Algorithmische Graphentheorie - Lehrstuhl für Informatik der RWTH

Algorithmische Graphentheorie
Walter Unger
Lehrstuhl für Informatik I
20. April 2006
Teil I
Einleitung und Motivation
1
2
3
4
5
6
Einleitung
Motivation
Cliquenproblem
Vertex Cover
Greedy
Steiner-Bäume
TSP
Einleitung
Approximation
Nichtapproximierbarkeit
Zentrumsproblem
Einleitung
Komplexität
Approximation
Färbung
Greedy
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
Motivation
APX...
314/351
Einleitung
NP-schwere Probleme doch lösen
Exakt: “=⇒” exponentiale Laufzeit
Nicht Exakt: “=⇒” polynomiale Laufzeit
Nicht Exakt: “=⇒” hoffentlich polynomiale Laufzeit
Hier: Approximationsalgorithmen in polynomialer Laufzeit.
D.h.: welche Approximationsfaktoren sind möglich?
Kommt man beliebig nah an das Optimum?
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
Motivation
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
APX...
315/351
Rückblick
Kantenfärbung:
Additiver Fehler: 1
Multiplikativer Fehler: 4/3
Färbung von planaren Graphen:
2-Färbung in P.
3-Färbung in N PC.
4-Färbung immer.
5-Färbung immer.
Additiver Fehler: 2
Multiplikativer Fehler: 5/3
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
Motivation
APX...
316/351
Definition
Definition
Ein Algorithmus A hat einen additiven Approximationfehler, falls für alle
Eingabeinstanzen I gilt:
opt(I ) 6 A(I ) + k (Maximierungsproblem) oder
opt(I ) > A(I ) − k (Minimierungsproblem)
Definition
Ein Algorithmus A hat einen multiplikativen Approximationfehler, falls für
A(I ) opt(I )
alle Eingabeinstanzen I gilt: max{ opt(I
) , A(I ) } 6 k
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Cliquenproblem
Färbung
APX...
317/351
Cliquenproblem
Theorem
Falls P =
6 N P gibt es für beliebiges k ∈ IN keinen
Polynomzeitalgorithmus mit Approximationsfehler k für das
Cliquenproblem.
Sei G ein Graph.
Sei G k = G × Ck .
Damit: ω(G ) · k = ω(G k ).
Angenommen es gibt einen Algorithmus A mit additiven
Approximationsfehler k für das Cliquenproblem.
Eingabe für A wird G k+1 .
Damit gilt: opt(I ) 6 A(I ) + k und weiter:
ω(G k+1 ) − A(G k+1 ) 6 k.
(k + 1) · ω(G ) − A(G k+1 ) 6 k.
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Cliquenproblem
Färbung
APX...
318/351
Cliquenproblem
Theorem
Falls P =
6 N P gibt es für beliebiges k ∈ IN keinen
Polynomzeitalgorithmus mit Approximationsfehler k.
(k + 1) · ω(G ) − A(G k+1 ) 6 k.
Sei Gi (1 6 i 6 k + 1) die Kopien von G in G k+1 .
Seien Ci die Lösungsanteile in Gi .
∀i : 1 6 i 6 k + 1 : Ci 6 ω(G )
Pk+1
(k + 1) · ω(G ) − i=1 |Ci | 6 k.
Pk+1
i=1 ω(G ) − |Ci | 6 k.
∃i : Ci = ω(G ).
Damit ist das Cliquenproblem in P.
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Greedy
Färbung
APX...
319/351
Vertex Cover (Greedy)
a1
a2
a3
a4
a5
a6
b1
b2
b3
b4
b5
b6
c1
c2
c3
c4
c5
c6
c7
c8
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Greedy
Färbung
APX...
