Heinz Rapp

Heinz Rapp
Mathematik fur die
Fachschule Technik
Heinz Rapp
Mathematik
fur die Fachschule Technik
Algebra, Geometrie, Differentialrechnung,
Integralrechnung, Komplexe Rechnung
4., tiberarbeitete und erweiterte Auflage
Mit tiber 500 Abbildungen
Viewegs FachbUcher der Technik
II
vleweg
Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet uber <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Das Werk erschien seit 1983 bis zu seiner Neubearbeitung 1996 in 4 Auflagen im selben Verlag.
1. Auflage 1996
2., uberarbeitete Auflage 1999
korrigierter Nachdruck September 2000
3., uberarbeitete und erweiterte Auflage Oktober 2001
4., uberarbeitete und erweiterte Auflage Januar 2003
Aile Rechte vorbehalten
© Priedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, BraunschweigjWiesbaden, 2003
Der Verlag Vieweg ist ein Unternehmen der Pachverlagsgruppe BertelsmannSpringer.
www.vieweg.de
Das Werk einschlieBlich aller seiner Teile ist urheberrechtIich geschUtzt. Jede
Verwertung auBerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist
ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere
fiir Vervielfciltigungen, Ubersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Technische Redaktion: Hartmut Kuhn von Burgsdorff
Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de
Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
ISBN 978-3-528-34960-8
ISBN 978-3-322-91911-3 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-91911-3
v
Vorwort
Das vorliegende Buch ist fOr die Fachschule konzipiert und damit auf die Belange der
Praxis abgestimmt.
Inhaltlich umfasst es den Lehrstoff der Mathematik fOr Fachschulen der Technik, ist aber
in seinen wesentlichen ZOgen so gehalten, dass es auch in anderen Schularten verwendet
werden kann, die zu einem mittleren Bildungsabschluss (mittlere Reife, Fachschulreife)
und zur Fachhochschulreife fOhren.
Der didaktische Grundgedanke war es, grundlegende Kenntnisse anwendungsorientiert zu
vermitteln, ohne dabei die angemessene begriffliche und mathematische Sorgfalt auBer
acht zu lassen.
Mit der vorliegenden Auflage des Werkes wird ein Lehrbuch der Mathematik vorgestellt,
das den Veranderungen der neuen Lehrplane an den Fachschulen Rechnung tragt. Es
enthalt als Erweiterung das Gebiet der Differentialrechnung und der Integralrechnung, so
dass das Buch auch fOr Schularten verwendet werden kann, die zu einem h6heren
Bildungsabschluss (Fachhochschulreife) fOhren. Das Gebiet der Komplexen Rechnung ist
als Anhang fOr die Fachschule der Elektrotechnik konzipiert.
Die knappe Darstellung in zweispaltiger AusfOhrung, bei denen der erklarende Text der
praktischen AusfOhrung mathematischer Berechnungen gegenObergestellt wird, erleichtert das schnelle und grOndliche Einarbeiten in das Stoffgebiet.
Zahlreiche durchgerechnete Aufgabenbeispiele mit L6sungsgang erm6glichen es dem
Benutzer, sein K6nnen und Wissen selbst zu OberprOfen und geben damit einen Anreiz,
auch die etwas schwierigen Anwendungsaufgaben anzugehen. In besonderer Weise
eignet sich das Buch deshalb auch zum Selbststudium.
Mein besonderer Dank gilt meinem Sohn J. Matthias Rapp, der mich durch seine Mitarbeit
an diesem Buch unterstOtzt hat.
Ein weiteres Wort des Dankes m6chte ich an die Mitarbeiter des Verlages richten,
insbesondere an Herrn Ewald Schmitt und an Herrn KOhn von Burgsdorff fOr die gute
Zusammenarbeit bei der Drucklegung dieses Buches.
Stuttgart, Januar2003
Heinz Rapp
VII
Inhaltsverzeichnis
1 Mathematische 8egriffe und Schreibweisen .....................................................
1.1
Zahlen .........................................................................................................
1.1.1
Zahlendarstellung auf der Zahlengeraden .....................................
Mengen .......................................................................................................
1.2.1
Aufzahlende Mengenschreibweise ................................................
1.2.2
Beschreibende Mengenschreibweise ............................................
1.2.3
Mengendiagramme ........................................................................
1.2.4
Beziehungen zwischen Mengen (Mengenrelationen) ....................
1.2.5
MengenverknOpfungen (Mengenoperationen) ......................... ......
Intervallschreibweisen .................................................................................
Symbole der Logik ................................. ......................................................
3
3
3
4
4
5
8
8
2 Rechnen mit Termen ..... ....... .................. .......... ................ .......... .................... ......
9
1.2
1.3
1.4
2.1
Grundrechenarten mit Termen ....................................................................
2.1.1
Addition und Subtraktion (Rechnen mit Klammertermen) ..............
2.1.2
Klammern in Klammern .................................................................
Multiplikation und Division ...........................................................................
2.2.1
Produkte mit negativen Zahlen ....... ...............................................
2.2.2
Multiplikation mit Null (Nullprodukt) ................................................
2.2.3
Multiplikation mit Summentermen ..................................................
2.2.4
Binomische Formeln ..................... ........... ......................................
2.2.5
Quotienten aus positiven und negativen Zahlen ............................
2.2.6
Rechnen mit Bruchtermen ............ .................................................
9
10
10
11
11
11
12
13
16
18
3 Lineare Gleichungen ............................................................................................
28
2.2
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
Aquivalenz von Aussageformen ..................... .............................................
