c LehrstuhlfürTechnischeElektrophysik

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Lehrstuhl für Technische Elektrophysik
Technische Universität München
Skriptum zur Vorlesung
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Elektrizität und Magnetismus
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Dozent: Prof. Dr. G. Wachutka
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10. Juni 2011
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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
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2. Stationäre Ströme
2.1. Elektrische Stromstärke und Stromdichte . . . . . . . . . . . . .
2.2. Ladungsträgertransport im elektrischen Feld . . . . . . . . . .
2.2.1. Transport ohne Stoßprozesse im freien Raum . . . . . .
2.2.2. Transport mit Stoßprozessen (Driftmodell) . . . . . . . .
2.3. Ladungserhaltung und Kirchhoffsche Knotenregel . . . . . . . .
2.3.1. Ladungserhaltung in integraler Darstellung . . . . . . .
2.3.2. Kirchhoffsche Knotenregel . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3. Ladungserhaltung in differentieller Form: . . . . . . . .
2.4. Elektrische Leistung und Energieübertragung . . . . . . . . . .
2.4.1. Elektrische Leistung einer Punktladung . . . . . . . . .
2.4.2. Elektrische Leistung eines Strömungsfeldes . . . . . . . .
2.4.3. Elektrische Verlustleistung bei Ohmschen Widerständen
2.4.4. Die elektrische Übertragungsstrecke . . . . . . . . . . .
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1. Elektrostatik
1.1. Elektrische Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Kräfte zwischen elektrischen Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Coulombsches Kraftgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Elektrische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Definition des elektrischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Spezialfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3. Bemerkung zur graphischen Darstellung von Vektorfeldern . . .
1.4. Elektrische Arbeit, Spannung und Potential . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Elektrische Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Elektrische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3. Elektrisches Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Elektrische Felder in elektrisch polarisierbaren materiellen Medien . . .
1.5.1. Elektrische Polarisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2. Dielektrisches Verschiebungsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3. Gaußsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Kontinuierliche Ladungsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1. Raumladungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2. Oberflächenladungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3. Gaußsches Gesetz für Ladungsverteilungen (in integraler Form)
1.6.4. Gaußsches Gesetz in differentieller Form und Poissongleichung .
1.6.5. Coulomb-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Elektrische Felder zwischen leitenden Medien . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1. Influenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2. Elektrische Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3. Kondensatoraggregate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.4. Elektrische Feldenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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0. Vorbemerkungen
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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
4. Induktion
4.1. Bewegungsinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Elektromotorische Kraft in bewegten leitfähigen Medien . . . . . . . . . . .
4.1.2. Induzierte elektrische Spannung in bewegter Leiterschleife . . . . . . . . . .
4.1.3. Unipolar-Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Ruheinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Induzierte Spannung in ruhender Leiterschleife . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2. Maxwellsche Verallgemeinerung: Differentielle Form des Induktionsgesetzes
4.3. Allgemeine Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Maxwellsche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A. Mathematische Grundlagen
A.1. Euklidischer, affiner Raum E3 . . . . . . . . . . .
A.1.1. Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.2. Ursprung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.3. Basis, Koordinatensystem . . . . . . . . .
A.1.4. Skalarfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.5. Vektorfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.6. Ortsabhängige Basisvektoren . . . . . . .
A.1.7. Konvergenz, Stetigkeit, Differenzierbarkeit
A.2. Wegintegrale im affinen Euklidischen Raum En .
A.2.1. Definition des Wegintegrals . . . . . . . .
A.2.2. Konservative Kraftfelder . . . . . . . . . .
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3. Magnetostatik
3.1. Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Lorentzkraft und Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Bewegung eines geladenen Massepunktes im konstanten Magnetfeld
3.1.3. Lorentzkraft auf eine Stromverteilung . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Lorentzkraft und Drehmoment auf stromführende Leiter . . . . . . . . . .
3.2.1. Kraft auf einen Leiter mit beliebiger Gestalt . . . . . . . . . . . . .
3.2.2. Kraft auf linienförmige Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3. Drehmoment auf eine Leiterschleife . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Permanentmagnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
~
3.4. Quellenfreiheit (Divergenzfreiheit) des B-Feldes
. . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Erzeugung magnetostatischer Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1. Ampèresches Durchflutungsgesetz (quasistationäre Form) . . . . .
3.5.2. Magnetische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3. Permeabilität und magnetische Suszeptibilität . . . . . . . . . . . .
3.6. Berechnung magnetostatischer Felder und Kräfte . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1. Magnetfeld eines unendlich langen geraden Drahtes . . . . . . . . .
3.6.2. Kraft zwischen zwei parallelen geraden Drähten . . . . . . . . . . .
~
3.6.3. H-Feld
einer allgemeinen zylindersymmetrischen Stromverteilung .
3.7. Vervollständigung des Ampèresches Gesetzes . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1. Erweiterung des Ampèreschen Gesetzes (nach Maxwell) . . . . . .
3.7.2. Ampère-Maxwellsches Durchflutungsgesetz in differentieller Form
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A.3. Totale Ableitung und Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.1. Linearformen und dualer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.2. Totales Differential und Gradient als duale Größen . . . . . . . . . . .
A.3.3. Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.4. Partielle Ableitungen (räumlich unveränderliches Koordinatensystem):
A.3.5. Richtungsableitung entlang einer Kurve: . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4. Krummlinige Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.1. Kartenabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.2. Begleitendes n-Bein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.3. Gradient in krummlinigen orthogonalen Koordinaten . . . . . . . . . .
A.5. Gradientenfelder und Potentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.1. Definition und Eindeutigkeit von Potentialfunktionen . . . . . . . . . .
A.5.2. Existenz einer Potentialfunktion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.3. Berechnung einer Potentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5.4. Äquivalente Charakterisierungen von Gradientenfeldern . . . . . . . .
A.5.5. Geometrische Interpretation von Potentialfunktion und Gradientenfeld
A.6. Flächenintegrale im E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6.1. Parameterdarstellung einer Fläche S im E3 . . . . . . . . . . . . . . .
A.6.2. Tangentialebene und Oberflächennormale . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6.3. Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.6.4. Beispiel: Integration über eine Kugeloberfläche . . . . . . . . . . . . .
A.7. Divergenz - Gaußscher Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.7.1. Divergenzoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.7.2. Darstellung der Divergenz in kartesischen Koordinaten . . . . . . . .
A.7.3. Integralsatz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.7.4. Divergenzoperator in krummlinigen orthogonalen Koordinaten . . . . .
A.7.5. Der Laplace-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8. Rotation und Integralsatz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8.1. Rotationsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8.2. Integralsatz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8.3. Darstellung der Rotation in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . .
n
Inhaltsverzeichnis
M
Inhaltsverzeichnis
0 VORBEMERKUNGEN
n
0. Vorbemerkungen
Beispiele:
Maßzahl
=
=
20
5
×
Maßeinheit
km
h
Zoll (inch)
-T
U
v
L
=
M
Physikalische Größe
ün
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(i) Eine physikalische Größe (z.B. die Geschwindigkeit v oder die Länge L) wird durch eine
Maßzahl in Verbindung mit einer Maßeinheit beschrieben.
ph
ys
ik
(ii) Für eine physikalische Größe existieren zumeist mehrere unterschiedliche Maßeinheiten.
Um physikalische Größen und physikalische Zusammenhänge einheitlich zu definieren, wurde 1960 ein kohärentes System von Maßeinheiten geschaffen, die sogenannten SI-Einheiten
(système internationale des unités). In diesem System werden 7 voneinander unabhängige
Basiseinheiten definiert, aus denen die Maßeinheiten für alle übrigen physikalischen Größen
abgeleitet werden können.
tro
Die 7 Basiseinheiten sind folgende:
ek
'
Einheit
Meter
Sekunde
Kilogramm
Ampère
Kelvin
Candela
Mol
&
Te
ch
nis
ch
e
Länge
Zeit
Masse
elektr. Stromstärke
Temperatur
Lichtstärke
Stoffmenge
El
Größe
$
Symbol
m
s
kg
A
K
cd
mol
%
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st
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l
für
Abgeleitete Maßeinheiten ergeben sich durch Produkt- und Quotientenbildung unmittelbar
aus der Definitionsgleichung für eine physikalische Größe. Sie sind also Bestandteil der physikalischen Begriffsbildung, oftmals in Verbindung mit der Aufstellung eines physikalischen
Gesetzes.
Beispiele sind:
Größe
Geschwindigkeit
Kraft
Arbeit
Leistung
Ladung
elektrische Spannung
Einheit
=
=
=
=
=
=
Länge
Zeit
m
s
Masse × Beschleunigung
Kraft × Weg
Arbeit
Zeit
Stromstärke × Zeit
Arbeit
Ladung
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1 N (Newton) = 1kg × 1 sm2 = 1 kgs2m
1 J (Joule) = 1 N × 1 m = 1 Nm
1 W (Watt) = 1 J/1 s = 1 Js
1 C (Coulomb) = 1As
m2
m2
1 V (Volt) = 1 J/1 C = 1 kg
= 1 kg
s2 A s
A s3
ün
ch
e
(iii) Größengleichungen sind Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen, die durch mathematische Gleichungen dargestellt werden und unabhängig vom Basiseinheitensystem gelten.
Die Gleichheit von physikalischen Größen beinhaltet, dass man sie in derselben Maßeinheit
ausdrücken kann und ihre Maßzahlen übereinstimmen. Mit solchen Größengleichungen kann
man dann auch verschiedene Maßeinheiten für dieselbe physikalische Größe ineinander umrechnen:
n
0 VORBEMERKUNGEN
v=
-T
U
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Beispiel 1:
Die Geschwindigkeit v, die sich aus dem Verhältnis von zurückgelegter Weglänge L
zur benötigten Zeit t ergibt, ist über die Größengleichung
L
t
1 Seemeile
1000 m
1,852 km
km
m
= 1,852
=
= 1,852
= 0,514 .
1 Stunde
1h
3600 s
s
| {z h }
1 Knoten
tro
v=
ph
ys
ik
definiert. Die Umrechung von Nicht-SI-Einheiten in SI-Einheiten erfolgt beispielsweise so:
ch
e
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Beispiel 2:
Die kinetische Energie eines zweifach geladenen Ions mit der Ladung Q = 2qel , das
in einem Ionenbeschleuniger mit der Spannung U = 20 kV beschleunigt wird, ergibt
sich aus dem Produkt von Ladung Q und Spannung U :
Wkin = Q · U = 2qel · 20 kV
Te
ch
nis
mit
qel = |e| = 1,602 × 10−19 C (Elementarladung)
=⇒ Wkin = 6,408 × 10−15 C · V = 6,408 × 10−15 J in SI-Einheiten.
c
Le
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uh
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für
Ein Teilchenphysiker oder Elektroingenieur verwendet aber oft lieber die Darstellung
Q U
Q U
· · eV =
·
· keV = 2 · 20 keV = 40 keV
Wkin =
e V
e kV
Die Einheit keV ist zwar keine SI-Einheit, aber für die Praxis sehr anschaulich.
7
0 VORBEMERKUNGEN
da
10−1
dezi
d
centi
c
102
hekto
h
10−2
103
kilo
k
10−3
milli
m
mikro
µ
n
Mega
M
10−6
109
Giga
G
10−9
nano
T
10−12
piko
p
femto
f
1012
Tera
-T
U
106
Peta
P
10−15
1018
Exa
E
10−18
atto
a
Z
10−21
zepto
z
ph
ys
Zetta
ik
1015
1021
Tabelle 2: 10n , n < 0
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
ch
e
El
ek
tro
Tabelle 1: 10n , n > 0
8
ün
deka
M
101
ch
e
n
(iv) Zehnerpotenzen von SI-Einheiten
Durch Vorausstellen der folgenden Präfixe vor eine SI-Einheit lassen sich Zehnerpotenzen
leichter und für die Praxis anschaulicher ausdrücken:
1 ELEKTROSTATIK
1. Elektrostatik
ch
e
Bis heute sind nachfolgende experimentelle Erfahrungen über elektrische Ladungen gesammelt
worden:
n
1.1. Elektrische Ladung
M
ün
(i) Ladung ist eine fundamentale Eigenschaft aller Elementarteilchen (wie Masse, Spin,
Charm, Flavor, Color). Sie ist die Quelle für die elektrische (genauer gesagt: elektromagnetische) Wechselwirkung, eine der vier Grundkräfte der Physik (neben starker und schwacher
Wechselwirkung sowie der Gravitation).
-T
U
(ii) Es gibt zwei Klassen von Ladungen, positive und negative. Dabei gilt, dass sich gleichnamige
Ladungen abstoßen und ungleichnamige Ladungen gegenseitig anziehen.
ph
ys
ik
(iii) Die elektrische Gesamtladung in einem abgeschlossenen System bleibt erhalten. Dies bedeutet, dass positive und negative Ladungen nur paarweise erzeugt bzw. vernichtet werden
können,
z.B. Materie ↔ Antimaterie, (“echte” Teilchen)
oder Elektron ↔ Loch = Defektelektron (“Quasi-Teilchen”).
tro
(iv) Ladung ist quantisiert:
Elementarladung (= Betrag der Ladung eines Elektrons): |e| = qel = 1, 602 · 10−19 C,
ek
wobei 1 Coulomb = 1C = 1As .
ch
e
El
Alle (trennbaren) Elementarteilchen besitzen ein ganzzahliges Vielfaches von qel als elektrische Ladung:
qE = ±NE · qel
mit NE ∈ N .
Te
ch
nis
Hadronen (wie z.B. Proton und Neutron) bestehen ihrerseits aus Quarks, welche eine Ladung
qQ = ±NQ ·
e
3
mit NQ = 1 oder 2 ,
c
Le
hr
st
uh
l
für
besitzen. Quarks kommen aber nur in gebundenen Zuständen mit ganzzahligen Vielfachen
der Elementarladung vor.
9
1.2 Kräfte zwischen elektrischen Punktladungen
1 ELEKTROSTATIK
1.2. Kräfte zwischen elektrischen Punktladungen
n
1.2.1. Coulombsches Kraftgesetz
M
ün
ch
e
Zwei diskrete punktförmige Ladungen q1 am Ort ~r1 und q2 am Ort ~r2 üben gegenseitig eine Kraft
aufeinander aus. Sei F~1←2 die Kraft, welche die Ladung q1 durch die Anwesenheit der Ladung q2
erfährt, und F~ 2←1 die Kraft, die q2 durch q1 erfährt. Sind beide Ladungen in Ruhe (Elektrostatik),
dann gelten folgende experimentelle Erfahrungen:
F~2←1 = −F~1←2
-T
U
(i) Nach dem Newtonschen Prinzip “actio = reactio” gilt
Die Richtung beider Kräfte ist parallel zum Abstandsvektor ~r2 − ~r1 .
|q1 · q2 |
|~r2 − ~r1 |2
I
r2 < rI
1
El
ε0 heißt “Dielektrizitätskonstante des
Vakuums”, oder auch
“Vakuum-Permittivität”
O
Abb. 1.1: Kraftwirkung zwischen zwei
Punktladungen
ch
e
Te
ch
nis
+
ek
tro
mit der elektrostatischen Kraftkonstanten
1
γe =
4π · ε0
As
mit ε0 = 8, 854 · 10−12
Vm
ph
ys
|F~2←1 | = |F~1←2 | = γe
ik
(ii) Die Stärke der Kräfte beträgt
(iii) Ob sich die beiden Ladungen q1 und q2 abstoßen oder anziehen, hängt von den Vorzeichen
der beiden Ladungen ab. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab und ungleichnamige ziehen
sich an:
=
=
sgn (q2 )
− sgn (q2 )
⇔
⇔
Abstoßung
Anziehung
für
sgn (q1 )
sgn (q1 )
hr
st
uh
l
Die Aussagen (i) - (iii) lassen sich in kompakter Form als Vektorgleichung zusammenfassen. Beachtet man, dass (~r2 − ~r1 )/|~r2 − ~r1 | der Einheitsvektor ist, welcher vom Ort ~r1 zum Ort ~r2 weist,
so gilt:
F~2←1 = −F~1←2 =
q1 · q2
1
·
· (~r2 − ~r1 )
4π · ε0 |~r2 − ~r1 |3
(1.1)
c
Le
Dies ist das Coulombsche Gesetz in vektorieller Form.
1.2.2. Superpositionsprinzip
Eine Anordnung von N Ladungen qi (i = 1, ..., N ) an den Orten ~ri (i = 1, ..., N ) übt auf eine
weitere Ladung q am Ort ~r eine elektrische Kraft F~q (~r) aus, die man durch Vektoraddition der
Coulomb-Kräfte erhält, welche die Ladungen qi auf q ausüben. Es gilt also:
10
ch
e
i=1
..
.
q · qi
1
·
· (~r − ~ri )
4π · ε0 | ~r − ~ri |3
ün
F~q (~r) =
N
X
1.3 Elektrische Feldstärke
n
1 ELEKTROSTATIK
N
X
q
qi
·
· (~r − ~ri )
4π · ε0
|~r − ~ri |3
i=1 |
{z
}
+
F~q (~r) =
-T
U
M
bzw.
O
(1.2)
Abb. 1.2: Diskrete Verteilung von
Punktladungen
ph
ys
ik
Quellen des Kraftfeldes
ek
tro
Die Kräfte auf eine Ladung q addieren sich also in solcher Weise vektoriell, dass die elektrischen
Kräfte auf die Ladung q, die durch jede andere Ladung qi verursacht werden, ungestört überlagert
werden.
El
1.3. Elektrische Feldstärke
ch
e
1.3.1. Definition des elektrischen Feldes
Te
ch
nis
Die Gleichung (1.2) lässt sich auch so interpretieren, dass eine gegebene Ladungsträgerverteilung
~ r) erzeugt.
(qi , r~i )i=1...N auch ohne Vorhandensein der Ladung q an jedem Ort ~r ein “Kraftfeld” E(~
Bringt man eine “Testladung” q an den Ort ~r, so gilt
~ r) ,
F~q (~r) = q · E(~
für
~ r) folgt:
woraus die Definition von E(~
~ r) := 1 F~q (~r) .
E(~
q
hr
st
uh
l
Das von (qi , r~i )i=1...N erzeugte elektrische Feld lautet damit explizit:
~ r) =
E(~
N
X
qi
1
·
· (~r − ~ri ) .
4π · ε0
|~r − ~ri |3
i=1
~ =
dim(|E|)
c
Le
Die physikalische Einheit des elektrischen Feldes ist folglich
mit der Definition 1 Volt = 1V =
kg m 1
V
N
= 2 ·
=
As
s
As
m
kg m2
.
As3
11
(1.3)
1.3 Elektrische Feldstärke
1 ELEKTROSTATIK
1.3.2. Spezialfälle
n
(i) Monopolfeld: N = 1, eine Punktladung q0 am Ort ~r0 als Quelle:
1
q0
·
· (~r − ~r0 )
4π · ε0 |~r − ~r0 |3
ch
e
(1.4)
ün
~ r) =
E(~
-T
U
M
S. 6
-
ph
ys
ik
+
Abb. 1.3: Pfeildiagramm des elektrischen Feldes einer Punktladung q0 ,
mit q0 >0 (links) bzw. q0 <0 (rechts)
(1.5)
ch
e
El
ek
tro
(ii) Dipolfeld: N = 2, Punktladungen (Q, r~1 ) und (−Q, r~2 ) als Quellen:
S. 7_1
Q
1
1
~
E(~r) =
·
· (~r − ~r1 ) −
· (~r − ~r2 )
4π · ε0
|~r − ~r1 |3
|~r − ~r2 |3
G
E = Tangentenvektor
G
E
Te
ch
nis
+
G
E
G
E
G
E+
G
E−
uh
l
für
−
an Feldlinie
hr
st
Abb. 1.4: Elektrische Feldlinien zweier ungleichnamiger, betragsmäßig gleicher
Punktladungen (Dipolfeld)
c
Le
Beachte: Feldlinien beginnen bei der positiven Ladung und enden bei der negativen Ladung.
12
1 ELEKTROSTATIK
1.4 Elektrische Arbeit, Spannung und Potential
-T
U
M
ün
ch
e
~ r) kann man als “Pfeildiagramm” wie in Abb. (1.3) darVektorfelder wie das elektrische Feld E(~
~ r) anträgt. Dies kann aber recht unüberstellen, indem man an jedem Ort ~r den Vektorpfeil E(~
sichtlich werden. Alternativ hierzu ist es oft zweckmäßiger eine Kurvenschar von “Feldlinien” zu
zeichnen, die dadurch definiert ist, dass die Tangentenvektoren an jedem Punkt einer Feldlinie
das Vektorfeld darstellen (siehe Abb. (1.4)). Möchte Superpositionsprinzipman eine Feldlinie mit
Parameterdarstellung λ 7→ ~r(λ) durch einen gegebenen Punkt ~r0 berechnen, so muss man die
Bestimmungsgleichung
n
1.3.3. Bemerkung zur graphischen Darstellung von Vektorfeldern
El
ek
1.4.1. Elektrische Arbeit
tro
1.4. Elektrische Arbeit, Spannung und Potential
ph
ys
ik
d~r
~ r(λ)) , ~r(λ0 ) = ~r0
= E(~
dλ
lösen (= Differentialgleichung für ~r(λ)).
Te
ch
nis
ch
e
(i) Definition der mechanischen Arbeit
Ein punktförmiges Teilchen wird unter dem Einfluss eines Kraftfeldes F~ (~r) längs eines Weges
C (P1 , P2 ) in E3 von P1 nach P2 bewegt (Abb. (1.5)).
Die hierbei geleistete mechanische Arbeit ergibt sich
aus dem Integral über die Kraftkomponente tangential zum Weg C (P1 , P2 ). Um dieses zu berechnen, gehen
wir von einer Parameterdarstellung von C (P1 , P2 ) aus
mit der Bogenlänge s als Kurvenparameter:
α)

