Theorie der Konsequenzoperationen und logische Unabhängigkeit

Theorie der Konsequenzoperationen und
logische Unabhängigkeit
Christian Wallmann
Abstract
This article deals with algebraic logic. In particular, it discusses
the theory of consequence operations and the general concept of
logical independency. The advantage of this general view is its great applicability: The stated properties of consequence operations
hold for almost every logical system.
The notion of independency is well known and important in logic,
philosophy of science and mathematics. Roughly speaking, a set
is independent with respect to a consequence operation, if none of
its elements is a consequence of the other elements. The property
of being an independent set guarantees therefore that none of its
elements is superuous.
In particular, I'm going to show fundamental results for every
consequence operation, and hence for every logic: no innite independent set is nite axiomatizable, and every nite axiomatizable
set has relative to a nitary consequence operation an independent
axiom system. The main result is that in sentential logic every set
of formulas has an independend axiom system.
1 Einleitung
In dieser Arbeit wird der allgemeine Begri der Konsequenzoperation
eingeführt. Die meisten üblichen Logiksysteme sind Konsequenzoperationen. Daher gelten die Eigenschaften von Konsequenzoperationen für
die meisten Logiksysteme.
Der hier untersuchte Begri ist jener der Unabhängigkeit. Es werden einige Resultate zur Unabhängigkeit bewiesen. Zwei seien erwähnt:
1. Eine unendliche unabhängige Menge ist nicht endlich axiomatisierbar.
2. Jede endlich axiomatisierbare Menge hat hinsichtlich einer nitären
Konsequenzoperation ein unabhängiges Axiomensystem.
Im zweiten Teil der Arbeit werden aussagenlogische Konsequenzoperationen eingeführt. Die üblichen aussagenlogischen Kalküle sind aussagenlogische Konsequenzoperationen. Das Hauptresultat dieser Arbeit
Kriterion Journal of Philosophy (2010) 23: 523.
http://www.kriterion.at
c 2010 The author
6
Kriterion Journal of Philosophy (2010) 23: 523
ist, dass jede Menge hinsichtlich einer nitären aussagenlogischen Konsequenzoperation unabhängig axiomatisierbar ist. Insbesondere ist also
jede Menge in jedem aussagenlogischen Kalkül unabhängig axiomatisierbar.
Die Vorteile der allgemeinen Betrachtungsweise sind zum einen die breite
Anwendbarkeit der Resultate und zum anderen das klare Hervortreten
der Eigenschaften, die für die Beweisbarkeit eines Satzes wesentlich sind
und jener, die für die Beweisbarkeit eines Satzes unwesentlich sind.
2 Konsequenzoperationen
In diesem Abschnitt wird der Begri der Konsequenzoperation eingeführt. Um diesen Begri einführen zu können, wird der Begri der formalen Sprache deniert. Es werden die Begrie der Tautologie, der endlichen Axiomatisierbarkeit und der Unabhängigkeit deniert. Es wird
bewiesen, dass jede unendliche unabhängige Menge nicht endlich axiomatisierbar ist. Das Hauptresultat dieses Kapitels ist, dass jede endlich
axiomatisierbare Menge hinsichtlich einer nitären Konsequenzoperation
ein unabhängiges Axiomensystem hat.
2.1
Abzählbare Sprachen
Eine formale Sprache ist eine Menge, die eine abzählbar unendliche Teilmenge N hat und die unter einer endlichen Menge von Funktionen abgeschlossen ist (d.h., mit jeder Folge ihrer Elemente enthält sie auch
die Funktionswerte der entsprechenden Funktionen). Weiters enthält sie
nichts, auÿer eben dieser abzählbaren Teilmenge N , deren Funktionswerte und die Funktionswerte der Funktionswerte der Elemente von N
usw. . .
Es sei (fi )i≤n eine endliche Folge von Funktionen beliebiger Stelligkeit.
Denition 1. M heiÿt unter (fi )i≤n abgeschlossen gdw. für alle
i ≤ n gilt:
Ist fi ∗ die Stelligkeit von fi und sind A1 , ..., Afi ∗ ∈ M ,
so ist fi (A1 , ..., Afi ∗ ) ∈ M .
Denition
2.
T
M=
M wird von N und (fi )i≤n erzeugt gdw.
{M 0 : N ⊆ M 0 und M 0 ist unter (fi )i≤n abgeschlossen}.
Denition 3.
L ist eine formale Sprache gdw. es ein abzählbar unendliches N und (fi )i≤n gibt mit: L ist von N und (fi )i≤n erzeugt.
Christian Wallmann: Konsequenzoperationen und Unabhängigkeit 7
Eine formale Sprache ist also die kleinste von einer abzählbar unendlichen Menge und von endlich vielen Funktionen erzeugte Menge.
Beispiele:
1. Die Sprache der Aussagenlogik ist eine formale Sprache.
2. Die Sprache der modalen Aussagenlogik ist eine formale Sprache.
2.2
Konsequenzoperationen
In diesem Abschnitt wird der für die Untersuchung grundlegende Begri
der Konsequenzoperation eingeführt. Die hierfür erforderlichen Bedingungen sind Minimalbedingungen, die Logiken erfüllen müssen. Es werden einige Lemmata über Konsequenzoperationen, die in späteren Teilen
der Arbeit nützlich sind, bewiesen.
Sei L eine formale Sprache und sei Cn eine Funktion auf P ow(L)1 und
T, T 0 , T 00 ⊆ L und A, B ∈ L.
Denition 4. Cn ist eine
für alle T, T 0 ⊆ L gilt:
Konsequenzoperation
(kurz: KO) gdw.
(1) T ⊆ Cn(T ). (Reexivität)
(2) Wenn T ⊆ Cn(T 0 ), dann ist Cn(T ) ⊆ Cn(T 0 ). (Transitivität)
Beispiele:
1. Diejenige Funktion, die jeder Teilmenge von L L zuordnet, ist eine
Konsequenzoperation.