Losungsverfahren fOr lineare Gleichungen ..................................................
Einfache lineare Gleichungen ......................................................................
Bruchgleichungen ........................................................................................
Gleichungen mit Formvariablen ......................................................... ..........
Verhaltnisgleichungen (Proportionen) ................................................. ........
Textliche Gleichungen .................................................................................
3.7.1
Allgemeine textliche Gleichungen ..................................................
3.7.2
Mischungsaufgaben .......................................................................
3.7.3
Bewegungsaufgaben .....................................................................
3.7.4
Behalteraufgaben ..........................................................................
3.7.5
Arbeitsaufgaben .............................................................................
28
29
30
33
37
44
48
48
50
54
57
60
4 Funktionen 1. Grades ...........................................................................................
63
4.1
Der Funktionsbegriff ....................................................................................
63
Inhaltsverzeichnis
VIII
4.2
4.3
Darstellung von Funktionen .........................................................................
Funktionsdarstellung im Koordinatensystem ...............................................
4.3.1
Das rechtwinklige Koordinatensystem .................. .......... ...............
4.3.2
Das Polarkoordinatensystem .......... .................... ............ ...............
Lineare Funktionen der Technik ..................................................................
Die lineare Funktion x H mx ........ ........ .......... .......... ............ .......................
Die Funktion 1. Grades mit der Funktionsgleichung y =mx + b ..................
Graphische Darstellung linearer Zusammenhange .....................................
64
66
66
66
69
70
72
75
Systeme linearer Gleichungen ............................................................................
79
4.4
4.5
4.6
4.7
5
5.1
5.2
5.3
5.4
6
79
81
81
82
86
89
91
95
101
101
102
103
Potenzen............................................................................................................... 108
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
7
Graphisches Losungsverfahren von Gleichungssystemen ..........................
Rechnerische Losungsverfahren von Gleichungssystemen ........................
5.2.1
Das Gleichsetzungsverfahren ........................................................
5.2.2
Das Einsetzungsverfahren .............................................................
5.2.3
Das Additionsverfahren .................................................................
5.2.4
Das Determinantenverfahren .........................................................
5.2.5
Gleichungssyteme mit Bruchtermen ..............................................
Losungsverfahren fOr Gleichungsysteme mit drei Variablen .......................
Textaufgaben mit zwei Variablen ................................................................
5.4.1
Mischungsaufgaben .......................................................................
5.4.2
Bewegungsaufgaben.....................................................................
5.4.3
Behalteraufgaben............... ..... ......................................................
Potenzbegriff .............................. .................................................................
Potenzgesetze......... ........... ......... ...............................................................
6.2.1
Addition und Subtraktion von Potenzen ........ .................. ...............
6.2.2
Multiplikation von Potenzen ...........................................................
6.2.3
Division von Potenzen ...... .......... .......... ........ .................................
6.2.4
Potenzieren von Potenzen .......... .......... ........ .................................
Erweiterung des Potenzbegriffes ...... .......... ............ .......... .................... .......
Besondere Potenzen (Zehnerpotenzen) .....................................................
Potenzen von Binomen .. .............. ................ ...................... .........................
108
108
108
109
110
111
112
113
117
Wurzeln ................................................................................................................. 119
7.1
7.2
7.3
Wurzelbegriff .................. .................... .......... ...................... .........................
7.1.1
Quadratwurzeln............ ...... .......... ............ .......... .................... .......
7.1.2
Der allgemeine Wurzelbegriff .........................................................
Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Hochzahlen ..................................
Rechnen mit Wurzel- und Potenztermen .....................................................
119
119
122
122
125
8 Quadratische Gleichungen .................................................................................. 130
8.1
Rechnerische Losung quadratischer Gleichungen ...................................... 132
8.1.1
Reinquadratische Gleichungen ...................................................... 132
Inhaltsverzeichnis
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
8.1.2
Gemischtquadratische Gleichungen ohne Absolutglied ............. ....
8.1.3
Gemischtquadratische Gleichungen .... ... .......... .............................
Losbarkeit quadratischer Gleichungen, Diskriminante ................................
Koeffizientenregel von Vieta ..................................... ......... ..........................
Biquadratische Gleichungen ................ ............... ................... ........ ........ .....
Quadratische Gleichungssysteme mit zwei Variablen .................................
Textaussagen, die auf quadratische Gleichungen fOhren ...........................
IX
134
134
136
137
140
140
143
9 Wurzelgleichungen .............................................................................................. 147
9.1
9.2
Wurzelgleichungen mit einer Variablen ....................................................... 147
Wurzelgleichungen mit zwei Variablen ........................................................ 151
10 Ungleichungen ........... ......... .......... ... .................. ... ... ........... ................................. 154
10.1
10.2
10.3
Aquivalenzumformungen bei Ungleichungen .............................................. 153
Einfache lineare Ungleichungen ...... ... ..... ... ..... ......... ......... ....... ................... 156
Bruchungleichungen .................................................................................... 156
11 Lineare Ungleichungssysteme ............................................................................ 162
12 Lineares Optimieren ........ ....... ..... ..... ..... ........ ... ..... ... ......... ......... .......................... 165
13 Quadratische Funktionen ........... ........ ..... ..... ... ..... ... ......... ......... .......................... 175
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
Die allgemeine quadratische Funktion x H ax 2 + bx + c
und ihre graphische Darstellung ..................................................................
Die Scheitelform der quadratischen Funktionsgleichung .............................
Extremwertaufgaben ...... ..... ..... ... ..... ..... ............ .......... ................................