dr
für
(0, l) 3 s 7→ ~r(s)
Abb. 1.5: Wegintegral
uh
l
mit ~r(0) = ~r1 und ~r(l) = ~r2 .
Le
hr
st
Der Tangential-Einheitsvektor an die Kurve C (P1 , P2 ) ist
~t(s) = d~r ; d~r = 1 .
ds ds c
Das vektorielle Linienelement ist dann
d~r = ~t ds
Die differentielle mechanische Arbeit, die längs eines Linienelements geleistet wird, ist nach
Abb. (1.5)
dW = |F~ (~r(s))| cos α(s)ds = F~ (~r(s)) · ~t(s)ds .
13
1.4 Elektrische Arbeit, Spannung und Potential
1 ELEKTROSTATIK
Die gesamte mechanische Arbeit ergibt sich dann als Integral
0
= dd ~rs
ˆ
d~r
F~ (~r(s)) · ds =
ds
0
F~ (~r) · d~r
(1.6)
n
W12 =
F~ (~r(s)) · ~t(s) ds =
|{z}
ch
e
ˆl
ˆl
C(P1 ,P2 )
-T
U
M
ün
(ii) Elektrische Arbeit
~ r) von P1 nach P2 längs C (P1 , P2 )
Wird eine Punktladung q in einem elektrischen Feld E(~
~
~
bewegt, so wird wegen Fq (~r) = q · E(~r) die elektrische Arbeit
ˆ
~ r) · d~r
W12 = q
E(~
(1.7)
C(P1 ,P2 )
ph
ys
ik
geleistet.
1.4.2. Elektrische Spannung
El
ek
tro
(i) Definition der elektrischen Spannung
Die elektrische Arbeit W12 ist nach Gl. (1.7) proportional zur Probeladung q, an der sie
geleistet wird. Dividiert man W12 durch q, so erhält man eine Größe, die nur vom elektrischen
~ r) abhängt. Diese heißt die elektrische Spannung zwischen P1 und P2 :
Feld E(~
ˆ
W12
~ · d~r
U12 =
=
E
(1.8)
q
ch
e
C(P1 ,P2 )
Te
ch
nis
Physikalische Einheit (vgl. Abs. 1.3.1):
dim(U12 ) = 1
J
= 1V(olt)
As
Elektrostatische Felder sind konservativ!
uh
l
für
(ii) Grundgesetz der Elektrostatik
~
Bei einem elektrostatischen E-Feld
hängt die Spannung zwischen zwei Punkten P1 und P2
nur von diesen selbst, jedoch nicht von der Wahl des verbindenden Weges C(P1 , P2 ) ab; das
heißt (vgl. Abs. A.2.2):
c
Le
hr
st
Man drückt dies durch die folgende Schreibweise aus:
ˆP2
~ · d~r
E
U12 =
(1.9)
P1
Zum Beweis dieser Aussage kann man in kartesischen Koordinaten die “Integrabilitätsbedingungen” (siehe Abs. A.2.2):
∂Ej
∂Ei
=
(i, j = 1, 2, 3)
∂xi
∂xj
für das in Gl. (1.4) gegebene Coulomb-Feld verifizieren.
14
1.4 Elektrische Arbeit, Spannung und Potential
-T
U
(iv) Folgerung:
~
Ein elektrostatisches E-Feld
erfüllt für jede geschlossene Kurve C die Bedingung
ˆ
~ · d~r = 0
E
ün
C(P2 ,P1 )
M
C(P1 ,P2 )
ch
e
(iii) Folgerung:
Durchläuft man einen Weg C(P1 , P2 ) in der Gegenrichtung, also von P2 nach P1 , so kehrt
sich beim Wegintegral die Richtung des Tangentenvektors um. Daher gilt:
ˆ
ˆ
~
~ · d~r = −U21
U12 =
E · d~r = −
E
(1.10)
(1.11)
ek
tro
ph
ys
ik
C
C̃(P2 ,P1 )
Te
ch
nis
C(P1 ,P2 )
ch
e
El
Zum Beweis wählen wir auf der Kurve C zwei Punkte P1 und P2 und zerlegen C in zwei
e 2 , P1 ).
Teilwege: C = C(P1 , P2 ) + C(P
Dann gilt:
ˆ
ˆ
ˆ
~
~
~ · d~r = U12 + U21 = U12 − U12 = 0
E · d~r =
E · d~r +
E
C
1.4.3. Elektrisches Potential
hr
st
uh
l
für
(i) Definition des elektrischen Potentials
~
Das Grundgesetz der Elektrostatik hat zur Konsequenz, dass das elektrostatische E-Feld
ein
Gradientenfeld ist. Nach Abs. A.5 bedeutet dies, dass es eine Potentialfunktion Φ(~r) gibt mit
der Eigenschaft:
~ r) = −gradΦ(~r)
E(~
(1.12)
c
Le
~ r)
Nach Gl. (A5.4) lässt sich das elektrische Potential Φ(~r) aus dem elektrischen Feld E(~
folgendermaßen berechnen:
ˆP
~ · d~r
Φ(~r) = Φ(~r0 ) − E
(1.13)
P0
Hierbei ist P0 = O + ~r0 ein fest gewählter Referenzpunkt und P = O + ~r ein beliebiger
Aufpunkt. Der Potentialwert Φ(~r0 ) ist eine frei wählbare Konstante (Referenzpotential), das
oftmals zu Null gesetzt wird (Massepunkt, Nulleiter etc.).
15
n
1 ELEKTROSTATIK
1.4 Elektrische Arbeit, Spannung und Potential
1 ELEKTROSTATIK
(ii) Zusammenhang mit der elektrischen Spannung
Die Potentialdifferenz
~ · d~r = UP P
E
0
(1.14)
ch
e
~ · d~r =
E
Φ(~r) − Φ(~r0 ) = −
n
ˆP0
ˆP
P
P0
U12 = Φ(~r1 ) − Φ(~r2 ) .
-T
U
M
ün
ist offenkundig die elektrische Spannung UP P0 zwischen dem Aufpunkt P und dem Referenzpunkt P0 . Allgemein kann man die Spannung U12 zwischen zwei Punkten P1 = O + ~r1 und
P2 = O + ~r2 bestimmen mit der Bezeichnung
(1.15)
ik
Beweis: Wir verbinden P1 mit P2 mit einem Weg C(P1 , P2 ), der über den Referenzpunkt P0
führt:
ek
tro
ph
ys
C(P1 , P2 ) = C(P1 , P0 ) + C(P0 , P2 )
Dann gilt:
ˆP2
ch
e
El
+
ˆP0
~ · d~r =
E
Te
ch
nis
U12 =
P1
ˆP2
~ · d~r +
E
P1
|
~ · d~r
E
= Φ(P1 ) − Φ(P2 )
P0
{z
}
Φ(P1 )−Φ(P0 )
|
{z
}
−Φ(P2 )+Φ(P0 )
c
Le
hr
st
uh
l
für
(iii) Äquipotentialflächen
Wie in Abs. A5.5 dargelegt, ist für einen gegebenen konstanten Potentialwert Φ0 die Menge
F(Φ0 ) = {P = O + ~r | Φ(~r) = Φ0 } eine zweidimensionale Fläche in E3 , die Äquipotenti~ = −gradΦ stehen
alfläche zu Φ0 . Der Gradient gradΦ und damit das elektrische Feld E
immer senkrecht auf den Tangentialebenen an F(Φ0 ), sind also kollinear zur Oberflächennormale. Variiert man Φ0 , so erhält man eine Schar von Äquipotentialflächen, die alle von
den elektrischen Feldlinien senkrecht geschnitten werden.
(iv) Beispiel: Coulombpotential einer Punktladung
Wir wollen das elektrische Potential einer Punktladung Q am Ort PQ = O +~rQ bestimmen.
Diese erzeugt das elektrische Feld (vgl. Gl. (1.4))
~ r) = Q · (~r − ~rQ )
E(~
4πε0 |~r − ~rQ |3
16
1.4 Elektrische Arbeit, Spannung und Potential
Für einen gegebenen Aufpunkt P = O + ~r
legen wir eine Gerade durch PQ und P ,
über die wir das Wegintegral von P zum
Referenzpunkt P0 ausführen wollen. P0 liege
auf dieser Geraden; er wird schließlich ins
Unendliche verschoben.
+
+

P = O+r
ün
ch
e
n
1 ELEKTROSTATIK
~ · d~r = Φ(~r0 ) +
E
Φ(~r) = Φ(~r0 ) +
Q (~r − ~rQ )
· d~r
4πε0 |~r − ~rQ |3
-T
U
ˆP0
ˆP0
P
P
~r − ~rQ
; λ1 = |~r − ~rQ |; λ0 = |~r0 − ~rQ |
|~r − ~rQ |
ek
tro
mit ~e =
ph
ys
~r(λ) = ~rQ + λ~e; λ1 ≤ λ ≤ λ0
ik
zu berechnen.
Parametrisierung des Geradenstücks von P nach P0 :
C:
M
Es ist also das Wegintegral
El
Tangentialvektor:
ch
e
d~r
= ~e
dλ
Elektrisches Feld in Parameterdarstellung:
Te
ch
nis
~ r(λ)) = Q · λ~e = Q · ~e
E(~
4πε0 λ3
4πε0 λ2
Wegintegral:
ˆP0
ˆλ0
~ · d~r =
E
uh
l
Damit folgt:
λ1
ˆλ0
Q
1
1
1
dλ =
· −
+
λ2
4πε0
λ0 λ1
λ1
für
P
~e
Q
Q
·
· ~e dλ =
4πε0 λ2
4πε0
Q
·
Φ(~r) = Φ(~r0 ) +
4πε0
1
1
−
|~r − ~rQ | |~r0 − ~rQ |
(1.16)
c
Le
hr
st
Üblicherweise schiebt man den Bezugspunkt ins Unendliche, |r~0 | → ∞, und setzt Φ(~r0 ) = 0;
es gilt dann:
Φ(~r) =
1
Q
·
4πε0 |~r − ~rQ |
(1.17)
Die Äquipotentialflächen sind konzentrische Kugeloberflächen mit Zentrum ~rQ .
Φ(~r) = const. = Φ0
⇔
17
|~r − ~rQ | =
Q
1
·
4πε0 Φ0
(1.18)
1.4 Elektrische Arbeit, Spannung und Potential
1 ELEKTROSTATIK
ch
e
n
(v) Beispiel: Potential einer diskreten Ladungsverteilung (qi , ~ri )i=1,...,N :
Mit Anwendung des Superpositionsprinzips und Gleichung (1.17) ergibt sich für das Potential
der Ladungsverteilung:
N
X
1
qi
·
Φ(~r) =
(1.19)
4πε0
|~r − ~ri |
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
ch
e
El
ek
tro
ph
ys
ik
-T
U
M
ün
i=1
18
1 ELEKTROSTATIK
1.5 Elektrische Felder in elektrisch polarisierbaren materiellen Medien
1.5. Elektrische Felder in elektrisch polarisierbaren materiellen Medien
ch
e
n
1.5.1. Elektrische Polarisierbarkeit
M
ün
Ein elektrisch polarisierbares Material, auch “Dielektrikum” genannt, hat die Eigenschaft, dass ein
von außen einwirkendes elektrisches Feld im Material auf einer atomaren Längenskala elektrische
Dipole induziert oder bereits vorhandene gleichorientiert. Durch Überlagerung der hierbei erzeugten atomistischen Dipolfelder wird ein zusätzliches makroskopisches elektrisches Feld generiert, das
sich dem äußeren Feld überlagert und dieses abschwächt (“abschirmt”).
-T
U
Dadurch erfährt eine Probeladung eine verminderte elektrische Kraft. Falls die elektrische Polari~
sierung proportional zum äußeren E-Feld
erfolgt, spricht man von einem linearen Materialgesetz.
In diesem Fall gilt:
ik
In einem Dielektrikum gilt das Coulombsche Gesetz, aber mit einer verringerten Kraftkonstanten:
ph
ys
N
X
1 ~
q
qi
F~q (~r) =
· Fq,vac (~r) =
·
(~r − ~ri )
εr
4π ε0 εr
|~r − ~ri |3
|{z} i=1
=ε
tro
Da die Kraftwirkung abgeschwächt wird, gilt εr ≥ 1.
(1.20)
ek
Das Produkt ε0 εr wird als dielektrische Konstante (oder elektrische Permittivität) bezeichnet; εr heißt relative dielektrische Konstante und ε0 ist die dielektrische Konstante des Vakuums.
ch
e
El
Typische Werte für εr sind:
:
:
:
:
Te
ch
nis
Gase(Luft)
organische Materialien, Öl
Wasser
Keramik-Werkstoffe
(high-k-Materialien)
εr
εr
εr
εr
= 1, 0005 . . . 1, 0010
= 1, 5 . . . 10
= 81
= 103 . . . 104
für
1.5.2. Dielektrisches Verschiebungsfeld
hr
st
uh
l
~ r) zu
(i) Das Kraftgesetz (1.20) legt es nahe, die rechte Seite in der Form F~q (~r) = q · 1ε · D(~
~ r) lässt sich alleine aus der Kenntnis der felderzeugenden Lafaktorisieren. Der Term D(~
dungsverteilung (qi , ~ri )i=1,...,N bestimmen, während die Polarisierbarkeit des umgebenden
Materials durch den Faktor 1ε berücksichtigt wird. Man definiert daher
~ r) = εE(~
~ r) = ε0 εr E(~
~ r)
D(~
(1.21)
c
Le
als dielektrisches Verschiebungsfeld. Offenkundig gilt:
N
X
qi
~ r) = 1 ·
D(~
(~r − ~ri ).
4π
|~r − ~ri |3
(1.22)
i=1
In der Tat ist dieser Ausdruck allein durch die felderzeugende Ladungsverteilung (qi , ~ri )i=1,...,N
bestimmt und materialunabhängig.
19
1.5 Elektrische Felder in elektrisch polarisierbaren materiellen Medien
1 ELEKTROSTATIK
ch
e
ün
M
∂V
-T
U
∂V
n
(ii) Wir betrachten nun ein dreidimensionales
Kontrollvolumen V , das von der geschlossenen Randfläche ∂V umhüllt wird. Bezeich~ die äußere Einheitsnormale auf ∂V ,
net N
so definiert man den “Verschiebungsfluss”
durch ∂V als das “Hüllflächenintegral”
(vgl. Abs. A.6.3, Gl. (A.6.7))
ˆ
ˆ ~
~ ·N
~ da
D · d~a =
D
(1.23)
ik
1.5.3. Gaußsches Gesetz
tro
ph
ys
(i) Mit Hilfe des Verschiebungsflusses lässt sich ein zentrales Gesetz der elektrischen Feldtheorie formulieren, das “Gaußsche Gesetz über die eingeschlossene Ladung”. Wir demonstrieren
dieses Gesetz am einfachsten Fall, nämlich dem Verschiebungsfeld einer am Ursprung befindlichen Punktladung Q.
Dieses lautet:
El
ek
~ r) = 1 · Q · ~r mit r = |~r|
D(~
4π r3
Als Kontrollvolumen nehmen wir eine Kugel K(O, R) um
den Ursprung mit Radius R. Die Hüllfläche ist dann die
Kugeloberfläche
ch
e
 