2. Sei L die Sprache der Aussagenlogik mit den Junktoren ¬, ∧, ∨, →.
Dann ist diejenige Funktion, die jeder Teilmenge von L die Menge aller
Sätze, die belegungssemantisch aus ihr folgen, zuordnet, eine Konsequenzoperation.
3. Diejenige Funktion, die jedem Satz der Sprache der modalen Aussagenlogik die Menge aller seiner S5-Konsequenzen zuordnet, ist eine
Konsequenzoperation.
Oft ist es leichter nachzuweisen, dass eine Funktion die folgenden Bedingungen erfüllt, um darauf schlieÿen zu können, dass sie eine Konsequenzoperation ist.
Satz 5.
Cn ist eine Konsequenzoperation gdw. für alle T, T 0 ⊆ L gilt:
1 Mit 'P ow(T )'
wird die Menge aller Teilmengen von T bezeichnet.
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(1) T ⊆ Cn(T ).
(2) Cn(Cn(T )) ⊆ Cn(T ). (Idempotenz)
(3) Wenn T ⊆ T 0 , dann ist Cn(T ) ⊆ Cn(T 0 ). (Monotonie)
Beweis:
=⇒:
Monotonie: Sei T ⊆ T 0 . Dann ist aufgrund der Reexivität T ⊆ Cn(T 0 )
und also Cn(T ) ⊆ Cn(T 0 ).
Idempotenz : Es ist Cn(T ) ⊆ Cn(T ). Also wegen der Transitivität Cn(Cn(T )) ⊆
Cn(T ).
⇐=:
Sei T ⊆ Cn(T 0 ). Dann ist wegen der Monotonie Cn(T ) ⊆ Cn(Cn(T 0 )) =
Cn(T 0 ).
Im Folgenden sei Cn eine Konsequenzoperation.
Satz 6.
Es gilt:
(1) Cn(T ∪ T 0 ) = Cn(Cn(T ) ∪ Cn(T 0 )).
(2) Wenn T 00 ⊆ Cn(T ), dann ist Cn(T 00 ∪ T 0 ) ⊆ Cn(T ∪ T 0 ).
Insbesondere: Wenn A ∈ Cn(T ), dann ist
Cn({A} ∪ T 0 ) ⊆ Cn(T ∪ T 0 ). (Schnitt)
(3) Sei n ∈ N und AiS∈ Cn(Ti ) für alle i: 1 ≤ i ≤ n. Dann ist
n
{A1 , ..., An } ⊆ Cn( i=1 Ti ).
Beweis:
von (1) : Es ist nach der Reexivität T ⊆ Cn(T ) und T 0 ⊆ Cn(T 0 ).
Also T ∪ T 0 ⊆ Cn(T ) ∪ Cn(T 0 ). Also ist aufgrund der Monotonie
Cn(T ∪ T 0 ) ⊆ Cn(Cn(T ) ∪ Cn(T 0 )).
Es ist nach der Monotonie Cn(T ) ⊆ Cn(T ∪ T 0 ) und
Cn(T 0 ) ⊆ Cn(T ∪ T 0 ).
Also ist Cn(T ) ∪ Cn(T 0 ) ⊆ Cn(T ∪ T 0 ).
Wegen der Transitivität ist folglich Cn(Cn(T ) ∪ Cn(T 0 )) ⊆ Cn(T ∪ T 0 ).
von (2) : Es ist nach Teil 1 Cn(T 00 ∪ T 0 ) = Cn(Cn(T 00 ) ∪ Cn(T 0 )).
Sei also T 00 ⊆ Cn(T ), dann ist wegen der Transitivität Cn(T 00 ) ⊆ Cn(T ).
Also ist wegen der Monotonie
Cn(Cn(T 00 ) ∪ Cn(T 0 )) ⊆ Cn(Cn(T ) ∪ Cn(T 0 )).
Nach Teil 1 ist Cn(Cn(T ) ∪ Cn(T 0 )) = Cn(T ∪ T 0 ).
Insgesamt also: Cn(T 00 ∪ T 0 ) ⊆ Cn(T ∪ T 0 ).
S
von (3) : Sei A
Si ∈ Cn(Ti ). Es gilt: Cn(Ti ) ⊆ Cn( Ti ) (Monotonie). Also
ist Ai ∈ Cn( Ti ).
Christian Wallmann: Konsequenzoperationen und Unabhängigkeit 9
Satz 7.
Wenn A ∈ Cn(T ), dann ist Cn(T ) = Cn(T ∪ {A}).
Beweis: Sei A ∈ Cn(T ). Dann ist T ∪ {A} ⊆ Cn(T ) und also wegen
der Transitivität Cn(T ∪ {A}) ⊆ Cn(T ). Die umgekehrte Inklusion gilt
wegen der Monotonie.
Denition
S 8.
Cn(T ) =
Cn ist nitär gdw. für alle T ⊆ L gilt:
{Cn(T 0 ) : T 0 ⊆ T und T 0 endlich}
Eine Konsequenzoperation ist also genau dann nitär, wenn alles das aus
einer Menge folgt, bereits aus einer endlichen Teilmenge dieser Menge
folgt.
2.3
Tautologien
`Tautologie' ist einer der wichtigsten Begrie der Logik. Eine Tautologie
ist eine Konsequenz aus der leeren Menge und, da Konsequenzoperationen monoton sind, eine Konsequenz jeder Menge.
Denition 9.
A ist eine Cn-Tautologie gdw. A ∈ Cn(∅).
Wenn T eine Menge und A eine Tautologie ist, dann ist aus {A} ∪ T
nicht mehr ableitbar, als aus T alleine ableitbar ist. Ebenso ist aus T \
{A} nicht weniger als aus T ableitbar. Tautologien spielen also für das
Konsequenzenziehen keine Rolle.
Satz 10.
Es ist Cn(T \ T 0 ) = Cn(T ) für alle T 0 ⊆ Cn(∅).
