Folien V - Lehrstuhl für Mathematik II

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Mathematik für Physiker,
Informatiker und Ingenieure
Folien zu Kapitel V
SS 2010
G. Dirr
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
UNIVERSITÄT WÜRZBURG
[email protected]
http://www2.mathematik.uni-wuerzburg.de
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Kap. V: Lineare Algebra
1. Vektorräume und lineare Abbildungen
2. Lin. Gleichungssysteme und Determinanten
3. Eigenwerte, Eigenvektoren und das Spektrum
4. Selbstadjungierte Abbildungen
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Kap. V: Lineare Algebra
Literatur: Jedes gute Lineare-Algebra-Buch, z.B.
• Jänich, Lineare Algebra, Springer, 2008.
• Lorenz, Lineare Algebra I+II, Spektrum Akademischer
Verlag, 2005.
• Kowalsky, Lineare Algebra, de Gruyter, 2003.
Skripten:
• Menth-Skript (Heineken-Vorlesung, siehe Homepage)
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Kap. V: Lineare Algebra
1. Vektorräume und lin. Abbildungen
Def. 1: Ein Vektorraum besteht aus einer nichtleeren Menge V (Menge der Vektoren), einem
Körper K (Menge der Skalare) und zwei Verknüpfungen ⊕ : V × V → V (Vektoraddition) und
: K × V → V (Skalarmultiplikation) mit folgenden Eigenschaften:
1. (V, ⊕) ist eine abelsche Gruppe
2. Für alle λ, µ ∈ K und alle x ∈ V gilt
λ (µ x) = (λµ) x
3. Für alle x ∈ V gilt 1 x = x
4. Für alle λ, µ ∈ K und alle x, y ∈ V gilt
(λ + µ) x = (λ x) + (µ x)
λ (x ⊕ y) = (λ x) ⊕ (λ y)
(Distributivgesetze)
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Kap. V: Lineare Algebra
1. Vektorräume und lin. Abbildungen
Sprechweise: Falls (V, K, ⊕, ) ein Vektorraum
ist, so bezeichnen wie V auch kurz als K-Verktorraum oder als Verktorraum über K.
Konvention: (a) Wir schreiben im Weiteren einfach + statt ⊕ und unterdrücken wir komplett,
also λx := λ x für alle λ ∈ K und alle x ∈ V .
(b) Ferner treffen wir die Konvention, dass stärker bindet als ⊕, d.h.
λ x ⊕ y := (λ x) ⊕ y
also nach (a)
λx + y := (λ x) ⊕ y.
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Kap. V: Lineare Algebra
1. Vektorräume und lin. Abbildungen
Folgerung 1: Sei V ein beliebiger K-Vektorraum
und sei 0 ∈ V der Nullvektor, d.h. das eindeutige neutrale Element der Vektoraddition. Dann
gelten die folgenden Rechenregeln:
(a) Für x ∈ V und λ ∈ K gilt
λ 0 = 0,
0x=0
λx=0
⇐⇒
und
(−1) x = −x
(λ = 0 ∨ x = 0)
(b) Für alle x, y ∈ V und alle λ, µ ∈ K gilt
(λ x = µ x ∧ x 6= 0)
⇐⇒
λ=µ
(λ x = λ y ∧ λ 6= 0)
⇐⇒
x=y
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Kap. V: Lineare Algebra
1. Vektorräume und lin. Abbildungen
Def. 2: Eine nicht-leere Teilmenge U eines KVektorraums V heißt Unterraum von V , wenn
(U, K, ⊕|U ×U , |K×U ) ein Vektorraum im Sinne von
Def. 1 ist.
Def. 3: Sei V ein K-Vektorraum und seien v1, . . . , vn
beliebige Vektoren aus V . Ferner seien λ1, . . . , λn ∈
K beliebige Skalare. Dann bezeichenen wir
λ1v1 + λ2v2 + · · · + λnvn =
n
X
λk vk
k=1
als eine linear Kombination der Vektoren v1, . . . , vn.
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Kap. V: Lineare Algebra
1. Vektorräume und lin. Abbildungen
Def. 5: (a) Sei M eine beliebige Teilmenge eines
Vektorraums V mit der Eigenschaft hM i = V .
Dann heißt M Erzeugendensystem von V . Falls
es ein endliches Erzeugendensystem von V gibt,
so bezeichnen wir V als endlich erzeugt.
(b) Eine eindliche Folge v1, . . . , vn von Vektoren
aus V heißt linear unabhängig, wenn die Gleichung
λ1v1 + λ2v2 + . . . λnvn = 0
nur die triviale Lösung λ1 = λ2 = · · · = λn = 0
besitzt. Eine Teilmenge von M von V heißt linear
unabhängig, wenn jede endliche Folge v1, . . . , vn
von paarweise verschiedenen Vektoren aus M linear unabhängig ist.
