Mathcad - Polynom.mcd

Bi- und Polynomischer Satz
1
Binomischer Satz
Die kumultative Binominalverteilung geht auf den Binomischen Satz zurück.
(a + b )n =
n
n
n
n
n
=   an b 0 +   a n−1b1 +   a n −2 b 2 + . . .
0
1
 
 
 2
∑  k  a n −k b k
k =0 

[1], [2]
n 0 n
 a b
n
ORIGIN = 0
0 ≤k ≤n
n 
n!
 =
k
k
!
(
n
− k )!
 
Binominalkoeffizient
n
n!
 =
k
k
!(
n
− k)!
 
n
  = combin (n ,k )
k
MathCad-Syntax
Für die wahrscheinlichkeitstheoretische Deutung des Binomischen Satzes werden die Variablen a und b als
Wahrscheinlichkeit p und q zweier sich gegenseitig ausschließenden Elementarereignissen aufgefasst.
( p + q )n =
n
n
∑  k  p k q n −k
k =0 

n
n
n
n
=   p 0 q n +   p1q n −1 +   p 2 q n − 2 + . . .   pn q 0
0
 1
2
 n
p+q=1
Mit Hilfe der "Abzählmethode" wird der Binomische Satz auf das Urnenexperiment (Gedankenexperiment)
angewandt, wobei bei jedem Versuch ein Element entnommen, begutachtet und wieder zurückgelegt wird.. Die
folgende Tabelle zeigt einen Bernoulli-Versuch von k = 0 bis k = n Ziehungen und das bis zu n = 6 mal. Die
kombinatorische Umstellung der erzielten Treffer (rote Kugel: R) und Niete (weiße Kugel: W) ist nicht im
Einzelnen angegeben. Aber die Zahl der Umstellungen (Kombinationen) ist in der Tabelle aufgeführt. Die
Wahrscheinlichkeit als Elementarereignis eine weiße Kugel zu ziehen ist p, eine rote zu entnehmen q .
Auswertung des Experiments
19.5.2004
n
k
n-k
1
1
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
6
0
1
0
1
2
0
1
2
3
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
6
1
0
2
1
0
3
2
1
0
4
3
2
1
0
5
4
3
2
1
0
6
5
4
3
2
1
0
n Anzahl der Versuche
Zahl der
Kombinatonen
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
k Zufallsvariable
Wahrschein- Zahl der Um- Anordnung
lichket
stellungen
der Treffer R
und Nieten W
q
1
W
p
1
R
2
q
1
WW
pq
2
RW
2
p
1
RR
q3
1
WWW
2
pq
3
RWW
p2 q
3
RRW
3
p
1
RRR
4
q
1
WWWW
p q3
4
RWWW
2 2
p q
6
RRWW
3
p q
4
RRRW
4
p
1
RRRR
5
q
1
WWWWW
4
pq
5
RWWWW
2 3
p q
10
RRWWW
3 2
p q
10
RRRWW
4
p q
5
RRRRW
p5
1
RRRRR
6
q
1
WWWWWW
5
pq
6
RWWWWW
2 4
p q
15
RRWWWW
3 3
p q
20
RRRWWW
4 2
p q
15
RRRRWW
5
p q
6
RRRRRW
p6
1
RRRRRR
Polynom.mcd
Bi- und Polynomischer Satz
2
Binominalkoeffizienten oder Zahl der Umstellungen (Kombinationen) der Treffer- und Nietenfolge
( p + q )n =
n 
∑  k  pk q n− k
k =0  
n
( p + q )6 =
6
6
∑  k  p k q 6− k
k =0  
= q 6 + 6 pq5 + 15 p2 q 4 + 20 p 3 q 3 + 15p 4 q 2 + 6p 5q + p 6
Kombinatorische Anzahl
Binominalkoeffizient
n := 1
n
n!
 =
k
k
!(
n
− k)!
 