Beweis: Es ist Cn(T ) ⊆ Cn(T \ T 0 ∪ Cn(∅)) (Monotonie)
= Cn(Cn(T \ T 0 ) ∪ Cn(Cn(∅))) (Satz 6)
= Cn(Cn(T \ T 0 ) ∪ Cn(∅)) (Idempotenz)
= Cn(T \ T 0 ∪ ∅) (Satz 6)
= Cn(T \ T 0 ).
Satz 11.
Es ist Cn(T ∪ T 0 ) = Cn(T ) für alle T 0 ⊆ Cn(∅).
Beweis: Es ist Cn(T ∪ T 0 ) ⊆ Cn(T ∪ Cn(∅)) (Monotonie)
= Cn(Cn(T ) ∪ Cn(Cn(∅)) (Satz 6)
= Cn(Cn(T ∪ Cn(∅)) (Idempotenz)
= Cn(T ∪ ∅)
= Cn(T ) (Satz 6).
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10
2.4
Axiomensysteme
Axiomensysteme für eine Menge T sind Mengen, welche die gleichen
Konsequenzen wie T haben.
Denition 12.
Cn(T 0 ).
T ist ein Cn-Axiomensystem2 für T 0 gdw. Cn(T ) =
Bemerkung: Es ist nicht zweckmäÿig, den Begri axiomatisierbar folgenderweise zu denieren: Eine Menge ist axiomatisierbar gdw. sie ein
Axiomensystem hat.
Es hat dann jede Menge ein Axiomensystem (nämlich sich selbst) und
somit wäre jede Menge axiomatisierbar.
Denition 13. T ist Cn-endlich axiomatisierbar gdw. es ein endliches Cn-Axiomensystem für T gibt.
Der nächste Satz besagt, dass jede endlich axiomatisierbare Menge durch
eine Teilmenge ihrer selbst endlich axiomatisierbar ist ([1], S.103, S.105
und S.173).
Satz 14. Sei Cn eine nitäre KO. Dann hat jede Cn-endlich axiomatisierbare Menge T ein endliches Cn-Axiomensystem T 0 mit T 0 ⊆ T .
Beweis: Da T endlich axiomatisierbar ist, gibt es ein endliches T 00 ⊆ L
mit Cn(T ) = Cn(T 00 ).
Ist T 00 = ∅ , so ist T 00 das gesuchte Axiomensystem.
Sei also T 00 = {A1 , ..., An }.
Wegen der Reexivität von Cn ist {A1 , ..., An } ⊆ Cn(T ).
Also existieren, da Cn nitär ist, endliche Ti00 mit Ti00 ⊆ T und Ai ∈
Cn(Ti00 ) für alle i : 1 ≤ i ≤ n.
S
Nach Satz 6 Teil 3 ist folglich {A1 , ..., An } ⊆ Cn( Ti00 ).
S
Wegen der Transitivität ist Cn({A1 , ..., An })S= Cn(T ) ⊆ Cn( Ti00 ).
Umgekehrt ist aufgrund der Monotonie Cn( Ti00 ) ⊆ Cn(T ).
2.5
Unabhängigkeit
In diesem Abschnitt wird der Begri der Unabhängigkeit untersucht. Ein
historisches Beispiel, das viele kennen, ist jenes der Euklidischen Geometrie. Man hatte sich lange Zeit gefragt, ob das Parallelenpostulat schon
2 Im
Cn
Folgenden wird oft bei diesem Begri und den weiteren Begrien das Präx
weggelassen.
Christian Wallmann: Konsequenzoperationen und Unabhängigkeit 11
aus den restlichen Axiomen logisch folgt. Nach unzähligen Beweisversuchen, dass es folgt, wurde gezeigt, dass dem nicht so ist.
Warum aber die ganze Mühe? Darüber gibt Satz 17 Auskunft. Er besagt,
dass, wenn ein Satz A in einer Menge abhängig ist, nichts verloren geht,
wenn A weggelassen wird, d.h. die Konsequenzenmenge ändert sich nicht
durch das Weglassen von A. Dieses A ist sozusagen überüssig. Umgekehrt heiÿt dies, dass, wenn ein Satz unabhängig ist, man durch das
Weglassen dieses Satzes eine kleinere Folgerungsmenge erhält.
Es hat jede endlich axiomatisierbare Menge ein unabhängiges Axiomensystem, d.h. man kann jede Menge ohne überüssigen Balast axiomatisieren.
Ein ebenfalls wichtiger Satz ist, dass eine unendliche unabhängige Menge
nicht endlich axiomatisierbar ist.
Denition 15.
Sei A ∈ T . A ist in T Cn-unabhängig gdw.
A 6∈ Cn(T \ {A}).
Denition 16.
Sei A ∈ T . A ist in T Cn-abhängig gdw. A in T nicht
Cn-unabhängig ist.
Beispiele:
1. Das Parallelenpostulat ist in der Euklidischen Geometrie unabhängig.
2. Das Intervallschachtelungsaxiom bzw. das Vollständigkeitsaxiom ist
in der Theorie der reellen Zahlen unabhängig.
3. Das Archimedische Axiom ist in der Theorie der reellen Zahlen abhängig.
4. Jede Tautologie ist in jeder Menge aussagenlogisch abhängig.
5. p ∧ q ist in {p, q, p ∧ q} aussagenlogisch abhängig.
6. p → q ist in {p → q, q → p} aussagenlogisch unabhängig.
Satz 17. Sei A ∈ T , dann gilt:
A ist in T abhängig gdw. Cn(T ) = Cn(T \ {A}).
Beweis:
=⇒:
Sei A ∈ Cn(T \{A}). Dann ist {A}∪T \{A} = T ⊆ Cn(T \{A}). Wegen
der Transitivität ist also Cn(T ) ⊆ Cn(T \ {A}).
Die andere Inklusion folgt unmittelbar aus der Monotonie.
⇐=:
Sei Cn(T \ {A}) = Cn(T ). Da A ∈ T ist, ist A ∈ Cn(T ). Also ist
A ∈ Cn(T \ {A}).
