Ferienkurs Experimentalphysik 2

Technische Universität München
Department of Physics
Ferienkurs - Experimentalphysik 2
Montag
Daniel Jost
Datum 20/08/2012
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Mathematische Grundlagen
1
3 Die Maxwellgleichungen im Vakuum
3
4 Elektrostatik
4.1 Feldgleichungen der Elektrostatik . . . .
4.2 Das elektrostatische Potential . . . . . . .
4.3 Der Kondensator . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Dielektrika zwischen Kondensatorplatten
5 Der
5.1
5.2
5.3
.
.
.
.
4
4
5
6
7
elektrische Strom
Der elektrische Widerstand und das Ohmsche Gesetz . . . . . . . . . . .
Die Stromleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Kirchhoffschen Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
11
11
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2
Mathematische Grundlagen
1 Einleitung
Ziel dieses Ferienkurses ist in erster Linie die Wiederholung des Stoffes aus der Vorlesung „Experimentalphysik 2“ zur Vorbereitung auf die Zweitklausur. Es ist indes
unmöglich jedes Detail dieser Vorlesung in angemessener epischer Breite binnen einer
Woche gebührend zu würdigen, weswegen zu einem Großteil auf eine eher pragmatische Behandlung des Themengebietes Wert gelegt wird.
2 Mathematische Grundlagen
Um in der Elektrodynamik vernünftig rechnen zu können, bedarf es einiger mathematischer Werkzeuge, insbesondere im Hinblick auf Vektoranalysis. Wir beschränken uns
auf den dreidimensionalen euklidischen Vektorraum.
Definition 2.1. Ein Vektorfeld ~F ordnet jedem Punkt ~r ∈ R3 einen Vektor ~F (~r ) ∈ R3
im Raum zu, also
(
3
3
~F : R → R
~r 7→ ~F (~r )
Definition 2.2. Ein Skalarfed Φ ordnet jedem Punkt ~r ∈ R3 im Raum ein Skalar λ ∈ R
zu.
(
R3 → R
Φ:
~r 7→ Φ(~r ) = λ
Die Temperatur innerhalb eines Raumes, kann wunderbar durch ein Skalarfeld angegeben werden. Im Gegensatz zum Vektorfeld wird für jeden Punkt im Raum ein Skalar,
sprich eine Zahl, und kein Vektor, also insbesondere keine „Richtung“ angegeben.
Um auch in höheren Dimensionen so etwas wie infinitesimale Änderungen in die
Raumrichtungen zu verifizieren, bedarf es des
Definition 2.3. Nablaoperator in drei Dimensionen, der definiert ist als
 
∂
∂x
∂ 
~ =
∇
 ∂y 
∂
∂z
Der Nablaoperator ist erst ein Mal für sich genommen ziemlich hilflos und ergibt erst
im Kontext Sinn.
1
2
Mathematische Grundlagen
Definition 2.4. Sei Φ ein skalares Feld, dann ist


R → R3




grad :
~Φ=

Φ(~r ) 7→ ∇






∂Φ
∂x 
 ∂Φ
 
 ∂y 
∂Φ
∂z
der Gradient des Skalarfeldes Φ.
Der Gradient eines Skalarfeldes liefert offensichtlich ein Vektorfeld. Dieses Vektorfeld
quantifiziert die Änderungsrate sowie die Richtung der größten Änderung des Skalarfeldes. Beispiel: Die Temperaturverteilung in einem Raum kann durch ein Skalarfeld
angegeben werden. Der Gradient dieses Skalarfeldes zeigt in jedem Punkt im Raum in
die Richtung, in der die größte Temperatur festzustellen ist. Die Änderungsrate gibt an,
wie stark sich die Temperatur in Richtung dieses Punktes ändert.
Definition 2.5. Sei ~F : R3 → R3 ein Vektorfeld. Dann nennt man


R3 → R

   


∂

Fx
  
 ∂x
div :
∂
~F (~r ) 7→   ·  Fy  = ∂Fx + ∂Fy + ∂Fz


∂x
∂y
∂z
 ∂y   



∂
Fz
∂z
die Divergenz des Vektorfeldes ~F.
Zur Veranschaulichung ein Beispiel: Ein Vektorfeld, das die Geschwindigkeit sich
bewegender Luft wiedergibt. Falls sich die Luft in einem bestimmten Gebiet erhitzt,
wird das Vektorfeld von diesem Punkt wegzeigen, da die Luft expandiert. Die Divergenz
des Vektorfeldes in diesem Punkt ist dann ein positiver Skalar, weil das Gebiet eine
Quelle ist. Kühlt sich die Luft hingegen in einem Gebiet ab, so kontrahiert sie und
das Vektorfeld wird zu diesem Punkt zeigen. Die Divergenz ist in diesem Fall negativ.
Ist die Divergenz eines Vektorfeldes an jeder Stelle Null, dann ist es quellen- und
senkenfrei.
Definition 2.6. Sei ~F : R3 → R3 ein Vektorfeld. Dann nennt man

