4.4 Einige Anwendungen von Integralen Ein Punkt mit den n

4.4
4.4.1
Einige Anwendungen von Integralen
Kurvenlänge
Ein Punkt mit den n Koordinaten x1, x2, . . . , xn im Rn befinde
sich zum Zeitpunkt t an der Stelle ~x(t), t ∈ I,
wobei I ein gegebenes Zeitintervall ist.
Dann durchläuft der Punkt eine Kurve c im Rn mit der Parameterdarstellung ~x(t), t ∈ I.
Was ist ~x(t)? Einfach (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)),
als Zeile oder als Spalte aufgeschrieben, je nach Absicht.
Die Ableitung ~x˙ (t) definiert man elementweise:
~x˙ (t) = (x˙1(t), x˙2(t), . . . , x˙n(t)).
Existiert ~x˙ (t), so ist ~x˙ (t) ein Tangentenvektor an die Kurve c
im Punkt ~x(t).
(Tafelskizze!)
Ist t die Zeit, so ist ~x˙ (t) die Geschwindigkeit des Punktes
~x und
|~x˙ (t)| der Betrag der Geschwindigkeit von ~x.
Mitteilung: Die Bogenlänge sab von c von ~x(a) bis ~x(b) (mit
a, b ∈ I) ist
Z
b
sab =
|~x˙ (t)|dt.
a
Bemerkung: Ein richtiger Beweis ist komplizierter als manchmal aufgeschrieben.
Ein Graph einer Funktion y = f (x) hat die Parameterdarstellung ~x(t) = (x, f (x)). Seine Bogenlänge ist also
sab =
Z bp
1 + f 0(x)2dx.
a
1
4.4.2
Flächeninhalt bei ebenen Kurven
Geg.: stetige Fkt. f : [a, b] → R, y = f (x) ≥ 0, a < b.
Dann gilt: Der Graph von f zusammen mit dem Streckenzug
(a, f (a)), (a, 0), (b, 0), (b, f (b)) umschließt den ebenen Bereich
B mit dem Flächeninhalt
Z
Ix =
b
Z
y · dx :=
dF :=
B
b
Z
a
f (x)dx
a
(siehe Tafelskizze)
Beim ersten Integral ist dF das Flächenelement von R2,
beim zweiten Integral ist dx das Bogenelement der x-Achse,
das dritte Integral haben wir im ersten Semester definiert.
Geg.: stetige Fkt. g : [c, d] → R, x = g(y) ≥ 0, c < d.
Dann gilt: Der Graph von g zusammen mit dem Streckenzug
(g(c), c), (0, c), (0, d), (g(d), d) umschließt den ebenen Bereich
D mit dem Flächeninhalt
Z
Iy =
Z
Z
x · dy :=
dF :=
D
d
c
d
g(y)dy
c
(siehe Tafelskizze)
Beim ersten Integral ist dF das Flächenelement von R2,
beim zweiten Integral ist dy das Bogenelement der y-Achse,
das dritte Integral haben wir im ersten Semester definiert.
2
Das war nichts wesentlich Neues. Aber jetzt:
Geg.: Bereich B, für den gilt:
B liegt zwischen den Geraden x = a und x = b und berührt
diese Geraden.
Jede Gerade der Gestalt x = c mit a < c < b schneidet den
Rand von B in den beiden Punkten (c, f (c)) und (c, g(c)).
(siehe Tafelskizze)
Dann ist der Flächeninhalt von B gleich
Z
b
Z bZ
g(x)
(g(x) − f (x))dx =
a
dydx
a
f (x)
Geg.: Kurvenbogen c in der rechten oberen Viertelebene,
ohne Selbstschnitte
mit der stetig differenzierbaren Parameterdarstellung
~x(t) = (x(t), y(t)) mit ta ≤ t ≤ te.
Dann begrenzt c zusammen mit dem Streckenzug
~x(ta), (x(ta), 0), (x(te), 0), ~x(te)
und zusammen mit dem Streckenzug
~x(ta), (0, y(ta)), (0, y(te)), ~x(te)
je eine Fläche mit dem Inhalt
Z te
Ix = |
y(t) · ẋ · dt|
ta
bzw.
3
Z
te
x(t) · ẏ · dt|
Iy = |
ta
da
dx = ẋ · dt und dy = ẏ · dt
(siehe Tafelskizzen!)
Bemerkung: Man kann die Schreibweise mit der parametrisierten Kurve hier einfach auffassen als Anwendung der Substitutionsregel aus dem ersten Semester bei der Integration einer
Funktion einer Veränderlichen.
