Punkte) Berechnen Sie 1,5 222 222
√1
3
−
√1
3i
444 444
!
Lösung:
-1
4. (6 Punkte) Ermitteln Sie alle vierten Wurzeln aus der Zahl −4096 in algebraischer und
in trigonometrischer Darstellung und stellen Sie diese grafisch dar!
Lösung:
√
√
z0 = 8 cos π4 + i sin π4 = 4 2 + 4 2i
√
√
z1 = 8 cos 34 π + i sin 34 π = −4 2 + 4 2i
√
√
z2 = 8 cos 54 π + i sin 54 π = −4 2 − 4 2i
√
√
z3 = 8 cos 47 π + i sin 74 π = 4 2 − 4 2i
5. (6 Punkte) Sei z = reiϕ . Bestimmen Sie die Lösungsmenge (in Realteil und Imaginärteil)
und skizzieren Sie diese:
π
a) |z − 1| = 1, b) ϕ = .
4
Lösung:
a) L = {z = a + bi ∈ C : (a − 1)2 + b2 = 1}
b) L = {z = a + bi ∈ C : a = b, a ≥ 0}
6. (6 Punkte) Gegeben seien die komplexen Zahlen
z1 = 4
π
cos −
3
Berechnen Sie das Argument von
π
+ i sin −
3
und
z2 = 2 + 2i.
z1
und den Betrag von z1 z2 .
z2
Lösung:
π
arg zz12 = 17
√12
|z1 z2 | = 8 2
√
(2 + i 12)66
7. (7 Punkte) Bestimmen Sie die algebraische Darstellung von 128
, benutzen Sie
2 (1 − i)6
dazu die trigonometrische Darstellung der Zahlen im Zähler und Nenner!
Lösung:
−2i
12333 335
8. (6 Punkte) Berechnen Sie √
!
( 3 + 3i)666 666
Lösung:
144
9. (7 Punkte) Sei a ein beliebig reeller Parameter. Bestimmen Sie die komplexe Zahl z,
welche die Gleichung (2 + i)(iz + a) + ai = −1 − 2a + 2i erfüllt!
Lösung:
1 + 2ai
√
10. (7 Punkte) Lösen Sie die Gleichung z 2 − (2 + 4i)z + 5 + (4 − 8 3)i = 0 und zeichnen Sie
die Lösung in die komplexe Zahlenebene ein.
Lösung:
√
z1 = 3 + 2(1 + 3)i,
z2 = −1 + 2(1 −
√
3)i