k := 0 .. n
combin ( n , k ) =
n := 2
n 
  = combin (n ,k )
k 
MathCad-Syntax
k := 0 .. n
1
1
combin ( n , k ) =
n := 3 k := 0 .. n
1
2
1
combin ( n , k ) =
n := 4 k := 0 .. n
1
3
3
1
n := 5
k := 0 .. n
combin ( n , k ) =
1
4
6
4
combin ( n , k ) =
n := 6
1
k := 0 .. n
1
5
20
10
10
combin ( n , k ) =
5
combin ( n , k ) 10
1
1
6
15
20
Wahrscheinlichkeiten
n := 9
q := 0.3
0
p := 0.7
k
1
k
0
n−k
Qbinom ( n , k ) := combin ( n , k ) ⋅ p ⋅ q
n
∑
k = 0
Qbinom = 1
19.5.2004
10
6
k := 0 .. n
Qbinom :=
5
15
k n−k
combin ( n , k ) ⋅ p q
0
0
1
1
2
2
3
3
k = 4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
0.4
Qbinom ( n , k ) 0.2
0
5
10
k
Polynom.mcd
Bi- und Polynomischer Satz
n := 6
q := 0.3
p := 0.7
3
k := 0 .. n
k
n−k
Qbinom ( n , k ) := combin ( n , k ) ⋅ p ⋅ q
n
∑
Qbinom :=
0.4
k =
k n−k
combin ( n , k ) ⋅ p q
0
1
k = 0
Qbinom ( n , k ) 0.2
2
Qbinom = 1
3
0
4
n := 5
q := 0.3
p := 0.7
k := 0 .. n
k
5
10
k
5
6
n−k
Qbinom ( n , k ) := combin ( n , k ) ⋅ p ⋅ q
0.4
k =
n
∑
Qbinom :=
k n−k
combin ( n , k ) ⋅ p q
k = 0
0
1
Qbinom ( n , k ) 0.2
2
3
Qbinom = 1
0
4
5
10
k
5
n := 4
q := 0.3
p := 0.7
k := 0 .. n
k
n−k
Qbinom ( n , k ) := combin ( n , k ) ⋅ p ⋅ q
k =
n
∑
Qbinom :=
k n−k
combin ( n , k ) ⋅ p q
k = 0
Qbinom = 1
n := 3
q := 0.3
p := 0.7
Qbinom ( n , k ) =
0
8.1·10 -3
1
0.076
2
0.265
3
0.412
4
0.24
k := 0 .. n
k
n−k
Qbinom ( n , k ) := combin ( n , k ) ⋅ p ⋅ q
n
Qbinom :=
∑
k n−k
combin ( n , k ) ⋅ p q
k = 0
Qbinom = 1
n := 2
q := 0.3
p := 0.7
k =
Qbinom ( n , k ) =
0
0.027
1
0.189
2
0.441
3
0.343
k := 0 .. n
k
n−k
Qbinom ( n , k ) := combin ( n , k ) ⋅ p ⋅ q
k =
0
Qbinom ( n , k ) =
1
0.09
2
0.42
0.49
19.5.2004
Polynom.mcd
Bi- und Polynomischer Satz
n
Qbinom :=
∑
k n−k
combin ( n , k ) ⋅ p q
k = 0
n := 1
q := 0.3
p := 0.7
k
n
∑
Qbinom = 1
k := 0 .. n
n−k
Qbinom ( n , k ) := combin ( n , k ) ⋅ p ⋅ q
Qbinom :=
4
k n−k
combin ( n , k ) ⋅ p q
k = 0
k =
Qbinom ( n , k ) =
0
0.3
1
0.7
Qbinom = 1
Polynomischer Satz
(a1 + a2 + . . . as )n =
n

 k1 k2
ks

 a1 a2 . . . as
k
,
k
,
.
.
.
k
k1+ k2 + . . . ks = n  1 2
s
∑
Die Summation ist über alle s-Tupel der natürlichen Zahlen k 1 , k 2 , . . . k s zu erstrecken. Zu beachten: 00 = 1
(a 1+ a 2 + . . . a s )n =

n
 k1 k2
ks

 a 1 a2 . . . a s
k
,
k
,
.
.
.
k

1
2
s

. .+k s = n
∑
k1+ k2 +
s
∑ ki
=n
i =1
Polynominalkoeffizient

n
  n   n − n1

 =  
 ...
 k1 , k2 , . . . k s   n1   n 2 
 n − n1 − . . . − n n −1 
n!