d a = Nda
∂K(O, R) = {O + ~r ∈ E3 |~r| = R},
Te
ch
nis
+
mit dem äußeren Normaleneinheitsvektor
~ = ~er = ~r ,
N
r
~ da = ~r da.
d~a = N
r
uh
l
für
und dem vektoriellen Oberflächenelement
c
Le
hr
st
Der Verschiebungsfluss durch die Hüllfläche ∂K(O, R) ist dann
ˆ
∂K(O,R)
~ · d~a = Q ·
D
4π
ˆ
∂K(O,R)
Q
~r ~r
· da =
3
4πR2
|r {z r}
1
= 12
r2
R
ˆ
da = Q ·
∂K(O,R)
Die detaillierte Ableitung dieses Ergebnisses findet sich in Abs. A.6.4.
20
4πR2
= Q.
4πR2
(1.24)
1.5 Elektrische Felder in elektrisch polarisierbaren materiellen Medien
ch
e
(ii) Verallgemeinerung (ohne Beweis):
Sei nun eine Punktladung Q an einem beliebigen Ort P0 = O + ~r0 positioniert, und das Kontrollvolumen V und seine Hüllfläche ∂V seien von allgemeiner Gestalt. Das von Q erzeugte
Verschiebungsfeld lautet
Q
~ r) = 1 ·
D(~
(~r − ~r0 )
4π |~r − ~r0 |3
(
~ · d~a =
D
ün
M
ˆ
(1.25)
Q
0
für
für
P0 ∈ V \ ∂V
P0 ∈
/ V \ ∂V
∂V
-T
U
Dann gilt:
(1.26)
X
qi
(1.27)
tro
~
ri ∈V
ph
ys
ik
(iii) Gaußsches Gesetz (für Punktladungen)
Wir betrachten eine beliebige diskrete Ladungsverteilung (qi , ~ri )i=1...N und ein allgemein
geformtes Kontrollvolumen V mit Hüllfläche ∂V . Mit
Q(V ) :=
El
ek
bezeichnen wir die von der Hüllfläche ∂V im Inneren von V eingeschlossene Ladung; d.h. in
der Summe werden genau diejenigen Quellpunkte ~ri gezählt, die in V enthalten sind.
Dann gilt:
ˆ
X
~ · d~a = Q(V ) =
D
qi
(1.28)
ch
e
∂V
~
ri ∈V
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
Diese Aussage ergibt sich durch Anwendung des Superpositionsprinzips (vgl. Abs. 1.2.2, Gl.
(1.22) und (1.26)).
21
n
1 ELEKTROSTATIK
1.6 Kontinuierliche Ladungsverteilungen
1 ELEKTROSTATIK
1.6. Kontinuierliche Ladungsverteilungen
ch
e
n
1.6.1. Raumladungsdichte
Ladungsmenge (netto) in ∆V (~r)
|∆V (~r)|
für |∆V (~r)| → 0
-T
U
ρ(~r) =
M
ün
Diskrete Punktladungsverteilungen gibt es nur auf einer atomistischen Längenskala (< 1nm). Auf
technisch relevanten Längenskalen betrachtet man aber sehr viele Ladungsträger pro Volumeneinheit (z.B. 1022 Elektronen pro cm3 in einem Leiter), sodass es sinnvoll ist, von einer kontinuierlich
verteilten Ladungsträgerkonzentration auszugehen. Um diese zu beschreiben, umgibt man einen
Ort ~r mit einem Volumen ∆V (~r) und führt eine Raumladungsdichte %(~r) ein als
Mathematisch präziser lautet die Definition wie folgt:
ph
ys
ik
ρ(~r)d3 r (= ρ(x, y, z) dxdydz in kartesischen Koordinaten) ist die im Volumenelement
d3 r enthaltene differentielle Ladung dQ, sodass für beliebige Kontrollvolumina V gilt:
ˆ
Q(V ) = ρ(~r) d3 r
(1.29)
tro
V
lim
|∆V (~
r)|→0
Q(∆V (~r))
|∆V (~r)|
(1.30)
ch
e
El
ρ(~r) =
ek
ist die im Volumen V eingeschlossen Ladung. In differentieller Form heisst dies:
Te
ch
nis
1.6.2. Oberflächenladungsdichte
σ(~r) =
Ladungsmenge in ∆A(~r)
|∆A(~r)|
für |∆A(~r)| → 0 .
uh
l
für
Manchmal sind die elektrischen Ladungen in einer sehr dünnen Schicht entlang der Oberfläche
eines Körpers oder der Grenzfläche zwischen zwei aneinandergrenzenden Materialien verteilt. In
diesem Fall führt man auf einer zweidimensionalen Fläche S eine Flächenladungsdichte σ(~r) ein,
indem man einen Ort ~r auf S mit einem kleinen Flächenstück ∆A(~r) umgibt und definiert
Ist da das skalare Oberflächenelement auf der Fläche S (vgl. Abs. A6.3), so gilt:
c
Le
hr
st
σda ist die im Flächenelement da enthaltene differentielle Ladung dQ, sodass für beliebige Teilflächenstücke A ⊂ S gilt:
ˆ
Q(A) =
σ(~r) da
(1.31)
A
ist die in der Fläche A enthaltene Ladung. In differentieller Form heißt das:
σ(~r) =
lim
|∆A(~
r)|→0
22
Q(∆A(~r))
|∆A(~r)|
(1.32)
1 ELEKTROSTATIK
1.6 Kontinuierliche Ladungsverteilungen
-T
U
M
ün
~ r) derart, dass
Eine Raumladungsverteilung σ(~r) erzeugt ein Verschiebungsfeld D(~
für beliebige Kontrollvolumina V mit der Hüllfläche ∂V gilt:
ˆ
ˆ
~
D · d~a = Q(V ) = ρ(~r) d3 r
(1.33)
ch
e
(i) Das in Gl. (1.28) für Punktladungen formulierte Gaußsche Gesetz bleibt für kontinuierlich
verteilte Ladungen mit einer Raumladungsdichte ρ(~r) gültig, wenn man für die eingeschlossene Ladung Q(V ) den Ausdruck (1.29) einsetzt. Das Gaußsche Gesetz lautet dann:
V
∂V
ph
ys
ik
~
(ii) Sind die das D-Feld
erzeugenden Ladungen auf einer
Fläche S konzentriert mit einer Flächenladungsdichte
σ(~r) , dann gilt für jedes Kontrollvolumen V , das die
Fläche S schneidet:
ˆ
ˆ
~
D · d~a = Q(S ∩ V ) =
σ(~r) da
(1.34)
S∩V
ek
tro
∂V
ch
e
El
(iii) Einen Spezialfall stellt die Oberfläche S eines idealen Leiters dar. Dessen Inneres ist in der
~ = 0.
Elektrostatik feldfrei, also D
Te
ch
nis
Als Kontrollvolumen V wählen wir eine kleine dünne
Platte, deren Oberseite außerhalb des Leiters parallel
zur Leiteroberfläche S verläuft, während die Unter~
seite im Leiter selbst verläuft. Das D-Feld
außerhalb
des Leiters steht senkrecht auf seiner Oberfläche (vgl.
Abs. 1.4.3 (iii)), also parallel zur äußeren Einheits~.
normalen N
hr
st
uh
l
für
Lässt man die Plattendicke gegen null gehen, so erhält man aus Gl. (1.34) für jedes kleine
Flächenstück A ⊂ S:
ˆ
ˆ
~ d~a =
D
A
ˆ
~ ·N
~ da =
D
A
σ da
A
c
Le
~ ·N
~ den einseitigen Grenzwert vom Außenraum des Leiters bezeichnet. Da A
wobei D
beliebig gewählt werden kann, folgt:
~ ·N
~ =σ
D
auf der Fläche S
(einseitiger Grenzwert vom Außenraum)
23
n
1.6.3. Gaußsches Gesetz für Ladungsverteilungen (in integraler Form)
(1.35)
1.6 Kontinuierliche Ladungsverteilungen
1 ELEKTROSTATIK
1.6.4. Gaußsches Gesetz in differentieller Form und Poissongleichung
ün
ch
e
n
(i) Nach Gleichung (1.33) gilt zwischen der Raumladungsdichte ρ(~r) und dem hiervon erzeugten
~ r) der Zusammenhang
Verschiebungsfeld D(~
ˆ
ˆ
~
D d~a = ρ d3 r
V
M
∂V
-T
U
für jedes Kontrollvolumen V . Andererseits können wir mit dem Integralsatz von Gauß (vgl.
Abs. A7.3) den Verschiebungsfluss durch ∂V in ein Gebietsintegral über V verwandeln:
ˆ
ˆ
~ d3 r,
~
D d~a = div D
V
∂V
ˆ
~ d3 r =
div D
ik
ˆ
Damit erhalten wir:
ph
ys
ρ d3 r
V
V
tro
Da diese Gleichheit für beliebige Kontrollvolumina V gilt, müssen die Integranden übereinstimmen, und wir erhalten das Gaußsche Gesetz in differentieller Form:
~ =ρ
div D
ek
(1.36)
Te
ch
nis
ch
e
El
~
~ = − grad Φ. Außerdem sind D
~ und
(ii) In der Elektrostatik ist das E-Feld
ein Gradientenfeld: E
~
~
~
E über das Materialgesetz D = εE miteinander verknüpft. Eingesetzt in Gl. (1.36) ergibt
sich damit die Poissongleichung:
div(ε grad Φ) = −ρ
(1.37)
Ist überdies ε nicht ortsabhängig, so ergibt sich:
div(grad Φ) = −
ρ
ε
uh
l
für
Mit dem Laplace-Operator (vgl. Abs. A7.5)
4Φ := div(grad Φ)
c
Le
hr
st
ergibt sich schließlich die Poissongleichung in vereinfachter Form als
4Φ = −
2
2
ρ
ε
(1.38)
2
∂
∂
∂
(In kartesischen Koordinaten gilt: 4 = ∂x
2 + ∂y 2 + ∂z 2 )
Diese Gleichung bildet den Ausgangspunkt zur Berechnung elektrostatischer Felder für praxisrelevante Anwendungen. Hierbei werden für eine vorgegebene Ladungsverteilung ρ(~r) Lösungen Φ(~r) auf einem meist endlichen Teilgebiet Ω ⊂ E3 gesucht, auf dessen Rand ∂Ω
Vorgaben für Φ gemacht werden. Systematische Lösungsverfahren können aber im Rahmen
dieser Vorlesung nicht behandelt werden.
24
1 ELEKTROSTATIK
1.6 Kontinuierliche Ladungsverteilungen
Φ(~r) =
ch
e
(i) Will man für eine gegebene diskrete Ladungsverteilung (qi , ~ri )1...N das elektrische Potential
Φ(~r) bestimmen, haben wir mit Gl. (1.19) bereits die Lösung gefunden:
n
X
1
qi
·
4πε0
|~r − ~ri |
(1.39)
ün
i=1
tro
ph
ys
ik
-T
U
M
Dieses Potential löst also die Poissongleichung (1.38) in E3 \ {P1 . . . PN }, wobei Pi = O + ~ri
die Quellpunkte der erzeugenden Ladungen sind. Es erfüllt überdies die “Randbedingung”
Φ(~r) → 0 für |~r| → ∞.
Leider ist diese Lösung nur von geringem praktischen Nutzen, weil sie die Kenntnis aller
felderzeugenden Ladungen voraussetzt. In der Praxis hat man aber meist andere Vorgaben:
Die Ladungen befinden sich beispielsweise auf einem Leiter, auf dem sie frei beweglich sind
und sich selbstkonsistent räumlich so anordnen, dass der Leiter im Inneren feldfrei ist, also
ein Äquipotentialgebiet bildet (vgl. Abs. 1.7.1).
Dennoch wollen wir Gl. (1.39) auf den Fall einer kontinuierlichen Ladungsverteilung ρ(~r)
verallgemeinern, weil das so konstruierte “Coulomb-Potential” für viele feldtheoretische Herleitungen wesentlich ist.
ch
e
El
ek
(ii) Wir suchen also das elektrische Potential Φ(~r) zu einer überall in E3 definierten kontinuierlichen Ladungsträgerverteilung ρ(~r). Statt hierzu die Poissongleichung (1.38) zu lösen, gehen
wir von Gl. (1.39) aus. Wir stellen uns vor, dass ρ(~r) durch eine quasikontinuierliche, diskrete
Ladungsträgerverteilung (qi , ~ri )1...N mit N → ∞ entstanden ist. Hierbei wird qi um einen
Punkt ~ri so “verschmiert”, dass die im Volumen d3 r um den Punkt ~ri enthaltene Ladung
dQ(~ri ) gleich qi ist:
qi = dQ(~ri ) = ρ(~ri )d3 r
Te
ch
nis
Hieraus ergibt sich dann die folgende Substitutionsregel für die Summation über Ausdrücke
der Form func(~ri ; Parameter)qi :
ˆ
X
func(~ri ; Parameter)qi → func(~r; Parameter)ρ(~r)d3 r
(1.40)
i
E3
für
Für Gl. (1.39) bedeutet dies:
uh
l
Φ(~r) =
1
4πε
ˆ
E3
ρ(r~0 ) 3 0
d r
|~r − r~0 |
(Coulombpotential)
(1.41)
hr
st
Das Coulomb-Potential löst ∆Φ = − ρε im E3 und erfüllt die Randbedingung Φ(~r) → 0
für |~r| → ∞.
c
Le
~ r) kann man gemäß E
~ = − grad Φ
(iii) Das von der Raumladung ρ(~r) erzeugte elektrische Feld E(~
aus Gl. (1.41) berechnen. Einfacher ist es jedoch, vom Feld der quasikontinuierlich verteilten
Punktladungen Gl. (1.3) auszugehen und die Substitutionsregel (1.40) anzuwenden. Man
erhält so das Coulomb-Feld
ˆ
1
~r − r~0
~
E(~r) =
ρ(r~0 ) d3 r0 .
(1.42)
0
3
~
4πε
|~r − r |
E3
25
n
1.6.5. Coulomb-Potential
1.7 Elektrische Felder zwischen leitenden Medien
1 ELEKTROSTATIK
1.7. Elektrische Felder zwischen leitenden Medien
n
1.7.1. Influenz
~ = −∇Φ = 0
E
⇔
-T
U
M
ün
ch
e
(i) In einem leitenden Körper sind extrem viele frei bewegliche Ladungsträger vorhanden (≈ 1021
- 1023 Elementarladungen pro cm3 ). Diese arrangieren sich im elektrostatischen Gleichgewicht
so, dass kein elektrisches Feld erzeugt wird und ihre Ladungen exakt von der Hintergrundladung des leitenden Mediums kompensiert wird. Es gibt daher keine Raumladung (lokale
Neutralität). Eine Störung des feldfreien Zustandes wird sofort durch den Effekt der dielektrischen Abschirmung ausgeglichen. Die Feldfreiheit im Inneren des Leiters impliziert, dass
dieser mitsamt seiner Oberfläche ein Äquipotentialgebiet darstellt:
Φ = constans
tro
~ =0
a) Im Inneren des Leiters gilt E
ph
ys
ik
~
(ii) Wird ein Leiter einem äußeren E-Feld
ausgesetzt, so bleibt in seinem Inneren das elektrostatische Gleichgewicht bestehen. Dazu muss aber durch eine Ladungsträgerverschiebung an
seiner Oberfläche eine Oberflächenladungsdichte σ(~r) induziert werden, deren Feld das von
außen einwirkende Feld exakt kompensiert. Diesen Vorgang nennt man Influenz.
Die Situation lässt sich durch folgende Bedingungen charakterisieren:
ek
b) Das elektrische Feld im Aussenraum trifft im rechten Winkel auf die Leiteroberfläche:
~ ⊥ Leiteroberfläche
E
++
+
+
+
+
- --
Abb. 1.6: Influenz
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
ch
e
El
c) Die auf der Leiteroberfläche induzierte Oberflächenladung genügt der Bedingung
~ ·N
~ (im Grenzwert von außen, vgl. Gl. (1.35))
σ=D
26
1 ELEKTROSTATIK
1.7 Elektrische Felder zwischen leitenden Medien
ün
ch
e
(i) Definition der Kapazität einer Zweileiteranordnung
Man betrachtet zwei Leiter L1 und L2 , die auf unterschiedlichen elektrischen Potentialen Φ1
und Φ2 liegen. Die elektrische Spannung zwischen beiden Leitern berechnen wir, indem wir
von einem Punkt auf Leiter L1 ausgehend einer Feldlinie zum Leiter 2 folgen:
n
1.7.2. Elektrische Kapazität
M
ˆL2
~ · d~r
E
U12 = Φ1 − Φ2 =
-T
U
L1
!
! (r ) = !2
ik
Leiter 1
Ladung - Q
ch
e
hier : !1 > ! 2
tro

E = −∇Φ
ek
Ladung + Q
El
!
! ( r ) = !1
ph
ys
Leiter 2
Te
ch
nis
Abb. 1.7: Kapazität
für
Die auf dem Leiter L1 befindliche Ladung Q sei gegengleich zu der Ladung −Q auf Leiter L2 . Wir bestimmen sie, indem wir eine Hüllfläche H um den Leiter L1 legen und den
Verschiebungsfluss berechnen:
ˆ
ˆ
~
~ · d~a
Q=
D · d~a =
εE
H um L1
H um L1
uh
l
Hierbei ist ε die Permittivität des Materials zwischen den beiden Leitern. Die Kapazität ist
definiert als
Q
(1.43)
C=
U12
c
Le
hr
st
Die Kapazität der Anordnung hängt nur von der Geometrie der Leiteranordnung und der
Permittivität des Dielektrikums ab, nicht aber von der angelegten Spannung U12 . Dies erkennt man unmittelbar aus der Darstellung
´
~ · d~a
εE
C = ´HL2
~
r
L1 E · d~
(1.44)
~ um denselben
Wird die Spannung um einen Faktor verändert, ändert sich der Betrag von E
Faktor in Zähler und Nenner von Gl. (1.44), sodass der Wert der Kapazität C unverändert
bleibt.
27
1.7 Elektrische Felder zwischen leitenden Medien
1 ELEKTROSTATIK
~ · d~r = Ez · d
E
tro
H
ch
e
ün
ph
ys
und die Ladung Q ist
ˆ
~ · d~a = Dz · A = ε Ez · A
Q= D
ik
L1


E = Ez ez
Abb. 1.8: Plattenkondensator
Q
A
=ε·
U12
d
(1.45)
ch
e
C=
El
ek
Damit ergibt sich für die Kapazität:
M
-T
U
ˆL2
U12 =
n
(ii) Beispiel 1: Plattenkondensator:
Ein Plattenkondensator ist aus zwei ebenen parallelen Leiterplatten mit der Fläche A und Plattenabstand d aufgebaut, zwischen denen sich ein Dielektrikum mit der Permittivität ε befindet. Die Platten werden mit gegengleichen
Ladungen ±Q aufgeladen. Das entstehende elektrische Feld
~ zwischen den Platten ist konstant und steht senkrecht
E
auf den Platten (Streufelder am Rand der Platten werden
vernachlässigt).
Die elektrische Spannung ist dann
Te
ch
nis
Offenkundig ist dieser Ausdruck nur von ε und der Geometrie des Kondensators abhängig.
c
Le
hr
st
uh
l
für
(iii) Beispiel 2: Kugelkondensator:
Ein Kugelkondensator besteht aus einem inneren kugelförmigen Leiter mit Radius a, der konzentrisch in
einer Hohlkugel eines äußeren Leiters mit Hohlkugelradius b > a angeordnet ist. Im Zwischenraum a ≤ r ≤ b
befindet sich ein Dielektrikum mit Permittivität ε.
Eine Ladung Q auf der Innenkugel mit Gegenladung
−Q auf der Außenkugel generiert ein kugelsymmetri~
~ r) = E(r)~er im Dielektrikum. Nach
sches E-Feld
E(~
dem Gaußschen Gesetz gilt:
ˆ
~ · d~a = ε · E(r)4πr2 für a ≤ r ≤ b
Q=
D

D
b
-Q

 
Feld: E = E r ⋅ er
()
|~
r|=r
a≤r≤b
woraus folgt:
E(r) =
Q
a
Q
1
·
4πε r2
Abb. 1.9: Kugelkondensator
28
1 ELEKTROSTATIK
1.7 Elektrische Felder zwischen leitenden Medien
Damit erhalten wir für die Spannung Uab zwischen den Leitern
ch
e
ün
Uab
ˆb
Q
1
= E(r) dr =
·
dr
4πε
r2
a
a
Q
Q b−a
1 1
=
=
·
−
·
4πε
a b
4πε
ab
n
ˆb
Q
a·b
= 4πε
Uab
b−a
(1.46)
-T
U
C=
M
Für die Kapazität ergibt sich:
ik
1.7.3. Kondensatoraggregate
N
X
Qi = U ·
ek
Qi = Ci · U ⇒ Qtotal =
tro
ph
ys
(i) Parallelschaltung:
Es werden N Kondensatoren mit Kapazitäten (Ci )i=1...N parallel zusammengeschaltet. Sie
werden bei Anlegen der Spannung U mit gegengleichen Ladungen ±Qi aufgeladen, wobei an
allen Kondensatoren dieselbe Spannung U anliegt. Es gilt:
Ci
i=1
ch
e
El
i=1
N
X
N
Q total = ∑ Q i
Te
ch
nis
i=1
für
Abb. 1.10: Parallelschaltung von Kondensatoren
N
Qtotal X
=
Ci
Cp =
U
(1.47)
i=1
hr
st
uh
l
Daraus ergibt sich als Ersatzkapazität Cp für die Parallelschaltung:
c
Le
(ii) Serienschaltung:
Es werden N Kondensatoren mit Kapazitäten (Ci )i=1...N in Reihe geschaltet. Sie werden bei
Anlegen der Spannung U mit gegengleichen Ladungen ±Qi aufgeladen, wobei aus Gründen
der Ladungserhaltung alle Qi denselben Wert Qi = Q haben müssen. Die Gesamtspannung U
teilt sich additiv auf die Teilspannungen Ui auf, die an den einzelnen Kondensatoren anliegen.
Es gilt also:
N
N
N
X
X
X
Q
Q
1
Ui =
⇒ U=
Ui =
=Q
Ci
Ci
Ci
i=1
29
i=1
i=1
1 ELEKTROSTATIK
ün
ch
e
n
1.7 Elektrische Felder zwischen leitenden Medien
M
Abb. 1.11: Serienschaltung von Kondensatoren
-T
U
Daraus ergibt sich der Kehrwert der Ersatzkapazität Cs für die Serienschaltung:
N
X 1
1
=
Cs
Ci
i=1
(1.48)
ek
tro
ph
ys
ik
(iii) Parallele dielektrische Medien:
Man betrachtet einen Plattenkondensator mit dem Plattenabstand d dessen Inneres mit zwei
parallel angeordneten Dielektrika mit den Permittivitäten ε1 und ε2 gefüllt ist. Die Plattenflächen, die zu den jeweiligen Dielektrika gehören, werden mit A1 und A2 und die am Kondensator anliegende Spannung mit U bezeichnet. Unter Vernachlässigung von Streufeldern
~
~
sind das E-Feld
und D-Feld
in den beiden Dielektrika jeweils konstant. Es gilt also:
⇒
~ 1| =
|E
U
~ 2|
= |E
d
El
~ 1 | · d = |E
~ 2| · d
U = |E
Mit Gl. (1.35) erhalten wir für die Flächenladungsdichte σi auf den beiden Plattenbereichen
und
~ 2 | = ε2 ·
σ2 = |D
Q1 = σ1 A1
und
Q2 = σ2 A2
ch
e
U
d
Te
ch
nis
~ 1 | = ε1 ·
σ1 = |D
U
d
und damit die beiden Teilladungen
Q = Q1 + Q2 = σ1 A1 + σ2 A2 =
U
(ε1 A1 + ε2 A2 )
d
c
Le
hr
st
uh
l
für
woraus sich die Gesamtladung ergibt zu:
Abb. 1.12: Parallele dielektrische Schichten
30
1 ELEKTROSTATIK
1.7 Elektrische Felder zwischen leitenden Medien
Daraus ergibt sich folgende Gleichung für die Kapazität der gesamten Anordnung:
Q
ε 1 A 1 ε2 A 2
=
+
U
d
d
n
(1.49)
ch
e
C=
ε1 A 1
d
und
C2 =
ε2 A 2
d
M
C1 =
ün
Man erkennt, dass sich diese Anordnung verhält wie die Parallelschaltung C = C1 +C2 zweier
Plattenkondensatoren mit den Kapazitäten
Q
~ 2|
= |σbottom | = |D
A
El
ek
tro
~ 1 | = |σtop | =
|D
ph
ys
ik
-T
U
(iv) Serielle dielektrische Medien:
Man betrachtet einen Plattenkondensator mit dem Plattenabstand d = d1 + d2 , wobei der
Zwischenraum mit zwei seriell geschichteten Dielektrika der Dicke d1 und d2 und den Permittivitäten ε1 und ε2 ausgefüllt ist. Die Plattenfläche ist A. Legt man an die Platten eine
Spannung U an, so bauen sich in den beiden dielektrischen Schichten die jeweils konstanten
~ 1 und E
~ 2 sowie D
~ 1 und D
~ 1 auf. Die Oberflächenladungsdichten an der oberen und
Felder E
unteren Platte sind konstant; mit Gl. (1.35) folgt:
Te
ch
nis
ch
e


D2 = ε 2 E2
Abb. 1.13: Serielle dielektrische Schichten
~
Durch Integration über das E-Feld
zwischen den beiden Platten ergibt sich andererseits
für
~ 1 |d1 + |E
~ 2 |d2 =
U = U1 + U2 = |E
~ 1|
~ 2|
|D
|D
d1 +
d2
ε1
ε2
hr
st
uh
l
Fassen wir beide Gleichungen zusammen, erhalten wir
Q d1 d2
+
U=
A ε1
ε2
das heißt:
Q
=
U
d1
ε1
A
+
d2
ε2
c
Le
C=
(1.50)
Man kann dieses Ergebnis als Reihenschaltung zweier Plattenkondensatoren mit den Kapazitäten
ε1 A
ε2 A
C1 =
und C2 =
d1
d2
interpretieren:
C=
1
1
+
C1 C2
31
−1
1.7 Elektrische Felder zwischen leitenden Medien
1 ELEKTROSTATIK
1.7.4. Elektrische Feldenergie
ˆL2
ˆL1
∆Wel = −∆Wmech = −
~ · d~r = ∆Q · U (Q)
E
~ · d~r = ∆Q ·
∆Q · E
L1
ch
e
El
ek
tro
ph
ys
ik
L2
-T
U
M
ün
ch
e
n
(i) Energieinhalt eines aufgeladenen Kondensators:
Wir betrachten einen aus zwei Leitern L1 und L2 aufgebauten Kondensator. L1 sei mit der
positiven Ladung Q geladen, L2 mit −Q, und zwischen beiden Leitern liege die elektrische
Spannung U (Q). Um den Kondensator weiter aufzuladen, muss Q um ∆Q > 0 erhöht werden.
Dies kann geschehen, indem die Ladungsmenge ∆Q entgegen der elektrostatischen Kraft
~ von L2 nach L1 transportiert wird; die hierbei aufzubringende mechanische Arbeit
∆Q · E
∆Wmech wird als Zuwachs an elektrischer Energie ∆Wel im Kondensator verzeichnet und
beträgt
Te
ch
nis
Abb. 1.14: Schematische Ansicht eines Zweiteiter-Kondensators
Der differentielle Energiezuwachs beim Laden des Kondensators von Q zu Q + dQ beträgt
also
dWel = U (Q) dQ
uh
l
für
Lädt man den Kondensator vom leeren Zustand Q = 0 bis zur Endladung Q auf, ergibt sich
ein Energieinhalt von
ˆQ
Wel = U (Q0 ) dQ0
(1.51)
0
ˆQ
Wel =
Q0
1 Q2
dQ0 = ·
C
2 C
0
Alternative Darstellungen sind:
c
Le
hr
st
Im Falle eines idealen Kondensators mit Kapazität C gilt U (Q) = Q/C, woraus folgt:
Wel =
1 Q2
1
1
·
= · U · Q = · C · U2
2 C
2
2
32
(1.52)
1.7 Elektrische Felder zwischen leitenden Medien
ün
ch
e
(ii) Energiedichte des elektrischen Feldes:
Eine physikalisch interessante Frage ist es nun, wo die elektrische Energie im Kondensator
gespeichert ist. Es ist naheliegend anzunehmen, dass die Energie als Polarisationsenergie im
Dielektrikum abgespeichert ist, also über dieses mit einer räumlich verteilten Energiedichte
wel (~r) verteilt ist. Betrachten wir einen Plattenkondensator mit Plattenfläche A und Plattenabstand d, so können wir die im Volumen V = A · d gespeicherte Energie ausdrücken in
der Form
n
1 ELEKTROSTATIK
1
1 ~
~ · A = 1 · |E|
~ · |D|
~ ·V
· U · Q = · |E|
· d · |D|
2
2
2
Q
A
G
E
d
ph
ys
ik
−Q
Hieraus ergibt sich als elektrische Energiedichte
Wel
1 ~
~ = ε · |E|
~ 2 = 1 · |D|
~ 2
= · |E|
· |D|
V
2
2
2ε
(1.53)
tro
wel =
-T
U
Wel =
M
S. 25_2
El
ek
Dies ist in der Tat auch das Ergebnis, das man aus allgemein gültigen feldtheoretischen
Überlegungen erhält, nämlich
1 ~ ~
wel = E
·D
(1.54)
2
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
ch
e
Interessant ist nun, dass auch im materiefreien Raum diese Beziehung gilt. Das elektrische
Feld selbst ist also der Träger der Feldenergie!
33
2 STATIONÄRE STRÖME
2. Stationäre Ströme
n
2.1. Elektrische Stromstärke und Stromdichte
M
ün
ch
e
Wir betrachten nun elektrisch leitende Medien, in denen sich sehr viele frei bewegliche Ladungsträger befinden, die sich unter dem Einfluss eines elektrischen Feldes und anderer treibender Kräfte
(wie z.B. Teilchendiffusion oder Thermodiffusion) ähnlich wie eine Flüssigkeit in einem kontinuierlichen Strömungsfeld bewegen. Zu einer kontinuumstheoretischen Beschreibung solcher Strömungen
benötigen wir einige grundlegende Definitionen:
dQ(A)
dt
(2.1)
ik
Strom(stärke) I(A) :=
-T
U
(i) Definition der elektrischen Stromstärke
Man setzt in die Ladungsströmung eine Kontrollfläche A ein und bestimmt, welche Ladungsmenge dQ(A) diese Fläche A pro Zeiteinheit durchströmt:
S. 26_1
ph
ys
C
= 1 A(mpère)
s
∆QA
ch
e
El
⊕
⊕
⊕
⊕
ek
tro
Phys. Einheit: dim(I) = 1
A
Te
ch
nis
(ii) Elektrische Stromdichte
Das Strömungsfeld elektrischer Ladungen wird durch ein Vektorfeld ~j(~r, t) beschrieben, das
folgende definierende Eigenschaften hat:
a) Die Richtung von ~j ist tangential an die Strömungsflusslinien (Ladungstrajektorien).
c
Le
hr
st
uh
l
für
b) Der Betrag von ~j ist durch folgenden Grenzprozess bestimmt: Dem Strömungsfeld wird
senkrecht zur Flussrichtung eine kleine Kontrollfläche 4A entgegengestellt. Die Stromdichte ergibt sich aus der durch 4A fließenden Stromstärke I(4A) pro Flächeninhalt |4A|
im Limes |4A| → 0
I(4A)
|~j| := lim
|4A|→0 |4A|
A
A
~
Phys. Einheit: dim(|j|) = 1 2
m
cm2
Mit Hilfe der Stromdichte ~j kann man den Strom I(S) berechnen, der durch eine beliebig
geformte Fläche S strömt. Ist d~a das vektorielle Flächenelement auf S, so ist
~ ) da dt = ~j · d~a dt
dQ = (~j · N
34
2 STATIONÄRE STRÖME
2.1 Elektrische Stromstärke und Stromdichte
G
G
da = N ⋅ d a
G
ün
ch
e
n
j
dQ ~
= j · d~a
dt
woraus sich für den durch die Fläche S fließenden Strom ergibt:
ph
ys
ˆ
~j · d~a
I(S) =
ik
dI(d~a) =
-T
U
M
die differentielle Ladungsmenge, die in der Zeit dt die Fläche da durchströmt. Das Ska~ berücksichtigt, dass die Stromdichte für senkrecht zur Strömung orientierte
larprodukt ~j · N
Kontrollflächen definiert wurde, während nun d~a auch “schräg” zur Strömung orientiert sein
darf. Die durch das Flächenelement d~a strömende differentielle Stromstärke ist dann
tro
S
(2.2)
ch
e
El
ek
(iii) Zusammenhang mit der Raumladungsdichte
Wir hatten in Abs. 1.6 den Begriff der Raumladungsdichte ρ eingeführt, um kontinuierliche
Verteilungen von Ladungsträgern zu beschreiben. Wenn diese nun frei beweglich sind, muss
es zwischen ~j und ρ einen Zusammenhang geben.
Sei n(~r) die Teilchendichte der beweglichen Ladungsträger (= Anzahl der Ladungsträger pro
Volumen) und q deren spezifische Ladung (= Ladung pro Träger). Dann gilt

