Kommunikationsprobleme - Lehrstuhl Informatik 1

Kommunikationsprobleme
Walter Unger
Lehrstuhl für Informatik 1
29. Januar 2008
Approximation
Einleitung
Motivation und Definitionen
Erste Ergebnisse
Grundlagen
Schranke
Heuristiken
Idee
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Cluster
Approximation II
Poise
Ausblick
LuF
Literatur
Fragen
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Motivation und Definitionen
Motivation
I
Broadcast- und Gossipproblem ist in N PC.
Z
Ausblick
4:1
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Motivation und Definitionen
Motivation
I
Broadcast- und Gossipproblem ist in N PC.
I
Versuche trotzdem eine “Lösung”.
Z
Ausblick
4:1
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Motivation und Definitionen
Z
Ausblick
4:1
Motivation
I
Broadcast- und Gossipproblem ist in N PC.
I
Versuche trotzdem eine “Lösung”.
I
Versuche möglichst gut an das Optimum zu kommen.
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Motivation und Definitionen
Z
Ausblick
4:1
Motivation
I
Broadcast- und Gossipproblem ist in N PC.
I
Versuche trotzdem eine “Lösung”.
I
Versuche möglichst gut an das Optimum zu kommen.
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Motivation und Definitionen
4:1
Motivation
I
Broadcast- und Gossipproblem ist in N PC.
I
Versuche trotzdem eine “Lösung”.
I
Versuche möglichst gut an das Optimum zu kommen.
Definition ( Minimum Broadcast Zeit )
Eingabe: G = (V , E ) und v ∈ V
Ausgabe: Broadcast Verfahren A von v aus für G .
Kosten: comm(A)
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Motivation und Definitionen
4:1
Motivation
I
Broadcast- und Gossipproblem ist in N PC.
I
Versuche trotzdem eine “Lösung”.
I
Versuche möglichst gut an das Optimum zu kommen.
Definition ( Minimum Broadcast Zeit )
Eingabe: G = (V , E ) und v ∈ V
Ausgabe: Broadcast Verfahren A von v aus für G .
Kosten: comm(A)
Ziel: Versuche die MBZ zu approximieren.
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Motivation und Definitionen
Approximation
Definition (Approximations Faktor)
I
Sei A Algorithmus für Problem P
Approximation II
Z
Ausblick
4:2
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Motivation und Definitionen
Approximation
Approximation II
Z
Ausblick
4:2
LuF
Walter Unger
Definition (Approximations Faktor)
I
Sei A Algorithmus für Problem P
I
für Instanz I aus P seien costA (I ) die Kosten die A abliefert.
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Motivation und Definitionen
Approximation
Z
Ausblick
4:2
LuF
Walter Unger
Definition (Approximations Faktor)
I
Sei A Algorithmus für Problem P
I
für Instanz I aus P seien costA (I ) die Kosten die A abliefert.
I
Seien opt(I ) Kosten der optimalen Lösung.
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Motivation und Definitionen
4:2
Approximation
Z
Ausblick
Walter Unger
Definition (Approximations Faktor)
I
Sei A Algorithmus für Problem P
I
für Instanz I aus P seien costA (I ) die Kosten die A abliefert.
I
Seien opt(I ) Kosten der optimalen Lösung.
I
Dann ist der Approximations Faktor von A:
max
I ∈P
costA (I )
opt(I )
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Erste Ergebnisse
Erste Überlegungen
Approximation
Approximation II
Z
Ausblick
4:3
LuF
Walter Unger
Lemma
Für jeden Graphen G = (V , E ) und jeden Knoten v ∈ V gilt:
b(v , G ) 6 b(G ) 6 r2 (G ) 6 r (G ) 6 2minb(G ) 6 2b(v , G )
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Erste Ergebnisse
Erste Überlegungen
Z
Ausblick
4:3
LuF
Walter Unger
Lemma
Für jeden Graphen G = (V , E ) und jeden Knoten v ∈ V gilt:
b(v , G ) 6 b(G ) 6 r2 (G ) 6 r (G ) 6 2minb(G ) 6 2b(v , G )
Folgerung:
Falls das MBZ Problem mit Faktor α approximiert werden kann,
dann auch:
I
das Problem minb(v , G ) mit Faktor 2 · α,
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Erste Ergebnisse
Erste Überlegungen
Z
Ausblick
4:3
LuF
Walter Unger
Lemma
Für jeden Graphen G = (V , E ) und jeden Knoten v ∈ V gilt:
b(v , G ) 6 b(G ) 6 r2 (G ) 6 r (G ) 6 2minb(G ) 6 2b(v , G )
Folgerung:
Falls das MBZ Problem mit Faktor α approximiert werden kann,
dann auch:
I
das Problem minb(v , G ) mit Faktor 2 · α,
I
das Problem b(G ) mit Faktor 2 · α,
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Erste Ergebnisse
Erste Überlegungen
Z
Ausblick
4:3
LuF
Walter Unger
Lemma
Für jeden Graphen G = (V , E ) und jeden Knoten v ∈ V gilt:
b(v , G ) 6 b(G ) 6 r2 (G ) 6 r (G ) 6 2minb(G ) 6 2b(v , G )
Folgerung:
Falls das MBZ Problem mit Faktor α approximiert werden kann,
dann auch:
I
das Problem minb(v , G ) mit Faktor 2 · α,
I
das Problem b(G ) mit Faktor 2 · α,
I
das Problem r2 (G ) mit Faktor 2 · α und
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Erste Ergebnisse
Erste Überlegungen
Z
Ausblick
4:3
LuF
Walter Unger
Lemma
Für jeden Graphen G = (V , E ) und jeden Knoten v ∈ V gilt:
b(v , G ) 6 b(G ) 6 r2 (G ) 6 r (G ) 6 2minb(G ) 6 2b(v , G )
Folgerung:
Falls das MBZ Problem mit Faktor α approximiert werden kann,
dann auch:
I
das Problem minb(v , G ) mit Faktor 2 · α,
I
das Problem b(G ) mit Faktor 2 · α,
I
das Problem r2 (G ) mit Faktor 2 · α und
I
das Problem r (G ) mit Faktor 2 · α.
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Erste Ergebnisse
MBZ auf Bäumen
Approximation
Approximation II
Z
Ausblick
4:4
LuF
Walter Unger
Lemma (MBZ auf Bäumen)
Das MBZ Problem kann auf beliebigen Bäumen in Polynomzeit
gelöst werden.
Beweis:
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Erste Ergebnisse
MBZ auf Bäumen
Approximation
Approximation II
Z
Ausblick
4:4
LuF
Walter Unger
Lemma (MBZ auf Bäumen)
Das MBZ Problem kann auf beliebigen Bäumen in Polynomzeit
gelöst werden.
Beweis:
I
Sei v Wurzel von T .
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Erste Ergebnisse
MBZ auf Bäumen
Approximation II
Z
Ausblick
4:4
LuF
Walter Unger
Lemma (MBZ auf Bäumen)
Das MBZ Problem kann auf beliebigen Bäumen in Polynomzeit
gelöst werden.
Beweis:
I
Sei v Wurzel von T .
I
Seien v1 , v2 , . . . , vk Nachfolger von v .
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Erste Ergebnisse
MBZ auf Bäumen
Z
Ausblick
4:4
LuF
Walter Unger
Lemma (MBZ auf Bäumen)
Das MBZ Problem kann auf beliebigen Bäumen in Polynomzeit
gelöst werden.
Beweis:
I
Sei v Wurzel von T .
I
Seien v1 , v2 , . . . , vk Nachfolger von v .
I
Seien Ti die Teilbäume mit Wurzel vi (1 6 i 6 k).
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Erste Ergebnisse
MBZ auf Bäumen
Z
Ausblick
4:4
LuF
Walter Unger
Lemma (MBZ auf Bäumen)
Das MBZ Problem kann auf beliebigen Bäumen in Polynomzeit
gelöst werden.
Beweis:
I
Sei v Wurzel von T .
I
Seien v1 , v2 , . . . , vk Nachfolger von v .
I
Seien Ti die Teilbäume mit Wurzel vi (1 6 i 6 k).
I
Bestimme rekursiv b(vi , Ti ).
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Erste Ergebnisse
Z
Ausblick
4:4
MBZ auf Bäumen
LuF
Walter Unger
Lemma (MBZ auf Bäumen)
Das MBZ Problem kann auf beliebigen Bäumen in Polynomzeit
gelöst werden.
Beweis:
I
Sei v Wurzel von T .
I
Seien v1 , v2 , . . . , vk Nachfolger von v .
I
Seien Ti die Teilbäume mit Wurzel vi (1 6 i 6 k).
I
Bestimme rekursiv b(vi , Ti ).
I
Sei o.E.d.A.: b(v1 , T1 ) > b(v2 , T2 ) > . . . > b(vk , Tk ).
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Erste Ergebnisse
Z
Ausblick
4:4
MBZ auf Bäumen
LuF
Walter Unger
Lemma (MBZ auf Bäumen)
Das MBZ Problem kann auf beliebigen Bäumen in Polynomzeit
gelöst werden.
Beweis:
I
Sei v Wurzel von T .
I
Seien v1 , v2 , . . . , vk Nachfolger von v .
I
Seien Ti die Teilbäume mit Wurzel vi (1 6 i 6 k).
I
Bestimme rekursiv b(vi , Ti ).
I
Sei o.E.d.A.: b(v1 , T1 ) > b(v2 , T2 ) > . . . > b(vk , Tk ).
I
Dann ist es optimal: die Nachfolger von v in dieser
Reihenfolge zu informieren.
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Erste Ergebnisse
Z
Ausblick
4:4
MBZ auf Bäumen
LuF
Walter Unger
Lemma (MBZ auf Bäumen)
Das MBZ Problem kann auf beliebigen Bäumen in Polynomzeit
gelöst werden.
Beweis:
I
Sei v Wurzel von T .
I
Seien v1 , v2 , . . . , vk Nachfolger von v .
I
Seien Ti die Teilbäume mit Wurzel vi (1 6 i 6 k).
I
Bestimme rekursiv b(vi , Ti ).
I
Sei o.E.d.A.: b(v1 , T1 ) > b(v2 , T2 ) > . . . > b(vk , Tk ).
I
Dann ist es optimal: die Nachfolger von v in dieser
Reihenfolge zu informieren.
I
D.h.: b(v , T ) = max16i6k (b(vi , Ti ) + i).