Denition 18. T ist Cn-unabhängig gdw. für alle A ∈ T gilt: A ist
in T Cn-unabhängig.
12
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Denition 19.
T ist Cn-abhängig gdw. T nicht Cn-unabhängig ist.
Beispiele:
1. Die Euklidische Geometrie ist unabhängig.
2. Die hyperbolische Geometrie ist unabhängig.
3. Jede Menge, die eine Tautologie enthält, ist aussagenlogisch abhängig.
4. Die Theorie der reellen Zahlen zuzüglich des Archimedischen Axioms
ist abhängig.
5. {p, q, p ∧ q} ist aussagenlogisch abhängig.
6. {p → q, q → p} ist aussagenlogisch unabhängig.
Satz 20.
∅ ist Cn-unabhängig.
Beweis: Trivial.
Satz 21. Sei Cn eine nitäre KO. Dann ist T genau dann unabhängig,
wenn jede endliche Teilmenge von T unabhängig ist.
Beweis:
=⇒:
Sei A 6∈ Cn(T \ {A}) für alle A ∈ T . Sei B ∈ T 0 ⊆ T . Dann ist aufgrund
der Voraussetzung und der Monotonie B 6∈ Cn(T 0 \ {A}).
⇐=:
Sei jede endliche Teilmenge von T unabhängig.
Angenommen, T wäre nicht unabhängig.
Dann ist A ∈ Cn(T \ {A}) für mindestens ein A ∈ T . Also ist, da Cn
nitär ist, A ∈ Cn(T 0 ) für ein endliches T 0 ⊆ T \ {A}.
Nun ist aber A ∈ {A} ∪ T 0 und A ∈ Cn({A} ∪ T 0 \ {A}). Was im Widerspruch zu {A} ∪ T 0 ist unabhängig steht.
Das nächste Resultat ndet sich bei Asser ([1], S.115 und S.116). Dort
wird allerdings der Begri der Unabhängigkeit nach Ordnung eingeführt
und mithilfe dieses Begries der Satz bewiesen. Der Beweis in meiner
Arbeit kommt ohne derartige Hilfsmittel aus.
Satz 22.
Sei Cn eine nitäre KO. Dann ist eine unendliche unabhängige
Menge T nicht endlich axiomatisierbar.
Beweis: Angenommen, T wäre endlich axiomatisierbar. Dann sind die
Voraussetzungen von Satz 14 erfüllt, und also existiert ein endliches
T 0 ⊆ T mit Cn(T ) = Cn(T 0 ).
Da unsere Sprache abzählbar unendlich ist, ist auch T abzählbar unendlich. Sei also T := {Ai : i ∈ N}.
Christian Wallmann: Konsequenzoperationen und Unabhängigkeit 13
Es ist nach Voraussetzung Ai 6∈ Cn(T \ {Ai }).
Also, da T 0 ⊆ T und Cn monoton ist, ist Ai 6∈ Cn(T 0 \ {Ai }).
Folglich ist Ai ∈ T 0 .
Denn: Es ist Ai ∈ Cn(T ) (weil Ai ∈ T ). Also: Ai ∈ Cn(T 0 ). Da nun
Ai 6∈ Cn(T 0 \ {Ai }) und Cn eine Funktion ist, ist T 0 6= T 0 \ {Ai }.
Es sind also alle Ai ∈ T 0 . Das ist ein Widerspruch dazu, dass T 0 endlich
ist.
Für nitäre Konsequenzoperationen lässt sich beweisen, dass jede endlich axiomatisierbare Menge ein unabhängiges Axiomensystem hat ([1],
S.113). Wenn eine aussagenlogische Konsequenzoperation vorgegeben ist,
hat sogar jede Menge ein unabhängiges Axiomensystem. Der folgende
Satz ist abgesehen von seiner wichtigen Rolle in der Theorie der Konsequenzoperationen in diesem Beweis ein Lemma.
Hauptsatz 23.
Sei Cn eine nitäre KO. Dann hat jede Cn-endlich
axiomatisierbare Menge T ein endliches unabhängiges Axiomensystem
T 0 mit T 0 ⊆ T .
Beweis: Nach Satz 14 hat T ein endliches Axiomensystem T 00 mit
T 00 ⊆ T .
Die Behauptung wird durch Induktion nach der Anzahl der Elemente n
von T 00 gezeigt.
Induktionsanfang: Sei n = 0.
Dann ist T 00 = ∅. ∅ ist nach Satz 20 unabhängig. Somit ist ∅ selbst das
gesuchte Axiomensystem.
Induktionsschritt: n → n + 1.
Induktionsvoraussetzung: Hat T ein Axiomensystem mit n Elementen,
dann hat T ein endliches unabhängiges Axiomensystem T 0 mit T 0 ⊆ T .
Sei also {A1 , ..., An+1 } ein Axiomensystem für T mit {A1 , ..., An+1 } ⊆ T .
Fall 1: {A1 , ..., An+1 } ist unabhängig. In diesem Fall ist nichts zu zeigen.
Fall 2: {A1 , ..., An+1 } ist abhängig. Dann ist mindestens ein Ai in
{A1 , ..., An+1 } abhängig.
Es ist o.B.d.A.: An+1 ∈ Cn({A1 , ..., An }). Nach Satz 7 ist also
Cn({A1 , ..., An+1 }) = Cn({A1 , ..., An }). Somit ist {A1 , ..., An } ein nelementiges Axiomensystem für T . Wegen der Induktionsvoraussetzung
hat T also ein endliches und unabhängiges Axiomensystem T 0 ⊆ T .
3 Aussagenlogische Konsequenzoperationen
In diesem Kapitel werden aussagenlogische Konsequenzoperationen eingeführt. Im Wesentlichen sind dies die üblichen aussagenlogischen Kal-
14
Kriterion Journal of Philosophy (2010) 23: 523
küle. Um sie einführen zu können, muss die zugrundegelegte Sprache
auf die aussagenlogische Sprache mit den gewöhnlichen Junktoren eingeschränkt werden.