N
hr
st
da
Le
c
(2.3)
 
d r = vdt
uh
l
für
Te
ch
nis
ρ(~r) = q · n(~r)

v
dQ
Sei weiterhin ~v (~r) die mittlere Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger im Strömungsfeld. Wir
betrachten nun eine kleine Kontrollfläche d~a und markieren zum Zeitpunkt t = t0 alle Träger,
die sich gerade auf der Kontrollfläche befinden. In der Zeit dt legen diese nun ein Wegstück
d~r = ~v dt zurück und befinden sich nun auf einer “parallel” verschobenen Fläche im Abstand
d~r von d~a. Die Ladungsträger, welche sich im Quader zwischen d~a und der um d~r verschobenen Fläche befinden, sind genau diejenigen, welche im Zeitraum zwischen t0 und t0 + dt
35
2.2 Ladungsträgertransport im elektrischen Feld
2 STATIONÄRE STRÖME
die Fläche passiert haben. Wir können also die im Quader befindliche Ladung
n
dQ = ρ · dV = qn dV = qn · d~a · d~r = qn~v · d~a dt
ch
e
mit der gleichsetzen, die d~a durchströmt hat:
ün
dQ = ~j · d~a dt
M
Durch Vergleich der beiden Ausdrücke ergibt sich
(2.4)
-T
U
~j = q · n · ~v = ρ · ~v
K
X
qα · nα · ~vα
α=1
(2.5)
ph
ys
~j =
ik
Im Falle, dass die elektrische Stromdichte aus K verschiedenen Sorten von Ladungsträgern
zusammengesetzt ist, gilt die allgemeine Beziehung
El
ek
tro
wobei qα , nα und ~vα die spezifische Ladung, Trägerkonzentration und Driftgeschwindigkeit
der Trägerspezies α bezeichnen.
ch
e
2.2. Ladungsträgertransport im elektrischen Feld
Te
ch
nis
2.2.1. Transport ohne Stoßprozesse im freien Raum
für
Unter dem Einfluss eines elektrischen Feldes werden bewegliche Ladungsträger beschleunigt. Wenn
sie nicht durch Stöße mit anderen Ladungsträgern oder sonstigen Stoßpartnern abgelenkt und
abgebremst werden, kann man ihre Bewegung leicht bestimmen: Ein Ladungsträger mit Masse m
und Ladung q genügt der Newtonschen Bewegungsgleichung
d~v
~ r)
= F~el = q · E(~
dt
Bildet man das Skalarprodukt dieser Gleichung mit ~v (t) und integriert über das Zeitintervall [t1 , t2 ],
erhält man
c
Le
hr
st
uh
l
m·
ˆt2
d~v
m~v ·
dt =
dt
t1
ˆt2
ˆt2
~ · ~v dt =
q·E
t1
~ · d~r dt
q·E
dt
t1
Linke und rechte Seite lassen sich vereinfachen zu
ˆt2
1
d 2
m
~v dt = q
2 dt
t1
ˆP2
~ d~r
E
P1
36
2 STATIONÄRE STRÖME
2.2 Ladungsträgertransport im elektrischen Feld
ün
ch
e
n
wobei P1 und P2 die Position der Ladung zu den Zeitpunkten t1 und t2 bezeichnen.
M
Nach Auswertung der beiden Integrale gelangt man zu
-T
U
1
m (v22 − v12 ) = q · U12
2
(2.6)
tro
ph
ys
ik
wobei vi = |~v (ti )| die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt ti bezeichnet und U12 die elektrische Spannung ist, die der Ladungsträger auf dem Weg von P1 bis P2 durchlaufen hat. Gl. (2.6) drückt den
Energiesatz aus, demzufolge der Gewinn an kinetischer Energie von einem entsprechenden Verlust
an elektrostatischer Energie längs des Spannungsgefälles U12 getragen werden muss. Ist die Anfangsgeschwindigkeit v1 = 0 und v(U ) die Geschwindgkeit, die die Ladung beim Durchlaufen des
Spannungsgefälles aufgenommen hat, so folgt:
r
2q √
· U , falls v(t1 ) = 0
v(U ) =
m
El
ek
Man beachte, dass hier die Trägergeschwindigkeit und damit der Strom nichtlinear von der Spannung U abhängen.
ch
e
2.2.2. Transport mit Stoßprozessen (Driftmodell)
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
(i) Beweglichkeit von Ladungsträgern
In einem leitenden Medium (typischerweise einem Metall oder Halbleiter) ist die Dichte der
beweglichen Ladungsträger sehr hoch. Die sich unter dem Einfluss eines elektrischen Feldes
bewegenden Ladungsträger erfahren sehr viele Stöße einerseits untereinander und andererseits mit Streuzentren im Wirtsmaterial.
Abb. 2.1: Zeitlicher Verlauf der Teilchengeschwindigkeit bei einer statistischen
Folge von Stoßprozessen
Die Bewegung der Teilchen muss statistisch betrachtet werden als Mittelwert über viele
aufeinanderfolgende Stoßprozesse, bei denen die Ladungsträger immer wieder abgelenkt und
~ mit
abgebremst werden. Man bekommt im Ergebnis eine mittlere Driftgeschwindigkeit ~v (E),
37
2.2 Ladungsträgertransport im elektrischen Feld
2 STATIONÄRE STRÖME
ün
ch
e
n
der sich im zeitlichen Mittel die Ladungsträger kollektiv bewegen. Ein einfacher Ansatz für
die Driftbewegung geht von einer effektiven Masse m∗ der Ladungsträger und einer mittleren Stoßzeit τ zwischen aufeinanderfolgenden Stößen als Parametern aus. Die gemittelte
Bewegungsgleichung eines Ladungsträgers lautet dann:
v
~v
∗ ∆~
~
= m∗
qE = m
∆t
τ
q·τ ~
~
· E = sgn(q) · µ · E
m∗
mit der Beweglichkeit
-T
U
~v =
M
~
woraus sich eine mittlere Driftgeschwindigkeit proportional zum treibenden E-Feld
ergibt:
|q|τ
>0
m∗
als für die Driftbewegung zentrale Transportgröße.
Eingesetzt in Gl. (2.4) folgt hieraus für die elektrische Stromdichte
(2.8)
ph
ys
ik
µ :=
(2.7)
~
~j = q · n · ~v = q · n · sgn(q) · µ · E,
tro
also
(2.9)
ek
~
~j = |q| · n · µ · E.
ch
e
El
Wird der Stromfluss von K verschiedenen Trägersorten verursacht, gilt die allgemeinere
Beziehung
K
X
~
~j =
|qα | · nα · µα · E
(2.10)
α=1
Te
ch
nis
wobei µα die Beweglichkeit der Trägersorte α bezeichnet.
(ii) Lokales Ohmsches Gesetz
Unabhängig davon, wieviele Trägersorten beim Stromfluss beteiligt sind, erhalten wir als
~ abhängt:
Ergebnis, dass die Stromdichte ~j linear vom elektrischen Feld E
~
~j = σ · E
für
(2.11)
hr
st
uh
l
wobei der positive Transportkoeffizient
σ=
K
X
|qα |nα µα
α=1
Phys. Einheit: dim(σ) = 1
c
Le
als spezifische elektrische Leitfähigkeit bezeichnet wird.
38
A
1
=
Vm
Ωm
(2.12)
2 STATIONÄRE STRÖME
2.2 Ladungsträgertransport im elektrischen Feld
Spannung U12
-T
U
M
ün
Φ2
Klemmen potential
G
G
j =σE
Strom Ι
ch
e
n
(iii) Ohmsches Gesetz in integraler Form
Wir betrachten einen drahtförmigen Leiter mit der Länge l und Querschnitt A aus einem
Material mit homogener elektrischer Leitfähigkeit σ.
Φ1 Klemmenpotential
A
ek
tro
ph
ys
ik
Die Kontaktflächen an beiden Drahtenden werden auf unterschiedliche Klemmenpotentiale
Φ1 und Φ2 gelegt, sodass entlang des Drahtes die Spannung U = Φ1 − Φ2 > 0 abfällt und in
S. 29
diesem ein gleichförmig in Richtung des Drahtes weisendes elektrisches Feld mit konstantem
Betrag
~ =U
|E|
l
entsteht. Dieses verursacht einen Driftstrom I mit der Stärke
ˆ
ˆ
~ · d~a = σ |E|
~ A=σAU
~
I = j · d~a = σ E
(2.13)
l
A
El
Definieren wir nun:
A
l
1
1 l
elektrischer Widerstand R =
= ·
G
σ A
so erhalten wir aus Gl. (2.13) das Ohmsche Gesetz in integraler Form
Te
ch
nis
ch
e
elektrischer Leitwert G = σ ·
(2.16)
U =R·I
(2.17)
Mit der Definition
spezifischer elektrischer Widerstrand ρ :=
uh
l
(2.15)
I =G·U
für
bzw.
(2.14)
1
σ
(2.18)
lässt sich der elektrische Widerstand auch als
hr
st
R=ρ·
l
A
(2.19)
c
Le
darstellen.
Für die physikalischen Einheiten gilt:
dim(R) = 1
V
= 1Ω(Ohm);
A
dim(ρ) = 1Ωm, oft auch 1Ω
39
mm2
m
2.3 Ladungserhaltung und Kirchhoffsche Knotenregel
2 STATIONÄRE STRÖME
I
ik
U = R · I, Φ1 > Φ2
-T
U
M
ün
ch
e
n
(iv) Das Ohmsche Gesetz (2.17) ist für beliebig geformte leitfähige Körper anwendbar, wenn diese
zwei Kontakte haben, über die man eine elektrische Spannung U anlegen kann, und wenn im
~ gilt. Allerdings erfordert die konInneren des Körpers das lokale Ohmsche Gesetz ~j = σ E
krete Berechnung des Widerstandes R einigen mathematischen Aufwand. Unabhängig von
seiner geometrischen Form wird ein Ohmscher Widerstand mit folgendem Schaltungssymbol
bezeichnet:
tro
2.3.1. Ladungserhaltung in integraler Darstellung
ph
ys
2.3. Ladungserhaltung und Kirchhoffsche Knotenregel
ch
e
El
ek
Elektrische Ladung kann weder erzeugt noch vernichtet werden. Die in einem Kontrollvolumen
eingeschlossene Ladung kann sich daher zeitlich nur ändern, indem Ladungsträger in V hineinoder herausfließen. Der Nettoausfluss aus V ist durch das Flussintegral der Stromdichte ~j durch
die Hüllfläche ∂V gegeben, also gilt die Ladungsbilanzgleichung
ˆ
d
Q(V ) = − ~j · d~a
(2.20)
dt
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
∂V
Im Falle einer stationären Strömung darf sich die Ladung Q(V ) im Laufe der Zeit nicht ändern;
dann gilt für jede Hüllfläche ∂V
ˆ
~j · d~a = 0.
(2.21)
∂V
40
2 STATIONÄRE STRÖME
2.3 Ladungserhaltung und Kirchhoffsche Knotenregel
ch
e
Wir betrachten ein Leiterstück mit N Kontaktflächen A1 , A2 , ...,AN , durch die die Klemmenströme
ˆ
Ik = ~j · d~a
ün
Ak
k=1 A
∂V
~j · d~a =
Ik
k=1
k
A1
I1
N
X
ik
0=
N ˆ
X
ph
ys
~j · d~a =
-T
U
M
fließen. Die Flächennormalen auf Ak seien nach außen orientiert, so dass Ik > 0 einen auslaufenden
Klemmenstrom kennzeichnet. Wir umschließen nun das Leiterstück mit einer Hüllfläche, die an den
Kontakten mit den Kontaktflächen Ak zusammenfällt. Das Hüllflächenintegral in Gl. (2.21) liefert
dann nur einen Beitrag, wenn man über die Kontaktflächen integriert, und man erhält:
ˆ
A2
tro
I2
ek
A3
I3
El
AN −1
ch
e
I N-1
Te
ch
nis
Dies ist die “Kirchhoffsche Knotenregel”, die besagt, dass in einem elektrischen Netzwerk die
Summe aller aus einem Knoten auslaufenden Zweigströme Ik Null ergeben muss:
N
X
Ik = 0
(2.22)
k=1
für
2.3.3. Ladungserhaltung in differentieller Form:
uh
l
Die in einem Kontrollvolumen V eingeschlossene Ladung lässt sich durch die Raumladungsdichte
ρ ausdrücken als
ˆ
Q(V ) = ρ(~r, t) d3 r
V
Le
hr
st
Wir nehmen an, dass das Gebiet V sich nicht mit der Zeit ändert. Dann gilt:
d
d
Q(V ) =
dt
dt
ˆ
ˆ
3
ρ(~r, t) d r =
V
∂ρ
(~r, t) d3 r
∂t
(2.23)
V
c
Das Flussintegral über die Stromdichte ~j lässt sich mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes (A.7.3)
in ein Volumenintegral umformen:
ˆ
ˆ
~j · d~a =
∂V
n
2.3.2. Kirchhoffsche Knotenregel
div ~j d3 r
V
41
(2.24)
2.4 Elektrische Leistung und Energieübertragung
2 STATIONÄRE STRÖME
Setzt man beide Gleichungen in die Ladungsbilanz (2.20) ein, erhält man:
ˆ
div ~j d3 r +
V
ch
e
V
∂ρ 3
dr=0
∂t
n
ˆ
ün
ˆ ∂ρ 3
div ~j +
dr=0
∂t
bzw.
V
div ~j +
-T
U
M
Da diese Gleichung für beliebig geformte Kontrollvolumina gilt, muss der Integrand verschwinden,
und wir erhalten die Ladungsbilanz in differentieller Form
∂ρ
=0
∂t
(2.25)
ph
ys
ik
Diese Beziehung wird auch als Ladungskontinuitätsgleichung oder Ladungserhaltungsgleichung bezeichnet.
tro
2.4. Elektrische Leistung und Energieübertragung
ek
2.4.1. Elektrische Leistung einer Punktladung
El
~ so leistet sie die differentielle elektrische
Bewegt sich eine Punktladung q im elektrischen Feld E,
Arbeit
für
Te
ch
nis
ch
e
~ · d~r
dWel = F~ · d~r = q · E
Pel =
dWel
~ · d~r = q · E
~ · ~v
=q·E
dt
dt
(2.26)
hr
st
uh
l
Bewegt sich der Ladungsträger mit der Geschwindigkeit ~v , so erbringt er die elektrische Leistung
Le
2.4.2. Elektrische Leistung eines Strömungsfeldes
c
Sind K verschiedene Sorten von Ladungsträgern mit spezifischer Ladung qα , Trägerkonzentration
nα und Driftgeschwindigkeit ~vα am Stromfluss beteiligt, so gilt nach Gl. (2.5) für die Stromdichte
~j =
K
X
qα · nα · ~vα
α=1
42
2 STATIONÄRE STRÖME
2.4 Elektrische Leistung und Energieübertragung
(α)
nα Pel
α=1
=
K
X
~ =
(nα qα~vα ) · E
!
nα qα~vα
~ = ~j · E
~
·E
α=1
-T
U
α=1
K
X
M
pel =
K
X
ün
ch
e
Es ist zweckmäßig, die im Strömungsfeld pro Volumenelement erbrachte Leistung, also die Leistungsdichte zu betrachten. Diese ergibt sich als Summe der von den beteiligten Trägersorten
erbrachten Leistungsdichten:
n
Die von den Ladungsträgern der Sorte α pro Teilchen erbrachte elektrische Leistung ist nach
Gl. (2.26)
(α)
~
Pel = qα · ~vα · E
ik
Damit erhalten wir das interessante Ergebnis, dass unabhängig von der Zusammensetzung des
Strömungsfeldes aus verschiedenen Trägersorten die elektrische Leistungsdichte mit der einfachen
Beziehung
~
pel = ~j · E
(2.27)
ph
ys
zu berechnen ist.
Bei der Ohmschen Driftbewegung gilt
>0
ek
~
~j = σ ·E
|{z}
tro
2.4.3. Elektrische Verlustleistung bei Ohmschen Widerständen
El
mit der stets positiven elektrischen Leitfähigkeit σ.
Daher ist die vom elektrischen System erbrachte Leistungsdichte
ch
e
~ = σ|E|
~ 2 = 1 |~j|2 > 0
pel = ~j · E
σ
(2.28)
Te
ch
nis
immer positiv, d.h. das elektrische System gibt stets Energie ab. Man spricht daher von Verlustleistung. Die abgegebene Energie wird in einem Ohmschen Widerstand in Wärme verwandelt.
Um die bei einem Ohmschen Widerstand insgesamt umgesetzte Verlustleistung zu bestimmen, betrachten wir einen drahtförmigen Leiter der Länge l mit Querschnitt A.
für
 