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Erste Ergebnisse
Schranken
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Z
Ausblick
4:5
LuF
Walter Unger
Lemma
1. MBZ kann mit Faktor (n − 1)/dlog2 ne approximiert werden.
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Erste Ergebnisse
Schranken
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Z
Ausblick
4:5
LuF
Walter Unger
Lemma
1. MBZ kann mit Faktor (n − 1)/dlog2 ne approximiert werden.
2. MBZ kann mit Faktor (n − 1)/ rad(G ) approximiert werden.
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Erste Ergebnisse
Schranken
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Z
Ausblick
4:5
LuF
Walter Unger
Lemma
1. MBZ kann mit Faktor (n − 1)/dlog2 ne approximiert werden.
2. MBZ kann mit Faktor (n − 1)/ rad(G ) approximiert werden.
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Erste Ergebnisse
Schranken
Z
Ausblick
4:5
LuF
Walter Unger
Lemma
1. MBZ kann mit Faktor (n − 1)/dlog2 ne approximiert werden.
2. MBZ kann mit Faktor (n − 1)/ rad(G ) approximiert werden.
Lemma
MBZ kann auf jeden Graphen G und Knoten v in Zeit
deg(G ) · rad(v , G ) gelöst werden.
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Erste Ergebnisse
Schranken
Z
Ausblick
4:5
LuF
Walter Unger
Lemma
1. MBZ kann mit Faktor (n − 1)/dlog2 ne approximiert werden.
2. MBZ kann mit Faktor (n − 1)/ rad(G ) approximiert werden.
Lemma
MBZ kann auf jeden Graphen G und Knoten v in Zeit
deg(G ) · rad(v , G ) gelöst werden.
Folgerung
MBZ kann mit Faktor deg(G ) approximiert werden.
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Erste Ergebnisse
Schranken
Z
Ausblick
4:5
LuF
Walter Unger
Lemma
1. MBZ kann mit Faktor (n − 1)/dlog2 ne approximiert werden.
2. MBZ kann mit Faktor (n − 1)/ rad(G ) approximiert werden.
Lemma
MBZ kann auf jeden Graphen G und Knoten v in Zeit
deg(G ) · rad(v , G ) gelöst werden.
Folgerung
MBZ kann mit Faktor deg(G ) approximiert werden.
Beweis: wegen rad(v , G ) 6 b(v , G ) gilt
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Erste Ergebnisse
Schranken
Z
Ausblick
4:5
LuF
Walter Unger
Lemma
1. MBZ kann mit Faktor (n − 1)/dlog2 ne approximiert werden.
2. MBZ kann mit Faktor (n − 1)/ rad(G ) approximiert werden.
Lemma
MBZ kann auf jeden Graphen G und Knoten v in Zeit
deg(G ) · rad(v , G ) gelöst werden.
Folgerung
MBZ kann mit Faktor deg(G ) approximiert werden.
Beweis: wegen rad(v , G ) 6 b(v , G ) gilt
deg(G ) · rad(v , G )/b(v , G ) 6 deg(G ) · rad(v , G )/ rad(v , G ).
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Schranke
Schranke
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Z
Ausblick
4:6
LuF
Walter Unger
Lemma
Falls es einen ρ-Approximations Algorithmus auf Graphen H vom
Durchmesser 2 für MBZ gibt, dann auch einen
(4 · ρ + 2)-Approximations Algorithmus für beliebige Graphen G .
Beweisüberblick:
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Schranke
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Z
Ausblick
4:6
Schranke
LuF
Walter Unger
Lemma
Falls es einen ρ-Approximations Algorithmus auf Graphen H vom
Durchmesser 2 für MBZ gibt, dann auch einen
(4 · ρ + 2)-Approximations Algorithmus für beliebige Graphen G .
Beweisüberblick:
1. Erzeuge aus G einen Graphen H mit Durchmesser 2.
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Schranke
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Z
Ausblick
4:6
Schranke
LuF
Walter Unger
Lemma
Falls es einen ρ-Approximations Algorithmus auf Graphen H vom
Durchmesser 2 für MBZ gibt, dann auch einen
(4 · ρ + 2)-Approximations Algorithmus für beliebige Graphen G .
Beweisüberblick:
1. Erzeuge aus G einen Graphen H mit Durchmesser 2.
2. Bestimme auf H den ρ-Approximations Algorithmus.
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Schranke
Z
Ausblick
4:6
Schranke
LuF
Walter Unger
Lemma
Falls es einen ρ-Approximations Algorithmus auf Graphen H vom
Durchmesser 2 für MBZ gibt, dann auch einen
(4 · ρ + 2)-Approximations Algorithmus für beliebige Graphen G .
Beweisüberblick:
1. Erzeuge aus G einen Graphen H mit Durchmesser 2.
2. Bestimme auf H den ρ-Approximations Algorithmus.
3. Transformiere diesen zu einen Algorithmus auf G .
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Schranke
Z
Ausblick
4:6
Schranke
LuF
Walter Unger
Lemma
Falls es einen ρ-Approximations Algorithmus auf Graphen H vom
Durchmesser 2 für MBZ gibt, dann auch einen
(4 · ρ + 2)-Approximations Algorithmus für beliebige Graphen G .
Beweisüberblick:
1. Erzeuge aus G einen Graphen H mit Durchmesser 2.
2. Bestimme auf H den ρ-Approximations Algorithmus.
3. Transformiere diesen zu einen Algorithmus auf G .
4. Zeige Güte der Approximation.
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Schranke
Approximation
Approximation II
4:7
Umformung des Graphen
I
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Sei G = (V , E )
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Schranke
Approximation II
4:7
Umformung des Graphen
I
Sei G = (V , E )
I
Dann ist H = (V ∪ {t}, E ∪ E 0 ) mit
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Schranke
Approximation II
4:7
Umformung des Graphen
I
Sei G = (V , E )
I
Dann ist H = (V ∪ {t}, E ∪ E 0 ) mit
I
E 0 = { {t, x} | x ∈ V }.
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Schranke
Approximation II
4:7
Umformung des Graphen
I
Sei G = (V , E )
I
Dann ist H = (V ∪ {t}, E ∪ E 0 ) mit
I
E 0 = { {t, x} | x ∈ V }.
Es wird also:
I
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Schranke
Approximation II
4:7
Umformung des Graphen
I
Sei G = (V , E )
I
Dann ist H = (V ∪ {t}, E ∪ E 0 ) mit
I
E 0 = { {t, x} | x ∈ V }.
Es wird also:
I
I
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Ein Knoten hinzugefügt und
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Schranke
Approximation II
4:7
Umformung des Graphen
I
Sei G = (V , E )
I
Dann ist H = (V ∪ {t}, E ∪ E 0 ) mit
I
E 0 = { {t, x} | x ∈ V }.
Es wird also:
I
I
I
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Ein Knoten hinzugefügt und
dieser mit allen anderen verbunden.
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Schranke
4:8
Tranformation
I
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Sei AH Algorithmus auf H mit Laufzeit h.
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Schranke
4:8
Tranformation
I
Sei AH Algorithmus auf H mit Laufzeit h.
I
AH macht einen Broadcast.
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Schranke
4:8
Tranformation
I
Sei AH Algorithmus auf H mit Laufzeit h.
I
AH macht einen Broadcast.
I
Damit arbeitet AH auf einem Baum T .
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Schranke
Z
Ausblick
4:8
Tranformation
I
Sei AH Algorithmus auf H mit Laufzeit h.
I
AH macht einen Broadcast.
I
Damit arbeitet AH auf einem Baum T .
I
In diesem Baum T gibt es auch den Knoten t und die
inzidenten Kanten.
LuF
Walter Unger
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Schranke
Z
Ausblick
4:8
Tranformation
LuF
Walter Unger
I
Sei AH Algorithmus auf H mit Laufzeit h.
I
AH macht einen Broadcast.
I
Damit arbeitet AH auf einem Baum T .
I
In diesem Baum T gibt es auch den Knoten t und die
inzidenten Kanten.
I
Ersetze den Stern um t durch einen BFS Teilbaum T 0 in G .
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Schranke
Z
Ausblick
4:8
Tranformation
LuF
Walter Unger
I
Sei AH Algorithmus auf H mit Laufzeit h.
I
AH macht einen Broadcast.
I
Damit arbeitet AH auf einem Baum T .
I
In diesem Baum T gibt es auch den Knoten t und die
inzidenten Kanten.
I
Ersetze den Stern um t durch einen BFS Teilbaum T 0 in G .
I
Nutze für T 0 die Reihenfolge der Aktivierung der Kanten um t.
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Schranke
Z
Ausblick
4:8
Tranformation
LuF
Walter Unger
I
Sei AH Algorithmus auf H mit Laufzeit h.
I
AH macht einen Broadcast.
I
Damit arbeitet AH auf einem Baum T .
I
In diesem Baum T gibt es auch den Knoten t und die
inzidenten Kanten.
I
Ersetze den Stern um t durch einen BFS Teilbaum T 0 in G .
I
Nutze für T 0 die Reihenfolge der Aktivierung der Kanten um t.
I
Dabei wird die Kommunikation auf T 0 maximal h mal
ausgebremst.
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Schranke
Z
Ausblick
4:8
Tranformation
LuF
Walter Unger
I
Sei AH Algorithmus auf H mit Laufzeit h.
I
AH macht einen Broadcast.
I
Damit arbeitet AH auf einem Baum T .
I
In diesem Baum T gibt es auch den Knoten t und die
inzidenten Kanten.
I
Ersetze den Stern um t durch einen BFS Teilbaum T 0 in G .
I
Nutze für T 0 die Reihenfolge der Aktivierung der Kanten um t.
I
Dabei wird die Kommunikation auf T 0 maximal h mal
ausgebremst.
I
Damit ist die Laufzeit von AG : 2 · h + diam(G )
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Schranke
Approximation
Approximation II
4:9
Beweis
I
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
b(H) 6 b(G ) + 1
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Schranke
Approximation
Approximation II
4:9
Beweis
I
b(H) 6 b(G ) + 1
I
ρ · b(H) 6 ρ · (b(G ) + 1)
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Schranke
Approximation
Approximation II
4:9
Beweis
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
I
b(H) 6 b(G ) + 1
I
ρ · b(H) 6 ρ · (b(G ) + 1)
I
2 · ρ · (b(G ) + 1) + diam(G ) Algorithmus A auf G von s aus.
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Schranke
4:9
Beweis
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
I
b(H) 6 b(G ) + 1
I
ρ · b(H) 6 ρ · (b(G ) + 1)
I
2 · ρ · (b(G ) + 1) + diam(G ) Algorithmus A auf G von s aus.