320/351
Vertex Cover (Greedy)
Gk = (Ak ∪ Bk ∪ Ck , ∪ki=1 Ei )
Ak = {a1 , a2 , . . . , ak }
Bk = {b1 , b2 , . . . , bk }
′
Ck = {c1 , c2 , . . . , ck ′ } mit k =
Pk
j=2 ⌊k/j⌋
E1 = {{ai , bi } | 1 6 i 6 k}
Pi
ki = j=2 ⌊k/j⌋ für i = 2, 3, . . . , k
k1 = 0
Ei = {{cki−1 +j , bi∗(j−1)+x } | 1 6 j 6 ⌊k/i⌋ ∧ 1 6 x 6 i}
für i = 2, 3, . . . , k
In Ei sind ⌊k/i⌋ Knoten aus Ck beteiligt.
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Greedy
Färbung
APX...
321/351
Vertex Cover (Greedy)
Wir bestimmen nun den Approximationsfaktor F (n).
F (n)
>
=
>
|Cgreedy (Gk )|
|Copt (Gk )|
Pk k
1
k · i=1 ⌊ i ⌋
Pk k
1
i=1 i −
k ·
Pk 1
i=1 i − 1
R k+1
dx
−1
i=1 x
>
>
> ln k − 1
> ln ∆(Gk ) − 1
(k − 2)
Damit kann der Greedyalgorithmus keinen konstanten
Approximationsfaktor haben.
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
Greedy
APX...
322/351
Vertex Cover
Theorem
Das Vertex Cover Problem kann mit einem Faktor von 2 approximiert
werden.
Sei G = (V , E ) Graph
Bestimme maximum Matching M
Wähle Vertex Cover C = {v ∈ V | ∃w ∈ V : {v , w } ∈ M}
Setze τ (G ) = |V | − α(G ) und
M(G ) Maximales Matching von G .
Schätze Approximationsfaktor ab:
|CMaxMatch (G )|
τ (G )
6
6
=
2·|M(G )|
τ (G )
2·|M(G )|
|M(G )|
2
beachte: |M(G )| > |CMaxMatch (G )|
beachte: |M(G )| 6 τ (G )
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
Greedy
APX...
323/351
Vertex Cover
Theorem
Das Vertex Cover Problem kann mit einem Faktor von 2 −
approximiert werden.
log log n
2·log n
Zusammenfassung:
Vertex Cover ist mit Faktor 2 approximierbar.
Clique ist mit keinem konstanten Faktor approximierbar.
Independent Set ist mit keinem konstanten Faktor approximierbar.
N P-vollständige Problem unterscheiden sich in ihrer
Approximierbarkeit.
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
APX...
324/351
Steiner-Baum
Definition (Steiner-Baum Problem)
Gegeben G = (V , E ), S ⊂ V und c : E 7→ Q
I.
Bestimme Spannbaum T = (S P
∪ P, F ),
der die Knoten von S minimal e∈F c(e) verbindet.
Die Blätter von T sind alle aus S.
Die Menge P heißt Steinerpunkte.
Falls S = V ist ein minimaler Spannbaum zu finden.
Falls |S| = 2 ist ein mimimaler Weg zu finden.
Anwendung: VLSI-Chip-Design
Entscheidungsvariante: Gibt es Menge P ⊂ V \ S der Größe k,
so daß G [S ∪ P] zusammenhängend ist.
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
APX...
325/351
Steiner-Baum
Theorem
Das Steiner Baum Problem ist N P-vollständig.
Sei G = (V , E ) Eingabe des Vertex Cover Problems
Konstruiere Graphen G ′ aus G wie folgt:
˙ e ∪{z},
˙
G ′ = (V ∪V
F ∪ Ez )
Ve = {ve | e ∈ E }
F = {{ve , a}, {ve , b} | e = {a, b} ∈ E }
Ez = {{v , z} | v ∈ V }
Setze S = Ve ∪ {z}.
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
APX...
326/351
Steiner-Baum (Beispiel)
a
b
c
d
e
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
APX...
327/351
Steiner-Baum (Beispiel)
a
b
ab
ac
ad
ae
c
bd
z
ce
d
de
e
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
APX...
328/351
Steiner-Baum
Theorem
Das Steiner Baum Problem ist N P-vollständig.