Das Charakteristische an aussagenlogischen Konsequenzoperationen sind
Bedingungen, die angeben, unter welchen Umständen ein Satz aus einer
Konjunktion, einer Adjunktion oder einer Implikation folgt und auch,
wie eine Negation zu behandeln ist.
Es werden einige aussagenlogische Tautologien bewiesen, die im Beweis
des zentralen Satzes, dass jede Menge bezüglich jeder nitären aussagenlogischen Konsequenzoperation ein unabhängiges Axiomensystem hat,
eine Rolle spielen.
3.1
Die aussagenlogische Sprache LAL
Denition 24. LAL sei diejenige formale Sprache, die von der Menge
der aussagenlogischen Variablen Av und den Funktionen ¬, ∨, ∧, → erzeugt wird.
Wobei für alle A, B ∈ LAL :
¬(A) = ¬A.
∨(A, B) = (A ∨ B).
∧(A, B) = (A ∧ B).
→ (A, B) = (A → B).
Im Folgenden gelten diese Klammerersparnisregeln:
1. In der Metasprache dürfen äuÿere Klammern weggelassen werden.
2. In der Metasprache bindet ¬ am stärksten.
3. In der Metasprache binden ∧ und ∨ stärker als →.
Es seien T, T 0 ⊆ LAL und A, B, C ∈ LAL .
3.2
Aussagenlogische Konsequenzoperationen
Zunächst wird der zentrale Begri der aussagenlogischen Konsequenzoperation deniert. Anschlieÿend werden einige Lemmata bewiesen. Wichtig ist vor allem, dass {A, ¬A} ein Axiomensystem für LAL und jede
Konsequenzenmenge unter Modus Ponens abgeschlossen ist.
'Cn(T, {A1 , ..., An })' stehe für 'Cn(T ∪ {A1 , ..., An })'
Denition 25.
Eine KO Cn ist eine
zoperation (kurz: AL-KO) gdw.
aussagenlogische Konsequen-
für alle A, B ∈ LAL und T ⊆ LAL gilt:
(¬) A ∈ Cn(T ) gdw. Cn(T, {¬A}) = LAL .
Christian Wallmann: Konsequenzoperationen und Unabhängigkeit 15
(∧) Cn(T, {A ∧ B})=Cn(T, {A, B}).
(∨) Cn(T, {A ∨ B})=Cn(T, {A}) ∩ Cn(T, {B}).
(→) A → B ∈ Cn(T ) gdw. B ∈ Cn(T, {A}).
Beispiele:
1. Die Konsequenzoperation, die jeder Menge die Sprache LAL zuordnet,
ist eine AL-KO.
2. Jeder adäquate aussagenlogische Kalkül ist eine AL-KO.
3. Die intuitionistische Logik ist keine AL-KO.
Satz 26. Sei Cn eine AL-KO. Dann ist LAL endlich axiomatisierbar.
Insbesondere ist {A, ¬A} ein Axiomensystem für LAL .
Beweis: Es ist aufgrund der Monotonie A ∈ Cn({A, ¬A}) und also mit
(¬) Cn({A, ¬A}, {¬A}) = Cn({A, ¬A}) = LAL .
Auch sind aussagenlogische Konsequenzoperationen unter Modus Ponens abgeschlossen; eine Tatsache, die in vielen Beweisen dieses Kapitels
verwendet wird.
Satz 27. Sei Cn eine AL-KO und seien A → B ∈ T, A ∈ T .
Dann ist B ∈ Cn(T ).
Beweis: Nach der Voraussetzung ist wegen der Reexivität
A → B ∈ Cn(T ).
Also ist nach (→) B ∈ Cn(T, {A}). Da A ∈ T ist, ist T ∪ {A} = T .
Also: B ∈ Cn(T ).
Satz 28.
Sei Cn eine AL-KO. Sind A → B, B → C ∈ Cn(T ), so ist
A → C ∈ Cn(T ).
Beweis: Sei A → B, B → C ∈ Cn(T ), dann ist wegen (→) B ∈ Cn(T, {A})
und aufgrund der Monotonie B → C ∈ Cn(T, {A}).
Also ist wegen Modus Ponens C ∈ Cn(Cn(T, {A})) = Cn(T, {A})
(Idempotenz) und also wegen (→) A → C ∈ Cn(T ).
3.3
Einige aussagenlogische Tautologien
Im Folgenden werden Tautologien aufgelistet, von denen einige eine wichtige Rolle im Beweis des Satzes, dass jede Menge bezüglich einer nitären
AL-KO ein unabhängiges Axiomensystem hat, spielen.
Satz 29. Sei Cn eine AL-KO. Alle Formeln der folgenden Formen sind
Cn-Tautologien.
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1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
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A → (B → A)
(A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))
(¬A → ¬B) → (B → A)
A∧B →A
A∧B →B
A → (B → A ∧ B)
A→A∨B
B →A∨B
(A → C) → ((B → C) → (A ∨ B → C))
Beweis:
ad 1.: Es ist wegen der Reexivität und Monotonie von Cn A ∈ Cn({A, B}).
Also ist wegen (→) B → A ∈ Cn({A}) und also wegen (→)
A → (B → A) ∈ Cn(∅).
ad 2.: Es ist wegen mehrmaliger Anwendung von Modus Ponens
C ∈ Cn({A, A → B, A → (B → C)}). Durch mehrmalige Anwendung
von (→) erhält man die Behauptung.
ad 3.: Es ist {B, ¬B} ⊆ Cn({¬A, ¬A → ¬B, B}) und also wegen der
Transitivität LAL = Cn({B, ¬B}) = Cn({¬A, ¬A → ¬B, B}).