Aufstellen von Funktionsgleichungen aus Vorgaben ...................................
Graphische Losung quadratischer Gleichungen ..........................................
176
180
182
185
189
14 Potenzfunktionen ......... .............. ........ .......... ... ..................................................... 190
14.1
Die Funktionen x H xn .............................................................................. 191
14.1.1 Achsensymmetrische Parabeln ..................................................... 191
14.1.2 Punktsymmetrische Parabeln ........................................................ 191
14.2
Die Funktionen x H x- n ............................................................................ 192
14.2.1 Punktsymmetrische Hyperbeln ....... .... ........ ................................... 192
14.2.2 Achsensymmetrische Hyperbeln ........ ........ ................................... 192
15 Wurzelfunktionen ......... ....... ..... ..... ..... ... ..... ... ..... ....... ... ......... ... ............................ 193
15.1
15.2
Quadratwurzelfunktionen.. ..... ..... ... ... ..... ... ... ......... .............. ...... ........ ..... ..... 193
Wurzelfunktionen hoherer Ordnung .. ..... ... ... ..... ........... .... ...................... ..... 197
16 Analytische Geometrie ....... .......... ... ..... ... ... ..... ... ... ........... ......... ........ .... ............... 200
16.1
Lange und Steigung von Strecken ...... ... ... ...... ........ .................................... 200
x
Inhaltsverzeichnis
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
Teilpunkte von Strecken ..............................................................................
16.2.1 Mittelpunkte von Strecken ....................................... ......................
16.2.2 Beliebiger Teilpunkt T einer Strecke ..............................................
Geradengleichungen .............. ......................................... ......................... ...
16.3.1 Punkt-Steigungsform .................................................... ............ .....
16.3.2 Zwei-Punkte-Form .... ......... ... ...... ....... ... .......... ..... ............. ........ .....
16.3.3 Achsenabschnittsform .................. ..... .......... ... ......... ......................
16.3.3 HESSE-Form der Geradengleichung .............................................
Winkel zwischen Geraden ............. ................ ... ..... ..... ... ........... ......... ....... ...
16.4.1 Winkel zwischen Gerade und x-Achse ..........................................
16.4.2 Schnittwinkel zweier Geraden ........................................................
Orthogonale Geraden ..................................................................................
Kreisgleichungen .........................................................................................
16.6.1 Mittelpunktsgleichung eines Kreises ..............................................
16.6.2 Allgemeine Kreisgleichung .............................. ...................... .........
Kreis und Gerade ........................................................................................
Parabeln und Hyperbeln ..................................... ............... ......... ...... ...... .....
16.8.1 Brennpunkteigenschaften der Parabel .. ... ..... ....... ............. ........ .....
16.8.2 Brennpunkteigenschaften der Hyperbel ..... ... ......... ........... ........ .....
202
202
203
204
204
205
206
207
211
211
212
214
217
217
218
220
225
225
227
17 Exponentialfunktionen ......................................................................................... 228
17.1
17.2
Die allgemeine Exponentialfunktion ............................................................ 228
Die e-Funktion ............................................................................................. 231
18 Logarithmen ............................................................................................... ...... ..... 237
18.1
18.2
18.3
Logarithmenbegriff ........ ..................................... ..... ........ .... ................... .....
Logarithmensysteme ............................................... ..... ....... ............. ...... .....
18.2.1 NatOrliche Logarithmen ................................... ....... ......... .......... .....
18.2.2 Zehnerlogarithmen ................ ...... ........ ... ..... ............ ......... .......... ....
Logarithmengesetze ..................... ...... ... ... ..... ... ... ..... ....... ....... ............. ........
237
238
238
239
240
19 Logarithmusfunktionen .................................................... ............ .... ................ ... 244
19.1
19.2
Die allgemeine Logarithmusfunktion .. ...... ........... ..... ..... ........... ................ ... 244
Die natOrliche Logarithmusfunktion ............................................................. 246
20 Exponentialgleichungen ...................................................................................... 247
21 Koordinatensystem mit logarithmischer Teilung ................ ....... ....................... 252
22 Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck ................................................ ... 253
22.1
22.2
22.3
Seitenverhaltnisse als Winkelfunktionen ......... ............. ..... ....................... ...
Definition der Winkelfunktionen ......... ... ........... ........ .......... ..........................
Langen- und Winkelberechnungen .................. ... ........ ..... ........... ........ .........
22.3.1 Die Sinusfunktion .......................................... ................ .................
22.3.2 Die Kosinusfunktion .................... ... ..... ...... ....... ..... .........................
253
254
254
254
256
Inhaltsverzeichnis
22.4
22.5
22.6
22.3.3 Die Tangens- und Kotangensfunktion ............................................
22.3.4 Vermischte Aufgaben ..•.................................................................
Zusammenhang zwischen den Winkelfunktionen ........................................
Winkelfunktionen beliebiger Winkel .............................................................
Die Graphen der Winkelfunktionen ..............................................................
