Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen

Wintersemester 2015/16
Prof. C. P. Schnorr
Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen
Blatt 5,
Aufgabe 1.
20.01.2016,
Abgabe 03.02.2016
Sei b ∈ L(Bn,c ), b ∼ (u, v).
Zeige für v 0 ∈ Z,
2
dass ||b − v 0 N||2 ≥ ln uv + ẑb−v
0 N ( mit Gleichheit für quadratfreies uv ) für
ẑb−v0 N := N c (ln vNuv0 ) = N c (ln uv −v 0 ln N ), die letzte Koordinate von b−v 0 N.
Hinweis : Modifiziere den Nachweis von Fact 1.
Aufgabe 2.
Sei b ∈ L(Bn,c ), b ∼ (u, v). Ferner habe b − v 0 N mit v 0 ∈
Z \ {0} minimale Länge in L(N, Bn,c ).
2
Zeige: λ21 (L(N, Bn,c )) > (2c − 1) ln N + ẑb−v
0 N mit "≈ ” für quadratfreies uv.
Hinweis : Folge dem Beweis von Lemma 2, aber benutze die Behauptung von
Aufgabe 1 statt Fact 1.
D.h. in der unteren Schranke zu λ21 von L(Bn,c ) nach Lemma 2 wird 2c ln N
0
erniedrigt zu (2c − 1) ln N , denn wegen u − vN v ≈ o(u) gilt ln v = ln u −
2
v 0 ln N + o(1), aber ẑb2 erhöht sich auf ẑb−v
0N.
Aufgabe 3. Sei Bn,c ∈ R(n+1)×n die Primzahlbasis
 √

ln p1
0
0




...


0
0
 c = (ln N )β ≥ 1, pn = (ln N )α
Bn,c = 
√



ln pn 
0
0


c
c
N ln p1 · · · N ln pn
Zeige: rd(L) = o(n−1/4 ) falls α > 2β + 2 und
n
Mn,c = (u, v) ∈ N2
|u − v| = 1, N c /2 ≤ v ≤ N c o
6= ∅.
u, v are pn -smooth
Dabei ist rd(L) definiert durch λ21 = γn rd(L)2 (det(L))2/n
Hinweis : Beweis von Theorem 4 in Factoring Integers by CVP Algorithms.
Punktzahlen: 5, 6, 8