I
Es gilt: diam(G ) 6 b(G ) 6 2 · b(s, G ) − 1
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Schranke
4:9
Beweis
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
I
b(H) 6 b(G ) + 1
I
ρ · b(H) 6 ρ · (b(G ) + 1)
I
2 · ρ · (b(G ) + 1) + diam(G ) Algorithmus A auf G von s aus.
I
Es gilt: diam(G ) 6 b(G ) 6 2 · b(s, G ) − 1
I
4 · ρ · b(s, G ) + 2 · b(s, G ) Schritte für A.
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Schranke
4:9
Beweis
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
I
b(H) 6 b(G ) + 1
I
ρ · b(H) 6 ρ · (b(G ) + 1)
I
2 · ρ · (b(G ) + 1) + diam(G ) Algorithmus A auf G von s aus.
I
Es gilt: diam(G ) 6 b(G ) 6 2 · b(s, G ) − 1
I
4 · ρ · b(s, G ) + 2 · b(s, G ) Schritte für A.
I
(4 · ρ + 2) · b(s, G ) Schritte für A.
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Schranke
4:9
Beweis
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
I
b(H) 6 b(G ) + 1
I
ρ · b(H) 6 ρ · (b(G ) + 1)
I
2 · ρ · (b(G ) + 1) + diam(G ) Algorithmus A auf G von s aus.
I
Es gilt: diam(G ) 6 b(G ) 6 2 · b(s, G ) − 1
I
4 · ρ · b(s, G ) + 2 · b(s, G ) Schritte für A.
I
(4 · ρ + 2) · b(s, G ) Schritte für A.
I
Also eine (2 · ρ + 2)-Approximation.
maxI ∈P
costA (I )
opt(I )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Idee
4:10
Idee
I
Algorithmen sind eine Folge von Matchings.
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Idee
4:10
Idee
I
Algorithmen sind eine Folge von Matchings.
I
Heuristik könnte sein: Maximiere die Matchings.
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Idee
4:10
Idee
I
Algorithmen sind eine Folge von Matchings.
I
Heuristik könnte sein: Maximiere die Matchings.
Form der Algorithmen:
I
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Idee
4:10
Idee
I
Algorithmen sind eine Folge von Matchings.
I
Heuristik könnte sein: Maximiere die Matchings.
Form der Algorithmen:
I
I
{v } = V0 , E1 , V1 , E2 , V2 , . . . , Ek , Vk = V
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Idee
4:10
Idee
I
Algorithmen sind eine Folge von Matchings.
I
Heuristik könnte sein: Maximiere die Matchings.
Form der Algorithmen:
I
I
I
{v } = V0 , E1 , V1 , E2 , V2 , . . . , Ek , Vk = V
Mit: Vi ∈ V und Ei ∈ E
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Idee
4:10
Idee
I
Algorithmen sind eine Folge von Matchings.
I
Heuristik könnte sein: Maximiere die Matchings.
Form der Algorithmen:
I
I
I
I
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
{v } = V0 , E1 , V1 , E2 , V2 , . . . , Ek , Vk = V
Mit: Vi ∈ V und Ei ∈ E
Mit: Ei ist Maximum Matching zwischen Vi−1 und N(Vi−1 ).
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Idee
4:10
Idee
I
Algorithmen sind eine Folge von Matchings.
I
Heuristik könnte sein: Maximiere die Matchings.
Form der Algorithmen:
I
I
I
I
I
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
{v } = V0 , E1 , V1 , E2 , V2 , . . . , Ek , Vk = V
Mit: Vi ∈ V und Ei ∈ E
Mit: Ei ist Maximum Matching zwischen Vi−1 und N(Vi−1 ).
Mit: Vi = Vi−1 ∪ Ei (Vi−1 )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Idee
4:10
Idee
I
Algorithmen sind eine Folge von Matchings.
I
Heuristik könnte sein: Maximiere die Matchings.
Form der Algorithmen:
I
I
I
I
I
I
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
{v } = V0 , E1 , V1 , E2 , V2 , . . . , Ek , Vk = V
Mit: Vi ∈ V und Ei ∈ E
Mit: Ei ist Maximum Matching zwischen Vi−1 und N(Vi−1 ).
Mit: Vi = Vi−1 ∪ Ei (Vi−1 )
Mit: N(W ) sind die Nachbarn der Knotenmenge W .
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Idee
4:10
Idee
I
Algorithmen sind eine Folge von Matchings.
I
Heuristik könnte sein: Maximiere die Matchings.
Form der Algorithmen:
I
I
I
I
I
I
I
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
{v } = V0 , E1 , V1 , E2 , V2 , . . . , Ek , Vk = V
Mit: Vi ∈ V und Ei ∈ E
Mit: Ei ist Maximum Matching zwischen Vi−1 und N(Vi−1 ).
Mit: Vi = Vi−1 ∪ Ei (Vi−1 )
Mit: N(W ) sind die Nachbarn der Knotenmenge W .
Mit: M(W ) sind die Knoten die von W aus gematchet werden.
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Idee
4:11
Motivation
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Lemma
Falls S1 ⊆ S2 dann gilt b(S2 , G ) 6 b(S1 , G ).
Mit b(S, G ) ist ein Broadcast von S, wobei alle Knoten aus S die
Information schon haben.
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Idee
4:11
Motivation
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Lemma
Falls S1 ⊆ S2 dann gilt b(S2 , G ) 6 b(S1 , G ).
Mit b(S, G ) ist ein Broadcast von S, wobei alle Knoten aus S die
Information schon haben.
Erinnerung: {v } = V0 , E1 , V1 , E2 , V2 , . . . , Ek , Vk = V
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Idee
4:11
Motivation
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Lemma
Falls S1 ⊆ S2 dann gilt b(S2 , G ) 6 b(S1 , G ).
Mit b(S, G ) ist ein Broadcast von S, wobei alle Knoten aus S die
Information schon haben.
Erinnerung: {v } = V0 , E1 , V1 , E2 , V2 , . . . , Ek , Vk = V
Lemma
Jeder optimale Broadcastalgorithmus kann so umgeformt werden,
daß die Ei Maximum Matching zwischen Vi−1 und N(Vi−1 ) ist.
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Idee
4:11
Motivation
Z
Ausblick
Walter Unger
Lemma
Falls S1 ⊆ S2 dann gilt b(S2 , G ) 6 b(S1 , G ).
Mit b(S, G ) ist ein Broadcast von S, wobei alle Knoten aus S die
Information schon haben.
Erinnerung: {v } = V0 , E1 , V1 , E2 , V2 , . . . , Ek , Vk = V
Lemma
Jeder optimale Broadcastalgorithmus kann so umgeformt werden,
daß die Ei Maximum Matching zwischen Vi−1 und N(Vi−1 ) ist.
Lemma
Es gilt:
b(S, G ) = 1 + minM Matching zwischen
S,N(S) (b(S
LuF
∪ M(S), G ).
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Idee
4:12
Idee
Definition (Rad)
Das Rad Rk mit k + 1 Knoten ist der Graph
I
Rk = (Vk , Ek )
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Idee
4:12
Idee
Definition (Rad)
Das Rad Rk mit k + 1 Knoten ist der Graph
I
Rk = (Vk , Ek )
I
Vk = {v0 , v1 , v2 , . . . , vk }
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Idee
4:12
Idee
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Definition (Rad)
Das Rad Rk mit k + 1 Knoten ist der Graph
I
Rk = (Vk , Ek )
I
Vk = {v0 , v1 , v2 , . . . , vk }
I
Ek = {vi , vj } | i = (j +1) mod (k +1)∨i = 0∨(i = 1∧j = k)}
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Grundlagen
Lemma
√
Es gilt: b(v0 , Rn ) = Θ( n).
Zeige: b(v0 , Rn ) = Ω(
p
(n))
Z
Ausblick
4:13
Schranke für das Rad
I
Approximation II
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Grundlagen
Lemma
√
Es gilt: b(v0 , Rn ) = Θ( n).
Zeige: b(v0 , Rn ) = Ω(
I
p
(n))
Angenommen: k = b(v0 , Rn )
Z
Ausblick
4:13
Schranke für das Rad
I
Approximation II
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Grundlagen
Lemma
√
Es gilt: b(v0 , Rn ) = Θ( n).
Zeige: b(v0 , Rn ) = Ω(
I
I
p
(n))
Angenommen: k = b(v0 , Rn )
v0 informiere Knotenmenge C direkt.
Z
Ausblick
4:13
Schranke für das Rad
I
Approximation II
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Grundlagen
Lemma
√
Es gilt: b(v0 , Rn ) = Θ( n).
Zeige: b(v0 , Rn ) = Ω(
I
I
I
p
(n))
Angenommen: k = b(v0 , Rn )
v0 informiere Knotenmenge C direkt.
|C | 6 k
Z
Ausblick
4:13
Schranke für das Rad
I
Approximation II
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Grundlagen
4:13
Schranke für das Rad
Lemma
√
Es gilt: b(v0 , Rn ) = Θ( n).
I
Zeige: b(v0 , Rn ) = Ω(
I
I
I
I
p
(n))
Angenommen: k = b(v0 , Rn )
v0 informiere Knotenmenge C direkt.
|C | 6 k
Damit gibt es w mit: dist(w , C ) > bdn/ke/2c.
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Grundlagen
4:13
Schranke für das Rad
Lemma
√
Es gilt: b(v0 , Rn ) = Θ( n).
I
Zeige: b(v0 , Rn ) = Ω(
I
I
I
I
I
p
(n))
Angenommen: k = b(v0 , Rn )
v0 informiere Knotenmenge C direkt.
|C | 6 k
Damit gibt es w mit: dist(w , C ) > bdn/ke/2c.
Laufzeit: bdn/ke/2c + 1
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Grundlagen
4:13
Schranke für das Rad
Lemma
√
Es gilt: b(v0 , Rn ) = Θ( n).
I
Zeige: b(v0 , Rn ) = Ω(
I
I
I
I
I
I
p
(n))
Angenommen: k = b(v0 , Rn )
v0 informiere Knotenmenge C direkt.
|C | 6 k
Damit gibt es w mit: dist(w , C ) > bdn/ke/2c.
Laufzeit: bdn/ke/2c + 1
Minimale Laufzeit bei: k = bdn/ke/2c + 1
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Grundlagen
4:13
Schranke für das Rad
Lemma
√
Es gilt: b(v0 , Rn ) = Θ( n).
I
Zeige: b(v0 , Rn ) = Ω(
I
I
I
I
I
I
I
p
(n))
Angenommen: k = b(v0 , Rn )
v0 informiere Knotenmenge C direkt.
|C | 6 k
Damit gibt es w mit: dist(w , C ) > bdn/ke/2c.
