Heft 24 für Homepage - mpg

zeitung für mathematik am mpg trier / heft 24 / juni 2009
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Inhaltsverzeichnis
Sternengucker
Wasser im Hochhaus
Die Würfeltreppe
Die Fibonacci –Folge
Seite
Marius Meyer
3
Pascal Schmitz
Und Martin Monzel
6
Paul Mattes
12
Mathias Leinen
18
Liebe MadMax – Freunde,
zum vierundzwanzigsten Mal wollen wir Eure grauen
Zellen zum rauchen bringen. Und dafür haben wir uns
wieder mit tollen und kniffligen Problemen befasst, damit
Ihr wieder etwas zum Nachdenken und Spaß haben
bekommt (das könnt Ihr ruhig mal eurem Mathelehrer
zeigen☺).
Vielleicht habt Ihr ja auch Lust euch selbst mit einem
Problem zu befassen und dazu einen Artikel am
Computer selbst zu verfassen.
Viel Spaß mit dieser Ausgabe des MadMax, wünscht
Euch Euer
MadMax –Team !
3
Sternengucker
Beim Sternengucker handelt es sich um eine
Problemstellung beschäftigt, die ich aus folgender
Adresse entnommen habe:
http://www.knobelforum.de/cgibin/kfAction.cgi?id=7505&act=showPuzzle
Darin geht es grundlegend um Tabellen mit
quadratischen Feldern, bei denen die Anzahl der
Spalten und Zeilen gleich ist. In jede Spalte wird ein
Stern eingesetzt, doch dürfen weder in einer Spalte,
noch in einer Zeile zwei oder mehr Sterne stehen.
Genauso verhält es sich mit Blöcken, die nach dem
selben Prinzip eingesetzt werden. Nun werden ein paar
Zahlen in die Tabelle eingetragen, und zwar immer die
Anzahl der Sterne, die man von diesem einen Feld aus
sehen kann. Die Blöcke versperren die Sicht auf die
Sterne. Wenn man jetzt eine zweite Tabelle erstellt, die
nur diese Zahlen enthält, dann hat man eine Aufgabe:
Rekonstruiere die ursprüngliche Tabelle wieder.
Beispielfeld:
2
2
1
2
4
1
1
1
0
Das sähe dann so aus:
2
1
2
1
1
2
1
0
Eine solche Zahlentabelle ist nur dann richtig gestellt,
wenn es immer nur eine Möglichkeit gibt, die Sterne und
Blöcke zu setzen. Probiert es in diesem Fall einmal
selbst, ohne noch einmal auf das Original zu schauen.
Allgemein lässt sich festhalten: Die Anzahl der Sterne ist
immer gleich der Anzahl der Zeilen n. Dasselbe gilt für
die Blöcke.
Außerdem stellen sich noch einige weitere Fragen:
1. Wie viele Nullen kann man in einem n X n –
Quadrat höchstens setzen. Wo befinden sich dann
die Sterne und Blöcke?
2. Dieselbe Frage für Einsen, Zweien und Dreien.
3. Was verändert sich, wenn man auch diagonal
sehen kann?
Ich versuche, die erste Frage mit folgender Idee zu
beantworten:
Um eine möglichst große Anzahl an Nullen zu erhalten,
müssen wir einen möglichst großen Teil der
5
Gesamtanzahl der Felder (n x n) von den Sternen
abgrenzen. Wir legen die Sterne also auf die Diagonale,
die in einem Quadrat n Felder hat. In die Zeile darunter
kommen die Blöcke, der übriggebliebene wird in die g
gegenüberliegende Ecke gesetzt. Wenn man die Blöcke
auf die Diagonale setzen würde, dann bekäme man die
Sterne nicht mehr auf einer Seite unter, weil man ja 4
Zeilen und Spalten brauch.
0
0
0
Die Formel für die Anzahl der Nullen in einem Quadrat
lautet also: ((n − 1) − (n − 1)) / 2 . Sie lässt sich auf jedes
beliebige Quadrat dieser Struktur anwenden.