jE
V
Le
hr
st
uh
l
~ und |~j| konstant, weshalb auch die Verlustleistungsdichte konstant
Im Inneren des Drahtes sind |E|
ist. Die totale Verlustleistung im Draht Pel ergibt sich durch Integration der Leistungsdichte pel :
ˆ
~ ·l
Pel = pel (~r) d3 r = pel · l · A = |~j| · A · |E|
c
~ · l für Strom und Spannung gilt, folgt (mit U = R · I):
Da I = |~j| · A und U = |E|
Pel = U · I =
U2
= R · I2
R
wobei R den Widerstandswert bezeichnet.
Die Einheit der elektrischen Leistung ist: dim(Pel ) = 1VA = 1 W(att).
43
(2.29)
2.4 Elektrische Leistung und Energieübertragung
2 STATIONÄRE STRÖME
2.4.4. Die elektrische Übertragungsstrecke
-T
U
M
ün
ch
e
n
Um elektrische Leistung von einer Energiequelle (z.B. Kraftwerk) zum Energieverbraucher transportieren zu können, benötigt man eine aus Hin- und Rückleitung bestehende Übertragungsstrecke.
Die bei der Energiequelle abgegebene Leistung ist
ph
ys
ik
Die Leitungen besitzen einen verteilten Ohmschen Widerstand, den wir uns aber in einem kompakten Ersatzwiderstand RL konzentriert denken können. An der Energiequelle wird die Erzeugerspannung UE abgegeben, beim Verbraucher kommt aber wegen des Spannungsabfalls längs der
Übertragungsleitung eine kleinere Spannung UV an. Fließt im Hin- und Rückleiter der Strom I,
so gilt:
UV = UE − RL · I
(2.30)
tro
PE = UE · I
(2.31)
ek
Die vom Verbraucher aufgenommene Leistung beträgt
El
PV = UV · I
(2.32)
η :=
Te
ch
nis
ch
e
Zur Beurteilung der Qualität der Übertragungsstrecke dient der Übertragungswirkungsgrad η:
PV
PE
(2.33)
Durch Einsetzen von Gl. (2.30) - Gl. (2.32) ergibt sich
PV
UV
UE − RL · I
RL · I · UE
=
=
=1−
PE
UE
UE
UE2
η =1−
RL · PE
UE2
uh
l
also:
für
η=
(2.34)
c
Le
hr
st
Offenkundig liegt η immer unter 100%. Um für eine gegebene Erzeugerleistung PE den Wirkungsgrad zu optimieren, muss man mit einer möglichst hohen Übertragungsspannung UE arbeiten,
denn η → 1 für UE → ∞. Deshalb werden bei Überlandleitungen Netzspannungen von einigen
100 kV verwendet.
44
A. Mathematische Grundlagen
ch
e
n
A.1. Euklidischer, affiner Raum E3
ün
A.1.1. Struktur
-T
U
M
In der analytischen Geometrie wird der dreidimensionale, kontinuierliche Ortsraum als reeller,
affiner Raum E3 aufgefasst, der aus der Menge aller Positionen (Orte, Punkte) besteht. E3 dient
also als Modell für einen flachen, dreidimensionalen Kosmos und jeder Ort P entspricht genau
einem Element von E3 .
E3 hat folgende Struktur:
ph
ys
ik
(i) Zu E3 gibt es einen reellen, 3-dimensionalen Vektorraum, dessen Elemente “gerichtete Strecken” zwischen je zwei Punkten aus E3 sind.
−−→
Präziser: Jedem Paar (P, Q) mit P, Q ∈ E3 ist eindeutig ein mit P Q bezeichneter Vektor so
zugeordnet, dass folgende Axiome erfüllt sind:
∃1
P ∈E3
~ ∈V3
V
Q∈E3
−→
~ =−
V
PQ
ch
e
Te
ch
nis
P,Q,S∈E3
∀
−−→ ~
PP =0
∀
;
P ∈E3
−−→
−−→
QP = −P Q
P,Q∈E3
hr
st
uh
l
für
(ii) Daraus folgt unmittelbar:
c
Le
(iii) Der Vektorraum V3 ist “euklidisch”, d.h. er hat ein Skalarprodukt
h.|.i : V3 × V3 → R (=positiv-definite symmetrische Bilinearform),
und damit eine Norm (“Betrag”)
k.k =
p
h.|.i,
mit deren Hilfe man Längen und Winkel in E3 messen kann.
+
+
−−→ −→ −→
P Q + QS = P S
∀
+
+
~ )
(Schreibweise: Q = P + V
(A2)
+
ek
∀
El
∀
tro
(A1)
A.1 Euklidischer, affiner Raum E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
ch
e
n
• Längenmessung:
Länge = Abstand zweier Punkte = Betrag des Ver−−→
bindungsvektors P Q:
q
−−→
−−→ −−→
−−→
|P Q| := hP Q|P Qi = kP Qk
| {z }
Norm
-T
U
+
−−→ −→
−−→ −→
hP Q|P Ri
cos(α) = cos(]P Q, P R) = −−→
−→
kP Qk · kP Rk
+
M
−−→
−→
• Winkelmessung: Winkel zwischen P Q und P R gemäß
ebener Trigonometrie
ün
+
ph
ys
ik
~ |W
~ i =: V
~ ·W
~
Übliche Schreibweise für Skalarprodukte: hV
ek
tro
~,V
~ ,W
~ ) kann man mittels der Orientierungsfunktion
(iv) V3 ist “orientiert”, d.h. jedem 3-Bein (U
~
~
~
~
~
~
or(U , V , W ) := sgn(det(U , V , W )) einen Schraubsinn zuordnen. Da die Determinante dreier
~,V
~ ,W
~ ) = (U
~ ×V
~ )· W
~ als Spatprodukt ausgerechnet werden kann, gilt:
Vektoren gemäß det(U
und man entscheidet dann:
El
~,V
~ ,W
~ ) = sgn((U
~ ×V
~)·W
~ ))
or(U
Te
ch
nis
ch
e
~ ×V
~)·W
~ > 0 ⇒ rechts - orientiertes 3-Bein
• wenn (U
~ ×V
~)·W
~ < 0 ⇒ links - orientiertes 3-Bein
• wenn (U
A.1.2. Ursprung
für
In E3 kann man einen Punkt O ∈ E3 fest als “Koordinaten-Ursprung” wählen. Jedem Punkt
P ∈ E3 wird dann “eineindeutig” (=bijektiv) ein Ortsvektor
−→
~r(P ) := OP
+
O+
~r(P ) 7→ P = O + ~r(P )
hr
st
uh
l
mit der entsprechenden Umkehrabbildung
c
Le
zugeordnet.
72
A.1 Euklidischer, affiner Raum E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
ch
e
Wählt man in V3 eine Basis (b~1 , b~2 , b~3 ), so lässt sich jeder Punkt P ∈ E3 durch seine “Koordinaten”
(x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 eineindeutig darstellen, gemäß
ün
~r(P ) = x1 b~1 + x2 b~2 + x3 b~3
bzw.
M
P = O + x1 b~1 + x2 b~2 + x3 b~3
-T
U
Dabei heißt (O, b~1 , b~2 , b~3 ) “Koordinatensystem”.
ph
ys
ik
Ist (b~1 , b~2 , b~3 ) eine Orthonormalbasis, d.h. es gelte
(
1 für i = j
b~i · b~j = δij =
0 für i 6= j
so heißt es “kartesisches Koordinatensystem”.
tro
Übliche Schreibweisen hierfür sind:
ek
(O, e~1 , e~2 , e~3 ), bzw. (O, e~x , e~y , e~z )
El
Jeder Ortsvektor ist dann darstellbar als
ch
e
~r(P ) = x1 e~1 + x2 e~2 + x3 e~3 , bzw. ~r(P ) = xe~x + y e~y + z e~z
Te
ch
nis
Oft werden P ∈ E3 , ~r(P ) ∈ V3 und die kartesischen Koordinaten (x1 , x2 , x3 )T ∈ R3 bzw.
(x, y, z)T ∈ R3 synonym verwendet (oder schlampigerweise sogar miteinander identifiziert).
Kartesische Koordinatensysteme mit orthonormierten Basisvektoren (e~1 , e~2 , e~3 ) haben den großen
Vorteil, dass man das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren sehr leicht aus seinen Komponenten
berechnen kann:
für
~ =
Ist U
uh
l
~ ·V
~ =
so folgt U
~ =
Ui~ei und V
i=1
3 X
3
X
3
X
3
X
Vj ~ej ,
j=1
Ui Vj ~ei · ~ej =
i=1 j=1
~ ·V
~ =
also U
hr
st
3
X
3 X
3
X
Ui Vj δij =
i=1 j=1
3
X
Ui Vi ,
i=1
Ui V i
i=1
c
Le
Desweiteren lassen sich die kartesischen Komponenten eines Vektors sehr leicht berechnen:
~ =
Ist V
3
X
~
Vj ~ej , so gilt: Vj = ~ej · V
j=1
73
n
A.1.3. Basis, Koordinatensystem
A.1 Euklidischer, affiner Raum E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.1.4. Skalarfeld
ch
e
n
Ein Skalarfeld auf E3 ist eine Abbildung Φ : E3 → R ; P 7→ Φ(P ). Dieser Abbildung kann bei fest
gewähltem Koordinaten-System (O, b~1 , b~2 , b~3 ) die “Koordinatendarstellung”
ün
Φ̃(x1 , x2 , x3 ) := Φ(O + x1 b~1 + x2 b~2 + x3 b~3 )
M
bijektiv zugeordnet werden. Meist wird schlampigerweise zwischen Φ und Φ̃ nicht unterschieden!
Ein Vektorfeld auf E3 ist eine vektorwertige Abbildung
ik
~ : E3 → V3 ; P 7→ V
~ (P )
V
-T
U
A.1.5. Vektorfeld
ph
ys
~ (P )
Bei fest gewähltem Koordinatensystem (O, b~1 , b~2 , b~3 ) kann man sowohl den Ort ~r(P ) als auch V
~
~
~
nach der Basis (b1 , b2 , b3 ) entwickeln:
tro
~˜ (x1 , x2 , x3 ),
~ (P ) = V
~ (O + x1~b1 + x2~b2 + x3~b3 ) =: V
V
ek
~˜ (x1 , x2 , x3 ) = V1 (x1 , x2 , x3 ) · ~b1 + V2 (x1 , x2 , x3 ) · ~b2 + V3 (x1 , x2 , x3 ) · ~b3
V
El
Die Zuordnung
~ in b-Koordinaten”)
(“ V
ch
e
~ (P ) V (x), mit V : R3 → R3
V
Te
ch
nis
(x1 , x2 , x3 )T = x 7→ (V1 (x), V2 (x), V3 (x))T = V (x) ∈ R3
c
Le
hr
st
uh
l
für
~ (P ), V
~˜ (x) und V (x)
ist eineindeutig. Auch hier wird meist schlampigerweise nicht zwischen V
unterschieden.
74
A.1 Euklidischer, affiner Raum E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.1.6. Ortsabhängige Basisvektoren


wobei der Ortsvektor in Zylinderkoordinaten wie folgt dargestellt wird:
ph
ys
ik
~r(P ) = r · cos(ϕ) · ~ex + r · sin(ϕ) · ~ey + z · ~ez = r · ~er (ϕ) + z · ~ez
ek
tro
z
Te
ch
nis
ch
e
El
P
y
für
x
uh
l
Abb. A.1: Definition der Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z)
Φ̃(r, ϕ, z) = Φ(O + r · ~er (ϕ) + z · ~ez )
Vektorfeld in Zylinderkoordinaten:
~˜ (r, ϕ, z) = Vr (r, ϕ, z)~er (ϕ) + Vϕ (r, ϕ, z)~eϕ (ϕ) + Vz (r, ϕ, z)~ez ,
V
c
Le
hr
st
Skalarfeld in Zylinderkoordinaten:
sowie
T
V (r, ϕ, z) = Vr (r, ϕ, z), Vϕ (r, ϕ, z), Vz (r, ϕ, z)
75
ch
e
ün
→ ist rechtsorientierte Ortonormalbasis!
-T
U



M
Beispiel: “Zylinderkoordinaten”:
~er (r, ϕ, z) = cos(ϕ) · ~ex + sin(ϕ) · ~ey
~eϕ (r, ϕ, z) = − sin(ϕ) · ~ex + cos(ϕ) · ~ey
~ez (r, ϕ, z) = ~ez
n
Oft führt man auch ortsabhängige Basisvektoren von V3 ein (“begleitendes Dreibein”), d.h.
~ (P ) an jedem Punkt P nach dem
(~b1 (P ), ~b2 (P ), ~b3 (P )), und entwickelt ~r(P ) und V
Koordinatensystem (O, ~b1 (P ), ~b2 (P ), ~b3 (P )). ( “krummlinige Koordinaten”, vgl. Abs. A.4)
A.1 Euklidischer, affiner Raum E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.1.7. Konvergenz, Stetigkeit, Differenzierbarkeit
q
~ |V
~i
hV
n
~k=
kV
ch
e
Über die Norm in V3
lässt sich der Abstand zweier Vektoren als die Größe
ün
~ −V
~k
kU
-T
U
M
definieren. Damit lassen sich die Konzepte der Differentialrechnung einführen (Konvergenz, Stetigkeit, Differenzierbarkeit etc.).
ph
ys
ik
~ (t) einer reellen Variablen t.
Beispiel 1: Grenzwert einer vektorwertigen Funktion V
~ (t)
Sei (t1 , t2 ) ⊂ R ein Intervall und t0 ∈ (t1 , t2 ). Dann konvergiert definitionsgemäß V
~0 ∈ V3 genau dann, wenn die reelle Funktion t 7→ ||V
~ (t) − V
~0 ||
bei t0 zum Grenzwert V
für t → t0 gegen 0 konvergiert.
Formale Schreibweise:
~ (t) = V
~0 :⇔ lim kV
~ (t) − V
~0 k = 0
lim V
t→t0
tro
t→t0
ch
e
El
ek
Beispiel 2: Ableitung einer vektorwertigen Funktion ~a(t) einer reellen Variablen t.
Sei (t1 , t2 ) ⊂ R ein Intervall und t0 ∈ (t1 , t2 ). Dann definiert man die 1. Ableitung von
~a(t) bei t0 über den Grenzwert
d~a
1
(t0 ) := lim
~a(t0 + ∆t) − ~a(t0 ) ,
∆t→0 ∆t
dt
Te
ch
nis
Dies ist zur Aussage äquivalent, dass es ein einen Vektor
d~a
d t (t0 )
∈ V3 gibt mit
~a(t0 + ∆t) − ~a(t0 ) d~a
−
(t0 )
lim =0
∆t→0
∆t
dt
c
Le
hr
st
uh
l
für
Beispiel 3: Die 1. Ableitung gestattet folgende Interpretation:
Wir betrachten eine Kurve C(P1 , P2 ) von P1 ∈ E3 nach P2 ∈ E3 , indem wir ~r(t) als
Ortsvektor eines Punktes P (t) = O +~r(t) auffassen, der sich im Zeitintervall [t1 , t2 ] vom
Anfangspunkt P1 = O + ~r(t1 ) zum Endpunkt P2 = O + ~r(t2 ) bewegt.
+
+
+
O
Abb. A.2: Punkt P wandert entlang der Kurve C(P1 , P2 ) mit der Zeit t als Kurvenparameter
76
A.1 Euklidischer, affiner Raum E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
~r(t) ist also eine Parameterdartellung von C(P1 , P2 )
n
[t1 , t2 ] 3 t 7→ O + ~r(t) ∈ C(P1 , P2 )
ch
e
mit der Zeit t als Kurvenparameter. Mit
ün
1
d~r
(t) = lim
~r(t + ∆t) − ~r(t)
~v (t) :=
∆t→0 ∆t
dt
ph
ys
[λ1 , λ2 ] 3 λ 7→ ~r(λ) ∈ V3
ik
-T
U
M
erhält man die vektorielle Geschwindigkeit zur Zeit t, mit der sich der Punkt P (t)
bewegt. ~v (t) ist ein Tangentialvektor an die Kurve C(P1 , P2 ) im Punkt P (t).
Die Darstellung der Kurve C(P1 , P2 ) kann man auch mit Hilfe einer Parameterdarstellung ~r(λ) erfolgen, wobei λ nicht die Zeit, sondern eine andere Größe ist (Bogenlänge,
Winkel o.ä.). Es muss nur gelten:
sodass
tro
P (λ) = O + ~r(λ) ∈ C(P1 , P2 )
ek
P1 = O + ~r(λ1 ); P2 = O + ~r(λ2 )
ch
e
El
Dann ist ein Tangentenvektor am Punkt P (λ) = O + ~r(λ) gegeben durch
d~r
1
(λ) = lim
~r(λ + ∆λ) − ~r(λ)
∆λ→0 ∆λ
dλ
Te
ch
nis
Drückt man den Ortsvektor ~r(λ) durch seine Koordinaten (x1 (λ), x2 (λ), x3 (λ)) bezüglich einer nicht-ortsabhängigen Basis (~b1 , ~b2 , ~b3 ) aus:
~r(λ) =
3
X
xi (λ)~bi
i=1
für
so kann man die 1. Ableitung von ~r(λ) folgendermaßen konkret ausrechnen:
3
d~r
1 X
(λ) = lim
·
∆λ→0 ∆λ
dλ
hr
st
uh
l
i=1
X
3 xi (λ + ∆λ) − xi (λ) ~
~
lim
xi (λ+∆λ)−xi (λ) ·bi =
·bi
∆λ→0
∆λ
i=1
=
3
X
dxi
dλ
i=1
(λ)~bi
3
X dxi
d~r
=
(λ)~bi
dλ
dλ
i=1
c
Le
das heißt:
77
A.2 Wegintegrale im affinen Euklidischen Raum En A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.2. Wegintegrale im affinen Euklidischen Raum En
ch
e
n
Im Folgenden betrachten wir Sachverhalte, die für beliebige Raumdimensionen n ∈ N formuliert
werden können. Für die Vorlesung “Elektrizität und Magnetismus” sind allerdings nur die Fälle
n = 2 und n = 3 relevant.
M
ün
Desweiteren wollen wir nicht mehr streng zwischen den Punkten P ∈ En und ihren Ortsvektoren
−→
~r(P ) = OP ∈ Vn unterscheiden, sondern wir denken uns einen passend gewählten Koordinatenursprung fest eingeführt, auf den wir alle Ortsvektoren beziehen.
-T
U
A.2.1. Definition des Wegintegrals
ph
ys
ik
Gegeben ist ein Weg C(P1 , P2 ) von P1 ∈ En nach P2 ∈ En mit einer “glatten” (d.h. differenzierbaren) Parameterdarstellung
R ⊃ (λ0 , λ1 ) 3 λ 7→ ~r(λ) ∈ Vn
−−→
−−→
~r(λ1 ) = OP1 , ~r(λ2 ) = OP2
sowie einem Vektorfeld F~ (~r):
Vn ⊃ Ω 3 ~r 7→ F~ (~r) ∈ Vn
ek
tro
wobei die Kurve ~r(λ) ganz in Ω enthalten sein muss. Man berechnet das Wegintegral von F~ (~r)
entlang C(P1 , P2 ) über die Parameterdarstellung ~r(λ) wie folgt:
ˆ
ˆλ1
d~r
dλ
F~ (~r(λ)) ·
dλ
(A.2.1)
λ0
ch
e
C(P1 ,P2 )
El
F~ (~r) · d~r =
Te
ch
nis
Man kann zeigen, dass der Wert dieses Integrals unabhängig von der Wahl der Parameterdarstellung ist, solange die Orientierung P1 → P2 beim Durchlaufen der Kurve C(P1 , P2 ) beibehalten
wird.
In einem kartesischen Koordinatensystem mit Ortonormalbasis (~e1 , . . . , ~en ) wird die ParameterP
darstellung ~r(λ) = nj=1 xj (λ)~ej über die Koordinatenfunktionen (x1 (λ), . . . , xn (λ)) realisiert und
Pn
ej dargestellt (vgl. Abs. A.1.5). Das Wegintegral
das Kraftfeld als F~ (~r) =
j=1 Fj (x1 , . . . , xn )~
berechnet sich dann wie folgt:
ˆλ1 dx1
dxn
~
F (~r) · d~r =
F1 (x1 (λ), . . . , xn (λ)) ·
+ . . . + Fn (x1 (λ), . . . , xn (λ)) ·
dλ
dλ
dλ
für
ˆ
uh
l
C(P1 ,P2 )
λ0
(A.2.2)
hr
st
Wichtige Bemerkung:
c
Le
Im Allgemeinen hängt ein Wegintegral von P1 nach P2 von der Wahl des verbindenden Weges
C(P1 , P2 ) ab!
78
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN A.2 Wegintegrale im affinen Euklidischen Raum En
A.2.2. Konservative Kraftfelder
ch
e
n
Ein Kraftfeld F~ (~r) heißt konservativ, wenn das Wegintegral
ˆ
F~ (~r) · d~r
ün
C(P1 ,P2 )
M
nur von P1 und P2 , aber nicht von der Wahl des verbindenden Weges C(P1 , P2 ) abhängt. In diesem
Fall macht folgende Schreibweise einen Sinn:
ˆ
ˆP2
P1
F~ · d~r
-T
U
F~ · d~r :=
C(P1 ,P2 )
∂Fj
∂Fi
F~ (~r) konservativ ⇔
=
∂xi
∂xj
ph
ys
ik
Ist der Definitionsbereich Ω ⊂ Vn des Vektorfeldes F~ (~r) ein einfach zusammenhängendes Gebiet,
so gilt in kartesischen Koordinaten folgendes Kriterium:
für i, j = 1, . . . , n; i 6= j
tro
Dieses Kriterium sei im zweidimensionalen Raum (n = 2) an zwei Beispielen illustriert.
El
ek
Beispiel 1:
∂Fy
∂Fx
= 1;
= −1
∂x
∂y
Te
ch
nis
⇒
ch
e
F~ (x, y) = −y~ex +x~ey , also Fx (x, y) = −y und Fy (x, y) = x
⇒ F~ (x, y) ist nicht konservativ!
Beispiel 2:
für
F~ (x, y) = x~ex +y~ey , also Fx (x, y) = x und Fy (x, y) = y
uh
l
⇒
∂Fy
∂Fx
=0=
∂x
∂y
c
Le
hr
st
⇒ F~ (x, y) ist konservativ!
79
A.3 Totale Ableitung und Gradient
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.3. Totale Ableitung und Gradient von Skalarfeldern
ch
e
(i) Eine Linearform auf dem euklidischen Vektorraum Vn ist eine lineare Abbildung
n
A.3.1. Linearformen und dualer Raum
ün
l : Vn → R, ~v 7→ l(~v )
-T
U
M
Die Linearformen auf Vn bilden einen n-dimensionalen reellen Vektorraum Vn∗ ,
mit der Addition
(l1 + l2 )(~v ) := l1 (~v ) + l2 (~v )
und der skalaren Multiplikation
(αl)(~v ) := α · l(~v )
wobei α ∈ R. Vn∗ heißt auch “dualer Raum zu Vn ”.
tro
Dabei wird jedem ~u ∈ Vn die Linearform
ph
ys
ik
(ii) Über das Skalarprodukt h.|.i auf Vn gibt es einen kanonischen Isomorphismus zwischen Vn
und Vn∗ , d.h. eine bijektive strukturerhaltende Abbildung zwischen Vektoren und Linearformen:
Vn 3 ~u lu ∈ Vn∗
ek
lu := h~u|.i ∈ Vn∗
El
zugeordnet, d.h. es gilt:
∀~v ∈ Vn :
lu (~v ) := h~u|~v i.
Te
ch
nis
ch
e
Umgekehrt gibt es zu jeder Linearform l ∈ Vn∗ genau einen Vektor ~ul mit
∀~v ∈ Vn :
l(~v ) = h~ul |~v i
Explizite Berechnung von ~ul :
Sei (~e1 , ~e2 , . . . ~en ) eine Orthonormalbasis in Vn , d.h. h~ei |~ej i = δij .
uh
l
für
Für eine gegebene Linearform l ∈ Vn∗ berechnen wir lj = l(~ej ) (j = 1, . . . n) und bilden
~l∗ =
n
X
lj ~ej =
j=1
n
X
j=1
Dann gilt:
c
Le
hr
st
~ul = ~l∗
80
l(~ej )~ej
(A.3.1)
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.3 Totale Ableitung und Gradient
j=1
n
X
=h
j=1
ün