Frage: Was passiert, wenn c nicht Graph einer Funktion von
x bzw. nicht Graph einer Funktion von y ist?
(siehe Tafelskizze!)
Frage: Muss der Bereich begrenzt sein durch ein Stück der
Achse und achsenparallele Geraden?
Begrenzung durch eine beliebige Kurve liefert keinen Bereich,
aber Begrenzung durch eine geschlossene Kurve.
Wie ist dann zu rechnen?
Zum Beispiel mit Zerlegung des Parameterintervalls und Berücksichtigung von Vorzeichen.
Oder einfacher?
Einschub über Dreiecke:
4
Wird ein Dreieck aufgespannt vom Koordinatenursprung und
den beiden Vektoren (a, b) und (c, d), so ist sein Flächeninhalt
1
2 |ad − bc|.
Wird ein Dreieck aufgespannt vom Koordinatenursprung und
den beiden Vektoren ~x(t) und ~x(t + ∆t), so ist sein Flächeninhalt ∆F gleich
1
∆F = |x(t)(y(t + ∆t) − y(t)) − y(t)(x(t + ∆t) − x(t))|
2
(siehe Tafelskizze!)
Damit ist
1
∆F
dF
= lim
= |xẏ − y ẋ|
t→0 ∆t
dt
2
Weglassen der Betragsstriche führt auf den orientierten Flächeninhalt des Dreiecks, und wenn man mit dem orientierten Flächenelement integriert, heben sich manche Flächen weg.
(siehe Tafelskizze!)
Es gilt dann:
Ist eine stetig differenzierbare geschlossene Kurve c ohne Selbstschnitte gegeben durch eine Parameterdarstellung ~x = ~x(t)
mit ta ≤ t ≤ te und ~x(ta) = ~x(te), so ist der Inhalt I der
dadurch eingeschlossenen Fläche F gegeben durch
Z te
1
(xẏ − y ẋ)dt|
I= |
2 ta
Frage: Woher kommen jetzt doch wieder die Betragsstriche?
Beispiel: Geschlossene Kurve c ohne Selbstschnittpunkte in
Polarkoordinaten r = r(φ), φa ≤ φ ≤ φe, φe = φa + 2π,
5
r(φe) = r(φa).
Dann ist
x = r(φ) · cos φ,
y = r(φ) · sin φ
mit φa ≤ φ ≤ φe
eine Parameterdarstellung von c mit dem Parameter φ und
xẏ−y ẋ = r cos φ(ṙ sin φ+r cos φ)−r sin φ(ṙ cos φ−r sin φ) =
r2(cos2 φ + sin2 φ) = r2
Damit ist der Inhalt I der von c umschlossenen Fläche:
1
I=
2
4.4.3
Z
φe
r2(φ)dφ
φa
Beispiel zur konkreten Berechnung eines Volumens
Geg.: Kugel mit Radius a, Drehzylinder mit Radius a2 , Kugelmittelpunkt auf Zylindermantel
(siehe Tafelskizze!)
Ges.: Volumen V des Körpers K, der innerhalb der Kugel
und zugleich innerhalb des Zylinders liegt.
Beschreibung von K in irgendwelchen Koordinaten durch Ungleichungen?
Wir legen:
Kugelmittelpunkt in Ursprung, Zylinderachse parallel z-Achse,
z.B. durch Punkt auf x-Achse
6
(siehe Tafelskizze)
Kugel: x2 + y 2 + z 2 ≤ a2
Zylinder: (x − a2 )2 + y 2 ≤
a2
4
Man könnte schreiben:
a2
a
2
0 ≤ x ≤ a, y ≤
− (x − )2, z 2 ≤ a2 − x2 − y 2
4
2
oder, um sinnvolle Integrationsgrenzen zu bekommen:
p
p
0 ≤ x ≤ a, − x(a − x) ≤ y ≤ x(a − x),
p
p
2
2
2
− a − x − y ≤ z ≤ a2 − x2 − y 2
Damit hätte man
Z a Z √x(a−x) Z √a2−x2−y2
V =
dz dy dx
√
√
2
2
2
0
− x(a−x) − a −x −y
Z a Z √x(a−x) p
=2
a2 − x2 − y 2 dy dx
√
0
−
x(a−x)
Jetzt müsste man den inneren Integranden als Funktion von y
behandeln
(x als Konstante behandeln),
eine Stammfunktion des inneren Integranden suchen,
obere Grenze und untere Grenze einsetzen und die Differenz
bilden,
und dann hat man noch ein Integral nach x zu berechnen.