R3 → R3


    



∂Fy
∂Fz
∂

−
F
x
∂y
∂z
 ∂x
    ∂F

rot :
∂ 
∂Fz 
x




~

F
(~
r
)
7
→
×
=
F
−

y
∂y






∂z
∂x


∂Fy

∂Fx
∂
Fz
∂x − ∂y
∂z
die Rotation des Vektorfeldes ~F.
2
3
Die Maxwellgleichungen im Vakuum
Wenn die Rotation eines Vektorfeldes verschwindet, so nennt man dieses Vektorfeld
konservativ. Unter diesen Umständen findet man ein Potential Φ, für das gilt
~ Φ = −~E
∇
(1)
Definition 2.7. Sei ~F : R3 → R3 ein Vektorfeld, V ⊂ R3 eine dreidimensionale Teilmenge des R3 . Dann gilt:
Z
V
~ · ~F dV =
∇
I
A=∂V
~F · ~n dA
(2)
(Satz von Gauß)
In Worten sagt der Satz von Gauß, dass der Fluss durch eine geschlossene Oberfläche
der Summe der Quellen und Senken innerhalb der Oberfläche entspricht 1 . Wie zu
erkennen ist, integriert man zunächst über ein Volumen. Die Divergenz im Integranden
wandelt das Volumenintegral jedoch in ein Oberflächenintegral, gerade die Oberfläche
des angegeben Volumens, um. Prinzipiell lässt sich der Satz auf jedes beliebige Volumen
anwenden, kann dabei aber beliebig kompliziert werden. Im Zusammenhang mit der
Elektrostatik, in der der Satz für uns am meisten Bedeutung haben wird, sind drei
Geometrien nette Anordnung: kugelsymmetrische, zylindrische und planparallele
Probleme. Sie sind alle in irgendeiner Art symmetrisch und vereinfachen damit die
Berechnungen immens. Gerade planparallele Platten bei Kondensatoren sind durchaus
geläufig.
Definition 2.8. Sei ~F : R3 → R3 ein Vektorfeld, A ⊂ R3 eine zweidimensionale
Teilmenge des R3 . Dann gilt:
Z
A
~ × ~F d A
~ =
∇
I
~F d~s
(3)
∂A
(Satz von Stokes)
Dieser Satz wird morgen noch ein Mal wichtig, sei aber an dieser Stelle schon ein Mal
erwähnt.
3 Die Maxwellgleichungen im Vakuum
Im Rahmen dieses Ferienkurses ist eine anderen Herangehensweise an das Thema
der Elektrodynamik diskutiert worden. Während in der Vorlesung die Herleitung der
1 An
dieser
Stelle
sei
auf
Walter
Lewin
verwiesen
http://ocw.mit.edu/
courses/physics/8-02-electricity-and-magnetism-spring-2002/video-lectures/
lecture-3-electric-flux-and-gausss-law/, der einen sehr anschaulichen Einstieg für die
Verwendung des Satzes von Gauß in der Elektrodynamik liefert.
3
4
Elektrostatik
Maxwellgleichungen zunächst über die Bestimmung der Coloumbkraft zur Definition eines elektrischen Feldes und den Feldgleichungen der Elektrostatik führt usw.,
überlegen wir uns vom vollständigen Satz der Maxwellgleichungen, die wir als „vom
Himmel gefallen“ betrachten wollen, zunächst die statischen Fälle. Diese deduktive
Herangehensweise soll einer größeren Übersichtlichkeit dienen.
Definition 3.1. Die Maxwellgleichungen im Vakuum lauten
~
~ × ~E(~r, t) = − ∂ B(~r, t)
∇
∂t
~
~ × ~B(~r, t) = µ0 · ~j(~r, t) + 1 ∂ E(~r, t)
∇
c2 ∂t
~ · ~E(~r, t) = ρ(~r, t)
∇
e0
~ · ~B(~r, t) = 0
∇
(4)
(5)
Die Konstanten e0 und µ0 sind mit der Lichtgeschwindigkeit durch c2 = e01µ0 verknüpft.
Die Größe ~j ist die Stromdichte, ρ die Raumladungsdichte. Zusätzlich zu diesen vier
elementaren Grundgleichungen der Elektrodynamik findet man die Kraft, die auf ein
Teilchen der Ladung q in einem elektromagnetischen Feld wirkt, als
~F = q · (~E + ~v × ~B)
(6)
Die Kontinutitätsgleichung ist eine weitere Folgerung aus den Maxwellgleichungen,
die man erhält, wenn man die vierte Gleichung von links mit dem grad multipliziert.
∂ρ ~ ~
+∇·j = 0
∂t
(7)