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Kap. V: Lineare Algebra
1. Vektorräume und lin. Abbildungen
Def. 5 (Fortsetzung): (c) Eine endliche Folge
v1, . . . , vn von Vektoren aus V heißt linear abhängig,
wenn sie nicht linear unabhängig ist, d.h., wenn
es eine nicht-triviale Lösung der Gleichung
λ1v1 + λ2v2 + . . . λnvn = 0
gibt. Eine Teilmenge von M von V heißt linear
abhängig, wenn sie nicht linear unabhängig ist.
Def. 6: Sei V ein beliebiger Vektorraum. Eine
Teilmenge B von V , die eine und somit alle Eigenschaften (a)-(d) aus Satz 3 erfüllt, bezeichnen wir als eine Basis von V .
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Kap. V: Lineare Algebra
1. Vektorräume und lin. Abbildungen
Def. 7: (a) Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum. Dann bezeichnen wir die gemeinsame
Mächtigkeit aller Basen (vgl. Folgerung 3) als
die Dimension von V . (Schreibweise: dim V )
(b) Falls V keine endliche Basis besitzt, so sagen
wir, dass V unendlich dimensional ist.
Def. 7’: Sei V ein beliebiger Vektorraum. Die
Summe U1 + U2 zweier Unterräume U1 und U2
von V ist definiert als die Menge
U1 + U2 := {u1 + u2 | u1 ∈ U1, u2 ∈ U2}
Falls zusätzlich U1 ∩ U2 = {0} gilt, so sagen wir,
dass die Summe direkt ist und schreiben U1 ⊕ U2
statt U1 + U2.
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Kap. V: Lineare Algebra
1. Vektorräume und lin. Abbildungen
Def. 8: (a) Seien V und W Vektorräume über
dem gleichen Körper K. Eine Abbildung f : V →
W heißt linear, wenn sie folgende Eigenschaften
erfüllt:
(i) f (x + y) = f (x) + f (y) für alle x, y ∈ V
(Additivität)
(ii) f (λx) = λf (x) für alle λ ∈ K und x ∈ V .
(Homogenität)
(b) Eine Abbildung g : V → W heißt affin, wenn
es ein w0 ∈ W und eine lineare Abbildung f : V →
W gibt, so dass g(x) = f (x) + w0 für alle x ∈ V .
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Kap. V: Lineare Algebra
1. Vektorräume und lin. Abbildungen
Def. 8 (Fortsetzung): Wir bezeichnen im Weiteren mit
L(V, W ) := {f : V → W | f linear}
und
Aff(V, W ) := {f : V → W | f affin}
die Menge aller linearen bzw. affinen Abbildungen
von V nach W . Falls V = W , so schreiben wir
L(V ) := L(V, V )
und
Aff(V ) := Aff(V, V ).
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Kap. V: Lineare Algebra
1. Vektorräume und lin. Abbildungen
Def. 9: Seien V und W K-Vektorräume und sei
f : V → W linear. Dann bezeichnen wir die Unterräume
ker f := f −1{0} ⊂ V
und
Im f := f (V ) ⊂ W
als den Kern bzw. das Bild von f . Ferner ist der
Rang von f , als die Dimension des Bildes von f
definiert.
Schreibweise: rg f := dim f (V ).
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Kap. V: Lineare Algebra
1. Vektorräume und lin. Abbildungen
Def. 10: (a) Eine lineare Abbildung f : V → W
zwischen K-Vektorräumen V und W bezeichnent
man auch als Homomorphismus. Falls V = W
gilt, so heißt f auch Endomorphismus.
(b) Falls f : V → W zusätzlich bijektiv ist, so
bezeichnen wir f als Isomorphismus und im Falls
von V = W als Automorphismus.
(c) Ferner bezeichnen wir zwei K-Vektorräumen
V und W als isomorph, falls ein Isomorphismus
von V nach W existiert.
Bemerkung: Man zeigt leicht, dass die Umkehrabbildung f −1 einer bijektiven linearen Abbildung
wiederum linear ist.
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Kap. V: Lineare Algebra
1. Vektorräume und lin. Abbildungen
Def. 11: (a) Sei V ein endlich dimensionaler KVektorraum und sei B = {b1, . . . , bn} mit paarweise verschiedenen bi eine Basis von V .Dann
bezeichnen wir das n-Tupel (b1, . . . , bn) als geordnete Basis von V .
(b) Sei B = (b1, . . . , bn) eine geordnete Basis von
V . Dann bezeichnen wir mit ϕB : V → Kn die
Umkehrabbildung des Isomorphismus

