¨Ubungen zur Vorlesung Numerik gew ¨ohnlicher

Übungen zur Vorlesung
Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen
Wintersemester 2016/2017
Übungsblatt 7
2.12.2016
PD Dr. Thorsten Hüls
Abgabe: Freitag, 9.12.2016, 10:00 Uhr in das Postfach 128 in V3-128
Tutor: Christian Döding, [email protected]
Aufgabe 18:
Gegeben sei die Anfangswertaufgabe
 ′ 

 
u1
σ(u2 − u1 )
5
u2  = ru1 − u2 − u1 u3  , u(0) = 5
u3
u1 u2 − bu3
5
mit σ = 10, b = 38 , r = 28.
(1)
Lösen Sie die Anfangswertaufgabe (1) unter Verwendung der M ATLAB Funktionen
ode45
und
ode113
auf dem Zeitintervall [0, 50].
Variieren Sie die Toleranz-Einstellungen der Verfahren zum Erhalt möglichst genauer Lösungen. Plotten Sie die gefundenen Approximationen wie in Aufgabe 17(ii)
und dokumentieren Sie die Rechenzeiten der einzelnen Verfahren. Vergleichen Sie
die Lösungen insbesondere mit der Approximation des impliziten Runge-KuttaVerfahrens aus Aufgabe 17(i.2) zur Schrittweite h = 0.0001. Dokumentieren Sie
die numerischen Ergebnisse aussagekräftig (Beschriftung der Koordinatenachsen,
Legende, genaue Beschreibung des numerischen Experimentes).
(6 Punkte)
Aufgabe 19:
Gegeben sei die autonome Anfangswertaufgabe
u′ = λu,
u(0) = u0 ,
λ∈
C.
(a) Zeigen Sie, dass die Lösung von (2) für ℜ(λ) < 0 für alle u0 ∈
konvergiert.
(2)
C gegen 0
C
(b) Sei µ = λh. Bestimmen Sie die Werte µ ∈ , so dass die numerische Approximation mit dem expliziten Euler-Verfahren zur Schrittweite h für jeden
Anfangswert u0 ∈ gegen 0 konvergiert.
C
C
(c) Sei µ = λh. Bestimmen Sie die Werte µ ∈ , so dass die numerische Approximation mit dem impliziten Euler-Verfahren zur Schrittweite h für jeden
Anfangswert u0 ∈ gegen 0 konvergiert.
C
(6 Punkte)
Aufgabe 20:
Gegeben sei die Anfangswertaufgabe
u′ = f (t, u),
wobei f : [τ0 , τE ] ×
u(t0 ) = u0 ,
(3)
Rn → Rn die Lipschitz-Bedingung
kf (t, u) − f (t, v)k ≤ Lf ku − vk für alle t ∈ [τ0 , τE ]
erfüllt. Sei τ0 < t0 < tE < τE .
Zur Approximation der Lösung von (3) sei ein explizites Runge-Kutta-Verfahren
mit Verfahrensfunktion ϕ gegeben.
• Beweisen Sie die folgende Aussage:
Es existieren Konstanten Lϕ , h0 > 0, so dass
kϕ(t, u, h) − ϕ(t, v, h)k ≤ Lϕ ku − vk für alle t ∈ [t0 , tE ], u, v ∈
Rn, 0 < h ≤ h0
gilt.
• Diskutieren Sie insbesondere die Abhängigkeit der Konstanten Lf , Lϕ , h0 voneinander.
(6 Punkte)