Laufzeit: bdn/ke/2c + 1
Minimale Laufzeit
bei: k = bdn/ke/2c + 1
p
Damit: k > n/2.
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Grundlagen
4:13
Schranke für das Rad
Lemma
√
Es gilt: b(v0 , Rn ) = Θ( n).
I
Zeige: b(v0 , Rn ) = Ω(
I
I
I
I
I
I
I
I
p
(n))
Angenommen: k = b(v0 , Rn )
v0 informiere Knotenmenge C direkt.
|C | 6 k
Damit gibt es w mit: dist(w , C ) > bdn/ke/2c.
Laufzeit: bdn/ke/2c + 1
Minimale Laufzeit
bei: k = bdn/ke/2c + 1
p
Damit: k > n/2.
√
Zeige: b(v0 , Rn ) = O( n)
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Grundlagen
4:13
Schranke für das Rad
Lemma
√
Es gilt: b(v0 , Rn ) = Θ( n).
I
Zeige: b(v0 , Rn ) = Ω(
I
I
I
I
I
I
I
I
p
(n))
Angenommen: k = b(v0 , Rn )
v0 informiere Knotenmenge C direkt.
|C | 6 k
Damit gibt es w mit: dist(w , C ) > bdn/ke/2c.
Laufzeit: bdn/ke/2c + 1
Minimale Laufzeit
bei: k = bdn/ke/2c + 1
p
Damit: k > n/2.
√
Zeige: b(v0 , Rn ) = O( n)
I
Z
Ausblick
√
v0 informiert alle Knoten vi mit: 1 ≡ i (mod d ne).
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Grundlagen
4:13
Schranke für das Rad
Lemma
√
Es gilt: b(v0 , Rn ) = Θ( n).
I
Zeige: b(v0 , Rn ) = Ω(
I
I
I
I
I
I
I
I
p
(n))
Angenommen: k = b(v0 , Rn )
v0 informiere Knotenmenge C direkt.
|C | 6 k
Damit gibt es w mit: dist(w , C ) > bdn/ke/2c.
Laufzeit: bdn/ke/2c + 1
Minimale Laufzeit
bei: k = bdn/ke/2c + 1
p
Damit: k > n/2.
√
Zeige: b(v0 , Rn ) = O( n)
I
I
Z
Ausblick
√
v0 informiert alle Knoten
vi mit: 1 ≡ i (mod d ne).
√
Laufzeit damit: 3 · d ne/2 + 1.
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Heuristiken
Approximation II
Definition
P
v ∈S
deg(v , G )
Z
Ausblick
4:14
Heuristik 1
DG (S) =
Approximation
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Heuristiken
Approximation II
4:14
Heuristik 1
Definition
DG (S) =
I
P
v ∈S
deg(v , G )
Betrachte alle maximalen Matchings.
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Heuristiken
Approximation II
4:14
Heuristik 1
Definition
DG (S) =
P
v ∈S
deg(v , G )
I
Betrachte alle maximalen Matchings.
I
Wähle als Matching Ei das mit:
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Heuristiken
Approximation II
4:14
Heuristik 1
Definition
DG (S) =
P
v ∈S
deg(v , G )
I
Betrachte alle maximalen Matchings.
I
Wähle als Matching Ei das mit:
I
DG (Ei (Vi−1 )) ist maximal.
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Heuristiken
4:14
Heuristik 1
Definition
DG (S) =
P
v ∈S
deg(v , G )
I
Betrachte alle maximalen Matchings.
I
Wähle als Matching Ei das mit:
I
DG (Ei (Vi−1 )) ist maximal.
I
Kann auf Rn zu einer Laufzeit von n/3 führen.
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Heuristiken
4:14
Heuristik 1
Definition
DG (S) =
P
v ∈S
Z
Ausblick
deg(v , G )
I
Betrachte alle maximalen Matchings.
I
Wähle als Matching Ei das mit:
I
DG (Ei (Vi−1 )) ist maximal.
I
Kann auf Rn zu einer Laufzeit von n/3 führen.
I
v0 muss nicht die Knoten auf dem Kreis gleichverteilt
informieren.
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Heuristiken
Heuristik 2
Definition
P
EG (S) = v ∈S rad(v , G )
Approximation
Approximation II
Z
Ausblick
4:15
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Heuristiken
Approximation II
4:15
Heuristik 2
Definition
P
EG (S) = v ∈S rad(v , G )
I
Betrachte alle maximalen Matchings.
I
Wähle als Matching Ei das mit:
I
EG (Ei (Vi−1 )) ist maximal.
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Heuristiken
Z
Ausblick
4:15
Heuristik 2
Definition
P
EG (S) = v ∈S rad(v , G )
I
Betrachte alle maximalen Matchings.
I
Wähle als Matching Ei das mit:
I
EG (Ei (Vi−1 )) ist maximal.
I
Kann auf Rn zu einer Laufzeit von O(n) führen.
I
v0 muss nicht die Knoten auf dem Kreis gleichverteilt
informieren.
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Heuristiken
Approximation
Approximation II
4:16
Heuristik 3
I
Kombiniere 1 und 2.
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Heuristiken
Approximation II
4:16
Heuristik 3
I
Kombiniere 1 und 2.
I
Führt zu einem analogen Problem.
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Heuristiken
Approximation II
4:16
Heuristik 3
Z
Ausblick
I
Kombiniere 1 und 2.
I
Führt zu einem analogen Problem.
I
Damit approximieren die Heuristiken nur mit einem Faktor
√
von Ω( n).
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Cluster
Approximation II
4:17
Idee
I
Teile den Graph in Cluster auf.
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Cluster
Approximation II
4:17
Idee
I
Teile den Graph in Cluster auf.
I
Cluster sollten klein sein.
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:17
Idee
I
Teile den Graph in Cluster auf.
I
Cluster sollten klein sein.
I
Auf Cluster sollte gut approximiert werden.
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:17
Idee
Z
Ausblick
I
Teile den Graph in Cluster auf.
I
Cluster sollten klein sein.
I
Auf Cluster sollte gut approximiert werden.
I
Globaler Algorithmus sollte gut zusammengefügt werden
können.
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:18
Cluster
Definition
Sei G = (V , E ) ein Graph. C ⊆ V ist ein Cluster, falls G |C
zusammenhängend ist.
I
mit G |C = (C , {{a, b} ∈ E | a, b ∈ C }).
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:18
Cluster
Definition
Sei G = (V , E ) ein Graph. C ⊆ V ist ein Cluster, falls G |C
zusammenhängend ist.
I
mit G |C = (C , {{a, b} ∈ E | a, b ∈ C }).
I
G |C ist der durch C induzierte Teilgraph auf G .
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:18
Cluster
Definition
Sei G = (V , E ) ein Graph. C ⊆ V ist ein Cluster, falls G |C
zusammenhängend ist.
I
mit G |C = (C , {{a, b} ∈ E | a, b ∈ C }).
I
G |C ist der durch C induzierte Teilgraph auf G .
I
C , C 0 sind disjunkt, falls C ∩ C 0 = ∅.
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:18
Cluster
Definition
Sei G = (V , E ) ein Graph. C ⊆ V ist ein Cluster, falls G |C
zusammenhängend ist.
I
mit G |C = (C , {{a, b} ∈ E | a, b ∈ C }).
I
G |C ist der durch C induzierte Teilgraph auf G .
I
C , C 0 sind disjunkt, falls C ∩ C 0 = ∅.
I
C , C 0 sind unabhängig, falls
{{a, b} | a ∈ C ∧ b ∈ C 0 ∧ {a, b} ∈ E } = ∅.
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Cluster
Heuristiken
Approximation
Approximation II
4:19
SPT
Z
Ausblick
Walter Unger
Definition (STP):
Sei G = (V , E ) und S ⊂ V .
Ein Baum T = (V 0 , E 0 ) mit Wurzel v heist “Shortest Path Tree”
falls:
I
S ⊆ V0
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Cluster
Approximation II
4:19
SPT
Z
Ausblick
Walter Unger
Definition (STP):
Sei G = (V , E ) und S ⊂ V .
Ein Baum T = (V 0 , E 0 ) mit Wurzel v heist “Shortest Path Tree”
falls:
I
S ⊆ V0
I
∀w ∈ S : distT (v , w ) = distG (v , w )
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:19
SPT
Z
Ausblick
Walter Unger
Definition (STP):
Sei G = (V , E ) und S ⊂ V .
Ein Baum T = (V 0 , E 0 ) mit Wurzel v heist “Shortest Path Tree”
falls:
I
S ⊆ V0
I
∀w ∈ S : distT (v , w ) = distG (v , w )
I
Falls w ∈ V 0 ein Blatt ist, dann gilt w ∈ S.
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:19
SPT
Z
Ausblick
Walter Unger
Definition (STP):
Sei G = (V , E ) und S ⊂ V .
Ein Baum T = (V 0 , E 0 ) mit Wurzel v heist “Shortest Path Tree”
falls:
I
S ⊆ V0
I
∀w ∈ S : distT (v , w ) = distG (v , w )
I
Falls w ∈ V 0 ein Blatt ist, dann gilt w ∈ S.
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:19
SPT
Z
Ausblick
Walter Unger
Definition (STP):
Sei G = (V , E ) und S ⊂ V .
Ein Baum T = (V 0 , E 0 ) mit Wurzel v heist “Shortest Path Tree”
falls:
I
S ⊆ V0
I
∀w ∈ S : distT (v , w ) = distG (v , w )
I
Falls w ∈ V 0 ein Blatt ist, dann gilt w ∈ S.
LuF
Lemma (STP):
Zu G = (V , E ) und S ⊂ V kann SPT T = (V 0 , E 0 ) in Polynomzeit
bestimmt werden.
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:19
SPT
Z
Ausblick
Walter Unger
Definition (STP):
Sei G = (V , E ) und S ⊂ V .
Ein Baum T = (V 0 , E 0 ) mit Wurzel v heist “Shortest Path Tree”
falls:
I
S ⊆ V0
I
∀w ∈ S : distT (v , w ) = distG (v , w )
I
Falls w ∈ V 0 ein Blatt ist, dann gilt w ∈ S.
Lemma (STP):
Zu G = (V , E ) und S ⊂ V kann SPT T = (V 0 , E 0 ) in Polynomzeit
bestimmt werden.
Beweis: Bestimme minimalen Spannbaum und lösche rekursiv
Blätter die nicht aus S sind.
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Cluster
Approximation II
4:20
Aufteilung in Cluster
Z
Ausblick
Walter Unger
Lemma:
Ein Graph G = (V , E ) (|V | = n) kann in Polynomzeit aufgeteilt
werden:
I
Die Cluster aus A, B sind disjunkt.
