Approximationsalgorithmen
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Fakultät für Informatik Professur Theoretische Informatik und Informationssicherheit Wintersemester 2006/07 Prof. Dr. Hanno Lefmann Approximationsalgorithmen 7. Übung Aufgabe 1 Für einen Graphen G = (V, E) ist das Problem Independent Set, eine möglichst große Teilmenge I ⊆ V der Knoten zu finden, in der keine Kanten verlaufen, und das Problem Vertex Cover ist, eine möglichst kleine Teilmenge C ⊆ V zu finden, so dass jede Kante aus E mindestens einen Endknoten in C hat. 1. Zeigen Sie: Aus einem maximalen Independent Set kann man effizient ein minimales Vertex Cover berechnen. Lässt sich also Independent Set in Polynomialzeit exakt lösen, dann kann man auch Vertex Cover in Polynomialzeit exakt lösen. 2. Zeigen Sie: Ihre Konstruktion liefert keinen polynomiellen Algorithmus mit Güte c für Vertex Cover, wenn man einen polynomiellen Algorithmus mit Güte c für Independent Set hat. Aufgabe 2 Wir betrachten noch mal das Vertex Cover Problem. Diesmal schränken wir allerdings die Menge der zulässigen Eingaben ein. Untersuchen Sie, ob das Problem dadurch einfacher wird als es im Allgemeinen ist (N P-hart). 1. Es sind nur Graphen zugelassen, die Vereinigung von Zusammenhangskomponenten der Größe jeweils höchstens log n sind. 2. Es sind nur Graphen zugelassen, in denen der Maximalgrad 2 beträgt. Aufgabe 3 Wir betrachten eine randomisierte Version des Greedy-Algorithmus vom letzten Übungsblatt für Independent Set. Der Algorithmus startet mit der leeren Menge I = ∅. Dann wird immer uniform zufällig unter den noch im Graphen befindlichen Knoten einer ausgewählt, zur Menge I hinzugefügt, und zusammen mit seinen Nachbarn aus dem Graphen entfernt, bis der Graph leer ist. Dann wird I ausgegeben. 1. Zeigen Sie per geeigneter Invariante, dass der Algorithmus in jedem Fall eine unabhängige Menge berechnet. 2. Zeigen Sie, in Abhängigkeit der Größe k einer optimalen Lösung, eine untere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, dass der Algorithmus das Optimum findet. 3. Wie kann man durch mehrfaches Ausführen des Algorithmus die Erfolgswahrscheinlichkeit vergrößern? Wie viele Ausführungen sind nötig, um eine Erfolgswahrscheinlichkeit von 1/2 zu erreichen?