n
n
n
X
X
X
l(~v ) = l 
vj ~ej  =
vj l(~ej ) =
lj h~ej |~v i
j=1
M
∀~v ∈ Vn :
ch
e
n
Beweis:
P
Jedes ~v ∈ Vn hat die Darstellung ~v = nj=1 vj ~ej mit vj = h~ej |~v i .
Damit folgt:
lj ~ej |~v i = h~l∗ |~v i q.e.d.
ph
ys
ist somit die Umkehrabbildung der isomorphen Abbildung
ik
Das Ergebnis ist unabhängig von der Wahl der Orthonormalbasis.
Die isomorphe Abbildung
Vn∗ 3 l 7→ ~l∗ ∈ Vn
-T
U
j=1
12d
tro
Vn 3 ~u 7→ lu = h~u|.i ∈ Vn∗
uh
l
für
Te
ch
nis
ch
e
El
ek
A.3.2. Totales Differential und Gradient als duale Größen
hr
st
Abb. A.3: Lineare Approximation eines Skalarfeldes
c
Le
(i) Ein skalares Feld Φ : En → R ist (total) differenzierbar am Punkt P ∈ E3 , wenn es linear
approximierbar ist. Dies bedeutet, es gibt eine Linearform lP : Vn → R, sodass der folgende
Limes existiert und verschwindet:
Φ(P + ∆~r) − Φ(P ) − lP (∆~r)
lim
=0
(A.3.2)
|∆~r|
∆~
r→0
Diese Linearform lP ist dann eindeutig bestimmt, und wird mit DΦ oder dΦ bezeichnet. Sie
heißt die 1. Ableitung von Φ oder das totale Differential von Φ (“Fréchet-Ableitung”).
81
A.3 Totale Ableitung und Gradient
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
−−→
(ii) Der zu der Linearform dΦ kanonisch zugeordnete Vektor dΦ∗ aus Vn heißt “Gradient von
Φ bei P ”. Folgende Schreibweisen sind üblich:
n
−−→∗
→
−
∂Φ
dΦ = grad Φ = ∇Φ =
∂~r
ch
e
(A.3.3)
M
→
−
∂Φ
(P )|~ni
dΦP (~n) = hgrad Φ(P )|~ni = h ∇Φ(P )|~ni = h
|
{z
}
|
{z
}
| ∂~r {z }
grad Φ(P ) · ~n
→
−
∇Φ(P ) · ~n
(A.3.4)
-T
U
∀
~
n∈Vn
ün
Es gilt also:
∂Φ
∂~
r (P )
· ~n
tro
ph
ys
ik
Die Abbildung En 3 P 7→ grad Φ(P ) ∈ Vn ist also ein Vektorfeld auf En ; es weist stets
in die Richtung des steilsten Anstiegs von Φ (vgl. A.3.3).
El
ek
A.3.3. Richtungsableitung
ch
e
(i) Sei P ∈ En und ~n ∈ Vn eine Richtung, die eine
Gerade durch P in Richtung von ~n festlegt. Sie
hat die Parameterdarstellung:
Te
ch
nis
+
R 3 α 7→ ~r(α) = ~r(P ) + α · ~n ∈ Vn
+O
bzw. P (α) = P + α · ~n ∈ En
uh
l
für
Sei Φ(P ) ein differenzierbares Skalarfeld, dessen Definitionsbereich ein Stück der Gerade um
P enthält. Dann ist Φ entlang der Geraden bei P als eindimensionale Funktion
(−, ) 3 α → Φ(P + α~n)
c
Le
hr
st
bei α = 0 differenzierbar. Die gewöhnliche Ableitung
d
Φ(P + α~n)
dα
α=0
heißt “Richtungsableitung von Φ nach ~n ” und wird mit
∂Φ ∂n bezeichnet.
P
Mit Hilfe des Gradienten kann man sie folgendermaßen berechnen:
∂Φ = hgrad ΦP |~ni = grad ΦP · ~n
∂n P
82
(A.3.5)
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.3 Totale Ableitung und Gradient
Beweis:
Φ(P + α~n) − Φ(P ) − (grad Φ · α~n)
=
α|~n|


1 
Φ(P + α~n) − Φ(P )
=
lim
− grad Φ · ~n
|~n| α→0
α
|
{z
}
∂Φ ∂n P
0 = lim
M
ün
ch
e
n
α→0
-T
U
(ii) grad ΦP zeigt in die Richtung des steilsten Anstieges von Φ. Ist nämlich ϕ der Winkel
zwischen einem beliebigen Richtungsvektor ~n und grad ΦP , so gilt für den steilsten Anstieg:
∂Φ max
; ~n ∈ Vn , |~n| = 1 = max | grad ΦP | · |~n| · cos ϕ = | grad Φ|
0≤ϕ<2π
∂n P
ph
ys
ik
Da das Maximum für ϕ = 0 angenommen wird, folgt ~n grad ΦP für die Richtung des
steilsten Anstiegs.
ek
tro
(iii) Für P ∈ En betrachtet man die Menge aller Punkte, die denselben Φ-Wert haben wie
Φ(P ). Für eine differenzierbare Funktion Φ mit grad Φ(P 0 ) 6= 0 ist diese Menge eine (n − 1)
dimensionale Fläche FP = {P 0 ∈ En |Φ(P 0 ) = Φ(P )}, die P enthält. Legt man am Punkt P
die Tangentialebene TP an FP , so steht grad ΦP senkrecht auf TP (vgl. Abs. A5.5).
El
A.3.4. Partielle Ableitungen (räumlich unveränderliches Koordinatensystem):
ch
e
(i) Wählt man ein kartesisches (d.h. orthonormales) Koordinatensystem (O, ~e1 , ~e2 , . . . , ~en ) mit
der Darstellung des Ortsvektors gemäß
Te
ch
nis
~r(P ) = x1~e1 + x2~e2 + . . . + xn~en
so kann man ein differenzierbares Skalarfeld Φ durch seine Koordinatendarstellung
Φ̃(x1 , . . . , xn ) = Φ(O + x1~e1 , . . . , xn~en )
uh
l
für
beschreiben. Die Richtungsableitungen entlang der Koordinatenlinien durch einen Punkt
P , α 7→ ~r(P ) + α~ej heißen “partielle Ableitungen von Φ nach xj ” und werden mit
∂Φ ,
oder
∂
Φ
j
∂xj P
P
hr
st
bezeichnet.
c
Le
(ii) In der kartesischen Koordinatendarstellung werden die Koordinatenlinien oft schlampig, aber
intuitiv einprägsam gemäß
xj 7→ x1~e1 + . . . + xj ~ej + . . . + xn~en
∂Φ
parametrisiert. Daher lässt sich ∂x
folgendermaßen aus der Koordinatendarstellung Φ̃(x1 , . . . , xn )
j
berechnen:
Φ̃(x1 , . . . xj + ∆xj . . . , xn ) − Φ̃(x1 , . . . , xn )
∂Φ = lim
(A.3.6)
∂xj P ∆xj →0
∆xj
83
A.3 Totale Ableitung und Gradient
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
∂Φ
∂xj
die kartesischen Komponenten von grad Φ sind:
ün
was bedeutet, dass
ch
e
n
(iii) Andererseits lässt sich nach Gl. (A.3.4) die partielle Ableitung auch aus grad Φp berechnen:
∂Φ = grad ΦP · ~ej
(A.3.7)
∂xj P
(A.3.8)
M
n
X
∂Φ
grad Φ =
· ~ej
∂xj
j=1
-T
U
~ als den formalen Differentialoperator
(iv) Führt man das Nabla-Symbol ∇
ein, so kann man schreiben:
tro
A.3.5. Richtungsableitung entlang einer Kurve:
ph
ys
~
grad Φ = ∇Φ
ik
~ := ~e1 ∂ + ~e2 ∂ + . . . + ~en ∂
∇
∂x1
∂x2
∂xn
ek
(i) Die Richtungsableitung am Punkt P in eine Richtung ~n kann man auch dadurch gewinnen,
dass man eine Kurve durch P legt, deren Tangentialvektor in Richtung von ~n weist:
El
~n =
d~r
dλ
Te
ch
nis
ch
e
Präziser ausgedrückt:
Man wählt eine Parameterdarstellung
R ⊃ (λ1 , λ2 ) 3 λ → ~r(λ) ∈ Vn
so dass für ein λ0 ∈ (λ1 , λ2 ) gilt:
~r(λ0 ) = ~r(P ) und
d~r
(λ0 ) = ~n 6= 0
dλ
c
Le
hr
st
uh
l
für
Dann gilt für ein differenzierbares Skalarfeld Φ:
d
d~r
∂Φ =
Φ(O + ~r(λ))
= grad Φ ·
(λ0 )
∂n P
dλ
dλ
λ=λ0
P
84
(A.3.9)
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.3 Totale Ableitung und Gradient
(ii) Beweis:
lim
λ→λ0
Φ(O + ~r(λ)) − Φ(O + ~r(λ0 ))
λ − λ0
n
− lim dΦP
λ→λ0
= d~r (λ0 )
dλ
| {z }

 d
d~
r


− dΦP
·  Φ(O + ~r(λ))
(λ0 ) 
dλ

 dλ
λ=λ0
{z
}
|
ph
ys
1
ik


(~r(λ) − ~r(λ0 )
λ − λ0
-T
U
"
#
~
r
(λ)
−
~
r
(λ
)
1
d
0
·
=
− dΦP lim
Φ(O + ~r(λ))
r(λ0 ) λ→λ0
dλ
λ − λ0
λ=λ0
limλ→λ0 ~r(λ)−~
λ−λ0
ch
e
λ − λ0
= lim
·
λ→λ0 |~
r(λ) − ~r(λ0 )|
=0
6=0
kann man sich Gleichung (A.3.9) leicht als “Ketten-
Te
ch
nis
ch
e
∂Φ
∂~
r
El
ek
tro
also folgt die Behauptung:
d~r
d~r
∂Φ d
Φ(O + ~r(λ))
= dΦP
(λ0 ) = grad ΦP ·
(λ0 ) = grad ΦP · ~n =
dλ
dλ
dλ
∂n P
λ=λ0
(iii) Mit Hilfe der Schreibweise grad Φ =
regel” merken:
d
∂Φ d~r
Φ̃(~r(λ)) =
·
dλ
∂~r dλ
(A.3.10)
für
In kartesischen Koordinaten gilt
uh
l
n
n
X
X
dxj
∂Φ
d~r
grad Φ =
· ~ej und
=
· ~ej
∂xj
dλ
dλ
j=1
j=1
n
X ∂Φ dxj
d
Φ̃(~r(λ)) =
·
dλ
∂xj dλ
j=1
c
Le
hr
st
woraus folgt:
85
ün
λ→λ0
Φ(O + ~r(λ)) − Φ(O + ~r(λ0 )) − dΦP (~r(λ) − ~r(λ0 ))
|~r(λ) − ~r(λ0 )|
M
0 = lim
(A.3.11)
A.4 Krummlinige Koordinaten
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.4. Krummlinige Koordinaten
ch
e
n
A.4.1. Kartenabbildung
-T
U
M
ün
(i) In einem Teilgebiet Ω ⊂ En (meist Ω = En ) wird jedem Punkt P ∈ Ω eineindeutig ein Satz
von n reellen Koordinatenwerten (u1 (P ), u2 (P ), . . . , un (P )) = u(P ) ∈ Rn zugeordnet. Die
Koordinatenwerte liegen in einem Gebiet G ⊂ Rn , und die Punkte P ∈ Ω werden also durch
die “Kartenabbildung”
G 3 (u1 , u2 , . . . , un ) 7→ P (u1 , u2 , . . . , un ) ∈ Ω ⊂ En
bijektiv parametrisiert. Dies induziert eine Darstellung des Ortsvektors gemäß
(A.4.1)
ph
ys
ik
P (u1 , u2 , . . . , un ) = O + ~r(u1 (P ), u2 (P ), . . . , un (P ))
tro
Durchlaufen die “krummlinigen Koordinaten” (u1 , u2 , . . . , un ) das Kartengebiet G, so
durchläuft der Ortsvektor ~r(u1 , u2 , . . . , un ) bijektiv alle Punkte in Ω. Die Kurvenscharen mit
Parameterdarstellung
uj 7→ ~r(u1 , . . . , uj , . . . , un )
ek
heißen Koordinatenlinien.
El
(ii) Im Falle kartesischer Koordinaten umfasst die Karte G ganz Rn und die Kartendarstellung
lautet
ch
e
Rn 3 (x1 , x2 , . . . , xn ) 7→ P (x1 , x2 , . . . , xn ) = O + x1~e1 + x2~e2 + . . . + xn~en
Te
ch
nis
Die Koordinatenlinien sind die zu den Koordinatenachsen parallel verlaufenden Geraden
für
xj 7→ ~r(x1 , . . . , xj , . . . , xn ) = x1~e1 + . . . + xj ~ej + . . . + xn~en
uh
l
A.4.2. Begleitendes n-Bein
c
Le
hr
st
(i) Damit man mit krummlinigen Koordinaten vernünftig rechnen kann, muss die Koordinatenabbildung ~r(u1 , u2 , ..., un ) stetig differenzierbar sein. Dann existieren bei jedem Punkt P ∈ Ω
die Tangentialvektoren an die n Koordinatenlinien durch P
∂~
r
b~j (P ) =
für j = 1, . . . , n
(A.4.2)
∂uj P
Damit die Kartenabbildung G 3 (u1 , . . . , un ) 7→ ~r(u1 , . . . , un ) ein n-dimensionales Teilgebiet
Ω ⊂ En aufspannt, müssen die Tangentialvektoren ~bj (P ) eine Basis in Vn bilden. Diese ortsabhängige Basis (~b1 (P ), ~b2 (P ), . . . , ~bn (P )) heißt “begleitendes n-Bein” (vgl. Abs. A.1.6).
Im Allgemeinen ist diese Basis schiefwinklig, d.h. die Koordinatenlinien schneiden sich nicht
in rechten Winkeln.
86
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.4 Krummlinige Koordinaten
(ii) In der Praxis lässt sich der Rechenaufwand stark reduzieren, wenn das begleitende n-Bein
(~b1 (P ), ~b2 (P ), . . . , ~bn (P )) ein Orthogonalsystem bildet; es gilt dann:
n
(i, j = 1, . . . , n)
ch
e
~bi (P ) · ~bj (P ) = h2 (P )δij
j
mit
hj (P ) := |~bj (P )|
ün
(A.4.3)
1 ~
bi (P ) (i = 1, . . . , n)
hi (P )
(A.4.4)
-T
U
~eui (P ) :=
M
sodass die Basisvektoren
ik
eine “begleitende Orthonormalbasis” bilden. Die krummlinigen Koordinaten (u1 , u2 , . . . un )
heißen dann “orthogonale Koordinaten”. Im Folgenden wollen wir uns auf diesen Spezialfall beschränken.
ph
ys
(iii) Ein Beispiel für krummlinige orthogonale Koordinaten sind die in Abschnitt A.1.6 erwähnten Zylinderkoordinaten im dreidimensionalen Raum E3 .
Koordinatenbereich:
z
tro
G = {(r, ϕ, z) | 0 ≤ r; 0 ≤ ϕ < 2π; z ∈ R}
ek
Kartenabbildung:
P
El
~r(r, ϕ, z) = r cos ϕ·~ex +r sin ϕ·~ey +z·~ez
ch
e
Koordinatenlinien:
r 7→ ~r(r, ϕ, z) Radialstrahlen senkrecht zur z-Achse
Te
ch
nis
ϕ 7→ ~r(r, ϕ, z) konzentrische Kreislinien um die z-Achse
y
z 7→ ~r(r, ϕ, z) Geraden parallel zur z-Achse
x
hr
st
uh
l
für
Tangentialvektoren an die Koordinatenlinien:
~br = ∂~r = cos ϕ · ~ex + sin ϕ · ~ey
∂r
∂~
~bϕ = r = −r sin ϕ · ~ex + r cos ϕ · ~ey
∂ϕ
~bz = ∂~r = ~ez
∂z
c
Le
Diese bilden ein Orthogonalsystem.
87
A.4 Krummlinige Koordinaten
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
Normierungsfaktoren:
n
hr = |~br | = 1; hϕ = |~bϕ | = r; hz = |~bz | = 1
ch
e
Begleitende Orthonormalbasis:
ün
~er = cos ϕ · ~ex + sin ϕ · ~ey
~eϕ = − sin ϕ · ~ex + cos ϕ · ~ey
Der Ortsvektor hat dann in dieser Basis die Darstellung
~r(r, ϕ, z) = r · ~er (ϕ) + z · ~ez
-T
U
M
~ez = ~ez
ch
e
El
ek
z
tro
ph
ys
ik
(iv) Ein weiteres wichtiges Beispiel für krummlinige Orthogonalkoordinaten sind die Kugelkoordinaten im E3 . Hier verwendet man zur Festlegung einer Position P den Abstand vom
Ursprung r = |~r(P )| sowie den Polarwinkel ϑ (=
ˆ geographische Breite) und den Azimutwinkel ϕ (=
ˆ geographische Länge).
Te
ch
nis
y
x
für
Abb. A.4: Definition der Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ)
uh
l
Koordinatenbereich:
hr
st
G = {(r, ϑ, ϕ)| 0 ≤ r; 0 ≤ ϑ ≤ π; 0 ≤ ϕ < 2π}
c
Le
Kartenabbildung:
~r(r, ϑ, ϕ) = r cos ϕ sin ϑ~ex + r sin ϕ sin ϑ~ey + r cos ϑ~ez
Koordinatenlinien:
r 7→ ~r(r, ϑ, ϕ)
vom Ursprung ausgehende Halbgeraden
ϑ 7→ ~r(r, ϑ, ϕ)
Längenkreise (Halbkreise)
ϕ 7→ ~r(r, ϑ, ϕ)
Breitenkreise
88
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.4 Krummlinige Koordinaten
Tangentialvektoren an die Koordinatenlinien:
hr = |~br | = 1; hϑ = |~bϑ | = r; hϕ = |~bϕ | = r sin ϑ
Begleitende Orthonormalbasis:
ch
e
ün
-T
U
M
Diese bilden ein Orthogonalsystem.
Normierungsfaktoren:
n
~br = ∂~r = cos ϕ sin ϑ · ~ex + sin ϕ sin ϑ · ~ey + cos ϑ · ~ez
∂r
∂~
~bϑ = r = r cos ϕ cos ϑ · ~ex + r sin ϕ cos ϑ · ~ey − r sin ϑ · ~ez
∂ϑ
~bϕ = ∂~r = −r sin ϕ sin ϑ · ~ex + r cos ϕ sin ϑ · ~ey
∂ϕ
ik
~er = cos ϕ sin ϑ · ~ex + sin ϕ sin ϑ · ~ey + cos ϑ · ~ez
~eϕ = − sin ϕ · ~ex + cos ϕ · ~ey
tro
Der Ortsvektor hat dann in dieser Basis die Darstellung
ph
ys
~eϑ = cos ϕ cos ϑ · ~ex + sin ϕ cos ϑ · ~ey − sin ϑ · ~ez
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
ch
e
El
ek
~r(r, ϑ, ϕ) = r · ~er (ϑ, ϕ)
89
A.4 Krummlinige Koordinaten
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.4.3. Gradient in krummlinigen orthogonalen Koordinaten
ün
ch
e
n
Sei (~eu1 , . . . , ~eun ) das orthonormierte begleitende n-Bein in einem krummlinigen orthogonalen
Koordinatensystem und Φ : Ω → R ein differenzierbares Skalarfeld. Dann lässt sich an jedem
Punkt P ∈ Ω der Vektor grad ΦP durch die Orthonormalbasis (~eu1 (P ), . . . , ~eun (P )) ausdrücken
(vgl. Abs. A.1.3):
n
X
grad ΦP =
(grad ΦP · ~euj (P ))~euj (P )
(A.4.5)
-T
U
Das Skalarfeld hat in den krummlinigen Koordinaten die Darstellung
e 1 , . . . , un ) = Φ(O + ~r(u1 , . . . , un )).
Φ(u
M
j=1
Die Richtungsableitung von Φ entlang der uj -Koordinatenlinie uj 7→ ~r(u1 , . . . , uj , . . . , un ) ist dann
e nach uj . Denn nach Gl. (A.3.9) gilt:
identisch mit der partiellen Ableitung von Φ
ph
ys
ik
∂ Φ̃
∂~r (u(P )) = grad ΦP ·
∂uj
∂uj P
Wegen (A.4.2) folgt dann weiter
tro
∂ Φ̃
(u(P )) = hj (P ) grad ΦP · ~euj (P )
∂uj
ek
woraus wir mit (A.4.5) schließlich
1 ∂ Φ̃
(u(P ))~euj (P )
hj (P ) ∂uj
El
n
X
grad ΦP =
ch
e
j=1
grad Φ =
n
X
1 ∂Φ
~eu
hj ∂uj j
j=1
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
erhalten, oder in Kurzschreibweise:
90
(A.4.6)
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.5 Gradientenfelder und Potentialfunktionen
ch
e
Im Folgenden wird die strenge Unterscheidung zwischen Punkten P ∈ En und ihren Ortsvektoren
~ r).
~r(P ) ∈ Vn aufgehoben. Ein Skalarfeld wird mit Φ(~r) notiert, ein Vektorfeld mit E(~
ün
A.5.1. Definition und Eindeutigkeit von Potentialfunktionen
M
~ r) heißt Gradientenfeld,
(i) Definition: Ein auf einem Gebiet Ω ∈ En definiertes Vektorfeld E(~
wenn es eine ebenfalls auf Ω definierte “Potentialfunktion” Φ(~r) gibt mit der Eigenschaft
-T
U
~ = − grad Φ
E
~ = −∇Φ bzw. E
~ = − ∂Φ .
Alternative Schreibweisen sind E
∂~
r
(A.5.1)
ph
ys
ik
(ii) Eindeutigkeit einer Potentialfunktion:
~ = −∇Φ ist das Potential Φ(~r) nur bis auf eine reelle Konstante
Aus der Bedingung E
eindeutig bestimmt, denn Φ(~r) und Φ̂(~r) = Φ(~r) + c mit c ∈ R liefern dasselbe Vektorfeld
~ r):
E(~
∇Φ̂ = ∇Φ + |{z}
∇c = ∇Φ
tro
=0
ek
A.5.2. Existenz einer Potentialfunktion:
ch
e
El
(i) Kriterium für die Existenz einer Potentialfunktion:
~ ein Gradientenfeld, also E
~ = −∇Φ mit einer Potentialfunktion Φ(~r). In einem karSei E
tesischen Koordinatensystem (O, ~e1 , . . . , ~en ) mit kartesischen Koordinaten (x1 , . . . , xn ) hat
man
n
n
X
X
∂Φ
~
~ej und E =
Ej ~ej
∇Φ =
∂xj
Te
ch
nis
j=1
Es gilt also
Ej = −
∂Φ
∂xj
j=1
(j = 1, . . . , n)
für
Falls die Potentialfunktion zweimal stetig differenzierbar ist, gilt dann:
∂Ej
∂Ek
∂2Φ
∂2Φ
=−
=−
=
∂xj
∂xj ∂xk
∂xk ∂xj
∂xk
hr
st
uh
l
Die 21 n(n − 1) “Integrabilitätsbedingungen”
∂Ej
∂Ek
=
∂xj
∂xk
(j, k = 1, . . . , n)
Le
c
(A.5.2)
~ r) ein Gradientenfeld ist.
sind also notwendige Bedingungen dafür, dass E(~
In Abschnitt A.8 wird im dreidimensionalen Raum (n = 3) die Rotation eines Vektorfel~ eingeführt. In einem kartesischen Koordinatensystem (O, ~ex , ~ey , ~ez ) lauten dessen
des rot E
Komponenten:
~e , ~e , ~e y
z
x
∂Ey
∂Ey
∂Ez
∂Ex ∂Ez
∂Ex
~
rot E = ∂x , ∂y , ∂z =
−
· ~ex +
−
· ~ey +
−
· ~ez
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
Ex , Ey , Ez 91
n
A.5. Gradientenfelder und Potentialfunktionen
A.5 Gradientenfelder und Potentialfunktionen
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
Damit ist für n = 3 Gleichung (A.5.2) äquivalent zu
~ =0
rot E
n
(A.5.3)
(bzw.
∂Ej
∂Ek
=
∂xk
∂xj
(j, k = 1, 2, 3) in kartesischen Koordinaten)
M
~ =0
rot E
ün
ch
e
(ii) Es gilt auch die Umkehrung (ohne Beweis):
~ : Ω → V3 ein Vektorfeld auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet Ω ⊂ E3 mit
Sei E
der Eigenschaft
Φ:Ω→R
mit
-T
U
Dann existiert eine Potentialfunktion
~ = −∇Φ.
E
ph
ys
ik
Φ ist bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt.
A.5.3. Berechnung einer Potentialfunktion
tro
~ eine Potentialfunktion Φ(~r) explizit berechnen.
Wir wollen für ein vorgegebenes Gradientenfeld E
~ r) mit der Eigenschaft rot E
~ = 0 im (einfach zusammenhängenden) Definitions• Gegeben: E(~
ek
bereich Ω ⊂ E3
El
~ = −∇Φ
• Gesucht: Φ(~r) mit E
Lösung:
+
Te
ch
nis
ch
e
Wähle einen festen “Bezugspunkt” P0 ∈ Ω, P0 = O + ~r0 , und verbinde ihn mit einem beliebigen Punkt P = O + ~r ∈ Ω durch eine (stückweise) glatte Kurve C(P0 , P ), die ganz in Ω
liegt. C(P0 , P ) habe die Parametrisierung:
[λ0 , λ1 ] 3 λ 7→ ~r(λ) ∈ V3
für
~r(λ0 ) = ~r0 ;