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Cluster
Approximation II
4:20
Aufteilung in Cluster
Z
Ausblick
Walter Unger
Lemma:
Ein Graph G = (V , E ) (|V | = n) kann in Polynomzeit aufgeteilt
werden:
I
Die Cluster aus A, B sind disjunkt.
I
A, B sind Mengen von Clustern.
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Cluster
Approximation II
4:20
Aufteilung in Cluster
Z
Ausblick
Walter Unger
Lemma:
Ein Graph G = (V , E ) (|V | = n) kann in Polynomzeit aufgeteilt
werden:
I
Die Cluster aus A, B sind disjunkt.
I
A, B sind Mengen von Clustern.
S
S
( A) ∪ ( B) = V
I
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Cluster
Approximation II
4:20
Aufteilung in Cluster
Z
Ausblick
Walter Unger
Lemma:
Ein Graph G = (V , E ) (|V | = n) kann in Polynomzeit aufgeteilt
werden:
I
Die Cluster aus A, B sind disjunkt.
I
A, B sind Mengen von Clustern.
S
S
( A) ∪ ( B) = V
√
|A| 6 n.
I
I
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Cluster
Approximation II
4:20
Aufteilung in Cluster
Z
Ausblick
Walter Unger
Lemma:
Ein Graph G = (V , E ) (|V | = n) kann in Polynomzeit aufgeteilt
werden:
I
Die Cluster aus A, B sind disjunkt.
I
A, B sind Mengen von Clustern.
S
S
( A) ∪ ( B) = V
√
|A| 6 n.
√
∀C ∈ A : |C | = d ne.
I
I
I
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Cluster
Approximation II
4:20
Aufteilung in Cluster
Z
Ausblick
Walter Unger
Lemma:
Ein Graph G = (V , E ) (|V | = n) kann in Polynomzeit aufgeteilt
werden:
I
Die Cluster aus A, B sind disjunkt.
I
A, B sind Mengen von Clustern.
S
S
( A) ∪ ( B) = V
√
|A| 6 n.
√
∀C ∈ A : |C | = d ne.
√
|B| = n.
I
I
I
I
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Cluster
Approximation II
4:20
Aufteilung in Cluster
Z
Ausblick
Walter Unger
Lemma:
Ein Graph G = (V , E ) (|V | = n) kann in Polynomzeit aufgeteilt
werden:
I
Die Cluster aus A, B sind disjunkt.
I
A, B sind Mengen von Clustern.
S
S
( A) ∪ ( B) = V
√
|A| 6 n.
√
∀C ∈ A : |C | = d ne.
√
|B| = n.
√
∀C ∈ B : |C | 6 n.
I
I
I
I
I
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Cluster
Approximation II
4:20
Aufteilung in Cluster
Z
Ausblick
Walter Unger
Lemma:
Ein Graph G = (V , E ) (|V | = n) kann in Polynomzeit aufgeteilt
werden:
I
Die Cluster aus A, B sind disjunkt.
I
I
A, B sind Mengen von Clustern.
S
S
( A) ∪ ( B) = V
√
|A| 6 n.
√
∀C ∈ A : |C | = d ne.
√
|B| = n.
√
∀C ∈ B : |C | 6 n.
I
∀C , D ∈ B : C ∩ D = ∅
I
I
I
I
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Cluster
Approximation II
4:21
Aufteilung in Cluster
I
Arbeite rekursiv auf G = (V , E ):
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Cluster
Approximation II
4:21
Aufteilung in Cluster
I
Arbeite rekursiv auf G = (V , E ):
1. Bestimme Spannwald F .
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:21
Aufteilung in Cluster
I
Arbeite rekursiv auf G = (V , E ):
1. Bestimme Spannwald F .
√
2. Falls F einen Baum T der Größe > n hat, dann
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Cluster
Approximation II
4:21
Aufteilung in Cluster
I
Z
Ausblick
Arbeite rekursiv auf G = (V , E ):
1. Bestimme Spannwald F .
√
2. Falls F einen Baum T der Größe > n hat, dann √
3. bestimmte in T Teilbaum T 0 = (W , F ) mit |W | = d ne.
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Cluster
Approximation II
4:21
Aufteilung in Cluster
I
Z
Ausblick
Arbeite rekursiv auf G = (V , E ):
1.
2.
3.
4.
Bestimme Spannwald F .
√
Falls F einen Baum T der Größe > n hat, dann √
bestimmte in T Teilbaum T 0 = (W , F ) mit |W | = d ne.
Füge W zu A hinzu.
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:21
Aufteilung in Cluster
I
Arbeite rekursiv auf G = (V , E ):
1.
2.
3.
4.
I
Z
Ausblick
Bestimme Spannwald F .
√
Falls F einen Baum T der Größe > n hat, dann √
bestimmte in T Teilbaum T 0 = (W , F ) mit |W | = d ne.
Füge W zu A hinzu.
Situation: Jeder Baum T in F hat Größe 6
√
n
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:21
Aufteilung in Cluster
I
Z
Ausblick
Arbeite rekursiv auf G = (V , E ):
1.
2.
3.
4.
Bestimme Spannwald F .
√
Falls F einen Baum T der Größe > n hat, dann √
bestimmte in T Teilbaum T 0 = (W , F ) mit |W | = d ne.
Füge W zu A hinzu.
I
Situation: Jeder Baum T in F hat Größe 6
I
Diese Bäume ergeben die Cluster aus B.
√
n
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:21
Aufteilung in Cluster
I
Arbeite rekursiv auf G = (V , E ):
1.
2.
3.
4.
Bestimme Spannwald F .
√
Falls F einen Baum T der Größe > n hat, dann √
bestimmte in T Teilbaum T 0 = (W , F ) mit |W | = d ne.
Füge W zu A hinzu.
I
Situation: Jeder Baum T in F hat Größe 6
I
Diese Bäume ergeben die Cluster aus B.
√
Damit ist noch zu zeigen: |A| 6 d ne.
I
Z
Ausblick
√
n
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:21
Aufteilung in Cluster
I
Arbeite rekursiv auf G = (V , E ):
1.
2.
3.
4.
Bestimme Spannwald F .
√
Falls F einen Baum T der Größe > n hat, dann √
bestimmte in T Teilbaum T 0 = (W , F ) mit |W | = d ne.
Füge W zu A hinzu.
I
Situation: Jeder Baum T in F hat Größe 6
I
Diese Bäume ergeben die Cluster aus B.
√
Damit ist noch zu zeigen: |A| 6 d ne.
I
Z
Ausblick
I
√
n > |A| · d ne
√
n
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:21
Aufteilung in Cluster
I
Arbeite rekursiv auf G = (V , E ):
1.
2.
3.
4.
Bestimme Spannwald F .
√
Falls F einen Baum T der Größe > n hat, dann √
bestimmte in T Teilbaum T 0 = (W , F ) mit |W | = d ne.
Füge W zu A hinzu.
I
Situation: Jeder Baum T in F hat Größe 6
I
Diese Bäume ergeben die Cluster aus B.
√
Damit ist noch zu zeigen: |A| 6 d ne.
I
Z
Ausblick
I
I
√
n >√|A| · d ne
n/d ne > |A
√
n
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:21
Aufteilung in Cluster
I
Arbeite rekursiv auf G = (V , E ):
1.
2.
3.
4.
Bestimme Spannwald F .
√
Falls F einen Baum T der Größe > n hat, dann √
bestimmte in T Teilbaum T 0 = (W , F ) mit |W | = d ne.
Füge W zu A hinzu.
I
Situation: Jeder Baum T in F hat Größe 6
I
Diese Bäume ergeben die Cluster aus B.
√
Damit ist noch zu zeigen: |A| 6 d ne.
I
Z
Ausblick
I
I
I
√
n >√|A| · d ne
n/d
√ ne > |A
n > |A|
√
n
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Cluster
Heuristiken
Approximation
Approximation II
4:22
Lemma
Z
Ausblick
Lemma:
Gegeben Graph G = (V , E ), V 0 ⊂ V und v ∈ V .
Eine Nachricht kann von v zu V 0 in Zeit |V 0 | − 1 + rad(v , G )
gesendet werden.
Beweis:
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:22
Lemma
Z
Ausblick
Lemma:
Gegeben Graph G = (V , E ), V 0 ⊂ V und v ∈ V .
Eine Nachricht kann von v zu V 0 in Zeit |V 0 | − 1 + rad(v , G )
gesendet werden.
Beweis:
I
Bestimme SPT T für V 0 mit Wurzel v .
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:22
Lemma
Z
Ausblick
Lemma:
Gegeben Graph G = (V , E ), V 0 ⊂ V und v ∈ V .
Eine Nachricht kann von v zu V 0 in Zeit |V 0 | − 1 + rad(v , G )
gesendet werden.
Beweis:
I
Bestimme SPT T für V 0 mit Wurzel v .
I
Bestimme optimalen Broadcastalgorithmus auf T .
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
Z
Ausblick
4:22
Lemma
Lemma:
Gegeben Graph G = (V , E ), V 0 ⊂ V und v ∈ V .
Eine Nachricht kann von v zu V 0 in Zeit |V 0 | − 1 + rad(v , G )
gesendet werden.
Beweis:
I
Bestimme SPT T für V 0 mit Wurzel v .
I
Bestimme optimalen Broadcastalgorithmus auf T .
Zeige: Blatt u ist nach |V 0 | − 1 + rad(v , G ) Schritten
informiert.
I
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
Z
Ausblick
4:22
Lemma
Lemma:
Gegeben Graph G = (V , E ), V 0 ⊂ V und v ∈ V .
Eine Nachricht kann von v zu V 0 in Zeit |V 0 | − 1 + rad(v , G )
gesendet werden.
Beweis:
I
Bestimme SPT T für V 0 mit Wurzel v .
I
Bestimme optimalen Broadcastalgorithmus auf T .
Zeige: Blatt u ist nach |V 0 | − 1 + rad(v , G ) Schritten
informiert.
I
I
Falls Nachricht bei v 0 aufgehalten wird, dann
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
Z
Ausblick
4:22
Lemma
Walter Unger
Lemma:
Gegeben Graph G = (V , E ), V 0 ⊂ V und v ∈ V .
Eine Nachricht kann von v zu V 0 in Zeit |V 0 | − 1 + rad(v , G )
gesendet werden.
Beweis:
I
Bestimme SPT T für V 0 mit Wurzel v .
I
Bestimme optimalen Broadcastalgorithmus auf T .
Zeige: Blatt u ist nach |V 0 | − 1 + rad(v , G ) Schritten
informiert.
