77 Mathematik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker 6.5
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Mathematik für Biologen, Biotechnologen und Biochemiker
6.5. Uneigentliche Integrale. Wir haben uns bisher vor allem für Flächen der
Form {(x, y) | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)} interessiert, wobei a < b reelle Zahlen sind
und f : [a, b] → R≥0 eine Funktion ist. Dabei haben wir stillschweigend vorausgesetzt,
dass die Werte f (x) “beschränkt” sind, dass es also eine reelle Zahl c mit f (x) ≤ c für
alle a ≤ x ≤ b gibt (nur dann kann man Obersummen bilden!). Von “uneigentlichen”
Integralen spricht man, wenn man auf derartige Beschränktheits-Voraussetzungen verzichtet — wenn man also eine unbeschränkte Funktion über einem Intervall integrieren
möchte (manchmal geht das), oder aber wenn man statt des Intervalls [a, b] zum Beispiel über die Menge {x | a ≤ x} integrieren möchte. Wir beschäftigen uns hier nur mit
dem letztgenannten Fall und betrachten drei derartige Beispiele: nämlich die Funktionen exp(−x), x1 , x12 . Frage: Wie groß ist jeweils die punktierte Fläche?
y
.
.........
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y.
f (x) = exp(−x)
x
.
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1 .....
......
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1
y.
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....
.
1 .....
....
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..............
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..
1
f (x) = x−1
−1
f (x) = x−2
x
R∞
x
Dabei geht man folgendermaßen vor: Um a f (x) d x zu bestimmen, berechnet
Rb
man die Integrale a f (x) d x für alle b mit a < b und überlegt sich, was passiert, wenn
b immer größer wird (also “gegen ∞ geht”). Sollte sich der Wert stabilisieren, also
gegen eine feste Zahl konvergieren, so ist dies die gesuchte Zahl.
−1
−2
R ∞ Wir berechnen für die drei Beispiels-Funktionen exp(−x), x , x die Integrale
f (x) d x und zwar mit a = 0 im ersten Beispiel und a = 1 in den beiden anderen
a
Beispielen:
Z
b
0
b
exp(−x) d x = − exp(−x) = − exp(−b) + exp(0) = − exp(−b) + 1
0
Z
b
Z
b
b
−2
−1 x d x = −x = −b−1 + 1
1
1
1
b
x−1 d x = ln(x) = ln(b) − ln(1) = ln(b)
1
dabei haben wir verwendet, dass − exp(−x) eine Stammfunktion von exp(−x) ist,
dass ln(x) für x > 0 eine Stammfunktion von x−1 ist, und dass schließlich −x−1 eine
Stammfunktion von x−2 ist. Es ist nun
lim exp(−b) = 0,
b→∞
lim b−1 = 0,
und auch
b→∞
aber
lim ln(b) = ∞,
b→∞
daher gilt:
Z
∞
exp(−x) d x = 1,
0
Z
1
R∞
∞
x
−1
d x = ∞,
Z
∞
x−2 d x = 1.
1
Wir haben hier 1 x−1 d x = ∞ geschrieben, aber da man eigentlich nur an Zahlenwerten interessiert ist (und ∞ ist zwar ein Symbol, das man manchmal
R ∞ −1 hinschreibt,
aber eben keine Zahl), sagt man auch: das uneigentliche Integral 1 x d x existiert
nicht.