Deswegen ist nach (¬) A ∈ Cn({B, ¬A → ¬B}). Aufgrund von (→) gilt
die Behauptung.
ad 4.: Es ist wegen (∧) Cn({A, B}) = Cn({A ∧ B}). Da A ∈ Cn({A, B})
ist, ist auch A ∈ Cn({A ∧ B}). Also gilt wegen (→) die Behauptung.
ad 5.: Analog zu 4.
ad 6.: Es ist wegen (∧) Cn({A ∧ B}) = Cn({A, B}). Also ist A ∧ B ∈
Cn({A, B}). Durch zweimalige Anwendung von (→) erhält man die Behauptung.
ad 7.: Es ist Cn({A ∨ B}) = Cn({A}) ∩ Cn({B}). Also ist
A ∨ B ∈ Cn({A}).
ad 8.: Analog zu 7.
ad 9.: Es C ∈ Cn({A → C, B → C, A}) und
C ∈ Cn({A → C, B → C, B}).
Also ist C ∈ Cn({A → C, B → C, A}) ∩ Cn({A → C, B → C, B}).
Christian Wallmann: Konsequenzoperationen und Unabhängigkeit 17
Also ist nach (∨) C ∈ Cn({A → C, B → C, A ∨ B}). Durch mehrmalige
Anwendung von (→) ergibt sich die Behauptung.
Satz 30.
Weitere Tautologien sind alle Formeln der Formen:
1. ¬¬A → A
2. A → ¬¬A
3. A ∨ ¬A
4. ((A → B) ∧ (¬A → B)) → B
5. (A → (B ∧ C)) → (A → B)
6. ¬A → (A → B)
7. ¬(A → B) → A
8. A ∨ B → (¬A → B)
9. A ∨ B → (¬B → A)
10. (¬A → B) → A ∨ B
11. (¬A → B) → B ∨ A
12. (A → B) → (A ∧ C → B ∧ C)
13. V
(A ∨ C) ∧ (B ∨ C)V→ ((A ∧ B) ∨ C)
n
n
14. Vi=1 (Ai ∨ B) → ( i=1 Ai ) ∨ B 3
n
15. ( i=1 Bi ) → Bj für alle j : 1 ≤ j ≤ n.
Beweis:
ad 1.: Es ist Cn({¬A, ¬¬A}) = LAL . Also ist wegen (¬) A ∈ Cn({¬¬A}).
Woraus die Behauptung folgt.
ad 2.: Nach Teil 1 ist ¬¬¬A → ¬A ∈ Cn(∅). Auÿerdem ist nach Satz 29
Teil 3 (¬¬¬A → ¬A) → (A → ¬¬A) ∈ Cn(∅). Also ist A → ¬¬A ∈
Cn(∅).
ad 3.: Nach Satz 29 Teil 8 ist ¬A → A ∨ ¬A ∈ Cn(∅). Also ist
¬A → A ∨ ¬A ∈ Cn({¬(A ∨ ¬A), ¬A}).
Also ist A ∨ ¬A ∈ Cn({¬(A ∨ ¬A), ¬A}).
Auÿerdem ist ¬(A ∨ ¬A) ∈ Cn({¬(A ∨ ¬A), ¬A}).
Insgesamt also {¬(A ∨ ¬A), A ∨ ¬A} ⊆ Cn({¬(A ∨ ¬A), ¬A}).
Also ist wegen der Transitivität und (¬) A ∈ Cn({¬(A ∨ ¬A)}).
Es ist ¬¬A → A nach dem 1. Teil dieses Satzes eine Tautologie. Darüber
hinaus ist A → A ∨ ¬A eine Tautologie. Deswegen ist
¬¬A → A ∨ ¬A ∈ Cn({¬(A ∨ ¬A), ¬¬A}).
Also ist A ∨ ¬A ∈ Cn({¬(A ∨ ¬A), ¬¬A}).
Auÿerdem ist ¬(A ∨ ¬A) ∈ Cn({¬(A ∨ ¬A), ¬¬A}).
3 Wobei: V1
i=1
Ai := A1
und
Vn
i=1
Ai := (
Vn−1
i=1
Ai ) ∧ An .
18
Kriterion Journal of Philosophy (2010) 23: 523
Also ist ¬A ∈ Cn({¬(A ∨ ¬A}).
Ingesamt ist also A, ¬A ∈ Cn({¬(A ∨ ¬A)}).
Also ist mit (¬) A ∨ ¬A ∈ Cn(∅).
ad 4.: Nach Satz 29 ist
(A → B) → ((¬A → B) → (A ∨ ¬A → B)) ∈ Cn(∅). Also ist
A ∨ ¬A → B ∈ Cn({A → B, ¬A → B}). Also ist, da
A ∨ ¬A ∈ Cn(∅)
B ∈ Cn({A → B, ¬A → B}).
Nach (∧) ist Cn({A → B, ¬A → B}) = Cn({(A → B) ∧ (¬A → B)}).
Woraus die Behauptung folgt.
ad 5.: Es ist B ∧ C → B ∈ Cn(∅). Also ist B ∈ Cn({A, A → B ∧ C}).
Woraus mit (→) die Behauptung folgt.
ad 6.: Es ist Cn({A, ¬A}) = LAL . Also ist B ∈ Cn({A, ¬A}). Woraus die Behauptung folgt.
ad 7.: Nach Teil 6 ist ¬A → (A → B) ∈ Cn(∅).
Also ist Cn({¬(A → B), ¬A}) = LAL
Also ist wegen (¬) A ∈ Cn({¬(A → B)}).
ad 8.: Es ist nach (∨) B ∈ Cn({A ∨ B, ¬A}) gdw. B ∈ Cn({A, ¬A}) ∩
Cn({B, ¬A}). Letzteres gilt aber. Also ist B ∈ Cn({A ∨ B, ¬A}). Also
gilt wegen (→) die Behauptung.
ad 9.: Analog zu 8.
ad 10.: Es ist, da B → A ∨ B eine Tautologie ist,
A ∨ B ∈ Cn({¬A → B, ¬A}).