Erinnerung: G hat Vertex Cover der Größe τ (G )
G ′ hat n + m + 1 Knoten.
G ′ ist bipatit.
Beachte: S = Ve ∪ {z}.
G ′ wird τ (G ) Steinerpunkte haben.
Der Steiner-Baum wird γ(G ′ ) = τ (G ) + m Kanten haben.
Zeige im Weiteren:
γ(G ′ ) 6 τ (G ) + m
γ(G ′ ) > τ (G ) + m
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
APX...
329/351
Steiner-Baum (Beweis)
Zeige: γ(G ′ ) 6 τ (G ) + m
Sei C Vertex Cover der Größe τ (G ).
Wähle C als Steinerpunkte von G ′ .
Mit τ (G ) Kanten werden die Knoten aus C mit z verbunden.
Da C ein Vertex Cover ist,
ist jeder Knoten aus Ve mit einen Knoten aus C verbunden.
Damit sind alle Knoten aus Ve
mit jeweils einem Knoten aus C verbunden.
Das sind dann nochmals m Kanten
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
APX...
330/351
Steiner-Baum (Beweis)
Zeige: γ(G ′ ) > τ (G ) + m
Sei T Steiner-Baum mit γ(G ′ ) Kanten.
Die Knoten C = V (T ) \ S sind dann die Steinerknoten.
Jeder Knoten aus Ve ist mit einem Knoten aus C über T verbunden.
Damit ist C ein Vertex Cover für G .
Weiter hat T γ(G ′ ) + 1 Knoten.
τ (G ) 6 |C | = γ(G ′ ) + 1 − (m + 1) = γ(G ′ ) − m.
τ (G ) + m 6 γ(G ′ ).
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
APX...
331/351
Steiner-Baum (Approximation)
Aufbau der Idee
Alle Knoten aus S sind zu verbinden.
Bestimme paarweise kürzeste Wege.
Bestimme minimale Menge kürzester Wege die S verbinden.
Bestimme daraus den Steiner-Baum.
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
APX...
332/351
Steiner-Baum (Approximation)
Verfahren von Kou, Markowsky und Berman
Gegeben G = (V , E ), S ⊂ V und c : E 7→ Q
I.
Bestimme Clique GD = (V , F ) c :: F 7→ Q
I mit:
c({a, b}) = distG (a, b).
Bestimme minimalen Spannbaum TD = (S, F ′ ) auf GD [S].
Bestimme H als Teilgraph von G über die minimale Wege für alle
Kanten aus F ′ .
Bestimme mimimalen Spannbaum TS auf H.
Lösche sukzesive Blätter aus TS , die nicht in S sind.
Ergebnis ist dern Baum TKMB .
Damit gilt: c(TKMB ) 6 c(H) 6 c(TD ).
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
APX...
333/351
Steiner-Baum (Approximation)
Beachte: c(TKMB ) 6 c(H) 6 c(TD ).
Sei T ∗ ein minimaler Steiner-Baum.
Schätzen nun C (T ∗ ) und c(TD ) zueinander ab.
Ziel: C (TD ) 6 2 · c(T ∗ ).
Verdopple die Kanten von T ∗ .
Damit ergibt sich Zyklus Z , der alle Knoten aus S trifft.
Z definiert spannenden Baum auf GD [S]:
Start bei s1 in Z .
Sei s2 , s3 , . . . , s|S| die Reihenfolge der Erstbesuche der Knoten
aus S.
Kanten {si , si+1 } bilden einen Spannbaum für S auf GD .
Also: c(TZ ) 6 c(Z ).
Und damit c(TZ ) 6 c(Z ) = 2 · c(T ∗ ).
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
APX...
334/351
Steiner-Baum (Approximation)
Theorem
Das Steiner Baum Problem kann mit einem Faktor von 2 approximiert
werden.
Theorem
Das Steiner Baum Problem kann mit einem Faktor von
werden.