22.6.1 Die Schaubilder der Sinus- und Kosinusfunktion ...........................
22.6.1 Die allgemeine Sinusfunktion und ihre graphische Darstellung .....
22.6.3 Die Schaubilder der Tangens- und Kotangensfunktion ..................
XI
259
261
269
271
276
277
278
281
23 Winkelfunktionen am schiefwinkligen Dreieck ............................................. ..... 283
23.1
23.2
23.3
Sinussatz ..................................................................................................... 283
Kosinussatz ......................................................... ........................................ 290
Flachenberechnung des schiefwinkligen Dreiecks .................... ........ ...... .... 303
24 Additionstheoreme .......................................................... ....... ......... ........... .......... 305
24.1
24.2
Funktionen der doppelten und hal ben Winkel............................... .............. 308
Goniometrische Gleichungen .......... .............................. ..... ...... ................... 309
25 Flachensatze am rechtwinkligen Dreieck ............. ...... ................................. ....... 313
25.1
25.2
23.3
Satz des Pythagoras ................................................................................... 313
Kathetensatz (Satz des Euklid) ..................... ............. ......... ........... ........ ..... 327
Hehensatz ........................... ........................................................................ 329
26 Ahnlichkeit .............................................................................................. .............. 332
26.1
26.2
26.3
Strahlensatze ...................................... ..... ......... .... ..... ......... ........................ 332
Streckenteilung und Mittelwerte ................. ............. .................... ............ .... 340
Stetige Teilung (Goldener Schnitt) .............................................................. 343
27 Flachenberechnung ............................................................................................. 347
27.1
27.2
Geradlinig begrenzte Flachen ..................................................................... 347
Kreisfermig begrenzte Flachen ................................................................... 350
28 Volumenberechnung ............................... ........................................... .................. 358
28.1
28.2
28.3
28.4
Prismatische Kerper ............. ....................... ................................................
Pyramidenfermige und kegelfermige Kerper .......................................... .....
28.2.1 Pyramide und Pyramidenstumpf ............................................. .......
28.2.2 Kegel und Kegelstumpf .... ......................... .....................................
Kugelfermige Kerper ...................................................................................
28.3.1 Vollkugel ........................................................................................
28.3.2 Kugelabschnitt (Kugelsegment) .....................................................
28.3.3 Kugelschicht ..................................................................................
28.3.4 Kugelausschnitt (Kugelsektor) ................................................... ....
Schiefe Kerper ............................................................................................
28.4.1 Satz des Cavalieri ..........................................................................
358
365
365
366
370
370
373
375
378
382
382
Inhaltsverzeichnis
XII
28.5
28.4.2 Simpson'sche Regel ...................................................................... 384
Oberfiachen und Volumina von Rotationsk6rpern (Guldin'sche Regel)
386
Differentialrechnung
29 Grenzwerte
29.1
29.2
Grenzwerte von Zahlenfolgen .....................................................................
Grenzwerte von Funktionen ................................................................. .......
29.2.1 Grenzwerte x ~ xo .........................................................................
29.2.2 Grenzwerte fur x ~ + und x ~ 29.2.3 Rechenregeln fUr Grenzwerte ........................................................
00
00
.............................................
389
391
391
394
395
30 Stetigkeit von Funktionen .. ............ ....... ..... ....... ... ... ............................................. 396
31 Differentiation elementarer Funktionen ...................................................... ........ 398
31.1
31.2
31.3
31.4
31.5
Differenzenquotient und Differentialquotient ................................................
Ableitung von Potenzfunktionen ..................................................................
Allgemeine Ableitungsregeln .......................................................................
Ableitung elementarer Funktionen ...............................................................
H6here Ableitungen .....................................................................................
398
399
400
403
404
32 Horner-Schema und Nullstellen ganzrationaler Funktionen ............................ 406
32.1
32.2
Polynomdivision..... ......... ......... .... ... ... ......... ... ... ..... ..... ................................ 406
Horner-Schema ........................................................................................... 407
33 Das Newtonsche Niiherungsverfahren .. ... ............ ........ ..... ................................. 410
34 Anwendung der Differentialrechnung bei ganzrationalen
Funktionen ............................................................................................................ 411
34.1
34.2
34.3
Kurvendiskussion.... ....... ........... .... ..... ... ............... ....................................... 411
Funktionssynthese ...................................................................................... 416
Extremwertaufgaben .... ............. .... ... ..... ......... ......... .......... ................... ....... 419
35 Differentiation trigonometrischer Funktionen ....... ... ......................................... 425
35.1
35.2
35.3
Ableitungen... ....... ............. ......... .... ... ....... ....... ... ... ..... ............ .................. ... 425
Funktionsuntersuchung trigonometrischer Funktionen ................................ 426
Funktionssynthese trigonometrischer Funktionen ....................................... 428
36 Differentiation der Logarithmus- und Exponentialfunktionen ....................... ... 429
36.1
36.2
36.3
Ableitungen...... ......... ..... ...... ........... ..... ..... ....... ... .......... ..... .................... .....
36.1.1 Ableitungen der Logarithmusfunktionen ... ... ..... ........................ ......
36.1.2 Ableitung der Exponentialfunktionen ..... ... ........ ..............................
Funktionsuntersuchung von Exponentialfunktionen ................................ ....
Funktionssynthese von Exponentialfunktionen ............................................
429
429
429
430
431
Inhaltsverzeichnis
XIII
Integralrechnung
37 Der 8egriff des Integrals ............................... ........ ...... ............ ............. ........ ........ 435
37.1
37.2
37.3
37.4
37.5
Die Flacheninhaltsfunktion ..........................................................................
Stammfunktionen ........................................................................................
Grundintegrale elementarer Funktionen ......................................................
Das bestimmte Integral als Flache ..............................................................
Die Flache als Grenzwert ............................................................................