In Worten bedeutet sie, dass Ladungen weder erzeugt noch vernichtet werden können. Diese sechs Gleichungen bilden die Grundlage der klassischen Elektrodynamik.
Anfänglich interessant sind die stationären Fälle, also die Elektro- und Magnetostatik.
Die Maxwellgleichungen sind lineare Differentialgleichungen erster Ordnung. Die
Lösungen dieser Differentialgleichungen, also die elektrischen und magnetischen Feldern, unterliegen daher dem Superpositionsprinzip. Das gilt auch für alle linearen
Zusammenhänge zwischen diesen Lösungen und anderen Größen.
4 Elektrostatik
4.1 Feldgleichungen der Elektrostatik
Betrachtet man in 3.1 die Fälle, in denen die Ladungsdichte sowie die Stromdichte
zeitlich konstant sind, also ρ(~r, t) = ρ(~r ) ⇒ ∂ρ/∂t = 0 und ~j(~r, t) = ~j(~r ), entkoppeln
sich elektrisches und magnetisches Feld, da deren Zeitableitungen verschwinden, und
4
4
Elektrostatik
man erhält die Feldgleichungen der entsprechenden statischen Spezialfälle. Für die
Elektrostatik also insbesondere:
~ · ~E = ρ
∇
e0
~ × ~E = ~0
∇
(8)
In der Übung wird gezeigt werden, dass das elektrische Feld, das von einer Ladung q
im Ursprung verursacht und nach 8 der Differentialgleichung
Z
V
~ · ~EdV =
∇
Z
V
ρ
dV
e0
(9)
gehorcht, mit
~E(~r ) =
q 1
·~er
4πe0 r2
(10)
als Lösung der Differentialgleichung bestimmt ist. Dieses Resultat ergibt sich, durch
geschickte Wahl des Gaußvolumens
R und der Anwendung des Satzes von Gauß in 9. Für
die rechte Seite erhält man dann V ρ/e0 dV = q/e0 . Der Satz von Gauß liefert bereits
einen Ausdruck für den Fluss durch eine Oberfläche. Man definiert im Zusammenhang
mit elektrischen Feldern den elektrischen Fluss
Φel =
Z
A
~
~E · d A
(11)
Aus 10 ergibt sich dann die Coulombkraft für zwei Punktladung q1 ,q2 im Abstand r
~F (~r ) = q1 · ~E(q2 ,~r ) = q1 q2 1 ~er
4πe0 r2
Das ist nun eine eher heuristische Herleitung dieser Kraft, die im Prinzip der Argumentation aus der klassischen Mechanik folgt2 .Ferner gilt für die Coulombkraft das
Superpositionsprinzip, das sich, wie bereits im vorherigen Abschnitt beschrieben, aus
der Linearität der Maxwellgleichungen ergibt. Es gilt für das Gesamtfeld ~E am Punkt
~R, das von n Ladungen erzeugt wird, also
~E(~R) =
n
∑ ~Ek =
k =1
n
q
(~R − ~r )
∑ 4πek 0 |~R −~r k|3
k =1
(12)
k
4.2 Das elektrostatische Potential
Nach 8 ist die Rotation des ~E-Feldes Null. Das heißt nach dem im ersten Kapitel
formulierten mathematischen Formalismus, dass ein Potential mit
~ Φ = −~E
∇
2~
F (~r )
= G·
Mm
~e
r2 r
~e
⇒ ~g = G M
r2 r
5
(13)
4
Elektrostatik
existiert. Einsetzen in die Feldgleichung liefert die Poissongleichung
~ 2Φ = ρ
∇
e0
(14)
die zulässt aus einer Ladungsverteilung ρ das zugehörige Potential zu rekonstruieren.
Für die Punktladung erhält man nun also mit 10
Φ(~r ) = −
Z
~E d~r = −
Z
E dr =
q 1
4πe0 r
(15)
Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten
U := Φ(~R1 ) − Φ(~R2 ) =
Z ~R2
~R1
~E(~r ) d~r
(16)
wird Spannung genannt. Analog zur klassischen Mechanik, kann man mit dem elektrostatischen Potential die potentielle Energie berechnen, die eine Probeladung q am
Punkt ~r besitzt
dWpot = Φ · dq
(17)
Wpot = q · Φ
(18)
bzw. bei konstantem Potential:
4.3 Der Kondensator
In der Elektrostatik begegnet man sehr häufig Problemen mit Kondensatoren. Zunächst
handelt es sich dabei um zwei entgegengesetzt geladene Leiterplatten, die in der