7
Das ist nicht schön,
zumal die Integranden länglich sind.
Versuch mit Zylinderkoordinaten ρ, φ, z:
Weil K innerhalb der Kugel liegt:
p
p
2
2
− a − ρ ≤ z ≤ a2 − ρ2
Weil K innerhalb des Drehzylinders liegt:
π
π
− ≤φ≤
2
2
0 ≤ ρ ≤ a · cos φ
(siehe Tafelskizze)
Damit gilt:
Z
π
2
√
a·cos φ Z
Z
V =
a2 −ρ2
√
− π2
−
0
ρdzdρdφ
a2 −ρ2
Da ρ von z unabhängig ist, erhält man:
Z
π
2
Z
a·cos φ
V =
− π2
Z
π
2
−
0
Z
2
√
a2 −ρ2
ρ[z] √ 2 2 dρdφ =
a·cos φ
ρ
− π2
p
0
a −ρ
a2 − ρ2dρdφ
√
Was muss man ableiten, um auf x a2 − x2 zu kommen?
Versuch:
3
1
d 2
3
(a − x2) 2 = · (a2 − x2) 2 · (−2x) =
dx
2
p
−3x a2 − x2
8
√
3
Eine Stammfunktion von x a2 − x2 ist daher − 13 · (a2 − x2) 2
Damit ist
π
2
Z
3
1
φ
[− · (a2 − ρ2) 2 ]a·cos
dφ =
0
π
3
−2
V =2
1
2 · (− ) ·
3
Z
π
2
3
3
((a2 − a2 · cos2 φ) 2 − (a2) 2 )dφ =
− π2
2 3
·a ·
3
Z
π
2
3
(1 − (1 − cos2 φ) 2 )dφ =
− π2
2 3
·a ·
3
Z
π
2
3
(1 − (sin2 φ) 2 )dφ =
− π2
2
2 3
· a · π − · a3 ·
3
3
π
2
Z
| sin3 φ|dφ
− π2
Einer Formelsammlung entnimmt man
Z
1
1
sin3 axdx = − cos ax +
cos3 ax
a
3a
(Das a in der Formelsammlung ist ein anderes a als unser a.
Wir setzen das a aus der Formelsammlung gleich 1 und das x
aus der Formelsammlung gleich φ.)
Damit gilt:
Z
π
2
| sin3 φ|dφ = 2 ·
− π2
Z
π
2
sin3 φdφ =
0
π
1
1
4
3
2 · [− cos φ + · cos φ]02 = 2 · (−0 + 0 − (−1 + )) =
3
3
3
Damit ist
9
2 3
2 3 4 a3
V = ·a ·π− ·a · =
· (6π − 8) ≈ 1, 2055a3
3
3
3
9
Zum Vergleich: Das Volumen der Kugel ist
4 3
πa ≈ 4, 18879a3
3
4.4.4
Beispiel zur konkreten Berechnung einer Masse und
eines Schwerpunkts
Geg.: Massive Viertelkugel B,
Radius R,
gerade Kante k.
Dichte d der Viertelkugel nimmt linear zu mit dem Abstand ρ
von k,
und zwar vom Wert d0 auf k
bis zum Wert d0 + ∆ für ρ = R.
Ges.: Schwerpunkt S der Viertelkugel
Zunächst: B ist symmetrisch bezüglich
• der Mittellotebene der geraden Kante und
• der winkelhalbierenden Ebene ω der beiden begrenzenden
Ebenen.
Daher liegt S in beiden Ebenen. (Warum?)
Welches Koordinatensystem?
10
Kugelmittelpunkt in den Ursprung O(0, 0, 0).
Gerade Kante auf z-Achse.
Ebene ω in xz-Ebene
Dann gilt: S(xS , 0, 0).
Was ist xS ?
Für den Schwerpunkt S(~s) gilt allgemein:
Z
1
~x · d(~x) · dV
~s =
M B
Dabei ist die Masse M gegeben durch:
Z
Z
M=
dm =
d(P ) · dV
B
B
Dabei ist d(~x) bzw. d(P ) die Dichte, dV das Volumenelement
und dm das Massenelement.
Welche Art von Koordinaten?
Dichte: proportional zum Abstand von der z-Achse: Zylinderkoordinaten?
Bereich B leicht zu beschreiben durch Kugelkoordinaten
Zylinderkoordinaten oder Kugelkoordinaten?
