CARL HANSER VERLAG
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CARL HANSER VERLAG Wolfgang Preuß, Günter Wenisch Lehr- und Übungsbuch Mathematik Band 1: Grundlagen - Funktionen - Trigonometrie 3-446-22083-6 www.hanser.de Inhalt 1 Logik und Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 11 Aussagen- und Prädikatenlogik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Aussagen und Aussagenverknüpfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Wahrheitsfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Die Folgebeziehung und ihr Nachweis, Beweisverfahren . . . . . . . . . 1.1.4 Aussageformen und Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundbegriffe der Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Der Begriff der Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Beziehungen zwischen Mengen (Mengenrelationen) . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 13 20 24 25 25 29 32 2 Aufbau der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.2 2.1 Natürliche und ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Addition natürlicher Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Subtraktion. Die Notwendigkeit der Zahlbereichserweiterung . . . . . 2.1.3 Multiplikation. Rechnen mit Klammerausdrücken. Binome . . . . . . . Rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Division. Eine zweite Zahlbereichserweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Rechenvorschriften für die Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Rechnen mit Brüchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Potenzen. Binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Ganzzahlige Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Wurzeln. Dritte Zahlbereichserweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Reelle Zahlen. Darstellungsweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Potenzen mit gebrochenem Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.6 Logarithmen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 41 42 45 51 51 54 58 65 66 72 77 79 81 92 97 98 101 3 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 2.2 2.3 2.4 3.1 3.2 3.3 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Die Imaginäre Einheit i und imaginäre Zahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Der Begriff der komplexen Zahl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Die Gaußsche Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grundrechenarten für komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Multiplikation komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Division komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Goniometrische Darstellung komplexer Zahlen (Darstellung in Polarkoordinaten). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 104 108 109 110 110 112 113 115 8 Inhalt 3.3.1 Grundbegriffe und Umrechnung in die goniometrische Darstellung 3.3.2 Multiplikation und Division bei goniometrischer Darstellung . . . . . . 3.3.3 Potenzieren und Radizieren komplexer Zahlen (Satz von Moivre) . . Die Exponentialform komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Die Eulersche Gleichung und die Exponentialform . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Rechnen mit komplexen Zahlen in Exponentialform . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Umwandlungen komplexer Zahlen aus der Exponentialform und in die Exponentialform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendungen. Die Exponentialform in der Elektrotechnik . . . . . . . . . . . . 115 119 122 126 126 129 4 Funktionen und Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3.4 3.5 4.1 130 132 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Funktionsbegriff und Darstellung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5 Potenz- und Wurzelfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.6 Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Gleichungen 1. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Proportionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Gleichungen 2. Grades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Wurzelgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.6 Exponentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.7 Logarithmische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 137 157 161 167 189 196 201 202 218 225 248 254 258 5 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 4.2 5.1 5.2 5.3 Definition der trigonometrischen Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Winkeleinheiten und Maßzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Definition der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis . . . . . 5.1.3 Periodizität der trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5 Die trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck . . . . . 5.1.6 Veranschaulichung des Kurvenverlaufs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.7 Vorzeichen der Werte von trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Zusammenhang zwischen den Funktionswerten desselben Winkels . 5.2.2 Funktionswerte für besondere Winkel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Beziehungen trigonometrischer Funktionen für Winkel, die sich π zu ganzen Vielfachen von 90° ergänzen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5.2.4 Beziehungen für Winkel, die sich um ganze Vielfache von 90° π unterscheiden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Additionstheoreme und andere goniometrische Formeln . . . . . . . . . . . . . . 261 261 264 266 269 270 273 274 274 276 278 279 281 Inhalt 9 5.3.1 Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Trigonometrische Funktionen von Vielfachen eines Winkels . . . . . . 5.3.3 Funktionen des halben Winkels, Viertelwinkels, Achtelwinkels . . . . 5.3.4 Summen und Differenzen trigonometrischer Funktionen . . . . . . . . . 5.3.5 Potenzen trigonometrischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zyklometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Goniometrische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.1 Lineare goniometrische Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Quadratische goniometrische Gleichungen mit derselben Winkelfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.3 Lineare goniometrische Gleichungen mit zwei Summanden einer trigonometrischen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.4 Gleichungen mit verschiedenen Winkelfunktionen gleicher Argumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.5 Gleichungen mit verschiedenen Funktionen und verschiedenen Argumenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5.6 Goniometrische Gleichungen mit zwei Unbekannten . . . . . . . . . . . . 5.5.7 Graphische Lösung goniometrischer Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . Berechnungen des rechtwinkligen Dreiecks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnungen des schiefwinkligen Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Der Sinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.2 Der Kosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.3 Grundaufgaben, die mit dem Sinus- oder dem Kosinussatz gelöst werden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.4 Halbwinkelsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.5 Umkreis- und Inkreisradius eines Dreiecks, Heronische Formel . . . . 5.7.6 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Näherungsformeln für trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 285 288 290 292 293 297 297 6 Grenzwerte und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 6.1 298 300 302 303 305 306 308 313 314 315 315 318 318 320 329 Zahlenfolgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Zahlenfolgen, arithmetische und geometrische Folge . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Der Grenzwert einer Zahlenfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3 Zahlenreihen, die geometrische Reihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.4 Anwendungen der geometrischen Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Der Grenzwert einer Funktion an der Stelle x = a . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Grenzwerte von Funktionen für x → ± ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Die Stetigkeit einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anwendungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 332 343 350 353 363 363 372 373 376 Lösungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 6.2 6.3