I
I
I
LuF
Falls Nachricht bei v 0 aufgehalten wird, dann
wird von v 0 ohne Verzögerung genau ein Blatt u 0 informiert.
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
Z
Ausblick
4:22
Lemma
Walter Unger
Lemma:
Gegeben Graph G = (V , E ), V 0 ⊂ V und v ∈ V .
Eine Nachricht kann von v zu V 0 in Zeit |V 0 | − 1 + rad(v , G )
gesendet werden.
Beweis:
I
Bestimme SPT T für V 0 mit Wurzel v .
I
Bestimme optimalen Broadcastalgorithmus auf T .
Zeige: Blatt u ist nach |V 0 | − 1 + rad(v , G ) Schritten
informiert.
I
I
I
I
LuF
Falls Nachricht bei v 0 aufgehalten wird, dann
wird von v 0 ohne Verzögerung genau ein Blatt u 0 informiert.
Markiere u 0 mit einem Token.
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
Z
Ausblick
4:22
Lemma
Walter Unger
Lemma:
Gegeben Graph G = (V , E ), V 0 ⊂ V und v ∈ V .
Eine Nachricht kann von v zu V 0 in Zeit |V 0 | − 1 + rad(v , G )
gesendet werden.
Beweis:
I
Bestimme SPT T für V 0 mit Wurzel v .
I
Bestimme optimalen Broadcastalgorithmus auf T .
Zeige: Blatt u ist nach |V 0 | − 1 + rad(v , G ) Schritten
informiert.
I
I
I
I
I
LuF
Falls Nachricht bei v 0 aufgehalten wird, dann
wird von v 0 ohne Verzögerung genau ein Blatt u 0 informiert.
Markiere u 0 mit einem Token.
Es werden höchstens |V 0 | − 1 Blätter markiert.
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
Z
Ausblick
4:22
Lemma
Walter Unger
Lemma:
Gegeben Graph G = (V , E ), V 0 ⊂ V und v ∈ V .
Eine Nachricht kann von v zu V 0 in Zeit |V 0 | − 1 + rad(v , G )
gesendet werden.
Beweis:
I
Bestimme SPT T für V 0 mit Wurzel v .
I
Bestimme optimalen Broadcastalgorithmus auf T .
Zeige: Blatt u ist nach |V 0 | − 1 + rad(v , G ) Schritten
informiert.
I
I
I
I
I
I
LuF
Falls Nachricht bei v 0 aufgehalten wird, dann
wird von v 0 ohne Verzögerung genau ein Blatt u 0 informiert.
Markiere u 0 mit einem Token.
Es werden höchstens |V 0 | − 1 Blätter markiert.
Es wird ein Blatt höchstens einmal markiert.
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Cluster
Approximation II
4:23
Algorithmus
Z
Ausblick
Gegeben G = (V , E ) und v ∈ V .
1. Teile G = (V , E ) in Clustermengen A, B wie oben auf.
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:23
Algorithmus
Z
Ausblick
Gegeben G = (V , E ) und v ∈ V .
1. Teile G = (V , E ) in Clustermengen A, B wie oben auf.
2. Für jeden Cluster Ci aus A wähle Knoten ci .
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:23
Algorithmus
Z
Ausblick
Gegeben G = (V , E ) und v ∈ V .
1. Teile G = (V , E ) in Clustermengen A, B wie oben auf.
2. Für jeden Cluster Ci aus A wähle Knoten ci .
3. Setze R = ∪16i6|A| vi .
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:23
Algorithmus
Z
Ausblick
Gegeben G = (V , E ) und v ∈ V .
1. Teile G = (V , E ) in Clustermengen A, B wie oben auf.
2. Für jeden Cluster Ci aus A wähle Knoten ci .
3. Setze R = ∪16i6|A| vi .
4. Informiere R mit SPT von v aus.
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:23
Algorithmus
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Gegeben G = (V , E ) und v ∈ V .
1. Teile G = (V , E ) in Clustermengen A, B wie oben auf.
2. Für jeden Cluster Ci aus A wähle Knoten ci .
3. Setze R = ∪16i6|A| vi .
4. Informiere R mit SPT von v aus.
5. Informiere jedes Ci ∈ A von vi über einen Spannbaum in Ci .
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:23
Algorithmus
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Gegeben G = (V , E ) und v ∈ V .
1. Teile G = (V , E ) in Clustermengen A, B wie oben auf.
2. Für jeden Cluster Ci aus A wähle Knoten ci .
3. Setze R = ∪16i6|A| vi .
4. Informiere R mit SPT von v aus.
5. Informiere jedes Ci ∈ A von vi über einen Spannbaum in Ci .
S
6. Informiere von {v } ∪ 16i6|A| Ci in jedem Cluster Di aus B
mindestens einen Knoten wi .
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:23
Algorithmus
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Gegeben G = (V , E ) und v ∈ V .
1. Teile G = (V , E ) in Clustermengen A, B wie oben auf.
2. Für jeden Cluster Ci aus A wähle Knoten ci .
3. Setze R = ∪16i6|A| vi .
4. Informiere R mit SPT von v aus.
5. Informiere jedes Ci ∈ A von vi über einen Spannbaum in Ci .
S
6. Informiere von {v } ∪ 16i6|A| Ci in jedem Cluster Di aus B
mindestens einen Knoten wi .
7. Informiere jedes Di ∈ B von wi über einen Spannbaum in Di .
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:23
Algorithmus
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Gegeben G = (V , E ) und v ∈ V .
1. Teile G = (V , E ) in Clustermengen A, B wie oben auf.
2. Für jeden Cluster Ci aus A wähle Knoten ci .
3. Setze R = ∪16i6|A| vi .
4. Informiere R mit SPT von v aus.
√
Laufzeit: n − 1 + rad(v , G )
5. Informiere jedes Ci ∈ A von vi über einen Spannbaum in Ci .
S
6. Informiere von {v } ∪ 16i6|A| Ci in jedem Cluster Di aus B
mindestens einen Knoten wi .
7. Informiere jedes Di ∈ B von wi über einen Spannbaum in Di .
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:23
Algorithmus
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Gegeben G = (V , E ) und v ∈ V .
1. Teile G = (V , E ) in Clustermengen A, B wie oben auf.
2. Für jeden Cluster Ci aus A wähle Knoten ci .
3. Setze R = ∪16i6|A| vi .
4. Informiere R mit SPT von v aus.
√
Laufzeit: n − 1 + rad(v , G )
5. Informiere jedes Ci ∈ A von vi über einen Spannbaum in Ci .
√
Laufzeit: d ne
S
6. Informiere von {v } ∪ 16i6|A| Ci in jedem Cluster Di aus B
mindestens einen Knoten wi .
7. Informiere jedes Di ∈ B von wi über einen Spannbaum in Di .
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:23
Algorithmus
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Gegeben G = (V , E ) und v ∈ V .
1. Teile G = (V , E ) in Clustermengen A, B wie oben auf.
2. Für jeden Cluster Ci aus A wähle Knoten ci .
3. Setze R = ∪16i6|A| vi .
4. Informiere R mit SPT von v aus.
√
Laufzeit: n − 1 + rad(v , G )
5. Informiere jedes Ci ∈ A von vi über einen Spannbaum in Ci .
√
Laufzeit: d ne
S
6. Informiere von {v } ∪ 16i6|A| Ci in jedem Cluster Di aus B
mindestens einen Knoten wi .
Laufzeit: b(v , G )
7. Informiere jedes Di ∈ B von wi über einen Spannbaum in Di .
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:23
Algorithmus
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Gegeben G = (V , E ) und v ∈ V .
1. Teile G = (V , E ) in Clustermengen A, B wie oben auf.
2. Für jeden Cluster Ci aus A wähle Knoten ci .
3. Setze R = ∪16i6|A| vi .
4. Informiere R mit SPT von v aus.
√
Laufzeit: n − 1 + rad(v , G )
5. Informiere jedes Ci ∈ A von vi über einen Spannbaum in Ci .
√
Laufzeit: d ne
S
6. Informiere von {v } ∪ 16i6|A| Ci in jedem Cluster Di aus B
mindestens einen Knoten wi .
Laufzeit: b(v , G )
7. Informiere jedes Di ∈ B von wi über einen Spannbaum in Di .
√
Laufzeit: n − 1
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Cluster
Approximation II
4:24
Approximation
Definition (Additive Approximation)
I
Sei A Algorithmus für Problem P
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Cluster
Approximation II
4:24
Approximation
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Definition (Additive Approximation)
I
Sei A Algorithmus für Problem P
I
für Instanz I aus P seien costA (I ) die Kosten die A abliefert.
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:24
Approximation
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Definition (Additive Approximation)
I
Sei A Algorithmus für Problem P
I
für Instanz I aus P seien costA (I ) die Kosten die A abliefert.
I
Seien opt(I ) Kosten der optimalen Lösung.
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
Z
Ausblick
4:24
Approximation
Walter Unger
Definition (Additive Approximation)
I
Sei A Algorithmus für Problem P
I
für Instanz I aus P seien costA (I ) die Kosten die A abliefert.
I
Seien opt(I ) Kosten der optimalen Lösung.
I
Dann ist der additive Approximations Faktor von A:
max costA (I ) − opt(I )
I ∈P
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:25
Theorem und Wertung
Theorem:
Das MBZ-Problem auf G von v kann in Zeit
√
3 · n + rad(v , G ) + b(v , G ) gelöst werden.
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:25
Theorem und Wertung
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Theorem:
Das MBZ-Problem auf G von v kann in Zeit
√
3 · n + rad(v , G ) + b(v , G ) gelöst werden.
Theorem:
Das MBZ-Problem auf G von v kann mit einem additiven Faktor
√
von O( n) gelöst werden.
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:25
Theorem und Wertung
Z
Ausblick
Walter Unger
Theorem:
Das MBZ-Problem auf G von v kann in Zeit
√
3 · n + rad(v , G ) + b(v , G ) gelöst werden.
Theorem:
Das MBZ-Problem auf G von v kann mit einem additiven Faktor
√
von O( n) gelöst werden.
I
LuF
√
Falls die Broadcastzeit in Ω( n) liegt, dann hat das Verfahren
einen konstanten Approximationsfaktor.
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:25
Theorem und Wertung
Z
Ausblick
Walter Unger
Theorem:
Das MBZ-Problem auf G von v kann in Zeit
√
3 · n + rad(v , G ) + b(v , G ) gelöst werden.
Theorem:
Das MBZ-Problem auf G von v kann mit einem additiven Faktor
√
von O( n) gelöst werden.
