Mathematische Methoden 2 (für LAK) SS 17

KFU Graz
H. Gausterer, W. Schweiger
Mathematische Methoden 2 (für LAK)
SS 17
7. Übungsblatt (zu rechnen bis zum 15.5.2017)
Aufgabe 37:
a) Bestimmen Sie die Parameterform ~r(t) der Geraden, welche durch den
Punkt Q = (0, 1, 0) geht und in Richtung des Vektors 3~e1 + ~e3 zeigt.
b) Diese Gerade lässt sich auch als Schnittlinie zweier Ebenen auffassen.
Wie lauten die beiden Ebenengleichungen (in impliziter Form a1 x1 + a2 x2 +
a3 x3 = b)?
Aufgabe 38: Ein Kreis mit Radius R rolle entlang der x-Achse, sodass sich sein
Mittelpunkt mit der Geschwindigkeit v bewegt. Wie sieht die Parameterdarstellung der Bahn eines Punktes aus, der auf dem Kreisumfang sitzt und
sich zum Zeitpunkt t = 0 im Ursprung befindet?.
Benutzen Sie dieses Ergebnis, um Keplers Gesetz zu beweisen, dass die
Bewegung eines Planeten um die Sonne in einer festen Ebene erfolgt.
Hinweis: Die (momentane) Bahnebene wird durch ~r × ~v aufgespannt. Sie
müssen also zeigen, dass ~r × ~v zeitunabhängig ist.
Aufgabe 41: Oft ist es zweckmäßig, zur Parametrisierung von Kurven in der
Ebene Polarkoordinaten (x = r(ϕ) cos ϕ, y = r(ϕ) sin ϕ) heranzuziehen,
wobei der Winkel ϕ als Kurvenparameter dient. Der radiale Abstand wird
dann auch eine Funktion von ϕ, d.h. r = r(ϕ) mit ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ2 . Zeigen Sie,
dass sich damit das Linienintegral
Z
ds f (x, y)
C
schreiben lässt als:
Z
ϕ2
f (r(ϕ) cos ϕ, r(ϕ) sin ϕ)
ϕ1
s
r(ϕ)2 +
dr(ϕ) 2
dϕ
dϕ .
Berechnen Sie mit dieser Formel das Integral der Funktion f (x, y) = √
2.0
y
x2 +y 2
entlang des Weges r = 1 + cos ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π.
1.5
1.0
Aufgabe 42: Berechnen Sie Arbeitsintegral W =
0.5
F~ (x, y, z) = (3x + 6y, −14yz, 20xz ) ,
2 T
2
2
4
6
Aufgabe 39: Ein Teilchen bewegt sich entlang der Kurve
~r(t) = (e−at cos t, e−at sin t, 0) ,
a > 0.
a) Skizzieren Sie diese Kurve.
b) Berechnen Sie den Geschwindigkeitsvektor ~v (t), die Bahngeschwindigkeit v(t) = |~v (t)| und den Beschleunigungsvektor ~a(t).
c) Berechnen Sie die Bogenlänge s(T ), 0 ≤ t ≤ T , für diese Kurve.
d~r · F~ für
~r(t) = (t, t2 , t3 )T ,
t ∈ (0, 1).
Aufgabe 43: Ein Kraftfeld sei durch F~ = (2xy, x2 )T gegeben. Berechnen Sie
das Arbeitsintegral
Z
d~r · F~ (x, y)
C
entlang
a) des Randes des Einheitsquadrates
,
(Koordinaten der Eckpunte (±1, ±1)),
b) des Einheitskreises.
Aufgabe 40: Es sei ~r die Bahn, ~v die Geschwindigkeit und ~a die Beschleunigung
eines Teilchens der Masse m. Das Teilchen soll sich nun in einem Kraftfeld F~
~ = m~a(t) zur Anwendung
bewegen, sodass Newtons zweites Gesetz F~ (r(t))
kommt. Zeigen Sie, dass
d
(m~r(t) × ~v (t)) = ~r(t) × F~ (~r(t))
dt
gilt. Was passiert, wenn F~ eine Zentralkraft ist, d.h. F~ (~r(t)) k ~r(t) gilt
(wie es etwa bei der Bewegung von Planeten um die Sonne der Fall ist)?
12
R
13