Versuch: Kugelkoordinaten:
11
x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos θ
dV = r2 sin θdrdθdφ
B : 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ π, −
d(r, θ, φ) = d0 +
π
π
≤φ≤
4
4
∆
∆
ρ = d0 + r sin θ
R
R
Masse M :
Z
Z
M=
d(P ) · dV =
dm =
B
Z
RZ π
0
π
4
Z
− π4
0
B
(d0 +
∆
r sin θ)r2 sin θdφdθdr
R
Wegen der Symmetrie bezüglich der beiden angegebenen Ebenen gilt:
R Z π2
Z
M =4·
π
4
Z
(d0 +
0
0
Z
4·
0
R Z π2
0
0
Z
RZ
Z
π
2
Z
π
4
∆
r sin θ)r2 sin θdφdθdr =
R
d0r2 sin θdφdθdr
0
π
4
∆
r sin θr2 sin θdφdθdr =
0
0
0 R
Z π
Z π
Z R
4
2
4d0
dφ ·
sin θdθ ·
r2dr+
+4 ·
0
0
0
12
∆
4
R
π
4
Z
π
2
Z
dφ ·
0
2
Z
R
r3dr =
sin θdθ ·
0
0
π r3
π
∆ π π r4 R
R
2
· [ ] =
4d0 [− cos θ]0 [ ]0 + 4
4
3
R4 4 4 0
R3 ∆ π R4 πR3
d0π · 1 ·
+ π·
=
· (16d0 + 3∆π) = M
3
R
4 4
48
Um Brüche zu sparen:
Z
xS · M =
xd(P )dV =
B
Z
RZ
4·
π
2
Z
π
4
∆
r sin θ)r2 sin θdφdθdr
R
x(d0 +
0
0
0
Die Koordinate x passt nicht unter das Integral! Wir schreiben
x = r sin θ cos φ. Damit gilt:
Z
xS · M = 4 ·
R Z π2
0
R Z π2
Z
+4 ·
Z
π
4
Z
0
r sin θ cos φd0r2 sin θdφdθdr
0
π
4
∆
r sin θ cos φ r sin θr2 sin θdφdθdr =
R
0
0
0
Z π
Z π
Z R
4
2
4d0
cos φdφ ·
sin2 θdθ ·
r3dr+
0
4
∆
R
Z
0
0
π
4
Z
cos φdφ ·
π
2
sin3 θdθ ·
0
Z
0
R
r4dr =
0
π
π r4 R
∆
1 3 π2 r5 R
4
4d0[sin φ]0 [ ]0 + 4 [sin φ]0 · [− cos θ + cos θ]0 [ ]0 =
4 4
R
3
5
π
4
13
√
√
2π R
2 2 R5
∆
·
+4 ·
=
4d0
2 4 4
R 2 3 5
4
1
√ R4 · (15πd0 + 32∆) = xS M
60 2
Damit gilt:
1√
R4 · (15πd0 + 32∆)
xS M
60 2
xS =
= πR3
=
M
48 · (16d0 + 3∆π)
√
2 2 15πd0 + 32∆
R
5π
16d0 + 3∆π
4.4.5
Zwei Beispiele zu Masse, Schwerpunkt und Trägheitsmoment
Beispiel 1: Geg.: kartesisches xyz-Koordinatensystem mit
dem Koordinatenursprung O
• Drehkegel mit Spitze O, mit der z-Achse als Drehachse und
mit dem halben Öffnungswinkel α, wobei 0 < α ≤ π2
• die Kugel mit Mittelpunkt O und Radius R > 0
a) Ges.: Schwerpunkt S(xS , yS , zS ) desjenigen Körpers K,
der oberhalb von O und sowohl innerhalb des Drehkegels
als auch innerhalb der Kugel liegt und von dem Drehkegel
und der Kugel begrenzt wird, wenn für seine Dichte d mit
einer Konstanten c > 0 gilt:
c
d = 2,
r
14
wobei r den Abstand vom Koordinatenursprung O bezeichnet?
Lösung:
Kugelkoordinaten r, θ, φ:
K : 0 ≤ θ ≤ α; 0 ≤ r ≤ R; 0 ≤ φ ≤ 2π.
K ist drehsymmetrisch mit der z-Achse als Drehachse.
Folglich ist xS = yS = 0.
Mit der Masse M von K gilt:
zS =
1
M
R
K
zd(~x)dV .
In Kugelkoordinaten gilt: dV = r2 sin θdrdθdφ.
z = r cos θ.
Zuerst Berechnung von M :
Z
M=
d(~x)dV.
K
Z
M=
Z
2π
Z
αZ R
c 2
r sin θdrdθdφ =
2
r
0
0
0
Z R Z α
Z 2π
c·
dr
sin θdθ
dφ
d(~x)dV =
K
0
0
15
0
= c · R[− cos θ]α0 2π = cR2π(1 − cos α).