 =
nn

 n 1 ! n2 ! . . . n n !
n
∑ ni= n
i=1
Die s-Tupel k 1 , k 2 , . . .k s werden durch die natürlichen ganzen Zahlen n1 , n2 . . . nn realisiert, wobei n der
Exponent des Polynoms ist. Das folgende Beispiel zeigt, wie dieses Realisation mit Hilfe eines
Kugel-Kasten-Modells zu verstehen ist.
Für die wahrscheinlichkeitstheoretische Deutung des Polynomischen Satzes muss gemäß der
Wahrscheinlichkeitsaxiomatik der Wert des Polynoms gleich 1 sein, wie auch die kumulative
Wahrscheinlichkeitsverteilung im Endeffekt diesen Wert hat. Die Summation muss sich dabei über den gesamten
Ereignisraum erstrecken. Die Variablen a1 bis as werden bei dieser Deutung als Wahrscheinlichkeiten p, q , und r
von sich gegenseitig ausschließenden Elementarereignissen aufgefasst. Bei diesem Beispiel handelt es sich also
um drei Elementarereignisse, auf denen die Wahrscheinlichkeitsberechnung beruht.
(p + q + r )n =
n

 k1 k2 k3

p q r
k1 + k2 + k3 =n  k1, k2 , k3 
∑
p+ q+ r = 1
Anzahl der Tupel
Die Berechnung der Anzahl der Tupel k 1 , k 2 , . . .k s kann mit Hilfe des Kugel-Kasten-Modells, das z.B. in der
Thermodynamik angewendet wird, anschaulich gemacht werden.
N gleiche Kugeln werden restlos auf n Kästen immer wieder so verteilt, dass alle möglichen Füllungen
durchgespielt werden können. Jeder Kasten ist so groß, dass er unter Umständen alle verfügbaren Kugeln fassen
kann. Die Anzahl der Möglichkeiten, die Kugeln auf die Kästen zu verteilen, beträgt
 N + n − 1  N + n − 1
P Kugel = 
=

N

  n −1 
P Kugel = combin( N + n − 1, N ) = combin (N + n − 1, n − 1)
MathCad-Syntax
In der folgenden Darstellung ist gezeigt, auf wie viele Arten sich N = 3 Kugeln in n = 3 Kästen einfüllen lassen.
19.5.2004
Polynom.mcd
Bi- und Polynomischer Satz
5
Verteilung von N = 3 gleichartigen Kugeln auf
n = 3 Kästen mit k = 10 Möglichkeiten der Umstellung
k
n1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3
0
0
2
1
2
1
0
0
1
Vorratsbehälter für N Kugeln
n2
n3
0
3
0
1
2
0
0
2
1
1
0
0
3
0
0
1
2
1
2
1
Rechenbeispiele
N = 3 Kugeln sollen in unterschiedlichen Aktionen auf n = 2, 3, 4 oder 5 Kästen verteilt werden.
Parameter, Variable und Auswertung
N := 3 Anzahl der Kugeln
n := 2
PKugel := combin ( N + n − 1 , N)
PKugel = 4
n := 3
PKugel := combin ( N + n − 1 , N)
PKugel = 10
n := 4
PKugel := combin ( N + n − 1 , N)
PKugel = 20
n := 5
PKugel := combin ( N + n − 1 , N)
PKugel = 35
n Anzahl der Kästen
Wenn die Anzahl der Kugeln und die Anzahl der Kästen gleich ist, gilt N = n. Die Formel zur Berechnung der
Anzahl Tupel lautet dann
n := 2
PTupel := combin ( 2 ⋅ n − 1 , n)
PTupel = 3
Zusammenstellung der 10 Tupel für n = 3
n := 3
PTupel := combin ( 2 ⋅ n − 1 , n)
PTupel = 10
 Tupel
 k1

 k2
 k3

n := 4
PTupel := combin ( 2 ⋅ n − 1 , n)
PTupel = 35
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 