ψB : Kn → V,

λ1
n
X
 .. 
λibi.
 .  7→
i=1
λn
Das n-Tupel ϕB (x) bezeichnen wir als den Koordinatenvektor von x bzgl. B.
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Kap. V: Lineare Algebra
1. Vektorräume und lin. Abbildungen
Def. 12: Formal verstehen wir unter einer n×mMatrix über K eine Abbildung A : {1, . . . , n} ×
{1, . . . , m} → K. Dabei bezeichnen wir den Wert
an der Stelle (i, j) mit aij , also aij := A(i, j).
Umgekehrt schreiben wir auch
aij
i=1,...,n
j=1,...,m
für die Matrix A.
Bildlich stellen wir uns A als ein rechteckiges“
”
Schema von n · m Zahlen“ vor, d.h.
”


a11 a12 . . . a1m

a
 21 a22 . . . a2m 
A :=  ..
...
... 
 .

an1 an2 . . . anm
Die Menge aller n × m-Matrix über K bezeichnen
wir mit Kn×m.
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Kap. V: Lineare Algebra
1. Vektorräume und lin. Abbildungen
Def. 14: Wir definieren auf der Menge Kn×m die
folgenden Operationen. Seien A, B ∈ Kn×m und
λ ∈ K:
•
(A + B)ij := aij + bij
(Addition)
für i = 1, . . . , n und j = 1, . . . , m.
•
(λA)ij := λaij
(Skalarmultiplikation)
für i = 1, . . . , n und j = 1, . . . , m.
•
(A>)ji := aij
(Transposition)
für i = 1, . . . , n und j = 1, . . . , m.
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Kap. V: Lineare Algebra
1. Vektorräume und lin. Abbildungen
Folgerung 9:
(a) Für alle A ∈ Kn×m, B ∈ Km×p und C ∈ Kp×r
gilt
(A · B) · C = A · (B · C)
Für alle A, B ∈ Kn×m und C ∈ Km×p gilt
(A + B) · C = A · C + B · C
Für alle A ∈ Kn×m und B, C ∈ Km×p gilt
A · (B + C) = A · B + A · C
(b) Kn×m versehen mit der Addition und Skalarmultiplikation aus Def. 14 ist ein K-Vektorraum der Dimension n · m.
(c) Für alle A ∈ Kn×m und B ∈ Km×p gilt
(A · B)> = B > · A>
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Kap. V: Lineare Algebra
1. Vektorräume und lin. Abbildungen
Def. 16: Sei n ∈ N. Dann bezeichnen wir