I
I
LuF
√
Falls die Broadcastzeit in Ω( n) liegt, dann hat das Verfahren
einen konstanten Approximationsfaktor.
√
Falls der Durchmesser mindestens n ist, dann ist der
Approximatiosfaktor 5.
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:25
Theorem und Wertung
Z
Ausblick
Walter Unger
Theorem:
Das MBZ-Problem auf G von v kann in Zeit
√
3 · n + rad(v , G ) + b(v , G ) gelöst werden.
Theorem:
Das MBZ-Problem auf G von v kann mit einem additiven Faktor
√
von O( n) gelöst werden.
I
I
I
LuF
√
Falls die Broadcastzeit in Ω( n) liegt, dann hat das Verfahren
einen konstanten Approximationsfaktor.
√
Falls der Durchmesser mindestens n ist, dann ist der
Approximatiosfaktor 5.
√
Allgemeiner Approximatiosfaktor 3 · n/dlog ne + 2.
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Cluster
4:25
Theorem und Wertung
Z
Ausblick
Walter Unger
Theorem:
Das MBZ-Problem auf G von v kann in Zeit
√
3 · n + rad(v , G ) + b(v , G ) gelöst werden.
Theorem:
Das MBZ-Problem auf G von v kann mit einem additiven Faktor
√
von O( n) gelöst werden.
I
I
I
I
LuF
√
Falls die Broadcastzeit in Ω( n) liegt, dann hat das Verfahren
einen konstanten Approximationsfaktor.
√
Falls der Durchmesser mindestens n ist, dann ist der
Approximatiosfaktor 5.
√
Allgemeiner Approximatiosfaktor 3 · n/dlog ne + 2.
√
Allgemeiner Approximatiosfaktor O( n/ diam(G )).
Einleitung
Grundlagen
Poise
Heuristiken
Approximation
Approximation II
4:26
Idee
I
Z
Ausblick
Bestimme einen guten Spannbaum für das Broadcast.
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Poise
Approximation II
Z
Ausblick
4:26
Idee
I
Bestimme einen guten Spannbaum für das Broadcast.
I
Kleine Tiefe und kleiner Knotengrad.
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:26
Idee
I
Bestimme einen guten Spannbaum für das Broadcast.
I
Kleine Tiefe und kleiner Knotengrad.
I
Beachte:
b(r , G ) >
1
2
minT Spannbaum von
G
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
∆+ (T ) + depth(T )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:26
Idee
I
Bestimme einen guten Spannbaum für das Broadcast.
I
Kleine Tiefe und kleiner Knotengrad.
I
Beachte:
b(r , G ) >
I
1
2
minT Spannbaum von
Setze: poise(T ) = ∆(T ) + diam(T )
G
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
∆+ (T ) + depth(T )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:26
Idee
I
Bestimme einen guten Spannbaum für das Broadcast.
I
Kleine Tiefe und kleiner Knotengrad.
I
Beachte:
b(r , G ) >
1
2
minT Spannbaum von
I
Setze: poise(T ) = ∆(T ) + diam(T )
I
Poise heißt auch Ausgeglichenheit.
G
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
∆+ (T ) + depth(T )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:26
Idee
I
Bestimme einen guten Spannbaum für das Broadcast.
I
Kleine Tiefe und kleiner Knotengrad.
I
Beachte:
b(r , G ) >
1
2
minT Spannbaum von
I
Setze: poise(T ) = ∆(T ) + diam(T )
I
Poise heißt auch Ausgeglichenheit.
I
poise(G ) = minT Spannbaum von
G
G
Z
Ausblick
Walter Unger
∆+ (T ) + depth(T )
poise(T )
LuF
Einleitung
Grundlagen
Poise
Heuristiken
Approximation
Approximation II
4:27
Eigenschaften
I
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Maximale Knotenanzahl eines Graphen ist: poise(G )poise(G )
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Poise
Approximation II
4:27
Eigenschaften
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
I
Maximale Knotenanzahl eines Graphen ist: poise(G )poise(G )
I
Damit: poise(G ) = Ω(log n/ log log n).
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Poise
Approximation II
4:27
Eigenschaften
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
I
Maximale Knotenanzahl eines Graphen ist: poise(G )poise(G )
I
Damit: poise(G ) = Ω(log n/ log log n).
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:27
Eigenschaften
Z
Ausblick
Walter Unger
I
Maximale Knotenanzahl eines Graphen ist: poise(G )poise(G )
I
Damit: poise(G ) = Ω(log n/ log log n).
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
log n
log log n )
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:27
Eigenschaften
Z
Ausblick
Walter Unger
I
Maximale Knotenanzahl eines Graphen ist: poise(G )poise(G )
I
Damit: poise(G ) = Ω(log n/ log log n).
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
log n
log log n )
Theorem:
Es kann poise(G ) mit Faktor O(log n) approximiert werden.
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
Z
Ausblick
4:27
Eigenschaften
Walter Unger
I
Maximale Knotenanzahl eines Graphen ist: poise(G )poise(G )
I
Damit: poise(G ) = Ω(log n/ log log n).
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
log n
log log n )
Theorem:
Es kann poise(G ) mit Faktor O(log n) approximiert werden.
Theorem:
Das MBZ Problem kann mit Faktor O(log2 n/ log log n).
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
Z
Ausblick
4:27
Eigenschaften
Walter Unger
I
Maximale Knotenanzahl eines Graphen ist: poise(G )poise(G )
I
Damit: poise(G ) = Ω(log n/ log log n).
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
log n
log log n )
Theorem:
Es kann poise(G ) mit Faktor O(log n) approximiert werden.
Theorem:
Das MBZ Problem kann mit Faktor O(log2 n/ log log n).
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:28
Beweis I
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
Zeige: b(G ) = Ω(poise(G ))
log n
log log n )
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:28
Beweis I
Z
Ausblick
Walter Unger
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
log n
log log n )
Zeige: b(G ) = Ω(poise(G ))
I
LuF
Sei r Wurzel eines Baumes TB der für Broadcast in Zeit b(G )
benutzt wird.
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:28
Beweis I
Z
Ausblick
Walter Unger
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
log n
log log n )
Zeige: b(G ) = Ω(poise(G ))
I
I
LuF
Sei r Wurzel eines Baumes TB der für Broadcast in Zeit b(G )
benutzt wird.
Damit gilt:
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:28
Beweis I
Z
Ausblick
Walter Unger
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
log n
log log n )
Zeige: b(G ) = Ω(poise(G ))
I
I
Sei r Wurzel eines Baumes TB der für Broadcast in Zeit b(G )
benutzt wird.
Damit gilt:
I
b(G ) > ∆(T ) − 1
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:28
Beweis I
Z
Ausblick
Walter Unger
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
log n
log log n )
Zeige: b(G ) = Ω(poise(G ))
I
I
Sei r Wurzel eines Baumes TB der für Broadcast in Zeit b(G )
benutzt wird.
Damit gilt:
I
I
b(G ) > ∆(T ) − 1
b(G ) > depth(r , T )
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:28
Beweis I
Z
Ausblick
Walter Unger
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
log n
log log n )
Zeige: b(G ) = Ω(poise(G ))
I
I
Sei r Wurzel eines Baumes TB der für Broadcast in Zeit b(G )
benutzt wird.
Damit gilt:
I
I
I
b(G ) > ∆(T ) − 1
b(G ) > depth(r , T )
b(G ) > 12 diam(T )
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:28
Beweis I
Z
Ausblick
Walter Unger
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
log n
log log n )
Zeige: b(G ) = Ω(poise(G ))
I
I
Sei r Wurzel eines Baumes TB der für Broadcast in Zeit b(G )
benutzt wird.
Damit gilt:
I
I
I
I
b(G ) > ∆(T ) − 1
b(G ) > depth(r , T )
b(G ) > 12 diam(T )
Damit: b(G ) = Ω(poise(G ))
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:29
Beweis II
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
Zeige b(G ) = O(poise(G ) ·
log n
log log n )
log n
log log n )
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:29
Beweis II
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
Zeige b(G ) = O(poise(G ) ·
I
log n
log log n )
log n
log log n )
Sei r Wurzel eines Spannbaumes T von G mit
poise(T ) = poise(G ).
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:29
Beweis II
Z
Ausblick
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
Zeige b(G ) = O(poise(G ) ·
I
I
log n
log log n )
log n
log log n )
Sei r Wurzel eines Spannbaumes T von G mit
poise(T ) = poise(G ).
Betrachte Broadcast auf T von r aus. Dies muss nicht
optimal sein, es muss nur gut zu analysieren sein:
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:29
Beweis II
Z
Ausblick
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
Zeige b(G ) = O(poise(G ) ·
I
I
log n
log log n )
log n
log log n )
Sei r Wurzel eines Spannbaumes T von G mit
poise(T ) = poise(G ).
Betrachte Broadcast auf T von r aus. Dies muss nicht
optimal sein, es muss nur gut zu analysieren sein:
I
Sei v Knoten und v1 , v2 , . . . , vd die Nachfolger von v in T .
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:29
Beweis II
Z
Ausblick
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
Zeige b(G ) = O(poise(G ) ·
I
I
log n
log log n )
log n
log log n )
Sei r Wurzel eines Spannbaumes T von G mit
poise(T ) = poise(G ).
Betrachte Broadcast auf T von r aus. Dies muss nicht
optimal sein, es muss nur gut zu analysieren sein:
I
I
Sei v Knoten und v1 , v2 , . . . , vd die Nachfolger von v in T .
Sei Tvi der Teilbaum in T mit Wurzel vi
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:29
Beweis II
Z
Ausblick
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
Zeige b(G ) = O(poise(G ) ·
I
I
log n
log log n )
log n
log log n )
Sei r Wurzel eines Spannbaumes T von G mit
poise(T ) = poise(G ).
Betrachte Broadcast auf T von r aus. Dies muss nicht
optimal sein, es muss nur gut zu analysieren sein:
I
I
I
Sei v Knoten und v1 , v2 , . . . , vd die Nachfolger von v in T .
Sei Tvi der Teilbaum in T mit Wurzel vi
Sei o.E.d.A.: |Tv1 | > |Tv2 | > . . . > |Tvd |.
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:29
Beweis II
Z
Ausblick
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
Zeige b(G ) = O(poise(G ) ·
I
I
log n
log log n )
log n
log log n )
Sei r Wurzel eines Spannbaumes T von G mit
poise(T ) = poise(G ).
Betrachte Broadcast auf T von r aus. Dies muss nicht
optimal sein, es muss nur gut zu analysieren sein:
I
I
I
I
Sei v Knoten und v1 , v2 , . . . , vd die Nachfolger von v in T .