2
Nach dem selben Prinzip können wir nun die Anzahl der
Zweien herausfinden, da die gesamte Gegenseite aus
Zweien besteht. Man muss lediglich die gesamte Anzahl
der bekannten Felder von n x n abziehen. Dies gilt hier
sicher, wenn man vorher auf möglichst vielen Nullen
besteht. Sonst habe ich mir das noch nicht überlegt.
Zahlen über 2 sind nicht möglich, da nur ein Stern in
einer Zeile und einem Feld liegen kann. Für Einsen habe
ich noch keine Regelmäßigkeit gefunden.
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Das Hochhauswasserproblem
In einem Hochhaus im 2. Stock gibt es drei Suiten (siehe
unten). Eine Suite hat vier Zimmer (kleine Quadrate),
eine drei und die letzte zwei. In der Vier-Zimmer-Suite
sind drei Zimmer senkrecht nach unten verlaufend.
Leider sind einige Wasserleitungen undicht und so läuft
Wasser in die Zimmer. Dabei hält sich das Wasser sich
an folgende Regeln:
1. Wenn Wasser im Zimmer läuft, dann ist das
komplette Zimmer mit Wasser gefüllt.
2. Wenn das Zimmer mit Wasser gefüllt ist, sind alle
darunter- und danebenliegenden Zimmer der Suite
auch gefüllt.
Es könnte z.B. so aussehen:
Der Hausmeister Kalle soll den Klempner spielen . Da
sein Traumberuf Klempner war, hat Kalle es auch
gelernt und weiß sehr viel über diesen Beruf. Aber man
hat ihn als Klempner abgelehnt. Deshalb ist er jetzt
Hausmeister. Aber das nur als Information am Rande.
Kalle hat sich das Haus angesehen und sich die Zimmer
mit Wasser so notiert:
1
1
3
7
Er hat sich nicht die vollen Zimmer im Plan markiert,
sondern nur ein paar Zahlen an den Rand geschrieben.
Wenn irgendwo eine eins steht dann darf in der
Waagerechten bzw. in der Senkrechten auch nur ein
Zimmer voll Wasser sein. Wenn eine zwei am Rand
steht, dann nur zwei Zimmer wenn eine drei da steht...
usw.. Die dicken Linien grenzen die Suiten ab, die
gestrichelten die Zimmer.
Leider kommt Kalle nicht mehr mit seinen Zahlen klar
und weil er auch noch ein Kurzzeitgedächtnis hat, weiß
er nun nicht wo Wasser ist. Kannst du ihm helfen indem
du das Wasser einträgst?
1
1
3
Ihr merkt, dass Kalle mit den Zahlen eine gute Idee
hatte, aber dass es nicht ganz einfach ist, wenn man nur
die Zahlen kennt und dann entscheiden soll, wo Wasser
ist.
Außerdem muss Kalle sich gut überlegen, wie viele und
welche Zahlen er sich merken muss?
1. Beispiel:
8
2
Wegen der 2 ist die linke Suite ganz voll Wasser. Weil
wenn auf dieser Höhe 2 Zimmer voll sind, kann ja nach
den Regeln nicht in der linken Suite 1 Zimmer und in der
rechten ein Zimmer voll Wasser sein, weil auf der
gleichen2Höhe 2 Zimmer dieser Suite sind. Das rechte
obere Zimmer ist also leer und es könnte auch noch so
aussehen:
2
2
2
Damit es für Kalle klar wird, kann man in der letzten
Spalte eine 0 hinsetzen:
0
2
Weitere Beispiele, bei denen die Zahlen klar bestimmen,
welche Zimmer mit Wasser voll sind:
1
1
2
3
2
3
2
9
Im folgenden haben wir mal alle Möglichkeiten
gezeichnet, wie die Zimmer von jeweils einer Suite voll
laufen können:
Möglichkeiten für Suite 1:
Möglichkeiten für Suite 2:
Möglichkeiten für Suite 3:
Wie hier die Zahlen aussehen, die Kalle sich an den
Rand schreiben muss, könnt Ihr euch selbst überlegen.