435
436
438
439
439
38 Flachenberechnung mit Hilfe der Integralrechnung ...... ............................. ...... 441
38.1
38.2
Flachen zwischen Funktionsgraph und x-Achse .... ... ........... ......... ......... ..... 441
Flachen zwischen zwei Funktionsgraphen ..... ........ .............. ......... ......... ..... 444
39 Das bestimmte Integral als Volumen
(Volumen von Rotationskorpern) ........................................................................ 447
39.1
39.2
Rotationssymmetrie zur x-Achse ................................................................. 447
Rotationssymmetrie zur y-Achse ................................................................. 448
Anhang Komplexe Zahlen und Funktionen ............................................................ 453
A1
A2
A3
A4
Grundbegriffe ..............................................................................................
Darstellungsformen komplexer Zahlen ........................................................
Komplexe Arithmetik ...................................................................................
Anwendungen der komplexen Rechnung ....................................................
453
457
461
469
Losungen .... ...................... ..... ....... ....... ... ... ..... .......... ..... ........ ..... ....... ......................... 480
Sachwortverzeichnis ................................................................................................. 509
1 Mathematische Begriffe und Schreibweisen
In der Mathematik ist es ublich, logische Beziehungen zwischen Zahlen, Punkten, geometrischen Figuren und dergleichen aufzuzeigen und durch Anwendung geeigneter
Operationen unter Beachtung bestimmter GesetzmaBigkeiten zu neuen Aussagen zu
kommen.
Hierzu ist es erforderlich, die definierten Begriffe mit klarer kurzer Schreibweise einzufUhren. 1m Foigenden sollen einige dieser Begriffe, die in den nachfolgenden Kapiteln Verwendung finden, dargestellt werden.
1.1 Zahlen
dargestellt in Mengenschreibweise:
=
NatUrliche Zahlen
rN*
NatUrliche Zahlen einschlieBlich der Null
rN
{ 0; 1; 2; 3; 4; ... }
Ganze Zahlen
11.
{ ... - 2; - 1; 0; 1; 2; ... }
Rationale Zahlen 1
~
{x x=
Reelle Zahlen 1
IR
{1; 2; 3; 4; ... }
I
*
mit p E 11. A q E rN * }
Komplexe Zahlen 1
1.1.1 Zahlendarstellung auf der Zahlengeraden
Naturliche Zahlen rN*
Die natUrlichen Zahlen des Zahlens lassen sich anschaulich auf einer Zahlen-Halbgeraden, dem Zahlenstrahl darstellen.
In vielen Fallen ist es zweckmaBig, zu den natUrlichen Zahlen die Zahl Null noch hinzuzunehmen. DafUr wird das Symbol rN gewahlt.
o
234
IN*
I
IN
5
:
1 Was unter den rational en, reelien und komplexen Zahlen zu verstehen ist, wird in Abschnitt 1.1.1 prazisiert.
H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden 2003
2
1 Mathematische Begriffe und Schreibweisen
Ganze Zahlen 1L
Neben den natOrlichen positiven Zahlen sind uns die negativen Zahlen bekannt. Wir
sprechen von Minustemperaturen und verstehen darunter Kaltegrade, oder wir sprechen
von Minuszahlen in der Bilanz und meinen damit Schulden. Die negativen und positiven
ganzen Zahlen einschlieBlich der Null werden ganze Zahlen genannt.
Zuweilen ist es zweckmaBig, negative und positive ganze Zahlen durch ein besonderes
Symbol zu unterscheiden.
z
...
-
-4
Rationale Zahlen
I
I
-3
-2
•
I
-1
0
2
7L
I
I
3
4
7L+
•
Q
Der Bereich zwischen zwei ganzen Zahlen lasst sich in beliebig viele Teilbereiche unterteilen. Damit erhalten wir Bruchteile des Zahlenbereiches. Die neue Zahlenart nennen wir
Bruche oder Bruchzahlen. BrOche, die sich als Quotient zweier ganzer Zahlen darstellen
lassen, werden rationale Zahlen genannt. Die Menge der rationalen Zahlen wird mit Q
bezeichnet.
Q
I
-1
I
3
-4'
I
_1
2
I
1
-4'
.I
0
1
4'
I
1
Z
I
3
4'
Reelle Zahlen IR
Die Anwendung der Grundrechenarten fOhrt Ober diesen Zahlenbereich nicht hinaus, d.h.
es entstehen jeweils nur rationale Zahlen. Bei Rechenoperationen h6herer Ordnung (wie
z.B. beim Wurzelziehen) entstehen jedoch Zahlen, die nicht mehr rational sind. Die Zahl
.J2 ist zwar noch auf der Zahlengeraden darstellbar, sie ist aber keine rationale Zahl
mehr, da sie nicht mehr als Quotient zweier ganzer Zahlen zu erhalten ist. 2
Diese Zahlen werden irrationale Zahlen genannt. Es sind unendliche nichtperiodische
Dezimalzahlen. Neben denalgebraisch irrationalen Zahlen gibt es auch transzendent
irrationale Zahlen. Beispiele dafOr sind:
e = 2,718 281 828459 ... (Eulerzahl)
In 17 = loge 17 = 2,833 ... (Logarithm us)
1t = 3,141 592 653 589 ... (Kreiszahl)
Rationale und irrationale Zahlen bilden die Menge der reel/en Zahlen IR. Diese
Zahlenmenge umfasst somit aile bisher genannten Zahlenmengen. Jeder Punkt auf der
Zahlengeraden entspricht einer reellen Zahl und umgekehrt.
