¨Ubungen zur Numerischen Mathematik II
Werbung
Prof. Dr. L.Grüne
Dipl.-Wirtschaftsmath. J.Pannek
Lehrstuhl für Angewandte Mathematik
Universität Bayreuth SS 2005
Übungen zur Numerischen Mathematik II
- Blatt 11 Aufgabe 39:
Es sei X̃i (T ) eine schwache Approximation von X(T ) bzgl. der Funktionen g(x) = x und g(x) = x2 .
Zeigen Sie, dass dann die Konvergenz
lim Var(X̃i (T )) = Var(X(T ))
i→∞
gilt.
Aufgabe 40: Programmieraufgabe
Implementieren Sie in Matlab den Algorithmus zur schwachen Approximation des Wiener–Prozesses durch
eine Gitterfunktion mit Schrittweite h und Gitter T = {t0 , . . . , tN }.
Für j = 1, . . . , N und i = 0, . . . , n − 1
(1) Erzeuge zweipunktverteilte Zufallszahl ∆Wi (wj ), wobei
X(Ω) = {x1 , x2 },
√
√
mit x1 = − h, x2 = h gilt.
PX ({x1 }) = PX ({x2 }) =
1
2
(2) Erzeuge Gitterfunktionen W̃ (ti , wj ) gemäß
W̃ (t0 , wj ) = 0, W̃ (ti+1 , wj ) = W̃ (ti , wj ) + ∆Wi (wj )
Verwenden Sie zum Vergleich der schwachen Approximation mit dem Wiener–Prozess das in Aufgabe 36
implementierte Verfahren und plotten Sie beide Lösungen zusammen in einer Grafik. Hierzu sei N = 1, T =
1. Verwenden Sie zudem den Befehl figure oder subplot, um verschiedene Gitter T für n = 10, 100, 1000
einzeln betrachten zu können.
Aufgabe 41:
Berechnen Sie die Indexmengen Astark
und Aschwach
für γ = 0.5, 1, 1.5, 2 und β = 1, 2.
γ
β
Aufgabe 42:
Weisen Sie die Korrektheit der Formeln für die starken stochastischen Taylor-Verfahren
T0.5 = S1 = X + ha(t, X) + ∆W (t)b(t, X)
1
T1 = X + ha(t, X) + ∆W (t)b(t, X) + ((∆W (t))2 − h)b(t, X)b0 (t, X)
2
nach. Verwenden Sie hierzu die berechnete Multiindexmengen aus Aufgabe 41 zur Berechnung der Differentialoperatoren Lα und der Integralausdrücke I α [t, t + h].
Hinweis: Hierbei dürfen Sie ohne Beweis die Rechenregel
I
(1,1)
1
[t, t + h] = ((I (1) [t, t + h])2 − h) und
2
Zt2
t1
dW (t) =
Zt2
0
dW (t) −
Zt1
= W (t2 ) − W (t1 )
0
verwenden.
Die Lösungen sind am Donnerstag, den 07.07.2005, vor der Übung abzugeben.
Die Lösung der Programmieraufgabe ist ebenfalls am Donnerstag, den 07.07.2005, vor der Übung abzugeben. Hinweise zur Lösung werden jeweils in der Übung gegeben.