Auch ist A ∨ B ∈ Cn({¬A → B, A}).
Also ist mit Teil 4 dieser Behauptung A ∨ B ∈ Cn({¬A → B}).
ad 11.: Analog zu 10.
ad 12.: Es ist B, C ∈ Cn({A → B, A, C}) = Cn({A → B, A ∧ C}).
Und da B → (C → B ∧ C) eine Tautologie ist, gilt die Behauptung.
ad 13.: Nach Teil 9 ist A ∈ Cn({A ∨ C, ¬C}) und B ∈ Cn({B ∨ C, ¬C}).
Christian Wallmann: Konsequenzoperationen und Unabhängigkeit 19
Also ist A, B ∈ Cn({A ∨ C, B ∨ C, ¬C}).
Also ist wegen (∧) A ∧ B ∈ Cn({A ∨ C, B ∨ C, ¬C}).
Also wegen (→) ¬C → A ∧ B ∈ Cn({A ∨ C, B ∨ C}).
Nach Teil 11 ist (A ∧ B) ∨ C ∈ Cn({A ∨ C, B ∨ C}).
Also ist wegen (∧) (A ∧ B) ∨ C ∈ Cn({(A ∨ C) ∧ (B ∨ C)}).
Aufgrund von (→) gilt die Behauptung.
ad 14.: Beweis durch Induktion nach der Anzahl der Konjunktionsglieder
n.
Induktionsanfang: n=1 . In diesem Fall ist zu zeigen, dass (A1 ∨ B) →
(A1 ∨ B) ∈ Cn(∅). Dies gilt aber aufgrund von (→).
Induktionsschritt: n → n +V1
Vn
n
Induktionsvoraussetzung: i=1 (Ai ∨ B) → ( i=1 Ai ) ∨ B ∈ Cn(∅).
Aufgrund von Teil 12 dieses Satzes folgt aus der Induktionsvoraussetzung:
Vn
Vn
i=1 (Ai ∨ B) ∧ (Ai+1 ∨ B) → (( i=1 Ai ) ∨ B) ∧ (Ai+1 ∨ B) ∈ Cn(∅).
Wegen
Teil 13 dieses Satzes ist also
Vn
Vn
(A
∨ B) → (( i=1 Ai ∧ Ai+1 ) ∨ B) ∈ Cn(∅). Nach
i=1 (Ai ∨ B) ∧
V i+1
Vn+1
Vn+1
Denition von
folgt, dass i=1 (Ai ∨ B) → ( i=1 Ai ) ∨ B ∈ Cn(∅).
ad 15.: Beweis durch Induktion nach der Anzahl der Konjunktionsglieder
n.
Induktionanfang: n = 1. Es ist A1 → A1 eine Tautologie.
Induktionsschritt: n → n +V
1
n
Induktionsvoraussetzung: ( i=1 Bi ) → Bj ist für alle j : 1 ≤ j ≤ n eine
Tautologie.
Wir unterscheiden zwei Fälle: V
Fall 1: j = n + 1. Dann ist, da ( ni=1 Bi ) ∧ Bn+1 → Bn+1 eine Tautologie
ist, die Behauptung gezeigt.
Fall
Vn 2: j ≤ n. Es ist wegen der Induktionsvoraussetzung
Bj für alle j : 1 ≤ jV≤ n eine Tautologie.
( i=1 Bi ) → V
n
n
Also ist, da ( i=1 Bi ) ∧ Bn+1 → i=1 Bi eine Tautologie ist, wegen Satz
28 die Behauptung gezeigt.
3.4
Aussagenlogische Konsequenzoperationen und Unabhängigkeit
Das Hauptresultat dieser Arbeit ist, dass jede Menge ein unabhängiges Axiomensystem hat (vgl. Hauptsatz 31). Dieses Resultat gilt aber
nur für nitäre aussagenlogische Konsequenzoperationen und abzählbare Sprachen. Es ndet sich bei Monk ([2], S.370-371). Der Beweis dort
ist allerdings eher skizzenhaft und geschieht innerhalb eines spezielleren
20
Kriterion Journal of Philosophy (2010) 23: 523
Rahmens, sodass eine Verallgemeinerung und ein ausführlicher Beweis
dringend notwendig waren.
Beachtenswert ist, dass im Beweis der Satz, dass jede endlich axiomatisierbare Menge hinsichtlich nitären Konsequenzoperationen ein unabhängiges Axiomensystem hat, wesentlich einieÿt. Insbesondere ist es
also notwendig, diesen Satz vorher zu beweisen und nicht als bloÿen
Spezialfall des nächsten Satzes anzusehen.
Hauptsatz 31.
Sei Cn eine nitäre AL-KO und T eine abzählbare
Satzmenge 4 . Dann gibt es ein unabhängiges Axiomensystem S 0 für T .
Beweis: Da T abzählbar ist, gibt es zwei Fälle:
Fall 1: T ist endlich. Dann ist T endlich axiomatisierbar. Da Cn nitär
ist, existiert folglich nach Satz 23 ein unabhängiges Axiomensystem für
T.
Fall 2: T ist abzählbar unendlich. Dann ist T = {Ai : i ∈ N}.
Sei B1 := A1 V
k
und Bk+1 := ( i=1 Ai → Ak+1 ).
Sei S := {Bi : i ∈ N}
Es wird wie folgt vorgegangen: Zunächst wird gezeigt, dass S ein
Axiomensystem von T ist, dann wird ein S 0 deniert, das unabhängig
ist und ein Axiomensystem für S ist. Dann ist S 0 auch ein unabhängiges
Axiomensystem für T .
Es gilt:
1) S ist ein Axiomensystem für T , d.h. Cn(S) = Cn(T ).
Beweis:
"⊆": Cn(S) ⊆ Cn(T ). Es genügt wegen der Transitivität zu zeigen, dass
S ⊆ Cn(T ).
Sei B ∈ S . Dann ist B = Bk für ein k .