11
6
approximiert
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Einleitung
TSP
Definition (TSP)
Gegeben G = (V , E ), L ∈ Q
I und c : E 7→ Q
I.
Bestimme spannenden Kreis C mit c(C ) 6 L.
Definition (∆-TSP)
Gegeben G = (V , E ), L ∈ Q
I und c : E 7→ Q
I mit:
foralla, b, c ∈ V : |{a, b, c}| = 3 : c(a, c) 6 c(a, b) + c(b, c).
Bestimme spannenden Kreis C mit c(C ) 6 L.
Theorem
∆-TSP mit Gewichtsfunktion c 7→ {1, 2} ist in N PC.
Färbung
APX...
335/351
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Approximation
Färbung
APX...
336/351
Approximation
Theorem
∆-TSP ist mit einem Faktor von 2 approximierbar.
Bestimme minimalen Spannbaum T von G .
Verdoppele die Kanten von T und erzeuge Graphen T ′ .
Bestimme in T ′ einen Eulerkreis C ′ .
Verkürze C ′ durch Überspringen doppelter Knoten
Dadurch entstehe Kreis C .
Sei C ∗ eine minimale TSP Tour.
c(T ) 6 c(C ∗ ).
c(C ) 6 2 · c(T ).
c(C )
c(C ∗ )
6
2·c(T )
c(C ∗ )
6
Laufzeit O(n2 ).
2·c(C ∗ )
c(C ∗ )
=2
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
Approximation
APX...
337/351
Approximation
Theorem
∆-TSP ist mit einem Faktor von 1.5 approximierbar.
Bestimme minimalen Spannbaum T von G .
Bestimme minimales Matching M zwischen den Knoten ungeraden
Grades von T .
Bestimme in T ∪ M einen Eulerkreis C ′ .
Verkürze C ′ durch Überspringen doppelter Knoten
Dadurch entstehe Kreis C .
Sei C ∗ eine minimale TSP Tour.
c(T ) 6 c(C ∗ ).
c(M) 6 c(C ∗ )/2.
c(C )
c(C ∗ )
6
c(T )+c(M)
c(C ∗ )
6
c(C ∗ )+c(C ∗ )/2
c(C ∗ )
6
1.5·c(C ∗ )
c(C ∗ )
= 1.5
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
Nichtapproximierbarkeit
Nichtapproximierbarkeit
Theorem
Falls P =
6 N P gibt es für beliebiges k ∈ IN keinen
Polynomzeitalgorithmus mit Approximationsfaktor k für TSP.
Sei G = (V , E ) Eingabe für das Hamiltonkreisproblem
Die Gewichtsfunktion für TSP wird wie folgt bestimmt:
1
falls e ∈ E
c(e) :=
k · n sonst
Falls G Hamiltonkreis hat, so sind die Kosten des TSP: n.
Falls G keinen Hamiltonkreis hat, so sind die Kosten des TSP
mindestens: n − 1 + k · n > k · n.
Damit könnte Hamiltonkreis entschieden werden.
APX...
338/351
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Einleitung
Färbung
APX...
339/351
Zentrumsproblem
Gegeben G = (V , E ) und c : E 7→ Q
I.
Sei Z ⊂ V
dist(v , Z ) := minz∈Z dist(z, v )
Rad(Z ) := maxv ∈V dist(v , Z )
Definition (Zentrumsproblem (Entscheidungsvariante))
Gegeben G = (V , E ), k ∈ IN, L ∈ Q
I und c : E 7→ Q
I.
Bestimme Z mit |Z | = k und Rad(Z ) 6 L.
Definition (Zentrumsproblem)
Gegeben G = (V , E ), k ∈ IN und c : E 7→ Q
I.
Bestimme Z mit |Z | = k und Rad(Z ) minimal.
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
Komplexität
APX...
340/351
Komplexität
Theorem
Falls P =
6 N P gibt es für beliebiges r < 2 keinen Polynomzeitalgorithmus
mit Approximationsfaktor r für das Zentrumsproblem.