r0
~r(λ1 ) = ~r
+
ˆ
ˆλ1
~ d~r =
E
C(P0 ,P )
~ r(λ)) · d~r (λ) dλ =
E(~
dλ
λ0
c
Le
hr
st
uh
l
Dann gilt (vgl. Abs. A.2.1 und Abs. A.3.5):
ˆλ1
−∇Φ(~r(λ)) ·
d~r
(λ) dλ
dλ
λ0
ˆλ1
=−
λ0
dΦ(~r(λ))
dλ = −Φ(~r(λ1 )) + Φ(~r(λ0 ))
| {z }
| {z }
dλ
~
r
92
~
r0
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.5 Gradientenfelder und Potentialfunktionen
Hieraus erhält man die gesuchte Funktion Φ(~r) als
ˆ
~ d~r
E
(A.5.4)
ch
e
~ d~r = Φ(~r0 ) −
E
Φ(~r) = Φ(~r0 ) −
P0
ün
C(P0 ,P )
M
Bemerkungen:
-T
U
NB : Offenkundig ist die Herleitung von Gleichung (A.5.4) unabhängig von der speziellen Wahl
des Weges C(P0 , P ), mit dem P0 mit P verbunden wird, sofern nur das Gebiet Ω einfach
zusammenhängend ist.
ph
ys
ik
NB : Φ(~r0 ) ist die additive Konstante, über die das Potential Φ an einen Referenzwert am Punkt
P0 (“Masse”, “Ground”, “Erde”) angepasst (“geeicht”) werden kann.
A.5.4. Äquivalente Charakterisierungen von Gradientenfeldern
El
(j, k = 1, 2, . . . , n) in kartesischen Koordinaten
ch
e
~ = 0, falls n = 3
b) rot E
ek
tro
~ : Ω → Vn mit einem einfach zusammenhängenden DefinitiFür ein differenzierbares Vektorfeld E
onsbereich Ω ⊂ En sind folgende Aussagen äquivalent:
~ erfüllt die Integrabilitätsbedingungen
a) E
∂Ej
∂Ek
=
∂xj
∂xk
P0
¸
C
~ · d~r ist wegunabhängig (d.h. E
~ ist konservativ)
E
~ · d~r = 0 für jede geschlossene Kurve C ⊂ Ω
E
für
e)
´P
Te
ch
nis
~ ist ein Gradientenfeld, d.h. es existiert ein Potential Φ : Ω → R mit E
~ = −∇Φ
c) E
d)
A.5.5. Geometrische Interpretation von Potentialfunktion und Gradientenfeld
hr
st
uh
l
~ : Ω → Vn eine Potentialfunktion Φ : Ω → R
Nehmen wir an, wir haben zu einem Gradientenfeld E
~ = −∇Φ. Für einen festen Potentialwert Φ0 ∈ R betrachten wir die
gefunden; es gilt also E
Äquipotentialfläche F(Φ0 ) := {P ∈ Ω | Φ(P ) = Φ0 }.
c
Le
Wir nehmen an, dass die Gleichung Φ(P ) = Φ0 Lösungen besitzt, also F(Φ0 ) 6= ∅, und dass ∇Φ
nirgendwo auf F(Φ0 ) verschwindet. Dann ist F(Φ0 ) eine (n − 1)-dimensionale Fläche in En ; d.h.
für n = 3 ist F(Φ0 ) eine zweidimensionale Fläche in E3 und für n = 2 eine eindimensionale Kurve
in E2 .
Legt man an einem Punkt P ∈ F(Φ0 ) die Tangentialebene TP (bzw. Tangente TP bei n = 2) an
~ ) senkrecht auf TP .
die Fläche F(Φ0 ), so steht ∇Φ und damit das Gradientenfeld E(P
~ weisen stets in Richtung der Oberflächennormalen zur ÄquipoDas heißt, ∇Φ bzw. E
tentialfläche F(Φ0 ).
93
n
ˆP
A.5 Gradientenfelder und Potentialfunktionen
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
−→
~r(λ0 ) = OP ,
d~r
(λ0 ) ~tP
dλ
ch
e
C : λ 7→ ~r(λ),
n
Dies kann man folgendermaßen einsehen:
Sei ~tP ∈ TP ein Tangentialvektor an F(Φ0 ) im Punkt P . Man kann eine Kurve C durch P legen,
die vollständig in F(Φ0 ) enthalten ist, und deren Tangentialvektor in die Richtung von ~tP weist:
Also folgt:
∇ΦP ⊥ ~tP
-T
U
M
ün
Da das Potential Φ sich längs der Kurve C nicht ändert, ist λ 7→ Φ(~r(λ)) = Φ0 eine konstante
Funktion, und wir erhalten mit Gl. (A3.9)
d~r
dΦ(~r(λ)) = ∇Φ · (λ0 )
0=
~
dλ
λ0
P dλ
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
ch
e
El
ek
tro
ph
ys
ik
Konsequenz für das elektrostatische Feld:
~ stets ein Gradientenfeld ist (E
~ = −∇Φ), steht E
~ somit
Da das statische elektrische Feld E
immer senkrecht zu den Äquipotentialflächen. Dies bedeutet, dass die elektrischen Feldlinien
die Äquipotentialflächen immer im rechten Winkel schneiden.
94
A.6 Flächenintegrale im E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.6. Flächenintegrale im E3
M
ün
ch
e
(i) Um eine zweidimensionale Fläche S als Teilmenge des dreidimensionalen Raumes E3 zu
beschreiben, werden (ähnlich wie in Abschnitt A.4.1) jedem Punkt P ∈ S eineindeutig zwei
reelle Koordinatenwerte (u(P ), v(P )) ∈ R2 zugeordnet.
Diese (u, v)-Werte liegen in einem zweidimensionalen Gebiet G ⊂ R2 (Parametergebiet). Alle
Punkte P ∈ S werden über eine Parameterdarstellung
n
A.6.1. Parameterdarstellung einer Fläche S im E3
-T
U
G 3 (u, v) 7→ O + ~r(u, v) ∈ S
beschrieben. Durchlaufen die Flächenparameter (u, v) das Gebiet G, so durchläuft der Ortsvektor ~r(u, v) bijektiv alle Punkte von S.
ph
ys
ik
(ii) Die beiden Kurvenscharen mit Parameterdarstellung
u 7→ ~r(u, v) bei festgehaltenem v
ek
+
O
ch
e
El
liegen jeweils in der Fläche S und heißen
die “u-Linien” bzw. “v-Linien”. Durch jeden
Punkt P ∈ S geht genau eine u-Linie und
eine v-Linie.
tro
v 7→ ~r(u, v) bei festgehaltenem u
Te
ch
nis
A.6.2. Tangentialebene und Oberflächennormale
uh
l
für
Wir nennen eine Fläche “glatt”, wenn die Parameterdarstellung ~r(u, v) stetig differenzierbar ist. In
diesem Fall existieren an jedem Punkt P ∈ S die beiden Tangentialvektoren an die u- und vLinie durch den Punkt P :
~tu (P ) := ∂~r ; ~tv (P ) := ∂~r (A.6.1)
∂u P
∂v P
Damit die Fläche S tatsächlich ein zweidimensionales Gebilde darstellt, dürfen die Richtungen von
~tu (P ) und ~tv (P ) nicht zusammenfallen, d.h. man muss fordern ~tu × ~tv 6= 0. Dann spannen ~tu (P )
und ~tv (P ) am Punkt P ∈ S eine zweidimensionale Ebene TP auf, die Tangentialebene.
Der Vektor ~tu (P ) × ~tv (P ) steht senkrecht auf der Tangentialebene TP , zeigt also in ihre Norma-
hr
st
lenrichtung. Normiert man ihn auf die Länge 1, erhält man den Normaleneinheitsvektor (oder
Oberflächennormale)
1
~ :=
N
(tu × tv )
(A.6.2)
~
|tu × ~tv |
c
Le
Offenkundig hat man zwei Möglichkeiten, die Oberflächennormale zu orientieren. Vertauscht man
~ sein Vorzeichen. Bei Flächen, die von einer Randkurve begrenzt werden
z.B. u mit v, ändert N
(z.B. eine Kreisscheibe), kann man diese Freiheit benutzen, um die Fläche zu orientieren (d.h.
eine Oberseite und Unterseite zu definieren). Bei geschlossenen Flächen, die ein dreidimensionales
Gebilde umhüllen (“Hüllflächen”), kann man eine “innere” und eine “äußere” Normale definieren
(die äußere Normale weist in den Außenraum).
95
A.6 Flächenintegrale im E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.6.3. Oberflächenintegrale
ün
ch
e
n
(i) Ähnlich wie beim Kurvenintegral (vgl. Abs. A.2.1) berechnet man Integrale über eine Fläche
S über ihre Parameterdarstellung ~r(u, v). Hierzu muss man die Flächenberechnung auf S
auf die im Parametergebiet G umrechnen. Einem Rechteck mit Flächeninhalt ∆u · ∆v in der
(u, v)-Ebene entspricht ein trapezförmiges Flächenstück mit schiefwinkligen Seitenkanten
∂~
r
∂~
r
∆~ru = ∂u
∆u = ~tu · ∆u und ∆~rv = ∂v
∆v = ~tv · ∆v. Dieses Trapez hat einen Flächeninhalt
M
∆A = |∆~ru × ∆~rv | = |~tu × ~tv |∆u · ∆v
-T
U
d.h. |~tu × ~tv | ist der Maßstabsfaktor, mit denen Flächeneinheiten auf S in solche der (u, v)Ebene umgerechnet werden. Man führt daher ein skalares differentielles Oberflächenelement da ein gemäß
∂~r
∂~r ~
~
da := |tu × tv |dudv = ×
dudv
∂u ∂v
ik
(A.6.3)
ˆ
f da :=
S
G
∂~r
∂~r ×
f (~r(u, v))
dudv
∂u ∂v
(A.6.4)
tro
ˆ
ph
ys
und definiert für eine skalare Funktion f : S → R das Oberflächenintegral als
El
ek
Man kann dann zeigen, dass der Wert dieses Integrals unabhängig von der Wahl der Parameterdarstellung ist.
ˆ
Te
ch
nis
ˆ
ch
e
(ii) Einen oftmals auftretenden Spezialfall stellt das “Flussintegral” dar. Gegeben ist hier ein
Vektorfeld F~ (~r), dessen Definitionsbereich die Fläche S einschließt. Integriert wird die Pro~ (~r), also die Größe F~ (~r) · N
~ (~r) (das ist also die
jektion von F~ (~r) auf die Flächennormale N
Komponente von F~ (~r), die die Fläche S senkrecht durchsetzt):
~ da =
F~ · N
S
G
~tu × ~tv
F~ (~r(u, v)) ·
|~tu × ~tv | dudv =
|~tu × ~tv |
ˆ
F~ (~r(u, v)) ·
∂~r
∂~r
×
∂u ∂v
dudv
G
für
Es ist praktisch, hierzu das vektorielle differenzielle Oberflächenelement d~a einführen gemäß
∂~r
∂~r
~
~
d~a := (tu × tv )dudv =
×
dudv
(A.6.5)
∂u ∂v
Formal gilt dann:
uh
l
~ da
d~a = N
(A.6.6)
c
Le
hr
st
und man definiert dann den Fluss eines Vektorfeldes F~ durch die Fläche S als
ˆ
ˆ
F~ · d~a :=
S
ˆ
~ )da =
(F~ · N
S
F~ (~r(u, v)) ·
∂~r
∂~r
×
∂u ∂v
dudv
(A.6.7)
G
Ist S eine geschlossene Fläche, die ein dreidimensionales Gebiet V umhüllt (d.h. S ist der
~ als äußere Normale, so wirkt das Flussintegral
Rand von V , kurz S = ∂V ), und wählt man N
´
~ a auch als “Hüllflächenintegral” bezeichnet.
∂V F · d~
96
A.6 Flächenintegrale im E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
S = ∂K(~0, R) = {P ∈ E3 |P = O + ~r
ch
e
(i) Wir wollen über die Oberfläche einer Kugel K(~0, R) mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius
R integrieren. Die betrachtete Fläche S ist also der Rand der Kugel K(~0, R):
mit |~r| = R}
M
ün
S ist eine geschlossene Hüllfläche, welche die Kugel K(~0, R) umhüllt.
tro
ph
ys
y
ik
-T
U
z
ek
x
El
Abb. A.5: Parametrisierung einer Kugeloberfläche
mit Polarwinkel ϑ und Azimutwinkel ϕ
Te
ch
nis
ch
e
(ii) Eine Parametrisierung von S erhält man mit Hilfe der Kugelkoordinaten (vgl. Abs. A.4.2(iv));
als Flächenparameter verwendet man den Polarwinkel ϑ und Azimutwinkel ϕ bei konstant
gehaltenem Radialabstand r = R:
~r(ϑ, ϕ) = R(cos ϕ sin ϑ · ~ex + sin ϕ sin ϑ · ~ey + cos ϑ · e~z ) = R · ~er (ϑ, ϕ)
mit Parametergebiet G = {(ϑ, ϕ)| 0 ≤ ϑ ≤ π; 0 ≤ ϕ < 2π}.
Tangentialvektoren:
uh
l
für
~tϑ = ∂~r = R(cos ϕ cos ϑ · ~ex + sin ϕ cos ϑ · ~ey − sin ϑ · e~z ) = R · ~eϑ (ϑ, ϕ)
∂ϑ
~tϕ = ∂~r = R(− sin ϕ sin ϑ · ~ex + cos ϕ sin ϑ · ~ey ) = R sin ϑ · ~eϕ (ϑ, ϕ)
∂ϕ
~tϑ × ~tϕ = R2 sin ϑ ~eϑ × ~eϕ = R2 sin ϑ ~er
Le
hr
st
wobei (~er , ~eϑ , ~eϕ ) das begleitende orthonormierte 3-Bein in Kugelkoordinaten bezeichnet.
Normalenvektor auf S (unnormiert!):
c
Dieser Vektor weist in den Außenraum der Kugel K(~0, R), also in die Richtung der äußeren
Normalen auf ∂K(~0, R). Wegen |~tϑ × ~tϕ | = R2 sin ϑ erhält man:
~ (ϑ, ϕ) = ~er (ϑ, ϕ)
Äußere Einheitsnormale: N
Skalare Oberflächenelement: da = |~tϑ × ~tϕ |dϑdϕ = R2 sin ϑ dϑdϕ
Vektorielles Oberflächenelement: d~a = (~tu × ~tv )dϑdϕ = R2 sin ϑ ~er dϑdϕ
97
n
A.6.4. Beispiel: Integration über eine Kugeloberfläche
A.6 Flächenintegrale im E3
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
(iii) Als Beispiel wollen wir den Fluss des Vektorfeldes
ch
e
n
~ r) = Q · ~r
D(~
4π r3
ˆ
~ · d~a =
D
Q
Q
~er · ~er R2 sin ϑ dϑdϕ =
2
4πR
4π
Q
4π
ˆ2π
ˆπ
sin ϑ dϑ =
dϕ
0
0
0
Q
· 2π · 2 = Q
4π
ph
ys
=
sin ϑ dϑdϕ =
0
G
∂K
ˆ2π ˆπ
ik
ˆ
-T
U
~ durch ∂K(~0, R):
Also ist der Fluss von D
M
~ r(ϑ, ϕ)) = Q R~er (ϑ, ϕ) = Q ~er (ϑ, ϕ)
D(~
4π
R3
4πR2
ün
(= dielektrisches Verschiebungsfeld einer im Ursprung platzierten Punktladung Q)
durch die Kugeloberfläche ∂K(~0, R) berechnen:
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
ch
e
El
ek
tro
Dieses Beispiel illustriert den “Gaußschen Satz über die eingeschlossene Ladung” in elementarer Form.
98
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.7 Divergenz - Gaußscher Integralsatz
A.7. Divergenz eines Vektorfeldes im E3 und Gaußscher Integralsatz
ün
ch
e
~ : Ω → V
~3 ein differenzierbares Vektorfeld. Zu einem Aufpunkt
Sei Ω ∈ E3 ein Gebiet und U
P = O + ~r ∈ Ω mit Ortsvektor ~r betrachten wir eine “geschachtelte” Schar von Kontrollvolumina
V (~r), die den Punkt P einschließen und deren Ausdehnung sich durch eine Kugel K(P, ) um P
mit Radius abschätzen lässt: P ∈ V (~r) ⊂ K(P, ).
n
A.7.1. Divergenzoperator
~ besitzt bei P eine Divergenz, wenn der Limes
U
1
→0 |V (~
r)|
ˆ
~ (~r) = lim
div U
~ · d~a
U
(A.7.1)
ph
ys
∂V (~
r)
ik
Definition:
-T
U
M
Für → 0 schachteln die Kontrollvolumina V (~r) den Punkt P immer enger ein, wobei ihr Rauminhalt |V (~r)| gegen Null strebt.
existiert.
El
ek
tro
Anschaulich bedeutet dies, dass man für immer kleiner werdende Hüllflächen ∂V (~r) , die P um~ betrachtet und diesen auf den Rauminhalt |V (~r)| norschließen, den Fluss des Vektorfeldes U
~ beispielsweise ein Strömungsfeld und div U
~ (~r) 6= 0, so hat das Strömungsfeld am Ort
miert. Ist U
~ ist die lokale Ergiebigkeit von U
~ ”).
P = O + ~r eine Quelle oder Senke (“div U
hr
st
+
uh
l
für
Te
ch
nis
ch
e
A.7.2. Darstellung der Divergenz in kartesischen Koordinaten
c
Le
Wir betrachten in einem kartesischen Koordinatensystem (O, ~ex , ~ey , ~ez ) einen Würfel W (~r) mit
dem Mittelpunkt P = O + ~r und achsenparallelen Kanten mit den Kantenlängen ∆x, ∆y, ∆z.
+
+
−
−
−
Die 6 Seitenflächen werden mit A+
x , Ay , Az , bzw. Ax , Ay , Az bezeichnet.
~ durch die Berandung des Würfels ∂W (~r) gilt:
Für den Fluss eines Vektorfeldes U