Fall 1 : k = 1. Dann ist B =V
A1 und A1 ∈ T .
Fall 2 : k ≥ 2. Dann ist B = k−1
i=1 Ai → Ak . Es ist Ak ∈ T und also nach
Satz
29
Teil
1
Vk−1
i=1 Ai → Ak ∈ Cn(T ).
"⊇": Cn(T ) ⊆ Cn(S). Wieder genügt es zu zeigen, dass T ⊆ Cn(S).
Sei An ∈ T . Gezeigt wird: An ∈ Cn({B1 , ..., Bn })
Beweis durch Induktion nach n.
Induktionsanfang: Sei n = 1.
Es ist A1 ∈ Cn({A1 }) und also da A1 = B1 gilt die Behauptung.
Induktionsschritt: k ≤ n → n + 1
4 Da L
AL abzählbar ist, ist es auch T . Man bräuchte dies also von T nicht zu
fordern. Es soll aber explizit gemacht werden.
Christian Wallmann: Konsequenzoperationen und Unabhängigkeit 21
Induktionsvoraussetzung: Ak ∈ Cn({B1 , ..., Bk }) für alle k ≤ n.
Zu zeigen ist An+1 ∈ Cn({B1 , ..., Bn+1 }).
Nach der Induktionsvoraussetzung gilt: Ak ∈ Cn({B1 , ..., Bk }) für alle
k : 1 ≤ k ≤ n. Folglich ist aufgrund der Monotonie
{Ai : 1 ≤ i ≤ n}V⊆ Cn({B1 , ..., Bn }).
n
Wegen (∧)5 V
ist i=1 Ai ∈ Cn({B1V, ..., Bn }) (*).
n
n
Da Bn+1 = i=1 Ai → An+1 , ist i=1 Ai → An+1 ∈ Cn({Bn+1 }) (**).
Aus (*) und (**) folgt wegen des Schnittes An+1 ∈ Cn({B1 , ..., Bn+1 }).
Womit die Behauptung gezeigt ist.
Sei nun S 0 := S \ {A : A ist eine Tautologie}.
Dann ist wegen Satz 11
2) Cn(S 0 ) = Cn(S).
S 0 ist unabhängig. Um dies einzusehen, wird ein Hilfssatz benötigt:
3) Für alle k, j ∈ N : Bk ∨ Bj ist eine Tautologie, falls j 6= k.
Beweis: Sei o.B.d.A. j < k.V
Vk−1
k−1
Nach Satz 30 Teil 7 ist ¬( i=1 Ai → Ak ) → i=1 Ai ∈ Cn(∅).
Vk−1
Also ist, da j < k und folglich Aj in i=1 Ai auftritt,
Vk−1
Aj ∈ Cn(∅) (Satz 30 Teil 15)
i=1 Ai → V
k−1
und also ¬( i=1 Ai → Ak ) → Aj ∈ Cn(∅).
Vj−1
Nach Satz 29 Teil 1 ist Aj → ( i=1 Ai → Aj ) ∈ Cn(∅).
Vk−1
Vj−1
Insgesamt also ¬( i=1 Ai → Ak ) → ( i=1 Ai → Aj ) ∈ Cn(∅).
d.h.¬Bk → Bj ∈ Cn(∅).
Nach Satz 30 Teil 10 ist also Bk ∨ Bj eine Tautologie.
Nun lässt sich Folgendes zeigen:
4) S 0 ist unabhängig.
Beweis: Angenommen, S 0 ist nicht unabhängig.
Dann ist B ∈ Cn(S 0 \ {B}) für ein B ∈ S 0 . Es ist B = Bn für eine
natürliche Zahl n und Bn ist nicht tautolog.
Also existiert, da Cn nitär ist, ein endliches S 00 mit S 00 ⊆ S 0 \ {Bn } und
B ∈ Cn(S 00 ). Zwei Fälle sind zu unterscheiden:
Fall 1 : S 00 = ∅. Dann ist Bn tautolog. Widerspruch!
Fall 2 : S 00 = {Bl1 , ..., Blm }. V
m
Dann ist wegen (→) und (∧) r=1 Blr → Bn ∈ Cn(∅)(∗).
00
Nach 3) gilt, da Bn 6∈ S und also Bn 6= Blr
Blr ∨ Bn ∈ Cn(∅) für alle r : 1 ≤ r ≤ m.
5 Wie
man leicht durch Induktion zeigen kann.
22
Kriterion Journal of Philosophy (2010) 23: 523
Vm
Also ist wegen (∧) r=1 (Blr ∨ Bn )V∈ Cn(∅).
m
Aufgrund von Satz 30 Teil 14 istV( r=1 Blr ) ∨ Bn ∈ Cn(∅).
m
Also ist wegen Satz 30 Teil 8 ¬ r=1 Blr → Bn ∈ Cn(∅) (**).
Aus (*) und (**) folgt mit Satz 30 Teil 4, dass Bn ∈ Cn(∅).
Das ist ein Widerspruch zu: Bn ist keine Tautologie.
Somit ist S 0 ein unabhängiges Axiomensytem für T .
Bemerkung: Der Satz liefert, wie aus dem Beweis ersichtlich ist, eine
eektive Methode, um zu einer vorgegebenen Menge ein unabhängiges
Axiomensystem zu nden.
Christian Wallmann
Fachbereich Philosophie (KGW)
Universität Salzburg
Franziskanergasse 1
5020 Salzburg, Austria
<[email protected]>
Christian Wallmann: Konsequenzoperationen und Unabhängigkeit 23
Literatur
[1] Günter Asser. Einführung in die mathematische Logik, Teil 1 Aussagenkalkül. B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 6. Auage
edition, 1983.
[2] J. Donald Monk. Mathematical Logic. Springer, New York, 1976.
[3] Witold Pogorzelski and Piotr Wojtylak. Completeness Theory for
Propositional Logics. Birkhäuser, Basel, 2008.
[4] Ryszard Wojcicki. Theory of logical calculi. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1988.