Lage sind, Ladungen zu speichern. Auch wenn man sehr häufig Plattenkondensatoren
begegnet, ist die Geometrie der „Platten“ nicht darauf beschränkt. Der Zusammenhang
Abbildung 1: Bsp.: Plattenkondensator
zwischen diesen Größen kann durch die elektrische Kapazität3
3 Kapazität
von lat. capacitas = Fassungsvermögen
6
4
Elektrostatik
Q
(19)
U
ausgedrückt werden. Ein sehr einfacher und häufig behandelter Fall ist der Plattenkondensator. An eine Spannungsquelle werden zwei parallel ausgerichtete Platten mit dem
Abstand d der Fläche A angeschlossen. Die Kapazität ergibt sich zu
C=
C = e0
A
d
(20)
Dieses Ergebnis wird in der Übung anhand eines Beispiels mittels Satz von Gauß berechnet. Für die Kapazität C von Kondensatoren gilt insbesondere in Parallelschaltung
C=
∑ Ck
k
und in Reihenschaltung
1
=
C
1
∑ Ck
k
Die Energie, die im elektrischen Feld zwischen den Kondensatorplatten gespeichert
ist, kann man berechnen, indem man sich überlegt, wie groß die Arbeit ist, die man
benötigt, um die Ladung einer Platte vollständig zu entnehmen, also mit 17
dW = U · dQ
Einsetzen von 19 liefert
E=
Z
Q2
1
1
Q
dQ =
= CU 2 = QU
C
2C
2
2
(21)
4.4 Dielektrika zwischen Kondensatorplatten
Ein Dielektrikum ist ein Material, das elektrisch nichtleitend ist, das heißt, ein Material,
bei dem potentielle Ladungsträger (Elektronen) an die Atomrümpfe stark gebunden
sind und sich nicht innerhalb des Dielektrikums frei bewegen könne. Das ist hilfreich,
da man es zwischen Kondensatorplatten schieben kann, ohne einen Kurzen zu riskieren.
Was passiert nun aber mit dem elektrischen Feld? Nach 6 übt es in jedem Fall eine
Kraft auf die Elektronen aus. Da sie sich aber nicht hinreichend frei bewegen können,
werden sie sich innerhalb des Atoms vermehrt auf einer Seite aufhalten, es bilden sich
kleine Dipole innerhalb des Dielektrikums, (betrachte Abbildung 2), die sich energetisch
günstig ausrichten. Dadurch wird ein elektrisches Feld induziert, das dem angelegten
äußeren Feld entgegengesetzt ist. Das Feld im Dielektrikum ~ED reduziert also das
7
4
Elektrostatik
Abbildung 2: Dielektrika
äußere Feld ~E0 . Durch einigen (großen) Rechenaufwand findet man schließlich, dass
das elektrische Feld um
~E0 = er · ~ED
reduziert wird. Die materialspezifische Konstante er ≥ 1 ist die relative Dielektrizitätskonstante oder dielektrische Leitfähigkeit. Das Gleichheitszeichen gilt im Vakuum.
Die Kapazität eines Kondensators ändert sich um
C = er
Q
U
(22)
Falls man mehrere Dielektrika parallel in einen Kondensator schiebt, verhält sich der
Kondensator, als schaltete man mehrere Kondensatoren mit je einem Dielektrikum
parallel. Für die Reihenschaltung mehrere Dielektrika in einem Kondensator, ist die
Kapazität gerade, als schaltete man mehrere Kondensatoren mit je einem Dielektrikum
in Reihe.
Abbildung 3: Dielektrika parallel und in Reihe geschaltet
8
5
Der elektrische Strom
5 Der elektrische Strom
Der elektrische Strom ist in erster Linie definiert als
dQ
dt
Darüber hinaus formuliert man die Stromdichte, die
I=
(23)
~j = n · q · ~v D
(24)
mit n als Teilchendichte der Ladungsträger, der Ladung q und der Driftgeschwindigkeit
~v D . Die Stromdichte bezeichnet den Strom, der durch eine Querschnittsflächeneinheit
senkrecht zu ~j fließt. Für den Gesamtstrom durch eine geschlossene Oberfläche findet
man dann
Z
~
I = ~j d A
(25)
