Blatt 02: Euklidische Räume, Raumkurven

Fakultät für Physik
Jan von Delft, Katharina Stadler, Frauke Schwarz
T0: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 2013/14
http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/Lehre/13t0/
Blatt 02: Euklidische Räume, Raumkurven
Abgabe: wegen des Feiertags erst am Montag, 04.11.2013, 13:00
Wer die korrigierten Hausaufgaben im folgenden Tutorium zurückbekommen möchte, muss
bis Donnerstag, 31.10.2013, 13:00 abgeben
Beispielaufgabe 1: Rechnen mit Vektoren (**)
Gegeben sind die Vektoren a = (4, 3, 1) und b = (1, −1, 1). Berechnen Sie zunächst |a|,
|b|, a + b, a − b, a · b und a × b. Zerlegen Sie dann den Vektor a in einen Vektor ak parallel
und einen Vektor a⊥ senkrecht zum Vektor b. Berechnen Sie ak · b, a⊥ · b, ak × b und a⊥ × b
und interpretieren Sie jeweils das Ergebnis.
Beispielaufgabe 2: BAC-CAB-Identität (**)
Aus der Vorlesung ist bekannt:
εijk εmnk = δim δjn − δin δjm .
Benutzen Sie diese Identität um zu beweisen, dass für beliebige Vektoren a, b, c ∈
R3 gilt:
a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b)
Beispielaufgabe 3: Gram-Schmidt Verfahren (**)
Bilden Sie mit Hilfe des Gram-Schmidt Verfahrens eine orthonormale Basis des
den drei linear unabhängigen Vektoren
 
 
 
1
1
0





v1 = −2 , v2 = 1 , v3 = 1 .
1
1
2
R3 aus
Beispielaufgabe 4: Inneres Produkt (**)
Zeigen Sie, dass die folgende Abbildung ein inneres Produkt des R2 ist, dh. dass gilt:
∀x, y, z ∈ R2 , α ∈ R : (i) hx, yi = hy, xi, (ii) hx + αy, zi = hx, zi + αhy, zi und
(iii) hx, xi ≥ 0 und hx, xi = 0 genau dann, wenn x = 0.
h·, ·i# :
R2 × R2 → R,
x, y →
7 x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + 3x2 y2
Beispielaufgabe 5: Archimedische Spirale (**)
Gegeben sei die Raumkurve einer archimedischen Spirale:
t cos t
r(t) = ce
∈ R2
sin t
1
(1)
a) Berechnen Sie die Bogenlänge im Intervall t ∈ [0, T ].
b) Bestimmen
Sie die natürliche Parametrisierung rL (s) und überprüfen Sie, dass für diese
∂rL = 1 gilt.
∂s
c) Des Weiteren sei folgendes Feld gegeben:
F=
Berechnen Sie das Wegintegral
´
y
.
−x
(2)
F · dr entlang der Spirale für t ∈ [0, 2π].
Hausaufgabe 1: Rechnen mit Vektoren (**)
Zerlegen Sie den Vektor a = (1, 0, 3) in einen Vektor ak und einen Vektor a⊥ senkrecht
zum Vektor b = (−5, 2, 1). Berechnen Sie ak · b, a⊥ · b, ak × b und a⊥ × b und interpretieren
Sie jeweils das Ergebnis. Berechnen und vergleichen Sie |a × b| und |a⊥ × b|. Wie kann man
dieses Ergebnis erklären?
Hausaufgabe 2: Projektion auf eine Orthonormalbasis (*)
a) Zeigen Sie, dass die Vektoren
 
1
1  
0
0 ,
e1 = √
2 1


−1
√
1
e02 =  2 ,
2
1


−1
√
1
e03 = − 2
2
1
eine Orthonormalbasis bilden.
 
1
b) Stellen Sie den Vektor w = 2 in der Form w = w1 e01 + w2 e02 + w3 e03 dar, indem Sie die
3
Koeffizienten wi durch Projektion auf die Basisvektoren e0i bestimmen.
Hausaufgabe 3: Lagrange-Identität (**)
Zeigen Sie die Lagrange-Identität,
(a × b) · (c × d) = (a · c)(b · d) − (a · d)(b · c),
R
für beliebige Vektoren a, b, c, d ∈ 3 .
Verwenden Sie das Ergebnis um |a×b| zu berechnen und geben Sie das Ergebnis unter Verwendung der Beträge |a| und |b| und des Winkels ϕ, den die Vektoren a und b einschliessen,
an.
Hausaufgabe 4: Gram-Schmidt Verfahren (**)
Bilden Sie mit Hilfe des Gram-Schmidt Verfahrens eine orthonormale Basis des
den drei linear unabhängigen Vektoren
 
 
 
2
1
0
v1 = 0 , v2 = −1 , v3 =  1  .
0
0
−2
2
R3 aus
Hausaufgabe 5: Inneres Produkt und Norm (**)
Wir betrachten den Vektorraum V der stetigen Funktionen f : [−1; 1] → R mit der
üblichen Vektoraddition (nämlich ∀f, g ∈ V : (f + g)(x) ≡ f (x) + g(x)) und skalaren Multiplikation (∀f, g ∈ V, λ ∈ R : (λf )(x) ≡ λf (x)). Weisen Sie nach, dass die folgende Abbildung
ein inneres Produkt auf V darstellt (wie oben).
h·, ·i : V → R, (f, g) 7→ hf, gi ≡
ˆ
1
2
f (x)g(x)dx
−1
Untersuchen Sie die “Lage” der beiden unten angegebenen Elemente f1 , f2 zueinander, indem
Sie hf1 , f2 i berechnen.
x
x
f1 (x) ≡ sin
, f2 (x) ≡ cos
π
π
Anmerkung: Zum Thema Vektorraum der stetigen Funktionen siehe auch Zusatzaufgabe 2
der Vorwoche.
Hausaufgabe 6: Raumkurve (**)
Gegeben ist die Raumkurve r(t) = (0, cos (π (1 − cos ωt)) , a sin (π((1 − cos ωt))) mit a > 0.
Berechnen Sie dazu den Geschwindigkeitsvektor und den Beschleunigungsvektor. Können Sie
die Kurve ohne den Parameter t durch eine Gleichung darstellen? Um welche Kurve handelt
es sich? Skizzieren Sie die Raumkurve und berechnen Sie r(t) · ṙ(t). Für welchen Wert von a
gilt r(t) · ṙ(t) = 0?
Hausaufgabe 7: Raumkurve (**)
Gegeben ist die Raumkurve r(t) = (t − sin t, 1 − cos t, 2) für t ∈ [0, 2π]. Bestimmen Sie die
Bogenlänge dieser Kurve. Geben Sie die natürliche Parametrisierung an und skizzieren Sie die
Raumkurve.
Hausaufgabe 8: Wegintegral in kartesischen Koordinaten (**)
Sei F(r) = (x2 , z, y)T ein dreidimensionales
´ Vektorfeld in kartesischen Koordinaten, mit r =
T
(x, y, z) . Berechnen Sie das Wegintegral W F · dr entlang folgender Wege von r0 ≡ (0, 0, 0)T
nach r1 ≡ (0, 2, −1)T :
a) W = W1 ∪ W2 ist der zusammengesetzte Weg aus W1 , der geraden Linie von r0 nach
r2 ≡ (1, 1, 1)T , und W2 , der geraden Linie von r2 nach r1 ;
√
b) W ist parametrisiert durch r(t) = (sin(πt), 2 t, −t2 )T , mit 0 ≤ t ≤ 1.
c) W ist eine in der y-z-Ebene liegende Parabel der Form z(y) = y 2 − 25 y.
3