Damit ist
Z
Z
zS ·M =
zd(~x)dV =
K
2π
Z
Z
αZ R
r cos θ
0
Z
0
0
c 2
r sin θdrdθdφ =
r2
αZ R
=
r cos θc sin θdrdθdφ =
0
0
R
Z
c·
0
Z
α
rdr
Z
cos θ sin θdθ
0
=
2π
0
2π
dφ =
0
c
cπ 2 2
2 α
· [r2]R
R sin α
·
[sin
θ]
·
2π
=
0
0
4
2
und
R
sin2 α
R 1 − cos2 α R
zS = ·
= ·
= · (1 + cos α).
4 1 − cos α
4 1 − cos α
4
b) Ges.: Trägheitsmoment J von K bezüglich der z-Achse?
Lösung:
Nach einer Formel aus der Vorlesung:
Z
ρ2dm =
J=
Z
K
(ρ(~x))2 · d(~x) · dV.
K
Dabei ist ρ der Abstand von der Achse.
Z
2π
Z
αZ R
J=
0
0
r2 sin2 θ
0
16
c 2
r sin θdrdθdφ =
r2
Z
2π
Z
αZ R
=c·
Z
0
R
c·
0
2
0
α
Z
3
r dr
0
3
r2 sin3 θdrdθdφ =
Z
sin θdθ
0
2π
dφ =
0
r
1 3 α
= c · [ ]R
cos θ]0 · 2π =
·
[−
cos
θ
+
3 0
3
2cπ 3
R (cos3 α − 3 cos α + 2).
9
Beispiel 2: Geg.: kartesisches xyz-Koordinatensystem mit
dem Koordinatenursprung O
• Drehkegel mit Spitze O, mit der z-Achse als Drehachse und
mit dem halben Öffnungswinkel α, wobei 0 < α ≤ π2
• Ebene ε mit der Gleichung z = h mit h ∈ R, h > 0.
a) Ges.: Schwerpunkt S(xS , yS , zS ) desjenigen Körpers K,
der oberhalb von O und sowohl innerhalb des Drehkegels
als auch unterhalb von ε liegt und von dem Drehkegel
und ε begrenzt wird, wenn für seine Dichte d mit einer
Konstanten c > 0 gilt:
c
d= ,
ρ
wobei ρ den Abstand von der z-Achse bezeichnet?
Lösung:
17
Zylinderkoordinaten ρ, φ, z:
K : 0 ≤ z ≤ h; 0 ≤ φ ≤ 2π; 0 ≤ ρ ≤ z tan α.
K ist drehsymmetrisch mit der z-Achse als Drehachse.
Folglich ist xS = yS = 0.
Mit der Masse M von K gilt:
zS =
1
M
R
zd(~x)dV .
K
In Zylinderkoordinaten gilt: dV = ρdρdφdz.
Zuerst Berechnung von M :
Z
M=
d(~x)dV.
K
2π
Z
Z
Z
h Z z tan α
d(~x)dV =
M=
0
K
Z
0
0
h
2π
Z
c·
c
ρdρdzdφ =
ρ
z tan αdz
dφ
0
0
z2 h
h2
= c tan α · [ ]0 · 2π = 2πc tan α · .
2
2
Damit ist
Z
zS · M =
2π
Z
Z
h Z z tan α
zd(~x)dV =
K
0
Z
2π
Z
=c·
h
Z
z
0
0
0
z tan α
dρdzdφ =
0
18
0
c
z ρdρdzdφ
ρ
h
Z
Z
2
c·
z tan αdz
0
2π
dφ =
0
h3
2πc
tan αh3
= c tan α · 2π =
3
3
und
zS =
2πc
3
tan αh3
2
2πc tan α · h2
2
= h.
3
b) Ges.: Trägheitsmoment J von K bezüglich der z-Achse?
Lösung:
Nach einer Formel aus der Vorlesung:
Z
J=
ρ2dm =
Z
(ρ(~x))2 · d(~x) · dV.
K
K
Dabei ist ρ der Abstand von der Achse.
Z
2π
Z
h Z z tan α
c
ρ2 ρdρdzdφ =
ρ
0
0
0
Z 2π Z h Z z tan α
Z h 3
Z 2π
3
z
tan
α
= c·
ρ2dρdzdφ = c·
dz
dφ =
3
0
0
0
0
0
tan3 α h4
cπ
=c·
·
· 2π =
· tan3 α · h4.
3
4
6
J=
19