0 3 0 1 2 0 0 2 1 1

0 0 3 0 0 1 2 1 2 1 
3 0 0 2 1 2 1 0 0
1
Polynomischer Satz für n = 3
 3  3  3  3  3  3  3  2
 3  2  3  2  3  2
( p + q + r )3 = 
 p +
 q +
 r +
p q +
 pq + 
p r +
 pr +
 3,0,0
 0,3,0
 0,0,3
 2,1,0 
 1,2,0 
 2,0,1
1,0,2
 3  2  3  2  3 

q r + 
qr + 
 pqr
 0,2,1 
 0,1,2 
 1,1,1
19.5.2004
Polynom.mcd
Bi- und Polynomischer Satz
6
Berechnung der Polynominalkoeffizienten
 3 
3!
=1

=
3! 0! 0!
 3,0,0 
 3 
3!
=1

=
0! 3! 0!
 0,3,0 
 3 
3!
=1

=
0! 0! 3!
 0,0,3 
 3 

=
 1,2,0 
=3
 3 

=
 2,0,1
 3 

=
 1,0,2 
=3
 3 
3!
=6

=
1,1,1
1! 1! 1!


3!
1! 2! 0!
 3 

=
 0,1,2 
3!
0! 1! 2!
3!
2! 0! 1!
=3
3!
1! 0! 2!
 3 
3!
=3

=
 2,1,0  2! 1! 0!
 3 

=
 0,2,1
=3
3!
0! 2! 1!
=3
( p + q + r )3 = p3 + q3 + r 3 + 3 p 2q + 3 pq 2 + 3 p 2 r + 3 pr 2 + 3 q 2 r + 3qr 2 + 6pqr
Anzahl der Tupel
n := 3
PTupel := combin ( 2 ⋅ n − 1 , n)
PTupel = 10
Der Polynomische Satz in wahrscheinlichkeitstheoretischer Deutung
Von einer Bevölkerungsgruppe wird in drei voneinander unabhängigen Umfragen die Meinung über Maßnahmen zur
Bewältigung bestimmter gesellschaftspotitischer Probleme ermittelt. Dabei wird über die relative Häufigkeit die
Wahrscheinlichkeit festgestellt, ob die einzelnen Menschen die vorgeschlagenen Maßnahmen bejahen, verneinen
oder sich einer Entscheidung enthalten. Das Ergebnis dieser drei Befragungen bezüglich der ermittelten
Wahrscheinlichkeit der Elementarereignisse p, q und r ist
p = 0,5
q = 0,r
r = 0,2
Bejahung
Verneinung
Enthaltung
p+q+r=1 .
Wenn aus der befragten Bevölkerungsgruppe drei Menschen ausgewählt werden, dann beträgt die
Wahrscheinlichkeit, dass beispielsweise ein Befragter die Maßnahmen bejaht, der zweite Befragte die
Maßnahme verneint und der Dritte sich einer Entscheidung enthält 6pqr.
3
Ja
Nein
Enthaltung
3
q +
3
(p +q +r ) 3 =
3
(p +q +r ) =
19.5.2004
3
(p +q +r ) = p +
3
0,13 0,03
3
2
2
2
2
2
2
r + 3p q +3pq + 3p r + 3pr + 3q r + 3q r + 6pq r
2
1
2
1
1
1
2
2
1
1
3
1
2
1
2
1
0,01
0,23
0,14
0,15
0,06
0,05
0,04
0,18
1,00
Polynom.mcd