10
Für zwei Suiten haben wir das in einem Schema
zusammengestellt:
1
1
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
2
2
2
2
1
1
Wie man sieht, braucht man mindestens 3 Zahlen, um
die möglichen Füllungen von zwei Suiten eindeutig fest
zu legen.
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Bei drei Suiten gibt es noch viel mehr Möglichkeiten, wie
sie voll laufen können.
Das Baumdiagramm zeigt alle Möglichkeiten für den
Fall, dass in der linken Suite zwei Zimmer voll Wasser
sind:
Wie man sieht, sind das sechs Möglichkeiten. Da die
linke Suite leer sein kann, oder ein, zwei bzw. alle
Zimmer voll sein können, gibt es insgesamt 4 mal 6
gleich 24 Möglichkeiten. Das haben wir dann nicht mehr
weiter untersucht.
Noch´n Witz
Ein Mathematiker sitzt zum ersten Mal im Flugzeug und
hat eine wahnsinnige Angst davor, dass eine Bombe an
Bord sein könnte. Deshalb nimmt er selbst eine Bombe
mit, denn die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Bomben im
Flugzeug sind, ist weitaus geringer - dies beruhigt ihn
enorm.
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Die Würfeltreppe
In unserem Mathebuch gibt es eine Aufgabe bei der man
aus Würfeln eine Treppe bauen soll. Dabei will man
wissen, wie viele Würfel man braucht. Diese Aufgabe
habe ich hier durch Zeichnungen versucht zu lösen:
Stufe 1:
Es kommen dazu:1 Würfel
Stufe 2:
Es kommen dazu: 6 Würfel = 2*3
Stufe 3:
Es kommen dazu:15 Würfel= 3*5
13
Stufe 4:
Es kommen dazu: 28= 4*7
Erklärung wie man von Stufe 3 auf Stufe 4 kommt:
Man nimmt den oberen Winkel, der aus 5 Würfeln
besteht, und macht an beide Enden noch einen Würfel
dran:
Man muss den oberen Winkel 4-mal nehmen,um Stufe 4
zu erreichen. Den oberen Winkel errechnet man indem
man einfach die Zahl der Stufe nimmt und sie mit der
nächsten ungeraden Zahl multipliziert. Ich habe mit
14
Windows Exel versucht auszurechnen, wie viele Würfel
bei Stufe 20 dazukommen.
Stufe
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
ungerade Zahlen
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
Summe
Produkt
1
6
15
28
45
66
91
120
153
190
231
276
325
378
435
496
561
630
703
780
5530
15
Die Würfeltreppe erhält man, wenn man bei einem
großen Würfel an einer Ecke kleine Würfel wegnimmt.
Das folgende Gegenstück ergibt,wenn man es auf den
Kopf stellt, mit der Würfeltreppe zusammen einen Würfel
aus 64 kleinen Würfeln.
Die 64 Würfel entstehen aus 50 Würfeln von der
Würfeltreppe (Stufe 1 plus Stufe 2 plus Stufe 3 plus
Stufe 4) und die übrigen Würfel stammen von dem
Gegenstück: 1 + 4 + 9 (Summe der Quadratzahlen)
Die Anzahl der kleinen Würfel für die Würfeltreppe sind
schwer zu bekommen. Ich habe mir hier deshalb
überlegt, dass man einfach die Anzahl der Würfel des
Gegenstücks vom großen Würfel subtrahiert und so die
Würfeltreppe wieder errechnen kann.
Mit der folgenden Formel (bei Google einfach
Quadratzahlen + Summe eingeben) ist mir dies
gelungen:
12 + 22 + 32 + 42... + n 2 =
16
n ⋅ (n + 1) ⋅ (2n + 1)
.
6
Dass meine Idee richtig ist, kann man mit der
Würfeltreppe der Stufe 20 betrachten.
Zuerst rechne ich die Anzahl der kleinen Würfel im
großen Würfel aus: 20 ⋅ 20 ⋅ 20 = 8000 .