1


In := 

0
...
0




...
1
als die Einheitsmatrix des Kn×n. Ferner heißt A ∈
Kn×n invertierbar, wenn es eine Matrix B ∈ Kn×n
gibt mit
AB = In.
(∗)
Man Kann zeigen:
(i) Wenn (∗) erfüllt ist, so gilt auch BA = In.
(ii) Falls B existiert, so ist B ist eindeutig und
heißt die zu A inverse Matrix.
Schreibweise: A−1 := B
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Kap. V: Lineare Algebra
1. Vektorräume und lin. Abbildungen
Def. 16 (Fortsetzung): Wir definieren nun GLn(K)
als die Menge aller invertierbaren n × n-Matrizen
über K, d.h.
GLn(K) := {A ∈ Kn×n | A invertierbar}
Bemerkung: GLn(K) ist für n ≥ 2 eine nicht
kommutative Gruppe (bzgl. der Matrixmultiplikation). Für n = 1 können wir GLn(K) mit der
multiplikativen Gruppe von K, also mit K \ {0}
identifizieren.
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Kap. V: Lineare Algebra
2. Lineare Gleichungssysteme
Def. 20: Gegeben sei ein lin. Gleichungssystem
a11x1 + a12x2 + · · · + a1mxm = b1
...
...
= ...
(∗)
an1x1 + an2x2 + · · · + anmxm = bn
Unter einer elementaren (Zeilen-)Umformung von
(∗) versteht man eine der folgenden drei Operationen:
1. Vertausche die i-te und j-te Zeile (und behalte alle anderen unverändert bei).
2. Ersetze die i-te Zeile durch ihr λ-faches mit
λ ∈ K \ {0} (und behalte alle anderen unverändert bei).
3. Addiere zur i-te Zeile das λ-fache der j-te
Zeile mit i 6= j (und behalte alle anderen unverändert bei).
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Kap. V: Lineare Algebra
2. Determinanten
Def. 23: Sei K ein beliebiger Körper mit Charakteristik ungleich 2 (d.h. 1 + 1 6= 0) und sei V
ein K-Vektorraum mit dim V = n. Eine Determinantenform ist eine nicht-triviale, alternierende
multilineare Abbildung
∆:V
| ×V ×
{z · · · × V} → K,
n−mal
d.h. ∆ erfüllt folgende Eigenschaften:
D0: ∆ 6≡ 0.
D1: Für alle i = 1, ..., n und v1, ..., vn ∈ V ist die
Abbildung
∆(v1, ..., vi−1, · , vi+1, ..., vn) : V → K
linear, d.h. ...
D2: Für alle i, j = 1, ..., n mit i 6= j und für alle
v1, ..., vn ∈ V gilt
∆(v1..., vi, ..., vj , ..., vn) = −∆(..., vj , ..., vi, ...)
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Kap. V: Lineare Algebra
2. Determinanten
Def. 23 (Fortsetzung): Falls V = Kn, so können
wir auf natürliche Weise jede Determinantenform
∆ : V × V × · · · × V → K mittels der Definition
∆(A) := ∆(a1, . . . , an), A = [a1| . . . |an] ∈ Kn×n
auch als Abbildung vom Kn×n nach K interpretieren.
Folgerung 12: Sei ∆ : V × V × · · · × V → K.
(a) Dann gilt
∆(v1, ..., vi−1, vi + λvj , vi+1, ..., vn) =
∆(v1, ..., vi−1, vi, vi+1, ..., vn)
für alle i 6= j, v1, ..., vn ∈ V und λ ∈ K.
(b) Falls v1, ..., vn linear abhängig sind, so gilt
∆(v1, ..., vn) = 0.
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Kap. V: Lineare Algebra
2. Determinanten
Satz 15/Def. 24:
(a) Zwei Determinantenformen ∆1 und ∆2 auf
V unterscheiden sich höchstens durch einen
nicht-trivialen skalaren Faktor, d.h. es existiert ein λ 6= 0 mit ∆2 = λ∆1.
(b) Es gibt genau eine Determinantenform auf
dem Kn (bzw. dem Kn×n) mit
∆(e1, ..., en) = 1
(bzw.
∆(In) = 1).
Diese Determinantenform bezeichnen wir im
Weiteren als die Determinante auf dem Kn
(bzw. dem Kn×n) und schreiben det statt ∆.
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Kap. V: Lineare Algebra
2. Determinanten
Satz 15/Def. 24 (Fortsetzung):
(b) Insbesondere gilt folgende Darstellung
det(A) =
X
π∈Sn
sign(π)
n
Y
aπ(i)i.
i=1
Dabei bezeichnet Sn die Menge aller Permutationen der Menge {1, ..., n} und sign(π) das
Vorzeichen der Permutation π. Dieses ist definiert durch
sign(π) := (−1)t(π),
wobei t(π) die Anzahl der Transpositionen
ist, die man braucht um π zu darzustellen.
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Kap. V: Lineare Algebra
2. Determinanten
Satz 16: Die Abbildung det : Kn×n → K besitzt
folgende Eigenschaften:
(a) det In = 1.
(b) det(AB) = det A · det B für alle A, B ∈ Kn×n.
(c) det A 6= 0 genau dann, wenn A invertierbar
ist.
(d) det A−1 = (det A)−1 für alle A ∈ GLn(K).
(e) det A> = det A für alle A ∈ Kn×n.
(f)

a11 0
a21 a22
det 
...
 ...
an1 . . .
=
n
Y


... 0
a11 a12
... 
...
 0 a22


. . . 0  = det  ...
...
. . . ann
0
...
...
...
0

a1n
... 
... 