ˆ
ˆ
ˆ
X 
~ · ~eα da
~ · d~a =
~ · ~eα da −
U
U

 U
∂W (~
r)
α=x,y,z
A+
α
99
A−
α
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
ün
-T
U
∂W (~
r)
M
Analog verfährt man mit den Termen für α = y und α = z und erhält:
ˆ
∂Uy
∂Ux
∂Uz
~
U · d~a ≈
(~r) +
(~r) +
(~r) · ∆x∆y∆z
∂x
∂y
∂z
ch
e
Für α = x erhalten wir näherungsweise für hinreichend kleine Kantenlängen
ˆ
ˆ
∆x
∆x
, y, z) − Ux (x −
, y, z) ∆y∆z ≈
Ux dy dz −
Ux dy dz ≈ Ux (x +
2
2
A+
A−
x
x
∂Ux
(x, y, z)∆x∆y∆z
≈
∂x
n
A.7 Divergenz - Gaußscher Integralsatz
ik
Das Würfelvolumen beträgt |W (~r)| = ∆x∆y∆z. Wir wählen eine Schar von Würfeln W (~r) mit
Kantenlängen ∆x = ∆y = ∆z = und erhalten
ˆ
1
~ · d~a = ∂Ux (~r) + ∂Uy (~r) + ∂Uz (~r)
div U (~r) = lim
U
→0 |W (~
r)|
∂x
∂y
∂z
ph
ys
∂W (~
r)
Damit haben wir in kartesischen Koordinaten die Darstellung
tro
∂Uz
∂Ux ∂Uy
+
+
∂x
∂y
∂z
(A.7.2)
ek
~ =
div U
El
Mit Hilfe des bereits in Abs. A.3.4 erwähnten Nabla-Operators
ch
e
~ := ~ex ∂ + ~ey ∂ + ~ez ∂
∇
∂x
∂y
∂z
Te
ch
nis
~ als formales Skalarprodukt von ∇
~ mit U
~ ausdrücken:
lässt sich die Divergenz div U
~ =∇
~ ·U
~
div U
~ also ( ∂ , ∂ , ∂ ),
Dieser Ausdruck ist so auszuwerten, dass man die kartesischen Komponenten von ∇,
∂x ∂y ∂z
~ , also (Ux , Uy , Uz ), wie in einem Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren miteinanmit denen von U
für
der verknüpft:
~ ·U
~ = ∂ Ux + ∂ Uy + ∂ Uz
∇
∂x
∂y
∂z
c
Le
hr
st
uh
l
und so den Ausdruck (A.7.2) erhält.
100
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.7 Divergenz - Gaußscher Integralsatz
-T
U
M
ün
ch
e
(i) Der Integralsatz von Gauß beinhaltet eine ganz wesentliche Aussage der Vektoranalysis.
Mit seiner Hilfe gelingt es, Flussintegrale über Hüllflächen in Volumenintegrale über das
eingeschlossene Gebiet umzuwandeln.
Er lautet:
Sei V ein geschlossenes Gebiet im E3 , das von
~ (~r)
der Hüllfläche ∂V berandet wird, und sei U
ein stetig differenzierbares Vektorfeld, in dessen
Definitionsbereich V enthalten ist. Dann gilt:
n
A.7.3. Integralsatz von Gauß
ˆ
ˆ
~ d3 r =
div U
V
~ · d~a
U
(A.7.3)
ik
∂V
N
]
W (~rj )
tro
V =
ph
ys
(ii) Beweisskizze:
Man zerlegt V in hinreichend viele kleine Zellen W (~rj ) (j = 1, . . . , N ) mit
j=1
El
ek
Zwei benachbarte Zellen W (~rj ) und W (~rk ) dürfen höchstens eine gemeinsame Grenzfläche
Ajk besitzen. Die am Rand ∂V benachbarten Zellen W (~rk ) besitzen mit diesem ein gemeinsames Randstück Aext,k ; ihre Vereinigung bildet den ganzen Rand:
ch
e
[
Aext,k = ∂V
Te
ch
nis
k
Man zerlegt nun das Volumenintegral in eine Summe über alle Zellen und wendet den Mittelwertsatz an:
ˆ
~ d3 r =
div U
ˆ
N
X
j=1
N
X
~ (~rj )|W (~rj )|
div U
(A.7.4)
j=1
W (~
rj )
für
V
~ d3 r ≈
div U
uh
l
Nach der Definition der Divergenz in Gl. (A.7.1) gilt für hinreichend kleine Zellen W (~rj )
näherungsweise
ˆ
~ (~rj ) · |W (~rj )| ≈
~ · d~a
div U
U
(A.7.5)
∂W (~
rj )
hr
st
sodass wir erhalten:
ˆ
~ d3 r ≈
div U
j=1
V
Le
c
N
X
ˆ
~ · d~a
U
(A.7.6)
∂W (~
rj )
Die Summe über die Randflächen ∂W (~rj ) aller Zellen kann man umordnen in einen Teil, der
die inneren Grenzflächen Ajk umfasst, und einen zweiten Teil, der die äußeren Randstücke
Aext,k enthält:
ˆ
N
X
X ˆ
X ˆ
~ · d~a =
~ · d~a +
~ · d~a
U
U
U
(A.7.7)
j=1
∂W (~
rj )
Ajk A
jk
101
Aext,k A
ext,k
A.7 Divergenz - Gaußscher Integralsatz
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
ch
e
n
Bei der Summe über die inneren Grenzflächen treten Ajk und Akj immer paarweise auf,
wobei sich die beiden Flussintegrale
ˆ
ˆ
~ · d~a
~
U
(A.7.8)
U · d~a = −
Akj
Ajk
∂V
ext,k
-T
U
Aext,k A
M
ün
exakt kompensieren. Der Beitrag der inneren Grenzflächen in Gl. (A.7.7) ist daher Null. Für
den zweiten Term gilt:
ˆ
X ˆ
~
~ · d~a
U · d~a =
U
(A.7.9)
V
ph
ys
∂V
ik
Fassen wir Gl. (A.7.4) - (A.7.9) zusammen, erhalten wir im Limes |W (~rj )| → 0, N → ∞ die
Aussage
ˆ
ˆ
3
~
~ · d~a
div U d r =
U
A.7.4. Divergenzoperator in krummlinigen orthogonalen Koordinaten
1 ∂~r
;
hj ∂uj
∂~r hj = (j = 1, 2, 3)
∂uj
El
~euj =
ek
tro
(i) Sei G 3 (u1 , u2 , u3 ) = u 7→ ~r(u) ∈ V3 die Kartenabbildung für ein krummliniges orthogonales
Koordinatensystem (vgl. Abs. A.4)
Aus ihr erhält man die begleitende Orthonormalbasis (~eu1 , ~eu2 , ~eu3 ) gemäß
Te
ch
nis
ch
e
Man kann (u1 , u2 , u3 ) so anordnen, dass die Basis (~eu1 , ~eu2 , ~eu3 ) rechts-orientiert ist. Dann
gilt:
~eu3 = ~eu1 × ~eu2 ; ~eu2 = ~eu3 × ~eu1 ; ~eu1 = ~eu2 × ~eu3
für
(ii) Wir betrachten im Kartengebiet G einen rechtwinkligen Quader R(u0 ) mit Zentrum
u0 = (u01 , u02 , u03 ) (siehe Abb. in Abs. A.7.2).
Mittels der Kartenabbildung G 3 u 7→ P (u) ∈ E3 wird der Quader R(u0 ) auf einen “verbogenen Quaders” Q(P0 ) mit Zentrum P0 = P (u0 ) im E3 abgebildet. Dessen 6 Seitenflächen
Sj± haben die Parameterdarstellungen:
∆u1
, u2 , u3 ) ∈ S1±
2
∆u2
0
A±
, u3 ) ∈ S2±
2 3 (u1 , u3 ) 7→ P (u1 , u2 ±
2
∆u3
0
A±
) ∈ S3±
3 3 (u1 , u2 ) 7→ P (u1 , u2 , u3 ±
2
hr
st
uh
l
0
A±
1 3 (u2 , u3 ) 7→ P (u1 ±
c
Le
woraus sich die folgenden vektoriellen Oberflächenelemente ergeben:
Auf S1± :
Auf S2± :
Auf S3± :
∂~r
∂~r
×
du2 du3 = ±h2 h3~eu2 × ~eu3 du2 du3 = ±h2 h3~eu1 du2 du3
∂u2 ∂u3
∂~r
∂~r
d~a = ±
×
du1 du3 = ±h1 h3~eu1 × ~eu3 du1 du3 = ±h1 h3~eu2 du1 du3
∂u1 ∂u3
∂~r
∂~r
d~a = ±
×
du1 du2 = ±h1 h2~eu1 × ~eu2 du1 du2 = ±h1 h2~eu3 du1 du2
∂u1 ∂u2
d~a = ±
102
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.7 Divergenz - Gaußscher Integralsatz
(iii) Ein Vektorfeld F~ (~r) hat in der Orthonormalbasis (~eu1 , ~eu2 , ~eu3 ) die Komponentendarstellung
Fj (u) ~euj (u)
n
3
X
F~ (~r(u)) =
ch
e
j=1
mit
ün
Fj (u) = F~ (~r(u)) · ~euj
+
A+
2
ˆ
+
A+
3
A−
1
F1
F1
ˆ
F~ · ~eu2 h1 h3 du1 du3 −
| {z }
A−
2
F2
F~ · ~eu2 h1 h3 du1 du3
| {z }
F2
ˆ
F~ · ~eu3 h1 h2 du1 du2 −
| {z }
A−
3
F3
ik
ˆ
F~ · ~eu3 h1 h2 du1 du2
| {z }
ph
ys
A+
1
∂Q(Po )
-T
U
M
Damit lässt sich der Fluss durch den Rand ∂Q(P0 ) in u -Koordinaten wie folgt berechnen:
ˆ
ˆ
ˆ
~
~
F~ · ~eu1 h2 h3 du2 du3
F · d~a =
F · ~eu1 h2 h3 du2 du3 −
| {z }
| {z }
F3
ek
tro
Wie in Abs A.7.2 erhält man im Kartenraum die Darstellung
ˆ
∂
∂
∂
~
F · d~a =
(h2 h3 F1 ) +
(h1 h3 F2 ) +
(h1 h2 F3 ) ∆u1 ∆u2 ∆u3
∂u1
∂u2
∂u3
El
∂Q(P0 )
R(u0 )
Te
ch
nis
Q(P0 )
ch
e
Der Rauminhalt |Q(P0 )| berechnet sich als
ˆ
ˆ ∂~r
∂~r
∂~r
3
×
·
du1 du2 du3 ≈ h1 h2 h3 ∆u1 ∆u2 ∆u3
|Q(P0 )| =
d r=
∂u1 ∂u2
∂u3
Eingesetzt in die Definitionsgleichung
1
∆ui →0 |Q(P0 )|
ˆ
div F~ (P0 ) = lim
für
folgt schließlich
1
h1 h2 h3
∂Q(P0 )
∂
∂
∂
(h2 h3 F1 ) +
(h1 h3 F2 ) +
(h1 h2 F3 )
∂u1
∂u2
∂u3
c
Le
hr
st
uh
l
div F~ =
F~ · d~a
103
(A.7.10)
A.7 Divergenz - Gaußscher Integralsatz
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.7.5. Der Laplace-Operator
ch
e
n
(i) Sei Φ : Ω → R ein zweimal differenzierbares Skalarfeld. Dann ist grad Φ ein Vektorfeld auf
Ω, von dem man wiederum die Divergenz div(grad Φ) bilden kann. Dieser Ausdruck heißt
“Laplace-Operator” von Φ und wird mit dem Symbol 4 bezeichnet, also:
4Φ := div(grad Φ)
ün
(A.7.11)
∂Φ
∂Φ
∂Φ
~ex +
~ey +
~ez
∂x
∂y
∂z
Mit Gl. (A.7.2) folgt dann
∂Φ
∂x
also
∂Φ
∂y
∂
+
∂z
∂Φ
∂z
∂2Φ ∂2Φ ∂2Φ
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
(A.7.12)
tro
4Φ =
∂
+
∂y
ik
ph
ys
∂
4Φ =
∂x
-T
U
grad Φ =
M
(ii) In kartesischen Koordinaten (x, y, z) hat grad Φ die Komponentendarstellung
ek
(iii) In krummlinigen orthogonalen Koordinaten (u1 , u2 , u3 ) hat grad Φ die Darstellung
El
grad Φ =
3
X
1 ∂Φ
~eu
hj ∂uj j
j=1
ch
e
Mit Gl. (A.7.10) folgt dann:
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
1
∂
h2 h3 ∂Φ
∂
h1 h3 ∂Φ
∂
h1 h2 ∂Φ
4Φ =
+
+
h1 h2 h3 ∂u1
h1 ∂u1
∂u2
h2 ∂u2
∂u3
h3 ∂u3
104
(A.7.13)
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.8 Rotation und Integralsatz von Stokes
A.8. Rotation eines Vektorfeldes im E3 und Integralsatz von Stokes
ün
M
-T
U
ph
ys
~ als rechtsorientierte EinheitsJedes Flächenstück A (~r) habe N
normale bezüglich der Randkurve ∂A (~r). Für → 0 schachteln
die Flächenstücke A (~r) den Punkt P immer enger ein, wobei
ihr Flächeninhalt |A (~r)| gegen Null strebt.
ik
~ : Ω → V3 ein differenzierbares
Sei Ω ⊂ E3 ein Gebiet und U
Vektorfeld. Zu einem Aufpunkt P = O + ~r ∈ Ω mit Ortsvektor
~ betrachten wir eine “geschach~r und einem Einheitsvektor N
telte” Schar rechtsorientierter, ebener Flächenstücke A (~r), die
den Punkt P einschließen und deren Ausdehnung sich durch
eine Kugel K(P, ) um P mit dem Radius abschätzen lässt:
P ∈ A (~r) ⊂ K(P, ).
ch
e
n
A.8.1. Rotationsoperator
Definition:
(A.8.1)
ek
tro
~ besitzt bei P eine Rotation, wenn für jedes N
~ ∈ V3 , |N
~ | = 1 der Limes
U
ˆ
1
~
~
~ · d~r
N · rot U (~r) := lim
U
→0 |A (~
r)|
El
∂A (~
r)
existiert.
ch
e
~ ist ein Vektorfeld Ω → V3 .
rot U
Te
ch
nis
Anschaulich bedeutet dies, dass man für immer kleiner werdende Randkurven ∂A (~r), die P umschließen, die Zirkulation des Vektorfeldes betrachtet und diese auf die umschlossene Fläche |A (~r)|
~ ist die lokale Zirkulation von U
~ (~r)”
normiert. Man sagt daher: “rot U
für
~ mit curl U
~ bezeichnet.
Bemerkung: in der angelsächsischen Literatur wird die Rotation von U
uh
l
A.8.2. Integralsatz von Stokes
c
Le
hr
st
(i) Mit Hilfe des Integralsatzes von Stokes kann man ein Wegintegral über eine geschlossene
Kurve in ein Flächenintegral über eine von der Kurve eingeschlossene Fläche umwandeln.
Er lautet:
Sei A ein orientierbares Flächenstück in E3 mit positiv
~ (~r) ein stetig diffeorientierter Randkurve ∂A und U
renzierbares Vektorfeld, in dessen Definitionsbereich A
enthalten ist. Dann gilt:
ˆ
ˆ
~ · d~a =
rot U
A
~ · d~r
U
(A.8.2)
∂A
105
A.8 Rotation und Integralsatz von Stokes
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A(~rj )
ch
e
A=
N
]
n
(ii) Beweisskizze:
Man zerlegt A in hinreichend kleine Zellen A(~rj ) (j = 1, . . . , N ) mit
j=1
ph
ys
ik
-T
U
M
ün
Zwei benachbarte Zellen A(~rj ) und A(~rk ) dürfen höchstens eine gemeinsame Randkante Cjk
besitzen. Die am Flächenrand ∂A
[
Cext,k = ∂A
ek
k
tro
benachbarten Zellen A(~rk ) besitzen mit diesem ein gemeinsames Kurvenstück Cext,k , wobei
die Vereinigung dieser Kurvenstücke die gesamte Randkurve ∂A ergibt:
El
Man zerlegt nun das Flächenintegral über A in eine Summe über alle Zellen und wendet den
Mittelwertsatz an
ˆ
N
X
ch
e
ˆ
~ · d~a =
rot U
j=1
N
X
~ (~rj ) · N
~ |A(~rj )|
rot U
(A.8.3)
j=1
A(~
rj )
Te
ch
nis
A
~ · d~a ≈
rot U
Nach Definition der Rotation in Gl. (A.8.1) gilt für hinreichend kleine Zellen A(~rj ) näherungsweise
ˆ
~ (~rj ) · N
~ |A(~rj )| ≈
~ · d~r
rot U
U
(A.8.4)
sodass wir erhalten:
∂A(~
rj )
für
ˆ
~ · d~a ≈
rot U
j=1
uh
l
A
ˆ
N
X
~ · d~r
U
(A.8.5)
∂A(~
rj )
c
Le
hr
st
Die Summe über die Randkurven ∂A(~rj ) aller Zellen kann man umordnen in einen Teil, der
die inneren Randkanten Cjk umfasst, und einen zweiten Teil, der die äußeren Kurvenstücke
Cext,k enthält:
ˆ
N
X
X ˆ
X ˆ
~
~
~ · d~r
U · d~r =
U · d~r +
U
(A.8.6)
j=1
Cjk C
jk
∂A(~
rj )
Cext,k C
ext,k
Bei der Summe über die inneren Randkanten treten Cjk und Ckj immer paarweise auf, wobei
sich die Wegintegrale
ˆ
ˆ
~
~ · d~r
U · d~r = −
U
(A.8.7)
Cjk
Ckj
106
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.8 Rotation und Integralsatz von Stokes
∂A
ext,k
ch
e
Cext,k C
n
exakt kompensieren. Der Beitrag der inneren Randkanten in Gl. (A.8.6) ist daher Null. Für
den zweiten Term gilt:
ˆ
X ˆ
~
~ · d~r
U · d~r = U
(A.8.8)
A
M
ün
Fassen wir Gl. (A.8.3) - (A.8.8) zusammen, erhalten wir im Limes |A(~rj )| → 0, N → ∞ die
Aussage:
ˆ
ˆ
~
~ · d~r
rot U · d~a = U
c
Le
hr
st
uh
l
für
Te
ch
nis
ch
e
El
ek
tro
ph
ys
ik
-T
U
∂A
107
A.8 Rotation und Integralsatz von Stokes
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.8.3. Darstellung der Rotation in kartesischen Koordinaten
ch
e
n
Wir wählen in einem kartesischen Koordinatensystem (O, ~ex , ~ey , ~ez ) einen Aufpunkt P = O + ~r
~ bestimmen, wählen
mit ~r = x~ex + y~ey + z~ez . Wir wollen zunächst die z-Komponente von rot U
~ = ~ez in der Definitionsgleichung (A.8.1). Dazu legen wir um P ein Quadrat A (~r) in der
also N
x-y-Ebene mit P als Mittelpunkt und achsenparallelen Kanten der Länge ∆x = ∆y = .
tro
ph
ys
ik
-T
U
M
ün
Die 4 Kanten des Quadrats werden mit Cx+ , Cx− , Cy+ , Cy− bezeichnet (siehe Abbildung).
~ · ~ex dx0 −
U
∂Aε (~
r)
ˆ
x− ∆x
2
y+ ∆y
2
ˆ
+
Cy−
Cy+
∆y
Ux (x0 , y −
, z)dx0 −
2
Te
ch
nis
=
ch
e
x+ ∆x
2
~ · ~ey dy 0
U
~ · ~ey dy 0 −
U
~ · ~ex dx0 +
U
Cx−
Cx+
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
~ · d~r =
U
El
ˆ
ek
Für hinreichend kleine Kantenlängen erhalten wir näherungsweise
x+ ∆x
2
ˆ
∆y
, z)dx0
2
Ux (x0 , y +
x− ∆x
2
∆x 0
, y , z)dy 0 −
Uy (x +
2
y− ∆y
2
y+ ∆y
2
ˆ
Uy (x −
∆x 0
, y , z)dy 0
2
y− ∆y
2
∆y
∆y
≈ Ux (x, y −
, z) − Ux (x, y +
, z) ∆x
2
2
∆x
∆x
+ Uy (x +
, y, z) − Uy (x −
, y, z) ∆y
2
2
∂Uy
∂Ux
≈−
(x, y, z)∆y∆x +
(x, y, z)∆x∆y
∂y
∂x
hr
st
uh
l
für
c
Le
Nach Division durch die Oberfläche |Aε (~r)| = ∆x∆y ergibt sich für → 0 :
ˆ
~ (~r) = lim 1
~ · d~r = ∂Uy (~r) − ∂Ux (~r)
=⇒ ~ez · rot U
U
ε→0 ∆x∆y
∂x
∂y
∂Aε (~
r)
108
A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
A.8 Rotation und Integralsatz von Stokes
∂Uy
∂Uz
−
∂y
∂z
~ex +
∂Ux ∂Uz
−
∂z
∂x
~ey +
∂Uy
∂Ux
−
∂x
∂y
-T
U
~ := ~ex ∂ + ~ey ∂ + ~ez ∂
∇
∂x
∂y
∂z
tro
ph
ys
~ez ∂z Uz ik
~ mit U
~ dar(Vektorprodukt) von ∇
formale Determinanten-Entwicklung
ek
El
ch
e
Te
ch
nis
für
uh
l
hr
st
Le
c
109
(A.8.9)
M
Mit Hilfe des bereits in A.3.3 erwähnten Nabla-Operators
~ als formales äußeres Produkt
lässt sich die Rotation rot U
stellen, welches wie das Produkt zweier Vektoren über eine
ausgerechnet wird:
~e , ~e ,
y
x
~ =∇
~ ×U
~ = ∂x , ∂y ,
rot U
Ux , Uy ,
~ez
ün
~ =
rot U
ch
e
n
~ (~r) gewinnt man auf dieselbe Weise durch zyklische VertauDie x- und y-Komponente von rot U
schung von (x, y, z).
Als Ergebnis erhalten wir: