Formelsammlung PHY126

Formelsammlung
PHY126/128/129
Grundeinheiten/Abgeleitete Einheiten:
Geschwindigkeit:
Beschleunigung:
Kraft:
Energie:
Leistung
Druck:
Ladung
Elektr. Spannung:
Elektr. Widerstand:
Magnetfeld:
Elektrostatik
1 m/s
1 m/s2
1 N = 1 kgm/s2
1 J = 1 Nm = 1 kgm2/s2
1 W = 1 J/s = 1 kgm2/s3
1 Pa = 1 N/m2 = 1 kg/ms2
1 C = 1 As
1 V = 1 J/C = 1 kgm2/As3
1 " = 1V/A = 1 kgm2/A2s3
1 T = 1Vs/m2 = 1 kg/As2
!
Coulomb-Kraft:
!
!
Q1Q2 r12
F12 =
,
4"# 0 r122 r12
Elektrisches Feld einer Punktladung Q:
!
!
" 0 = 8.85x10-12 C2/Nm2
! !
E (r ) =
!
Q r
4"# 0 r 2 r
Differenz in der elektrischen Spannung (“Potentialdifferenz”)
zwischen zwei
! !
!
!
Raumpunkten r1 und r2 in einem elektrischen Feld E(r ) :
!
!
r2 !
!
!
!
!
!U = U(r2 ) "U(r1 ) = " # E(r ) " dr
!
r
1
!
In einem konstanten elektrischen Feld E parallel zur Wegdifferenz d:
!
!U = E d
!
Elektrische Spannung (“Potential”) um eine Punktladung: U( r ) =
Q
4"# 0 r
! !
!
Elektrisches Dipolmoment zweier Ladungen +Q/–Q im Abstand d : pel = Qd
!
! !
Fluss des elektrischen Feldes durch eine Fläche A: !el = " E " n dA .
A
! !
Gauss’scher Satz:
!el =
! !
Q
E
" " n dA = !innen
#
0
Ageschlossen
Kapazität C eines Kondensators:
Q
U
!S
C= 0
d
C=
Plattenkondensator (Fläche S, Plattenabstand d):
Zusammenhang Flächenladungsdichte und dem davon ausgehenden elektrischen Feld:
!
E! =
"0
Kapazität eines Kondensators mit (C’) und ohne (C) Dielektrikum (ε):
C ' = !C
Zusammenhang Stromdichte und Geschwindigkeit einer bewegten Ladungsdichte nel:
!
!
j = nel v
Ohm’sches Gesetz (1. Version):
!
!
j = ! el E
Ohm’sches Gesetz (2. Version):
U = RI
Joule’sche Wärmeleistung eines Ohm’schen Widerstandes:
P = UI = RI 2 = U 2 R
Netzwerke von Widerständen und Kondensatoren:
n
Maschenregel: !U k = 0 U k ….Spannung über dem Bauteil k in einer Strommasche
k=1
n
Knotenregel:
!I
k
=0
I k …. Stromstärke der Leitung k zu/von einem Stromknoten
k=1
Serieschaltung von zwei Widerständen:
Ersatzwiderstand
Parallelschaltung von zwei Widerständen:
1
1 1
RR
= + ;!!!!!RE = 1 2
RE R1 R2
R1 + R2
Serieschaltung von zwei Kapazitäten:
Ersatzkapazität
Parallelschaltung von zwei Kapazitäten:
CE = C1 + C2
RE = R1 + R2
1
1 1
= +
CE C1 C2
Magnetfelder
!
Lorentzkraft auf mit v bewegte Ladung q:
!
! !
FL = qv ! B
Zyklotronfrequenz:
!c =
qB
m
Kraft auf geraden langen stromdurchflossenen Leiter mit Länge L:
! !
B " ds = µ 0 I innen
#!
Ampère’sches Gesetz:
F = IB! L
Lgeschlossen
Magnetfeld eines geraden, langen stromdurchflossenen Leiters:
!
µI
B(r) = 0
2! r
Magnetfeld innerhalb einer langen Spule der Länge L mit N Windungen:
! µ NI
B= 0
L
Wechselströme und –spannungen:
Induktionsgesetz: Induzierte Spannung in einer Leiterschlaufe, die eine Fläche A
umschliesst:
! !
d"
Uind = ! mag ,
mit ! mag = " B " n dA
dt
A
Koeffizient der gegenseitigen Induktion L12 zweier Leiterschlaufen:
dI1
dt
Koeffizient der Selbstinduktion L einer Spule mit Länge l, Fläche A, N Windungen:
U ind,2 = "L12
Uind = !L
dI !
mit
dt
L=
µ0 N 2 A
.
l
Transformierte Spannung Uind,2 eines Transformators mit N1 bzw. N2 Windungen in
Primär- bzw. Sekundärspule:
N
U ind,2 = 2 U1 .
N1
Effektive Spannung einer Wechselspannung mit Amplitude U0: U eff = U r.m.s = U 0 / 2
!
Impedanz einer Induktivität L:
Z = "L
Impedanz einer Kapazität C:
Z!= 1/"C
!
Zeitkonstante beim Ein-/Ausschalten eines RC-Glieds:
Schwingungskreisfrequenz eines LC-Glieds:
!
!
!
" = 1/RC
" = 1/ LC
Wellen
Wellengleichung einer eindimensionalen Welle (Auslenkung u, Ausbreitungsgeschwindigkeit v in x-Richtung):
!2 u(x, t) 1 !2 u(x, t)
= 2
!x 2
v
!t 2
Ausbreitungsgeschwindigkeiten v für verschiedene Wellenarten:
Elektromagnetische
Wellen im Vakuum
Schallwellen in Gasen
Druck- und Scherwellen in
festen Körpern
Seilwellen
Oberflächenwellen
in Flüssigkeiten
v = c = 3.108 m/s
v=
vL =
p!