Sei Tvi der Teilbaum in T mit Wurzel vi
Sei o.E.d.A.: |Tv1 | > |Tv2 | > . . . > |Tvd |.
Wenn v die Nachricht bekommt, dann informiert v direkt
v1 , v2 , . . . , vd in dieser Reihenfolge.
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:29
Beweis II
Z
Ausblick
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
Zeige b(G ) = O(poise(G ) ·
I
I
log n
log log n )
log n
log log n )
Sei r Wurzel eines Spannbaumes T von G mit
poise(T ) = poise(G ).
Betrachte Broadcast auf T von r aus. Dies muss nicht
optimal sein, es muss nur gut zu analysieren sein:
I
I
I
I
I
Sei v Knoten und v1 , v2 , . . . , vd die Nachfolger von v in T .
Sei Tvi der Teilbaum in T mit Wurzel vi
Sei o.E.d.A.: |Tv1 | > |Tv2 | > . . . > |Tvd |.
Wenn v die Nachricht bekommt, dann informiert v direkt
v1 , v2 , . . . , vd in dieser Reihenfolge.
Sei B(n, d, t) der Zeitaufwand auf Baum mit n Knoten,
Ausgangsgrad d und Tiefe t.
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:30
Beweis II
Z
Ausblick
Walter Unger
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
LuF
log n
log log n )
Zeige b(G ) = O(poise(G ) · logloglogn n )
I Sei v Knoten und v1 , v2 , . . . , vd die Nachfolger von v in T .
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:30
Beweis II
Z
Ausblick
Walter Unger
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
LuF
log n
log log n )
Zeige b(G ) = O(poise(G ) · logloglogn n )
I Sei v Knoten und v1 , v2 , . . . , vd die Nachfolger von v in T .
I Sei B(n, d, t) der Zeitaufwand auf Baum mit n Knoten,
Ausgangsgrad d und Tiefe t.
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:30
Beweis II
Z
Ausblick
Walter Unger
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
LuF
log n
log log n )
Zeige b(G ) = O(poise(G ) · logloglogn n )
I Sei v Knoten und v1 , v2 , . . . , vd die Nachfolger von v in T .
I Sei B(n, d, t) der Zeitaufwand auf Baum mit n Knoten,
Ausgangsgrad d und Tiefe t.
I Damit: B(n, d, t) = max16i6d (B(|Tv |, d, t − 1) + i)
i
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:30
Beweis II
Z
Ausblick
Walter Unger
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
LuF
log n
log log n )
Zeige b(G ) = O(poise(G ) · logloglogn n )
I Sei v Knoten und v1 , v2 , . . . , vd die Nachfolger von v in T .
I Sei B(n, d, t) der Zeitaufwand auf Baum mit n Knoten,
Ausgangsgrad d und Tiefe t.
I Damit: B(n, d, t) = max16i6d (B(|Tv |, d, t − 1) + i)
i
I Weiter gilt: |Tv | 6 |T |/i
i
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:30
Beweis II
Z
Ausblick
Walter Unger
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
LuF
log n
log log n )
Zeige b(G ) = O(poise(G ) · logloglogn n )
I Sei v Knoten und v1 , v2 , . . . , vd die Nachfolger von v in T .
I Sei B(n, d, t) der Zeitaufwand auf Baum mit n Knoten,
Ausgangsgrad d und Tiefe t.
I Damit: B(n, d, t) = max16i6d (B(|Tv |, d, t − 1) + i)
i
I Weiter gilt: |Tv | 6 |T |/i
i
I Damit kann per Induktion gezeigt werden:
log n
B(n, d, t) = d ·
+t
log d
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:30
Beweis II
Z
Ausblick
Walter Unger
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
log n
log log n )
Zeige b(G ) = O(poise(G ) · logloglogn n )
I Sei v Knoten und v1 , v2 , . . . , vd die Nachfolger von v in T .
I Sei B(n, d, t) der Zeitaufwand auf Baum mit n Knoten,
Ausgangsgrad d und Tiefe t.
I Damit: B(n, d, t) = max16i6d (B(|Tv |, d, t − 1) + i)
i
I Weiter gilt: |Tv | 6 |T |/i
i
I Damit kann per Induktion gezeigt werden:
log n
B(n, d, t) = d ·
+t
log d
I
Damit folgt:
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:30
Beweis II
Z
Ausblick
Walter Unger
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
log n
log log n )
Zeige b(G ) = O(poise(G ) · logloglogn n )
I Sei v Knoten und v1 , v2 , . . . , vd die Nachfolger von v in T .
I Sei B(n, d, t) der Zeitaufwand auf Baum mit n Knoten,
Ausgangsgrad d und Tiefe t.
I Damit: B(n, d, t) = max16i6d (B(|Tv |, d, t − 1) + i)
i
I Weiter gilt: |Tv | 6 |T |/i
i
I Damit kann per Induktion gezeigt werden:
log n
B(n, d, t) = d ·
+t
log d
I
Damit folgt:
I
b(G ) = O(poise(G ) ·
log n
log poise(G ) )
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Poise
4:30
Beweis II
Z
Ausblick
Walter Unger
Theorem:
Es gilt: Ω(poise(G )) 6 b(G ) 6 O(poise(G ) ·
log n
log log n )
Zeige b(G ) = O(poise(G ) · logloglogn n )
I Sei v Knoten und v1 , v2 , . . . , vd die Nachfolger von v in T .
I Sei B(n, d, t) der Zeitaufwand auf Baum mit n Knoten,
Ausgangsgrad d und Tiefe t.
I Damit: B(n, d, t) = max16i6d (B(|Tv |, d, t − 1) + i)
i
I Weiter gilt: |Tv | 6 |T |/i
i
I Damit kann per Induktion gezeigt werden:
log n
B(n, d, t) = d ·
+t
log d
I
Damit folgt:
I
b(G ) = O(poise(G ) ·
I
b(G ) = O(poise(G ) ·
log n
log poise(G ) )
log n
log log n )
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
4:31
Ausblick
Theorem:
Das MBZ Problem kann mit Faktor O(log n/ log log n)
approximiert werden.
Z
Ausblick
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
4:31
Ausblick
Z
Ausblick
Theorem:
Das MBZ Problem kann mit Faktor O(log n/ log log n)
approximiert werden.
Theorem:
Das MBZ Problem kann mit Faktor 2 · deg(G ) approximiert
werden.
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
4:31
Ausblick
Z
Ausblick
Theorem:
Das MBZ Problem kann mit Faktor O(log n/ log log n)
approximiert werden.
Theorem:
Das MBZ Problem kann mit Faktor 2 · deg(G ) approximiert
werden.
Theorem:
Es ist NP-hart das MBZ Problem mit Faktor 3 − zu
approximierem.
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
4:31
Ausblick
Z
Ausblick
Theorem:
Das MBZ Problem kann mit Faktor O(log n/ log log n)
approximiert werden.
Theorem:
Das MBZ Problem kann mit Faktor 2 · deg(G ) approximiert
werden.
Theorem:
Es ist NP-hart das MBZ Problem mit Faktor 3 − zu
approximierem.
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Literatur
Literatur
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Z
Ausblick
4:32
J. Hromkovič, et al.:
Dissemination of Information in Communication Networks :
Broadcasting, Gossiping, Leader Election, and Fault-Tolerance.
EATCS Series, Springer 2005.
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Fragen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
4:32
Fragen
I
Z
Ausblick
Wie kann das Broadcastproblem auf Bäumen gelöst werden?
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Fragen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
4:32
Fragen
Z
Ausblick
I
Wie kann das Broadcastproblem auf Bäumen gelöst werden?
I
Welche unteren Schranken gibt es für das Broadcastproblem?
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Fragen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Z
Ausblick
4:32
Fragen
I
Wie kann das Broadcastproblem auf Bäumen gelöst werden?
I
Welche unteren Schranken gibt es für das Broadcastproblem?
I
Wie kann das Gossipproblem auf Bäumen gelöst werden?
LuF
Walter Unger
Einleitung
Grundlagen
Fragen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Z
Ausblick
4:32
Fragen
LuF
Walter Unger
I
Wie kann das Broadcastproblem auf Bäumen gelöst werden?
I
Welche unteren Schranken gibt es für das Broadcastproblem?
I
Wie kann das Gossipproblem auf Bäumen gelöst werden?
I
Welche Heuristiken werden für das Broadcastproblem betrachtet?
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Fragen
Approximation II
Z
Ausblick
4:32
Fragen
LuF
Walter Unger
I
Wie kann das Broadcastproblem auf Bäumen gelöst werden?
I
Welche unteren Schranken gibt es für das Broadcastproblem?
I
Wie kann das Gossipproblem auf Bäumen gelöst werden?
I
Welche Heuristiken werden für das Broadcastproblem betrachtet?
I
Wie gut sind diese Heuristiken?
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Fragen
Z
Ausblick
4:32
Fragen
LuF
Walter Unger
I
Wie kann das Broadcastproblem auf Bäumen gelöst werden?
I
Welche unteren Schranken gibt es für das Broadcastproblem?
I
Wie kann das Gossipproblem auf Bäumen gelöst werden?
I
Welche Heuristiken werden für das Broadcastproblem betrachtet?
I
Wie gut sind diese Heuristiken?
I
Welche Techniken werden bei der Approximation des
Broadcastproblems verwendet?
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Fragen
Z
Ausblick
4:32
Fragen
Walter Unger
I
Wie kann das Broadcastproblem auf Bäumen gelöst werden?
I
Welche unteren Schranken gibt es für das Broadcastproblem?
I
Wie kann das Gossipproblem auf Bäumen gelöst werden?
I
Welche Heuristiken werden für das Broadcastproblem betrachtet?
I
Wie gut sind diese Heuristiken?
I
Welche Techniken werden bei der Approximation des
Broadcastproblems verwendet?
I
Beschreibe Idee/Algorithmus.
LuF
Einleitung
Grundlagen
Heuristiken
Approximation
Approximation II
Fragen
Z
Ausblick
4:32
Fragen
Walter Unger
I
Wie kann das Broadcastproblem auf Bäumen gelöst werden?
I
Welche unteren Schranken gibt es für das Broadcastproblem?
I
Wie kann das Gossipproblem auf Bäumen gelöst werden?
I
Welche Heuristiken werden für das Broadcastproblem betrachtet?
I
Wie gut sind diese Heuristiken?
I
Welche Techniken werden bei der Approximation des
Broadcastproblems verwendet?
I
I
Beschreibe Idee/Algorithmus.
Beschreibe die Idee des Beweises zur Approximationsgüte.
LuF