6 9 11 13 14 15 1.2 Systeme linearer Gleichungen – Grafisches
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3 Über dieses Buch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Bleib fit im Umgang mit Termen und Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Bleib fit im Umgang mit linearen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1. Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Lernfeld Geraden mit System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1 Lineare Gleichungen der Form a×x + b×y = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Systeme linearer Gleichungen – Grafisches Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3Gleichsetzungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4 Zum Selbstlernen Einsetzungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.5Additionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.6 Sonderfälle beim rechnerischen Lösen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.7 Vermischte Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Lösen linearer Gleichungssysteme mithilfe des GTR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.8 Modellieren mithilfe linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Verschiedene Verfahren zum Lösen von Gleichungssystemen: Tabelle, Graph oder Gleichung? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.9 Systeme von mehr als zwei linearen Gleichungen mit mehr als zwei Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Lineares Optimieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.10 Aufgaben zur Vertiefung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Das Wichtigste auf einen Blick/ Bist du fit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Lernfeld Gleiche Form – andere Größe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.1 Ähnliche Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2 Zum Selbstlernen Flächeninhalt bei zueinander ähnlichen Vielecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Volumen bei zueinander ähnlichen Quadern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Arbeit im Team organisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.3 Zentrische Streckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.4 Ähnlichkeit bei beliebigen Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.5 Ähnlichkeitssatz für Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.6 Beweisen mithilfe des Ähnlichkeitssatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.7Strahlensätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.8 Umkehrung des 1. Strahlensatzes für Halbgeraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Mess- und Zeichengeräte selbst gebaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 2.9Bruchgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.9.1 Lösen von Bruchgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.9.2 Bruchgleichungen mit Parametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.10 Aufgaben zur Vertiefung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Das Wichtigste auf einen Blick/ Bist du fit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Auf den Punkt gebracht Im Blickpunkt 4 Inhaltsverzeichnis 3. Quadratwurzeln und reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Lernfeld Entdeckungen an Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.1Quadratwurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.1.1 Einführung der Quadratwurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.1.2 Näherungswerte von Quadratwurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.1.3 Irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.2 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.3Intervallhalbierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Schnelle Berechnung von Wurzeln mit dem Heron-Verfahren . . . . . . . . . . . 112 3.4 Rechenregeln für Quadratwurzeln und ihre Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.5 Anwenden der Wurzelgesetze auf Terme mit Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.6 Zum Selbstlernen Umformen von Wurzeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 3.7 Vergleich der Zahlbereiche , +, und . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Wie viele rationale und irrationale Zahlen gibt es? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3.8Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.9 Aufgaben zur Vertiefung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Rechnen mit Näherungswerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Das Wichtigste auf einen Blick/Bist du fit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4. Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Lernfeld Alles über Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.1 Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.2 Berechnen von Streckenlängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Modellieren mit geometrischen Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.3 Umkehrung des Satzes des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.4 Höhensatz und Kathetensatz des Euklid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Kreiszahl π – Algorithmen zur Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.5 Aufgaben zur Vertiefung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Das Wichtigste auf einen Blick/ Bist du fit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5. Parabeln – Quadratische Funktionen und Gleichungen . . . . . . 163 Lernfeld Keine Gerade, aber symmetrisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 5.1 Quadratischen Funktionen – Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.2 Quadratfunktion – Normalparabel – Gleichungen der Form x2 = r . . . . . . . . . . . 168 5.3 Verschieben der Normalparabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.3.1 Verschieben der Normalparabel parallel zur y-Achse . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.3.2 Verschieben der Normalparabel parallel zur x-Achse – Gleichungen der Form (x + d)2 = r2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.3.3 Verschieben der Normalparabel in beliebiger Richtung – Scheitelpunktform – Quadratische Gleichungen der Form x2 +px + q = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.4 Strecken und Spiegeln der Normalparabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.5 Strecken und Verschieben der Normalparabel – Gleichungen der Form ax2 + bx + c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Bremsen und Anhalten von Fahrzeugen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Auf den Punkt gebracht Im Blickpunkt 5 5.6 Strategien zum Lösen quadratischer Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 5.7 Schnittpunkte von Parabeln und Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Goldener Schnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 5.8 Zum Selbstlernen Modellieren – Anwenden von quadratischen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 5.9 Optimierungsprobleme mit quadratischen Funktionen – Lösungsstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Näherungslösungen und exakte Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 5.10 Satz von Vieta und seine Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 5.11 Methode der Substitution – Biquadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 5.12 Quadratwurzelfunktionen – Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 5.13 Aufgaben zur Vertiefung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Das Wichtigste auf einen Blick/Bist du fit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Anhang Lösungen zu Bist du fit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Bildquellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Auf den Punkt gebracht Im Blickpunkt
