6 9 11 13 14 15 1.2 Systeme linearer Gleichungen – Grafisches

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Über dieses Buch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Bleib fit im Umgang mit Termen und Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Bleib fit im Umgang mit linearen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1. Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Lernfeld Geraden mit System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1 Lineare Gleichungen der Form a×x + b×y = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Systeme linearer Gleichungen – Grafisches Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3Gleichsetzungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Zum Selbstlernen Einsetzungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5Additionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6 Sonderfälle beim rechnerischen Lösen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.7 Vermischte Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Lösen linearer Gleichungssysteme mithilfe des GTR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8 Modellieren mithilfe linearer Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Verschiedene Verfahren zum Lösen von Gleichungssystemen:
Tabelle, Graph oder Gleichung? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.9 Systeme von mehr als zwei linearen Gleichungen mit mehr als zwei
Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Lineares Optimieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.10 Aufgaben zur Vertiefung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Das Wichtigste auf einen Blick/ Bist du fit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Lernfeld Gleiche Form – andere Größe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1 Ähnliche Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2 Zum Selbstlernen Flächeninhalt bei zueinander
ähnlichen Vielecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Volumen bei zueinander ähnlichen Quadern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Arbeit im Team organisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3 Zentrische Streckung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.4 Ähnlichkeit bei beliebigen Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.5 Ähnlichkeitssatz für Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.6 Beweisen mithilfe des Ähnlichkeitssatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.7Strahlensätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.8 Umkehrung des 1. Strahlensatzes für Halbgeraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Mess- und Zeichengeräte selbst gebaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.9Bruchgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.9.1 Lösen von Bruchgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.9.2 Bruchgleichungen mit Parametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.10 Aufgaben zur Vertiefung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Das Wichtigste auf einen Blick/ Bist du fit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Auf den Punkt gebracht Im Blickpunkt
4
Inhaltsverzeichnis
3. Quadratwurzeln und reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Lernfeld Entdeckungen an Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.1Quadratwurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.1.1 Einführung der Quadratwurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.1.2 Näherungswerte von Quadratwurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.1.3 Irrationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.3Intervallhalbierungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Schnelle Berechnung von Wurzeln mit dem Heron-Verfahren . . . . . . . . . . . 112
3.4 Rechenregeln für Quadratwurzeln und ihre Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.5 Anwenden der Wurzelgesetze auf Terme mit Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.6 Zum Selbstlernen Umformen von Wurzeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.7 Vergleich der Zahlbereiche , +, und . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
Wie viele rationale und irrationale Zahlen gibt es? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.8Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.9 Aufgaben zur Vertiefung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Rechnen mit Näherungswerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Das Wichtigste auf einen Blick/Bist du fit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4. Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Lernfeld Alles über Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.1 Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.2 Berechnen von Streckenlängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Modellieren mit geometrischen Figuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.3 Umkehrung des Satzes des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.4 Höhensatz und Kathetensatz des Euklid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Kreiszahl π – Algorithmen zur Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.5 Aufgaben zur Vertiefung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Das Wichtigste auf einen Blick/ Bist du fit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5. Parabeln – Quadratische Funktionen und Gleichungen . . . . . . 163
Lernfeld Keine Gerade, aber symmetrisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
5.1 Quadratischen Funktionen – Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.2 Quadratfunktion – Normalparabel – Gleichungen der Form x2 = r . . . . . . . . . . . 168
5.3 Verschieben der Normalparabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.3.1 Verschieben der Normalparabel parallel zur y-Achse . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.3.2 Verschieben der Normalparabel parallel zur x-Achse –
Gleichungen der Form (x + d)2 = r2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.3.3 Verschieben der Normalparabel in beliebiger Richtung –
Scheitelpunktform – Quadratische Gleichungen der Form
x2 +px + q = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.4 Strecken und Spiegeln der Normalparabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.5 Strecken und Verschieben der Normalparabel – Gleichungen der
Form ax2 + bx + c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Bremsen und Anhalten von Fahrzeugen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Auf den Punkt gebracht Im Blickpunkt
5

5.6 Strategien zum Lösen quadratischer Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.7 Schnittpunkte von Parabeln und Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Goldener Schnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.8 Zum Selbstlernen Modellieren – Anwenden von quadratischen
Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.9 Optimierungsprobleme mit quadratischen Funktionen –
Lösungsstrategien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Näherungslösungen und exakte Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.10 Satz von Vieta und seine Anwendung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5.11 Methode der Substitution – Biquadratische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
5.12 Quadratwurzelfunktionen – Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.13 Aufgaben zur Vertiefung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Das Wichtigste auf einen Blick/Bist du fit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Anhang
Lösungen zu Bist du fit? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Bildquellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Auf den Punkt gebracht Im Blickpunkt