ann
aii.
i=1
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Kap. V: Lineare Algebra
2. Determinanten
Folgerung 12’: Die Spalten (bzw. Zeilen) von
A ∈ Kn×n sind genau dann linear unabhängig,
wenn det A 6= 0 gilt.
Satz 17: Sei A ∈ Kn×n, n ≥ 2 und bezeichne Abij
die (n − 1) × (n − 1)-Matrix, die durch Streichen
der i-ten Zeile und j-ten Spalte von A entsteht.
Dann gilt:
(a) Entwicklung von det A nach der j-ten Spalte:
det A =
n
X
(−1)i+j aij det Abij ,
i=1
wobei j ∈ {1, ..., n} beliebig, aber fest gewählt
ist.
(b) Entwicklung von det A nach der i-ten Zeile:
det A =
n
X
(−1)i+j aij det Abij ,
j=1
wobei i ∈ {1, ..., n} beliebig, aber fest gewählt
ist.
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Kap. V: Lineare Algebra
3. Eigenwerte, Eigenvektoren und das Spektrum
Def. 25:
(a) Sei A ∈ Kn×n. Ein Skalar λ ∈ K heißt Eigenwert von A, falls es ein v ∈ Kn, v 6= 0 gibt
mit
(∗)
Av = λv.
Falls (∗) gilt, so bezeichnen wir v 6= 0 als Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Die Menge aller Eigenwerte einer Matrix A bezeichnen wir als ihr Spektrum σ(A), d.h.
σ(A) := {λ ∈ K | ∃v ∈ Kn \ {0} : Av = λv}.
(b) Eine Matrix A ∈ Kn×n heißt diagonalisierbar
(über K), falls es eine invertierbare Matrix
T ∈ Kn×n gibt, so dass T −1AT diagonal ist.
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Kap. V: Lineare Algebra
Eigenwerte, Eigenvektoren und das Spektrum
Satz 18: Eine Matrix A ∈ Kn×n ist genau dann
diagonalisierbar, wenn es n linear unabhängige
Eigenvektoren v1, ..., vn ∈ Kn von A gibt. Insbesondere ist dann T := [v1|v2|...|vn] ∈ GLn(K) eine
diagonalisierende Transformation, d.h. es gilt

λ1

λ2
−1
T AT = 



,

...
λn
wobei λi den Eigenwerte zum Eigenvektor vi bezeichne.
Satz 19: Sei A ∈ Kn×n. Ein Skalar λ ∈ K ist
genau dann ein Eigenwert von A, wenn det(A −
λIn) = 0 gilt.
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Kap. V: Lineare Algebra
Eigenwerte, Eigenvektoren und das Spektrum
Def. 26:
(a) Sei A ∈ Kn×n. Wir bezeichnen das Polynom
χA(x) := det(A − xIn) ∈ Pn(K)
als das charakteristische Polynom von A.
(b) Für jedes λ ∈ σ(A) definieren wir
EA(λ) := ker(A − λIn) ⊂ Kn
als den Eigenraum von A zum Eigenwert λ.
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Kap. V: Lineare Algebra
Eigenwerte, Eigenvektoren und das Spektrum
Folgerung 13: Sei A ∈ Kn×n. Dann gilt:
(a)
v ∈ EA(λ) \ {0} ⇐⇒
(b)
v ist Eigenvektor von
A zum Eigenwert λ
σ(A) = {λ ∈ K | χA(λ) = 0},
d.h. die Eigenwerte von A sind genau die
Nullstellen des charakteristischen Polynoms.
Folgerung 14: Sei A ∈ Kn×n und sei T ∈ GLn(K).
Dann gilt χA = χT −1AT .
Satz 20: Sei A ∈ Kn×n und seien v1, ..., vk Eigenvektoren von A zu paarweise verschiedenen
Eigenwerten λ1, ..., λk . Dann sind v1, ..., vk linear
unabhängig.
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Kap. V: Lineare Algebra
Eigenwerte, Eigenvektoren und das Spektrum
Folgerung 15:
(a) Sei A ∈ Kn×n. Wenn das charakteristische
Polynom χA genau n paarweise verschiedene
Nullstellen besitzt, so ist A diagonalisierbar.
Allgemeiner gilt:
(b) Die Matrix A ist genau dann diagonalisierbar, wenn EA(λ1) ⊕ EA(λ2) ⊕ · · · ⊕ EA(λk ) =
Kn, wobei λ1, ..., λk die paarweise verschiedene Nullstellen von χA bezeichne.
Satz 21 (Satz von Cayley/Hamilton) Sei A ∈
Kn×n und sei χA(x) = xn +an−1xn−1 +...a1x+a0.
Dann gilt
An + an−1An−1 + ...a1A + a0In = 0 ∈ Kn×n,
oder kurz χA(A) = 0.
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