Funktionentheorie

04.05.2016
Prof. Dr. Tobias Lamm
M.Sc. Michael Ullmann
Funktionentheorie
2. Übungsblatt
Aufgabe 1
((T) Der Hauptzweig des Logarithmus)
1. Leiten Sie auf der geschlitzten Ebene C− eine Potenzreihendarstellung zu jedem Entwicklungspunkt z0 ∈ C− vom
komplexen Logarithmus her, speziell von z0 = 1, und bestimmen Sie den Konvergenzradius.
2. Rechnen Sie explizit mit der Potenzreihendarstellung von 1. nach, dass
exp (Log(z + 1)) = 1 + z für alle z ∈ {w ∈ C : |w| < 1} =: B1 (0)
gilt.
3. Sei c ∈ [0, 1). Zeigen Sie, dass für alle z ∈ C mit |z − 1| ≤ c die Abschätzung
|Log(z)| ≤
c
1−c
gilt. Wann gilt Gleichheit?
4. Zeigen Sie, dass der Hauptzweig der allgemeinen Exponentialfunktion z 7→ az (mit a ∈ C− ) die Ableitung
z 7→ Log(a) · az hat.
5. Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von folgenden komplexen Zahlen:
√ 12
i
1
i
(a) z = (1 + i)i , (b) z = i i , (c) z = (Log(i)) , (d) i(i ) , (e) z = 1 + i 3
Aufgabe 2
((Ü) Fouriertransformation)
Zu einer Zahl a > 0 führen wir den Funktionenraum Fa ein durch: Eine Funktion f : C → C gehört zur Klasse Fa , falls
folgende zwei Bedinungen an die Funktion f gelten:
1. Die Funktion f ist holomorph auf dem horizontalen Streifen
Sa := {z ∈ C : |Im(z)| < a} .
2. Die Funktion f ist auf Sa von moderatem Abfall, d.h. es existiert eine Konstante A > 0 mit
|f (x + iy)| ≤
A
für alle x ∈ R und |y| < a.
1 + x2
Weiter sagen wir, dass eine Funktion f zur Klasse F gehört, falls es ein af > 0 gibt so, dass f ∈ Faf ist. Definiere die
Fouriertransformierte von einer Funktion f ∈ F im Punkt ξ ∈ R durch:
Z ∞
fb(ξ) :=
e−2πix·ξ f (x)dx.
−∞
1
1. Zeigen Sie, dass falls die Funktion f ∈ Fa für ein a > 0 ist, so existiert eine Konstante Bf > 0 mit
b f (ξ) ≤ Bf e−2πb|ξ|
für alle b ∈ [0, a) und alle ξ ∈ R.
2. Zeigen Sie: Sind A > 0 und B ∈ R, so gilt:
Z
∞
e−(A+iB)·ξ dξ =
0
1
.
A + iB
3. Zeigen Sie mit Hilfe von 2., dass die Fourierinversionsformel für f ∈ F gilt, d.h. für f ∈ F ist:
Z ∞
e2πix·ξ fb(ξ)dξ für alle x ∈ R.
f (x) =
−∞
(Hinweis: Nutzen Sie ihr Wissen vom Beweis von 1.)
Aufgabe 3
((T) Zwei erste Maximumsprinzipien)
1. Sei ∅ =
6 Ω ⊆ C ein Gebiet und f : Ω → C eine holomorphe Funktion auf Ω. Zeigen Sie, dass |f | nicht sein Maximum
in Ω annimmt außer, wenn |f | konstant ist.
2. Sei Ω1 ⊆ C nun ein vertikaler Streifen, d.h. es existieren Werte x0 , x1 ∈ R mit x0 < x1 so, dass z = x + iy ∈ Ω1 ist
genau dann, wenn x ∈ [x0 , x1 ] ist. Weiter sei S > 0 und f : Ω1 → C eine komplex differenzierbare und gleichmäßig
beschränkte Funktion auf dem Streifen Ω1 . Angenommen wir wissen, dass
|f (x0 + iy)| ≤ S und |f (x1 + iy)| ≤ S für alle y ∈ R gilt.
Zeigen Sie, dass dann |f (x + iy)| ≤ S ist für alle x ∈ [x0 , x1 ] und allen y ∈ R.
Aufgabe 4
((Ü) Eine L∞ -L2 Abschätzung für holomorphe Funktionen)
Sei ∅ =
6 U ⊆ C eine offene Menge. Für eine stetige Funktion f : U → C definiere die L2 -Norm auf U als
Z
21
2
kf kL2 (U ) :=
|f (z)| dz
U
∞
und die L -Norm auf U durch
kf kL∞ (U ) := sup |f (z)| .
z∈U
1. Sei R > 0 ein Radius und z0 ∈ C ein Punkt, sowie Ω ⊆ C ein Gebiet mit BR (z0 ) ⊆ Ω und f : Ω → C eine
holomorphe Funktion auf Ω. Zeigen Sie, dass für jedes r ∈ (0, R) eine Konstante Cr,R := C(r, R) ≥ 0 gibt so, dass
die folgende Abschätzung
kf kL∞ (Br (z0 )) ≤ Cr,R kf kL2 (BR (z0 ))
gilt.