2 Beweis in Kapitel 10.1
3
1.2 Mengen
Komplexe Zahlen C
Die quadratische Gleichung x2 + 4 = 0 bzw. x2 = - 4 besitzt im Bereich der reellen Zahlen
keine Losungen, da das Quadrat einer reellen Zahl nicht negativ ist. Rein formal kann die
Gleichung jedoch durch die AusdrOcke
X1l2
=±R =±~4'(-1) =±2·0
gelost werden. Mit der von Leonhard Euler eingefOhrten Definition i2 = -1, bzw. der
erhalt man als Losungen Xl = 2 i oder x2 = - 2 i. Diese
"imaginaren Einheit" i = 0
GraBen werden als imaginiire Zahlen (nach Descartes "numeri imaginari" ) bezeichnet.
Lost man die quadratische Gleichung x2 - 4x + 8 = 0 mit Hilfe der Losungsformel (vgl.
Kap. Ober "Quadratische Gleichungen"), so erMlt man als Losungen komplexe Zahlen mit
einem reellen Teil (Realteil Re) und einem imaginaren Teil (Imaginiirteillm).
Komplexe Zahlen sind nicht mehr auf einer Zahlengeraden darstellbar, sondern nur noch
auf einer Zahlenebene, der GauBschen Zahlenebene (vgl. Kapitel Ober "Komplexe
Rechnung").
1.2 Mengen
3
Bei der Darstellung der Standard-Zahlenmengen wurde bereits von dem Begriff der
"Menge" und von der Mengenschreibweise Gebrauch gemacht. Ublicherweise werden die
Mengen durch GroBbuchstaben A, B, C, ... angegeben. Die Standard-Zahlenmengen
werden durch Sondersymbole IN, l, Q,IR, C gekennzeichnet. Die Elemente einer Menge
werden mit Kleinbuchstaben a,b,c, ... bezeichnet und in einer geschweiften (Mengen-)
Klammer zusammengefasst. Dabei bedeuten die Symbole:
E:
a E M: a ist Element von M
~:
b
~ M:
b ist nicht Element von M
FOr eine Menge sind drei Darstellungsformen moglich:
1.2.1 Aufzahlende Mengenschreibweise
Die Elemente werden in beliebiger Reihenfolge aufgezahlt und mit Hilfe einer MengenKlammer angegeben:
M = { a; b; c; d } z.B. M = { 3; 4; 5; 6 }
Bei zu vielen Elementen ist eine Aufzahlung nicht mehr sinnvoll. In diesem Fall wird die
beschreibende Mengenschreibweise vorgezogen.
1.2.2 Beschreibende Mengenschreibweise
Die Elemente werden durch eine definierende Aussageform A(x) beschrieben:
I
I
M = { X A(x)} z.B. M = { x x E IN* 1\ X S 100) }
gelesen: .M ist die Menge aller x, fUr die die Aussage A(x) gilt"
A(x) in dem Beispiel bedeutet: .x ist eine naturliche Zahl zwischen 1 und 100."
In aufzahlender Form konnte auch geschrieben werden: M = { 1 ; 2; 3; ... ; 99; 100}.
3
Der Mengenbegriff stammt von Georg Cantor (1845 - 1918): .Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter
wohlunterscheidbarer Objelde ... zu einem Ganzen. Diese Objelde werden Elemente der Menge genann!."
4
1 Mathematische Begriffe und Schreibweisen
Eine unerfOlibare Aussage A(x) fOhrt zu der leeren Menge
M ={ }.
1.2.3 Mengendiagramme
(auch Euler-Diagramme oder Venn-Diagramme genannt)
Man versteht darunter eine bildhafte Darstellung der Mengen durch Einkreisung der Elemente mit Hilfe einer geschlossenen Linie.
Die Begrenzungslinie braucht nicht immer ein Kreis zu sein. Jede beliebige Begrenzungslinie ist moglich:
z.B. A = { 1; 5; 8} dargestellt im Mengendiagramm:
~85
~[
5
Mit Hilfe von Mengendiagrammen lassen sich Beziehungen zwischen mehreren Mengen
anschaulich darstellen, wie wir an dem folgenden Beispiel sehen.
A = { a; b; d; e}
B = { b; c; d; 9 }
C = { d; e; f; 9 }
dargestellt im Venn-Diagramm
c
1.2.4 Beziehungen zwischen Mengen (Mengenrelationen)
a) Gleichheit von Mengen
Die Mengen A = { 2; 3; 2; 5 } und B = { ~ 2;.J25 } sind gleich, da sie die gleichen Elemente enthalten.
A=B
Merke: Elemenle, die doppell oder mehrfach vorkommen, brauchen nur einmal geschrieben werden.
Die Elemenle konnen in beliebiger Schreibweise und Reihenfolge dargeslelll werden.
b) Teilmengen
Ein Vergleich der beiden Mengen A ={2; 3; 4 } und B ={1; 2; 3; 4 } zeigt, dass die Elemente von A auch in B enthalten sind. A ist also eine Tei/menge von B, weil aile Elemente
von A auch in B enthalten sind.
AcB
1.2 Mengen
5
1.2.5 MengenverknOpfungen (Mengenoperationen)
1m Foigenden wollen wir Verknupfungen von Mengen, d.h. die 8i1dung neuer Mengen aus
den vorgegebenen Mengen A : { a; b; d; e } und 8 : { b; c; d; g} definieren und im
Mengendiagramm darstellen.
a) Schnlttmenge (oder Durchschnittsmenge)
Unter der Schnittmenge A n 8 (gelesen: "A geschnitten mit 8") versteht man die Menge
der Elemente, die sowohl zu A als auch zu 8 gehoren.
Schnittmenge
I
A n 8: {x x E A und x E 8 }
An 8: {b; d}
~
~
b) Vereinlgungsmenge
8ei der Vereinigungsmenge A u 8 (gelesen: "A vereinigt mit 8") werden die Elemente
beider Mengen zusammengefasst.