"
E
G
, vT =
!
!
FL
m
g!
v!
λ << h
2"
v ! gh λ >> h
v=
Druck p, Dichte ρ,
Adiabatenkoeffizient κ
(Luft: κ ≈ 1.4)
Elastizitätsmodul E,
Schermodul G, Dichte ρ
Spannkraft F, Länge des
Seils L mit Masse m
Wassertiefe h
Wellenlänge λ
Eindimensionale harmonische Welle (mit v in positive x-Richtung laufend):
u(x, t) = ûsin(kx ! ! t),!!!mit!Wellenzahl!k =
2"
,!Wellenlänge! #,!!!!!!v = ! / k = # f
#
Intensitäten J harmonischer Wellen für verschiedene Wellenarten:
Elektromagnetische
Wellen im Vakuum
Schallwellen in Gasen
J = 12 ! 0 cÊ 2
Druck- und Scherwellen in
festen Körpern
J = 12 !" 2 vû 2
J = 12 p̂ 2 / ( ! v)
Amplitude Ê des
elektrischen Feldes
Druckamplitude p̂
Dichte ρ
Auslenkungsamplitude û
Lautstärke (Schallintensität) in Bezug auf die Hörschwelle J0 (10-12 W/m2 bei 1 kHz):
!J$
N(in!dB) = 10 log10 # &
" J0 %
Fouriersynthese und –analyse einer periodischen Funktion u(t) = u(t+T):
!
u(t) = " An cos(! n t) +Bn sin(! n t)!!mit!!! n = n
n=1
An =
T
2
T
! u(t) cos(! nt)dt,!Bn =
0
2
T
2"
,
T
T
! u(t) sin(! nt)dt,! A0 =
0
2
T
T
! u(t)dt
0
Stehende Wellen in eindimensionalem Wellenträger der Länge L mit festen Enden:
"
2L
v"
v
u(x, t) ! sin(kn x)sin(! n t),!!mit!kn =!n ,!! #n =
,!!! n = n ,!! fn = n
L
n
L
2L
Frequenzen stehender Wellen einer eingespannten quadratischen Membran (Länge L):
fnx,ny = nx2 + ny2
v
.
2L
Brechungsgesetz (Übergang einer ebenen Welle von Medium 1 in Medium 2):
sin ! v1 n2
= =
sin " v2 n1
(Fortpflanzungsgeschwindigkeiten v, Brechungsindices n=c/v)
Abstand Δy der Intensitätsmaxima bei Interferenz am Doppelspalt auf einem Schirm
in Entfernung D von den Spalten im Abstand d:
!y = !
D
!y !
,!bzw.!!"Winkelabstand"!!!" "
= !!(in!!Radiant).
d
D d
Materiewellen:
Zusammenhang zwischen Impuls p und Wellenlänge λ einer „Teilchenwelle“:
!=
h
p
mit
h = 6.626x10-34 Js.
Wärmelehre
!
!
" … Anzahl Mole
N = "N A ... Anzahl Teilchen
NA = 6.02x1023 Teilchen/Mol
kB = 1.38x10-23 J/K
R = NAkB = 8.31 J/Mol K
Zustandsgleichung idealer Gase:
pV = ! RT = Nk BT
Zustandsgleichung van-der-Waals Gas:
(p +
a! 2
)(V ! ! b) = ! RT
V2
Mittlere kinetische Energie eines idealen Gases:
E kin = 23 k BT pro Teilchen
Äquipartitionstheorem:
E = 2 k BT
f
pro Teilchen
!
(f = Anzahl Bewegungs/Rotations/Schwingungs Freiheitsgrade)
!
Maxwell-Boltzmann’sche Geschwindigkeitsverteilung
(m: Teilchenmasse)
2
mv
# m & 3/ 2 2 – 2k
T
dw(v) = 4 " %
( v e B dv
$ 2"k BT '
Wahrscheinlichste Geschwindigkeit:
!
Mittlere quadratische Geschwindigkeit:
!
v max =
2k BT
m
v2 =
3k BT
m
Wärmeleitungsgleichung (1D):
Wärmestromdichte
! dT(x)
j = " #w
dx
P = "AT 4 , " = 5.67x10-8 W/m2K4
Stefan-Boltzmann’sches Strahlungsgesetz:
Wärmekapazität:
!
!
!
Feste Körper: CV ! C p ! 3! R
"w … Wärmeleitfähigkeit
dQ
C=
dT
!
Ideale Gase:
CV = 23 ! R
C p = 25 ! R
!
Schmelzwärme (Schmelzen bei Ts):
L ! ! RTs
Innere Energie eines idealen Gases:
U(T,V ) = 23 ! RT
Innere Energie eines van-der Waals Gases:
U(T,V ) = 23 ! RT !
Entropieänderung über Gleichgewichtszustände (Definition):
Entropiedifferenz (ideales Gas):
a! 2
V2
"S =
#Q$
T
"V %
"T %
S(T2 ,V2 ) ! S(T1,V1 ) = ! R ln $ 2 ' + 23 ! R ln $ 2 '
# T1 &
! # V1 &
1. Hauptsatz der Thermodynamik:
"U = #W $ + #Q$
bzw. (über Gleichgewichtszustände)
$
$
U(T2 ,V2 ) " U(T1,V1 ) = W1#2
+ Q1#2
!
Adiabatische Zustandsänderungen:
!
pV " = const. bzw. TV (" #1) = const.
!
Ideale Gase: " = 5 /3
Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine:
!
#
W tot
" =! #
Q
Carnot-Wirkungsgrad:
"C =
!
!
T1 # T2
T1