A
Beispiel: Ein Leiter mit kreisförmigem Querschnitt, Innenradius r und der Stromdichte ~j = j ·~en , wobei ~en der Einheitsvektor senkrecht auf der Querschnittsfläche ist,
durchfließt der Strom
I=
Z
A
~j d A
~ =
Z 2π
0
dϕ
Z r
0
dr · r j = 2π
r2
j = πr2 j
2
(26)
Das Integral wird also über die gesamte Querschnittsfläche berechnet. Interessiert man
sich nur für die Stromstärke in einem Teilbereich und nicht im gesamten Leiter, so passt
man die Integrationsgrenzen entsprechend an. Die Leitergeometrie ist bei den meisten
Aufgaben so simpel, dass man sich für gewöhnlich keine großen Gedanken um den
~ und ~j zueinander stehen.
Normalenvektor machen muss, sprich wie d A
5.1 Der elektrische Widerstand und das Ohmsche Gesetz
Betrachtet man Ladungsträger, die sich durch einen Leiter bewegen, so besitzen sie
aufgrund thermischer Energie bereits eine Geschwindigkeit, was eigentlich dafür
spräche, dass damit auch eine Stromdichte einherginge. Jedoch kommt es über die
Zeit zu Stößen zwischen den Ladungsträgern, sodass die mittlere Geschwindigkeit
gleich Null ist. Durch das Anlegen einer Spannung, also eines elektrischen Feldes,
werden die Ladungsträger hingegen gleichmäßig in eine Richtung beschleunigt-, wobei
sie nach einer Zeit τs mit einem Ladungsträger kollidieren, abgebremst und wieder
beschleunigt werden. Die Geschwindigkeit zuckelt gewissermaßen hin und her und
die Ladungsträger driften durch den Leiter (vgl. Abbildung 4).
Es gilt also
m~a = q · ~E ⇒ m~a = q · ~E
9
5
Der elektrische Strom
Abbildung 4: Driftgeschwindigkeit bei Anlegen eines äußeren Feldes
und mit einmaliger Integration sowie Auswertung zum Zeitpunkt t = τs
~v D =
q · ~E
τs
m
Für die Stromdichte gilt demnach
2
~j = nq~v D = nq τs ~E = σel · ~E
m
(27)
wobei σel = nq2 τs /m identifiziert wird als die materialspezifische elektrische Leitfähigkeit. Betrachtet man nun einen homogenen Leiter mit dem Querschnitt A und der
Länge L, so findet man
U=
Z
EdL = E · L
und für den Strom
I=
Z
~jd A
~ = j·A
Zusammenfassend also gerade das Ohmsche Gesetz in bekannter Form
U = R·I
(28)
mit R = σelLA . Für Widerstände, die hintereinander oder nebeneinander geschalten
werden, ergeben sich ähnliche Rechenregeln wie beim Kondensator. Für die Reihenschaltung findet man
R=
∑ Rk
k
und für die Parallelschaltung
1
=
R
1
∑ Rk
k
10
Literatur
5.2 Die Stromleistung
Beim Transport von elektrischen Ladungen wird nach
W = q(φ( R1 ) − φ( R2 )) = q · U
Arbeit verrichtet. Die elektrische Leistung ist bei konstanten U und I
P=
dW
d
dQ
= (Q · U ) = U ·
=U·I
dt
dt
dt
(29)
5.3 Die Kirchhoffschen Regeln
Zur Berechnung von Strömen und Spannungen in einem Spannungsnetzwerk, verwendet man die Kirchhoffschen Regeln.
1. Die Maschenregel besagt, dass die Summe aller Spannungen im gesamten Stromkreis und insbesondere in jeder Masche gleich Null sein muss.
∑ Uk = 0
(30)
k
2. Die Knotenregel: Die Summe der einlaufenden Ströme in einen Knoten muss gleich
der Summe der auslaufenden Ströme sein.
∑ Ik = 0
(31)
k
Nützlich sind noch folgende Zusatzregeln
(a) Spannungsquellen werden von ⊕ nach positiv gezählt.
(b) Widerstände, die in Stromrichtung durchlaufen werden, werden als Spannungsabfall betrachtet und somit negativ gezählt.
Literatur
[1] The Feynman Lectures on Physics - Feynman/Leighton/Sands
[2] Experimentalphysik 2 - Wolfgang Demtröder
11