Vereinigungsmenge A u 8: {
X
Ix
E
A oder x E 8 }
("oder" jeweils im einschlieBenden Sinn, d.h. zu A oder
zu 8 oder zu beiden gehorend)
~
~
A u 8: {a; b; c; d; e; g}
c) Differenzmenge oder Restmenge
8ei der Differenzmenge A \ 8 (gelesen: "A ohne 8") werden die Elemente gleichsam
"voneinander abgezogen". Es bleiben nur noch die restlichen Elemente ubrig.
Differenzmenge (Restmenge) A \ 8 :
{x I x E A und x e: 8 }
A\8: {a;e}
: Menge aller Elemente, die zur Menge A gehoren, ohne die
Elemente, die gleichzeitig zu 8 gehoren.
~
~
1 Mathematische Begriffe und Schreibweisen
6
Zusammenfassung
Mengenbezlehungen und -verknupfungen
A-8
A gleich 8
(a;b;e) = (b;e;a)
A *8
A ungleich 8
(a;b;e)
A-~
A ist gleichmach!ig 8
A is! aquivalent 8
{a; b;e} - (x; y; z)
AC8
A ist Teilmenge von 8
{a;b;e} C {a;b;e;d;e}
Act8
A is! nich! Teilmenge von 8
{a; b; e} C (b; e; d; e)
AnB
A geschni!\en mit B
Sehnicrmenge von A und B
(a;b;c) n {b;e;d)={b;e}
A vereinigt mil B
Vereinigungsmenge von A
{a;b;c} U (b;e;d)=(a;b;e;d)
AU8
A\B
und 8
A ohne die Elemen!e, die zu B
gehoren
Differenzmenge
AXB
* (b;e;d)
Kar!esisches (oder Kreuz·)
Produk t von A und B.
Paarbildungen aus den
Elementen der Ausgangs ·
mengen(~
Paarmenge)
[a; b;e) \ (e;d;e)= (a;b)
AQ d0
A~ d0'ffi_
da
8
B
o
b
' .d
(
/.
o
b
0
1:1
,~
'~'
o
:%:/.
C
e
aus A = (a;b) und B:: {e;d} lolgl
A X 8 = ((ale); (aid); (ble); (bid)
aus A = (1;2; 3}und B = (a;b) lolgt
A X 8 = ({llal; (l Ib); (2Ia); (2Ib); (3Ia): (3Ibl)
8 X A = {(alII; (a 12); (a I3); (bll); (b 12); (bI3)}
AX BX C = {xlx=(alblel IIaeA IIbEBllcEC)
Verknupfungsgesetze
Schnittmenge
Vereinigung
AnB=BnA
~mm~a~
(AnB)nC = An(BnC) = AnBnC assoziativ
An (B u C) = (A n B) u (A n C)
distributiv (bezuglich der Vereinigung)
AuB = BuA
kommutativ
(AuB)uC = Au(BuC) = AuBuC assoziativ
Au (B n C) = (A u B) n (A u C)
distributiv (bazuglich dar Durchschniltsbildung)
7
1.2 Mengen
Beispiel
Stellen Sie fOr die beiden Mengen A
MengenverknOpfungen dar.
= { -2;
1; 2; 3 } und B
= { -1;
0; 1; 2 } folgende
a) Durchschnittsmenge An B
b) Vereinigungsmenge A u B
c) Restmenge A \ B.
L6sung
Zur Veranschaulichung wahlen wir jeweils das Mengendiagramm, aus dem wir die verschiedenen Mengen ablesen kennen.
(]D
AC[)B AC[)B
a) Durchschnittsmenge
An B = {1; 2}
b) Vereinigungsmenge
c) Restmenge
A u B ={-2; -1; 0; 1; 2; 3}
A \ B ={-2; 3}
B
-2
,
-,
3
2
0
-2
,
-,
-2
t
-1
J
2
0
J
1
0
Beispiel
Bei der Qualitatskontrolle an 100 Fertigungsteilen wurden folgende Fehler festgestellt: Bei
11 Teilen war die Durchmessertoleranz nicht eingehalten, bei 9 Teilen war die Langentoleranz unterschritten, bei 3 Teilen stimmte sowohl die Durchmesser- wie auch die
Langentoleranz nicht, 8 Teile hatten noch Lagetoleranzfehler, davon hatten 4 Teile gleichzeitig noch Durchmessertoleranzfehler und bei 2 Teilen stimmte keine der drei Toleranzen. Drei Teile mit Lagetoleranzfehlern hatten gleichzeitig noch Langentoleranzfehler.
Wieviel % der Teile waren einwandfrei ? Wieviele Teile hatten nur Langenfehler, wieviele
Teile nur Durchmesserfehler ?
L6sung
Bezeichnet man die Durchmessertoleranzfehler mit A, die Langentoleranzfehler mit B und
die Lagetoleranzfehler mit C, so kennen wir die jeweilige Anzahl der Teile in ein
Mengendiagramm eintragen, beginnend mit den beiden Teilen, die aile drei Fehler hatten.
Mengentheoretisch entspricht dies der Menge A n B n C = { 2 }.
Die Anzahl der fehlerhaften Teile der Mengen A, B und C betragt 18, damit fehlen noch 82
Teile zur Gesamtzahl100 (= Grundmenge).
Aus dem Mengendiagramm lasst sich weiter ablesen:
5 Teile haben nur Langentoleranzfehler,
4 Teile nur Durchmessertoleranzfehler,
1 Teil nur einen Lagetoleranzfehler,
82 % der Teile sind einwandfrei.