Reduktion auf das Dominating Set Problem.
Sei (G , k) Eingabe für das Dominating Set Problem.
Setze c(e) = 1 für e ∈ E (G ).
Dann hat G Dominating Set der Größe k falls G Zentrum mit k
Knoten und Radius 1 hat.
Falls es einen Algorithmus A mit Approximationsfaktor r < 2 gibt,
so liefert A bei Eingabe (G , 1, k, c) ein Dominating Set Problem der
Größe k.
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Approximation
Färbung
APX...
341/351
Zentrumsproblem (mit Knotenkosten)
Gegeben G = (V , E ), w : V 7→ Q
I und c : E 7→ Q
I.
Sei Z ⊂ V
dist(v , Z ) := minz∈Z dist(z, v )
Rad(Z ) := maxv ∈V w (v ) · dist(v , Z )
Definition (Zentrumsproblem)
Gegeben G = (V , E ), k ∈ IN, w : V 7→ Q
I und c : E 7→ Q
I.
Bestimme Z mit |Z | = k und Rad(Z ) minimal.
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Approximation
Färbung
APX...
342/351
Approximation
Algorithmus GreedyZentrum(G , c, w , R)
Z := ∅
U := V
Solange U 6= ∅ mache
z := argmax{w (u) | u ∈ U}
Z := Z ∪ {z}
U := U \ {u ∈ U | w (v ) · dist(v , z) 6 2 · R}
Ausgabe: Z
Definiere: f (R) := |GreedyZentrum(G , c, w , R)|
P
′
Definiere: R = maxv ∈V w (v ) · e∈E c(e)
f (0) = n
f (R ′ ) = 1
f (R) ist aber nicht monoton.
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
Approximation
APX...
343/351
Approximation
Lemma
Sei G = (V , E ) Z ∗ ein Zentrum aus k Knoten mit minimalen Radius und
R ∗ = Rad(Z ∗ ).
Dann gilt: f (R) 6 k für alle R > R ∗ .
Sei Z ∗ = {z1 , z2 , . . . , zk }.
Sei Vi := {v ∈ V | w (v ) · dist(v , zi ) 6 R ∗ }}.
Damit ∪ki=1 Vi = V .
Sei z der in der Schleife gewählte Knoten.
Und z ∈ Vi für ein i.
Damit gilt:
w (v ) · dist(v , z)
6
6
6
6
w (v ) · (dist(v , vi ) + dist(vi , z))
w (v ) · dist(v , vi ) + w (z) · dist(vi , z)
2 · R∗
2·R
Alle Knoten aus Vi sind am Ende des Schleifendurchlaufes aus U gelöscht.
Schleife terminiert nach höchstens k = |Z ∗ | Runden. Und es gilt: |Z | 6 k.
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
Approximation
APX...
344/351
Approximation
Es werden nun die folgenden Werte untersucht:
{w (u) · dist(u, v ) | u, v ∈ V ∧ u 6= v }
anz := |{w (u) · dist(u, v ) | u, v ∈ V ∧ u 6= v }| 6 n · (n − 1)
Algorithmus ApproxZentrum(G , c, w , k)
Bestimmte Distanzmatrix (dist(u, v ))u,v ∈V für (G , c).
Sortiere Werte {w (u) · dist(u, v ) | u, v ∈ V ∧ u 6= v }.
Seien R1 < R2 < . . . < Ranz diese Werte.
i := 0
Wiederhole
i =i +1
Z := GreedyZentrum(G , c, w , Ri )
bis |Z | 6 k.
Ausgabe: Z .
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
Approximation
APX...
345/351
Approximation
Theorem
Das Zentrumsproblem ist mit einem Faktor von 2 approximierbar.
Wegen dem obigen Lemma terminiert die Schleife.
Sie i0 die Anzahl der Schleifendurchläufe.
D.h. der Durchlauf mit Ausgabe Z mit Rad(Z ) 6 2 · Ri0
Durch Konstrukton von GreedyZentrum gilt: Rad(Z ) 6 2 · Ri0
Damit ist auch Z eine 2 Approximation.
