Blatt 1/L2/WS08 1. Wiederholung “komplexe Zahlen”: Für die

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1. Wiederholung “komplexe Zahlen”: Für die komplexe Zahl z = 3 + 2i
berechnen Sie
z 2 , z ∗ , z −1 , zz ∗ , |z|, Re{z 2 }, Im{(z ∗ )2 }
und stellen Sie die Resultate graphisch dar, indem Sie den Realteil
als x–Koordinate und den Imaginärteil als y–Koordinate eines Vektors
vom Ursprung auffassen.
2. Wiederholung “komplexe Zahlen”: Wandeln Sie die komplexe Zahl
z =1+i
in die Polardarstellung z = r · ei φ mit r ∈ R+ und φ ∈ R um. Dabei
kann r als Radialkoordinate aufgefasst werden und φ ist der Winkel, der
mit der reellen Achse (x–Achse) eingeschlossen wird (das so genannte
Argument).
3. Multiplizieren Sie zwei beliebige komplexe Zahlen z1 und z2 in ihrer
Polardarstellung und interpretieren Sie das Ergebnis der Multiplikation
komplexer Zahlen geometrisch.
4. Eulersche Formel: Benutzen Sie die Eulersche Formel eiφ = cos φ +
i sin φ um die trigonometrischen Formeln
cos α cos β − sin α sin β = cos(α + β)
cos α cos β + sin α sin β = sin(α + β)
zu zeigen.
5. Betrachten Sie die komplexwertige Funktion
1
f (x, y) = √ (x + i y)
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und berechnen und skizzieren Sie |f (x, y)|2 .
6. Betrachten Sie die komplexwertige Funktion
i
ψ(r) = A · e− ~ p·r ,
wobei A ∈ R und p, r ∈ R+ . Berechnen Sie |ψ(r)|2 . Wie hängt |ψ(r)|2
von r ab? Welche Physik steckt hinter der Funktion?
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7. Beim Photoeffekt werden durch Einstrahlung von Licht Elektronen aus
dem Metallverband gelöst. Welcher Spannung entspricht die Austrittsarbeit, wenn Elektronen durch Licht der Wellenlänge 500 nm gerade
herausgelöst werden? Welche Hypothese legen Sie der Berechnung zu
Grunde?
8. Wie aus sämtlichen Medien zu entnehmen war/ist, kann möglicherweise
ein Mini–Schwarzesloch am CERN entstehen. In der Physik kann man
oft die Energie-Zeit–Unschärfe zur Abschätzung verwenden. Sie sagt,
dass die Unschärfe in der Energie ∆E, in dem ein Quantenzustandes
ein Zeitdauer ∆t verweilt, limitiert ist durch
∆E · ∆t ≥
~
.
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(a) Ein Wissenschaftler soll bei einer Energieunschärfe von ∆E =
0.1·10−26 J und einer Lebensdauer von ∆t = 10−8 s ein Verschlucken der ganzen Erde durch das Mini–Schwarzesloch vorhergesagt
haben. Muss man sich fürchten?
(b) Veranschaulichen Sie die Energie-Zeit–Unschärfe Ungleichung graphisch für Schüler.
9. Ein unpolarisierter Lichtstrahl der Intensität I0 trifft auf einen Polarisator und auf einem zweiten Polarisator, der um einen Winkel φ = 30◦
gedreht ist. Mit welcher Intensität trifft das linear polarisierte Licht auf
die Photozelle?
10. Ein Photon kommt aus einem horizontalen ausgerichteten Polarisator
a und trifft auf einen anderen Polarisator b (= Analysator), der relativ
dazu um den Winkel α gedreht ist.
(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit des Durchlasses für α =
30◦ , 45◦ , 60◦ , 90◦ .
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fall α = 60◦ , dass von
zwei Photonen genau eines durch den Analysator fliegt?
(c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fall α = 60◦ , dass von
zwei Photonen mindestens eines durch den Analysator fliegt?
(d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fall α = 60◦ , dass von
vier Photonen genau zwei durch den Analysator fliegen?
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(e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für den Fall α = 60◦ , dass von
vier Photonen mindestens zwei durch den Analysator fliegen?
(f) Wie lauten für beliebiges α die zwei Formeln, die beschreiben,
wie von n Photonen genau m/mindestens m Photonen durch den
Analysator fliegen?
11. Ein Neutroneninterferometer sei mit einem Phasenschieber so ein gestellt, dass für ein einzelnes Neutron die Wahrscheinlichkeit des Auftretens in Strahl I genau 13 ist. Insgesamt trete hintereinander 10 Neutronen durch.
(a) Wie viele verschiedene mögliche Fälle von Ergebnissen gibt es?
(Neutronen können nach der Zeit ihres Durchgangs unterschieden
werden.)
(b) Betrachten Sie die Intensität von Strahl I. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Intensitäten (= Anzahl der
Neutronen 0, 1, . . . , 10) und fertigen Sie eine Skizze an.
12. Betrachten Sie das folgende Experiment
und führen Sie, die quantenmechanische Berechnung der Wahrscheinlichkeit durch, Photonen in den Output-Kanälen b1 und b2 zu finden.
Kann das gleiche Experiment auch nur mit Projektoren ausgeführt werden?
13. Betrachten Sie das folgende Experiment
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und führen Sie, die quantenmechanische Berechnung der Wahrscheinlichkeit durch, Photonen in den Output-Kanälen b1 und b2 zu finden.
14. Betrachten Sie das folgende Experiment
wobei der erste Polarisator a zirkular polarisiertes Licht und der zweite
linear polarisiertes Licht erzeugt. Führen Sie, die quantenmechanische
Berechnung der Wahrscheinlichkeit durch, Photonen in den OutputKanälen b1 und b2 zu finden.
15. Alice präpariert ihre Photonen in der H/V Basis und Bob misst diese
Photonen in einer dazu um 45◦ rotierten Basis. Zeigen Sie, dass diese
beiden Basen unitär zusammenhängen. Dazu schreiben Sie die unitäre
Matrix U (45, l) (alle Übergangsamplituden) an und überprüfen Sie die
mathematischen Bedingungen an eine unitäre Matrix.
16. Wie lautet der Zusammenhang zwischen den Basen falls Alice ihre Photonen in der +45◦ / − 45◦ präpariert und Bob in einer dazu um 45◦
rotierten Basis misst.
17. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit falls Alice ein vertikal polarisiertes
Photon zu Bob schickt und dieser in der +45◦ / − 45◦ Basis misst, ein
+45◦ oder −45◦ polarisiertes Photon zu erhalten.
18. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit falls Alice ein vertikal polarisiertes
Photon zu Bob schickt und dieser in der +45◦ / − 45◦ Basis misst, ein
+45◦ oder ein −45◦ polarisiertes Photon zu erhalten, aber die böse Eve
sich mit einem Zweikanalanalysator in der
(a) H/V Basis
(b) in der +45◦ / − 45◦ Basis
(c) oder in der L/R zirkular polarisierten Basis
dazwischen schaltet.
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