Damit ist die Fehlerquote 18 %.
Anmer/(ung: 1m Mengendiagramm sind hier nicht die
Elemente. sondern ihre Anzahl eingetragen.
8
1 Mathematische Begriffe und Schreibweisen
Aufgaben zu 1.2
1. Stell en Sie die Menge { A \ B 1u ( C \ B ), bestehend aus den Mengen A = { 1; 7; 3 },
B = { 1; 7; 2 }, C = { 1; 4; 5 } der Grundmenge G im Mengendiagramm durch Angabe
der Elemente dar.
2. Die Menge aller Punkte einer Geraden werde mit f bezeichnet. Die Menge aller Punkte
einer zweiten Geraden in derselben Ebene liegenden Geraden sei g. Welche Lage
haben diese Geraden zueinander, wenn
a) f (") 9 ={Q } und b) f (") 9 ={} ?
3. Bilden Sie aus der Grundmenge G =IN * den Durchschnitt der Mengen
A = {xlx>-2} und B = {xlx<4}.
1.3 Intervallschreibweisen
[a; b]
abgeschlossenes Intervall
bedeutet: a':;;;; x .:;;;; b
]a, b[
offenes Interval!
bedeutet: a
]a; b]
halboffenes Interval!
bedeutet:
<x < b
a < x .:;;;; b
bei Mengen
{xla':;;;;x':;;;;b} xE[a;b]
< X < b}
{ x I a < x .:;;;; b}
{x I a
x E
]a; b[
x E ]a; b]
1.4 Symbole der Logik
al\b
a und b (Konjunktion)
sowohl. .. als auch
av b
a oder b (Disjunktion)
entweder ... oder ... (lat. vel)
.. , oder beide
-,
2ElNI\2EZ
nicht (Negation)
=?
... folglich ist ... (I mplikation
aus ... folgt ... (nicht umkehrbar)
wenn ... , dann ...
¢>
... ist gleichwertig mit ...
... ist aqu iva lent mit ... (logische Aquivalenz)
... gilt genau dann, wenn ... (umkehrbar)
a=?b
aus a folgt b
a¢>b
a und b sind gleichwertig
9
2.1 Grundrechenarten mit Termen
2 Rechnen mit Termen
Die EinfUhrung von Buchstaben als Variable4 und deren VerknOpfung durch Rechenzeichen fOhrt zu dem Begriff des Terms (von lat. terminare = bestimmen).
2.1 Grundrechenarten mit Termen
Addition und Subtraktion
Multiplikation und Division
Addiert man Zahlen, so kann man dies in
beliebiger Reihenfolge tun und bei mehreren
Summanden noch beliebige Teilsummen bilden.
Vertauscht man bei der Multiplikation die
Faktoren, so sieht man aus der Summenschreibweise, dass man zum gleichen Ergebnis
kommt.
2+3=3+2
3+3+3+3
= 4·3 =12
~
4Summanden
2 + 3 + 7 = (2 + 3) + 7 = 2 + (3 + 7) = 12
4+4+4
'---v---'
=3·4=12
3Summanden
Diese Rechengesetze gelten auch far Terme.
1. Vertauschungsgesetz
(Kommulativgesetz)
Diese Rechengesetze gelten auch fUr Terme.
1. Vertauschungsgesetz
(Kommulativgesetz)
a+b=b+a
a·b=b·a
2. Zusammenfassungsgesetz
(Assozialivgesetz)
2. Zusammenfassungsgesetz
(Assoziativgesetz)
a + b + C = (a + b) + C = a + (b + c)
a . b . c = (a . b) . c = a . (b . c)
3. Die Null ist das neutrale Element der
Addition und Subtraktion
3. Die Eins ist das neutrale Element der
Mulliplikation und Division
a+O=a
a' 1 = a
Da beim Addieren rationaler Zahlen stets
wieder eine rationale Zahl entsteht, die Addition
und Subtraktion nicht aber diese Zahlenmenge
hinausfahrt, sagt man:
Da beim Multiplizieren rationaler Zahlen wieder
eine rationale Zahl entsteht, sagt man:
Ole Zahlenmenge Q 1st bezuglich der Addition abgeschlossen.
Ole Zahlenmenge Q 1st bezugllch der Multlplikatlon abgeschlossen.
Die Division kann als Multiplikation mit einem Bruch aufgefasst werden, so dass wir
Rechengesetze der Multiplikation auch auf die Division abertragen konnen. Das Rechnen
Bruchtermen soli jedoch nochmals gesondert behandelt werden.
Die Subtraktion a - b kann als Addition der Gegenzahl von b (= inverses Element von b), d.h.
Addition der negativen Zahl (- b) aufgefasst werden, so dass wir bei der Addition und Subtraktion
noch von "algebralsehen Summen" sprechen.
die
mit
als
nur
a - b = a + (- b)
4 Die folgerichtige EinfOhrung der Buchstaben als .Variable" geht auf den Franzosen Francois Viete (Vieta) (15401603) zurOck. Der Englander Harriot (1560 - 1621) fUhrte die Verwendung von Kleinbuchstaben ein. Auf Rene
Descartes (1596 - 1650) geht die Gewohnheit zuruck, fUr Variable die letzten Buchstaben, fUr gegebene GrOBen
(Formvariablen) die Anfangsbuchstaben des Alphabets zu wahlen.
H. Rapp, Mathematik für die Fachschule Technik
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig/Wiesbaden 2003