Laufzeit:
Distanzmatrix: O(n3 ).
Sortierung: O(n2 log n).
GreedyZentrum: O(n2 ).
Gesamtlaufzeit O(n4 ).
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
Greedy
APX...
346/351
Approximationsfehler von Greedy
Greedyverfahren liefert Färbung mit AGreedy = ∆(G ) + 1 Farben.
Zweifärbung ist in P.
Approximationsfehler:
χ(G )
6
6
∆(G )+1
.
3
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
Greedy
APX...
347/351
Aussagen
Lemma
Sei 0 < 0 6 1 Konstante. Es gibt linearen Algorithmus, der das
Färbungsproblem mit Faktor max(1, c · n) approximiert.
Falls |V | 6 2/c dann färbe G :
Färbe per Greedy durch alle Permutationen der Knoten den
Graphen optimal.
(2/c)!
Laufzeit: O((2/c)! · 2 ).
Laufzeit: O(1) und Fehlerfaktor 1.
Falls |V | < 2/c dann färbe G :
Partitioniere V (G ) in ⌊c · n⌋ Teile der Größe ⌊n/⌊c · n⌋⌋ oder
⌈n/⌊c · n⌋⌉.
n
+ 1 6 c2 = 1.
Jeder Teil hat Größe 6 cn−1
Jeder Teil kann in konstanter Zeit optimal gefärbt werden.
)
6 cn.
Gesamtfarbenanzahl: ⌊cn⌋·χ(G
χ(G )
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
Greedy
APX...
348/351
Aussagen
Lemma
Falls P =
6 N P gibt keinen Polynomzeitalgorithmus mit
Approximationsfehler 4/3 für das Färbungsproblem.
Theorem (Garry, Johnson 1976)
Falls P =
6 N P gibt keinen Polynomzeitalgorithmus mit
Approximationsfehler 2 für das Färbungsproblem.
Theorem (Johnson 1974)
Das Färbungsproblem kann mit einem Faktor von O(n/ log n) in Zeit
O(nm) approximiert werden.
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Greedy
Färbung
APX...
349/351
Aussagen
Theorem (Lund, Jannakakis 1993)
Falls P =
6 N P gibt es für beliebiges ǫ > 0 keinen Polynomzeitalgorithmus
mit Approximationsfehler nǫ für das Färbungsproblem.
Theorem (Feige, Kilian 1996)
Falls P =
6 ZPP gibt es für beliebiges ǫ > 0 keinen
Polynomzeitalgorithmus mit Approximationsfehler n1−ǫ für das
Färbungsproblem.
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
APX...
350/351
Nichtapproximierbarkeit
Die folgenden Probleme sind MAX-SNP schwer:
Vertex Cover
∆-TSP
Steiner-Baum
D.h. für diese gibt es kein PTAS.
Einleitung
Vertex Cover
Steiner-Bäume
TSP
Zentrumsproblem
Färbung
APX...
351/351
Fragen
Wie kann das Problem Cliquenproblem aproximiert werden? Welche
untere Schranken sind dazu bekannt?
Wie kann das Problem Färbungsproblem aproximiert werden?
Welche untere Schranken sind dazu bekannt?
Wie kann das Problem Vertex Cover Problem aproximiert werden?
Welche untere Schranken sind dazu bekannt?
Wie kann das Problem Independent Set Problem aproximiert
werden? Welche untere Schranken sind dazu bekannt?
Wie kann das Problem Steiner Baum Problem aproximiert werden?
Welche untere Schranken sind dazu bekannt?
Wie kann das Problem TSP aproximiert werden? Welche untere
Schranken sind dazu bekannt?
Wie kann das Problem ∆-TSP aproximiert werden? Welche untere
Schranken sind dazu bekannt?
Wie kann das Problem Zentrumsproblem aproximiert werden?
Welche untere Schranken sind dazu bekannt?