(Hinweis: Nutzen Sie die Integralformel von Cauchy/ die Mittelwerteigenschaft, sowie die Hölder-Ungleichung aus
Analysis I)
2. Zeigen Sie, den Weierstraßschen Konvergenzsatz: Sei ∅ 6= U ⊆ C eine offene Menge und fn : U → C, n ∈ N,
eine Folge von holomorphen Funktion auf U die in jeder kompakten Teilmenge von U gleichmäßig gegen eine
Funktion f : U → C konvergiert.
Dann
ist die Funktion f holomorph auf U und für die k-ten Ableitungen gilt,
(k)
dass die Folge der Ableitungen fn
in jeder kompakten Teilmenge von U gleichmäßig gegen die Ableitung
n∈N
f (k) konvergieren.
3. Sei nun ∅ =
6 Ω0 ⊆ C eine offene Menge und fn : Ω0 → C, n ∈ N, eine Cauchy-Folge bzgl. der k·kL2 (Ω0 ) auf Ω0 ,
zusätzlich seien die fn ’s, n ∈ N, holomorph auf Ω0 . Folgern Sie aus dem Weierstraßschen Konvergenzsatz, dass
für alle kompakten Mengen K ⊆ Ω0 die Folge (fn |K )n∈N gleichmäßig auf K gegen eine holomorphe Funktion
f : Ω0 → C konvergiert.
2
Aufgabe 5
((T) Cauchy Integralformel für Rechtecke)
Seien x0 , y0 < 0 und x1 , y1 > 0 Zahlen. Dann ist ein Rechteck gegeben durch die vier Ecken x0 + iy1 , x1 + iy1 , x1 +
iy0 , x0 + iy0 .
1. Berechnen Sie das Kurvenintegral
Z
∂
1
dz,
z
wobei der Rand ∂ des Rechtecks gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird.
2. Folgern Sie daraus und mit dem Lemma von Goursat für Rechtecke (siehe auch Vorlesungsseite/ Übung) das
die Cauchy Integralformel auch für Rechtecksränder gilt: Ist ∅ 6= Ω ⊆ C offen und f : Ω → C eine holomorphe
Funktion auf Ω, sowie ein Rechteck (mit Rand) ⊆ Ω gegeben. Dann gilt für jeden Punkt z0 ∈ ◦ im Inneren
von :
Z
f (z)
1
dz,
f (z0 ) =
2πi ∂ z − z0
wobei der Rand ∂ des Rechtecks gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird.
Aufgabe 6
((T) Einige bekannte reelle Integrale)
Zeigen Sie die folgenden Integrale:
R∞
2
2
a. (Fixpunkt der Fouriertransformation) −∞ e2πix·ξ e−πx dx = e−πξ für alle ξ ∈ R.
R ∞ −πx2
(Hinweis: Nutzen Sie aus, dass sie −∞ e
dx = 1 schon aus Analysis I/II kennen)
b.
R∞
c.
R∞
0
0
1−cos(x)
dx
x2
=
sin(x)
x dx
π
2.
Aufgabe 7
=
π
2.
((T) Weitere Kurvenintegrale)
Bestimmen Sie die folgenden Kurvenintegrale, dabei seien a, b ∈ C, r > 0 mit |a| < r < |b| und Kurve γr : [0, 1] →
C, t 7→ r · eit gegeben.
Z
Z
Z
Z
1
1
1
ez
(a)
dz,
(b)
dz,
(c)
dz, (d)
dz,
2
γr z − a
γr z − b
γr (z − a) · (z − b)
|z|=1 z + 3z
Z
Z
Z
Z
z3
z3
e2z
zeiz
(e)
dz,
(f
)
dz,
(g)
dz,
(h)
dz,
2
2
4
3
|z|=2 z + 1
|z+3|=3 z + 1
|z|=2 (z + 1)
|z|=4 (z − π)
Z
ei cos(z) · sin z 4 + 1 − z
dz.
(i)
(z − 7)42
|z−2|=3
Tutorium
Es wird nun zwei Tutorien geben, diese finden donnerstags 14tägig im fünften und sechsten Block (15.45 Uhr bis 17.15 Uhr
und 17.30 Uhr bis 19.00 Uhr) im Grashof-Hörsaal (Geb. 10.91, Raum 231) bzw. im Seminarraum SR 2.067 (Geb.20.30)
statt. Aufgrund der Feiertage (Christi Himmelfahrt, 05.05., und Fronleichnam, 26.05.) werden die genauen Termine,
Orte und Zeiten auf der Vorlesungsseite
http://www.math.kit.edu/iana1/lehre/ft2016s/
bekannt gegeben. Im Tutorium werden Lösungsvorschläge zu den (T) Aufgaben vorgestellt.
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