Jetzt setze ich 19 in die Formel ein um das Gegenstück
zu errechnen:
19 ⋅ (19 + 1) ⋅ (2 ⋅ 19 + 1)
= 2470
6
Jetzt bilde ich die Differenz von 8000 – 2470 = 5530
Und erhalte für die Würfeltreppe genau so viele Würfel
wie oben mit Excel.
Spezialisten unter sich
Fünf Wissenschaftler aus verschiedenen Fachgebieten
sollen zeigen, dass alle ungeraden Zahlen (2n+1)
Primzahlen sind. Dies versuchen sie auf folgenden
Wegen zu beweisen :
Mathematiker: 3 ist Prim, 5 ist Prim, 7 ist Prim, der Rest
folgt per Induktion
Physiker: 3 ist Prim, 5 ist Prim, 7 ist Prim, 9 ist ein
Messfehler, 11 ist Prim, 13 ist Prim, ...
Chemiker: 3 ist Prim, 5 ist Prim, 7 ist Prim, 9 ist Prim, 11
ist Prim, ...
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Die Fibonacci-Folge
1. Was ist eine Fibonacci-Folge?
Die Fibonacci-Folge startet mit den zwei Gliedern 0 und
1, das 3.te Glied ist die 2, also 1+1 = 2, demnach ist das
3.te Glied 1+2 = 3. Also ein beliebiges Glied besteht aus
der Summe der zwei vorangehenden Glieder. Hier mal
die ersten Zahlen der Fibonacci-Folge:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,
987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946...
Wie man sieht steigt die Folge sehr schnell an. Um nicht
jedes Glied durch das Erstellen der gesamten FibonacciFolge bis dahin zu finden, kann man die Formel von
Moivre/Binet benutzen:
f(n) = 1 * [(1+ 5 )n − (1− 5 )n ]
2
2
5
2. Beweis, dass die Formel von Moivre/Binet gilt.
Hierzu teste ich dies zuerst bei der ersten und zweiten
Stelle, also für n =1 bzw. n=2 ob diese Formel stimmt:
f(1) = 1 * [(1+ 5 )1 − (1− 5 )1] = 1
2
2
5
f(2) = 1 * [(1+ 5 )2 − (1− 5 )2 ] = 1
2
2
5
18
Hier stimmt die Formel also. Nun teste ich durch
Umformen, ob bei einer Addition zweier aufeinander
folgender Zahlen nach Moivre/Binet die nächste
rauskommt. Hierzu addiere ich f(n-1) und f(n) und
schaue ob dann f(n+1) rauskommt:
f(n +1) = 1 * [(1+ 5 )n−1 − (1− 5 )n−1] + 1 * [(1+ 5 )n − (1− 5 )n]
2
2
2
2
5
5
⇔ f(n +1) = 1 * [(1+ 5 )n−1 − (1− 5 )n−1+ (1+ 5 )n − (1− 5 )n]
2
2
2
2
5
⇔ f(n +1) = 1 * [(1+ 5 )n−1 + (1+ 5 )n − (1− 5 )n − (1− 5 )n−1]
2
2
2
2
5
⇔ f(n +1) = 1 * [(1+ 5 )n−1* (1+ 5 +1) − (1− 5 )n−1* (1− 5 +1)]
2
2
2
2
5
⇔ f(n +1) = 1 * [(1+ 5 )n−1* ( 1 + 5 + 5 ) − (1− 5 )n−1* ( 1 − 5 + 5 )]
4 2 4
4 2 4
2
2
5
⇔ f(n +1) = 1 * [(1+ 5 )n−1* (1+ 5 )2 − (1− 5 )n−1* (1− 5 )2]
2
2
2
2
5
⇔ f(n +1) = 1 * [(1+ 5 )n+1 − (1− 5 )n+1]
2
2
5
Da man die Formel für das (n+1)te Glied erhält, gilt die
Formel für jedes beliebige Glied der Fibonacci-Folge
(Prinzip der vollständigen Induktion).
Wie man sehen kann, sind die zwei Glieder (1+ 5 )n und
2
(1− 5 )n geometrische Folgen. Welche Bedeutung das
2
für die Fibonacci – Folge hat, werde ich noch
untersuchen.
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