Bachelor Mathematik für Informatiker und Ingenieure mit Maple

Bachelor Mathematik
für Informatiker und Ingenieure
mit Maple
Unterlagen zu den
Vorlesungen und Praktika
Mathematik 1+2
T. Bartz-Beielstein, W. Konen
B. Breiderho, E. Lau, B. Naujoks , P. Wagner
21. Dezember 2011
Vorwort
Arbeiten mit diesem Skript
Dieses Skript enthält die Zusatzaufgaben für den Nachholtermin zum MAPLE-Praktikum, das für
Informatikerinnen und Informatiker in Gummersbach durchgeführt wird. Alle Studenten, die einen
Termin versäumt oder nicht anerkannt bekommen haben, müssen die entsprechenden Zusatzaufgaben bearbeiten. Bearbeiten Sie bitte nur die Aufgabe, die zu dem von Ihnen versäumten Termin
gehören.
Thomas Bartz-Beielstein,
Beate Breiderho,
Wolfgang Konen,
Elmar Lau,
Boris Naujoks,
Peter Wagner
i
Copyright (C) 2007-2010 T. Bartz-Beielstein. Es ist Ihnen zu den folgenden Bedingungen gestattet, das
Werk zu vervielfältigen, verbreiten und öffentlich zugänglich machen.
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ii
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vorgenannten Bedingungen kann aufgehoben werden, sofern Sie die Einerhalten. Diese Lizenz lässt die Urheberpersönlichkeitsrechte unberührt.
Inhaltsverzeichnis
1 Nachholtermin Tag 1
1
2 Nachholtermin Tag 2
3
3 Nachholtermin Tag 3
5
4 Nachholtermin Tag 4
7
1.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
3
5
7
iii
1 Nachholtermin Tag 1
1.1 Aufgaben
Aufgabe 1 (Goldene Zahlen)
Es gibt bestimmte natürliche Zahlen, die sich als Summe aller ihrer Teiler darstellen lassen, z.B.
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Man bestimme alle diese goldenen Zahlen kleiner 1000.
Aufgabe 2 (Die Goldbachsche Vermutung)
Der Zahlentheoretiker Christian Goldbach vermutete, dass sich jede gerade Zahl gröÿer 3 als
Summe von zwei Primzahlen darstellen lässt. Überprüfen Sie diese Vermutung für die geraden
Zahlen kleiner 100.
Aufgabe 3
Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung x2 − 9 > (2x + 2)(x − 3) für x ∈ R
schriftlich und kontrolieren Sie Ihr Ergebnis mit MAPLE.
hand-
1
2 Nachholtermin Tag 2
2.1 Aufgaben
Aufgabe 1 (Fibonacci-Folge)
1. Stellen Sie die ersten 11 Glieder der Fibonacci-Folge, d.h. a[0], a[1], a[2], ..., a[10] graphisch
dar.
2. Stellen Sie die Quotienten a[1]/a[0], a[2]/a[1], a[3]/a[2], ..., a[10]/a[9] graphisch dar.
x
. Können Sie einen Zusammenhang zwischen einer Lösung
3. Lösen Sie die Gleichung x1 = (x+1)
der Gleichung und dem Grenzwert aus 2. erkennen?
Aufgabe 2 (Grenzwert)
Man bestimme den Grenzwert
√
lim
x→2
√
x−1− 3−x
x−2
mit MAPLE. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis indem Sie den Grenzwert handschriftlich bestimmen.
Tipp: Erweitern Sie den Bruch mit
√
√
3−x+
x−1
Aufgabe 3 (Konstruktion einer Funktion)
1. Man gebe eine Funktion mit zwei reellen Nullstellen an, die für x->oo gegen 0 strebt und
keine Polstellen besitzt.
2. Man gebe eine Funktion mit zwei reellen Nullstellen an, die für x->oo gegen 2 strebt und
keine Polstellen besitzt.
Zeichnen Sie die beiden gefundenen Funktionen, so dass die gewünschten Eigenschaften erkennbar sind.
3
3 Nachholtermin Tag 3
3.1 Aufgaben
Aufgabe 1 (Kurvendiskussion)
Führen Sie eine Kurvendiskussion für die folgende Funktion durch:
f (x) = (4 +
3 2
)e x
x
Aufgabe 2 (Taylor)
Konstruieren Sie eine Funktion ŸSINŸ, die den Sinus im Intervall [2.5, 4.5] durch ein Taylorpolynom
berechnet.
1. Verwenden Sie einen geeigneten Entwicklungspunkt.
2. Die konstruierte Funktion ŸSINŸ muss auf 7 Nachkommastellen exakt sein, d.h. der maximal
auftretende Fehler (siehe 5.) darf höchstens 5 · 10−8 betragen.
3. Der Grad des Taylorpolynoms darf nicht höher als nötig sein. Zeigen Sie, dass ein niedriger
Grad zu einem gröÿer als erlaubten Fehler führen würde
4. Stellen Sie die Funktionen sin und SIN in einem Plot dar. Für welche Werte sind die Funktionen graphisch nicht zu unterscheiden?
5. Stellen Sie den Fehler, d.h. die Dierenz zwischen den Funktionen sin und ŸSINŸ im Intervall
[2.5, 4.5] graphisch dar.
6. Verwenden Sie für Ihre Rechnungen zur Sicherheit ŸDigits:=15Ÿ.
Aufgabe 3 (Taylor)
Bestimmen Sie das Taylorpolynom T(x) zum Grad 4 von f (x) = ln(x2 ) + 3(x − 2)2 an der Stelle
x0 = 1 handschriftlich und kontrollieren Sie Ihr Ergebnis mit MAPLE.
5
4 Nachholtermin Tag 4
4.1 Aufgaben
Aufgabe 1 (Punkt mit gleichem Abstand von zwei Ebenen)
Bestimmen Sie einen Punkt, der von den Ebenen
E1 : 2x + 2y − z − 6 = 0
und
E2 : 6x + 9y + 2z + 22 = 0
den gleichen Abstand besitzt.
Aufgabe 2 (Lotfuÿpunkt)
Fällen Sie vom Punkt P (6|5| − 3) das Lot l auf die Ebene
   
 
 
x
3
1
2
E1 : y  =  2  + λ 2 + µ 0
z
−3
2
2
(4.1)
und bestimmen Sie die Koordinaten des Lotfuÿpunktes Q.
Aufgabe 3 (Gauÿ-Algorithmus)
Bestimmen Sie handschriftlich mit
chungssystems
dem Gauÿ-Algorithmus alle Lösungen des linearen GleiAx = b
mit

.
1
(A|b) = 3
1
2
2
−2

1 | 1
6 | 5
4 | 3
Aufgabe 4 (Rotationsvolumen bei Drehung um die y -Achse)
Bestimmen Sie das Rotationsvolumen des Körpers, der durch Drehung des Kurvenstücks
y=
p
x2 − 9
im Bereich von 3 ≤ x ≤ 5 um die y -Achse entsteht.
7
Literaturverzeichnis
Bartz-Beielstein, T. (2009). Skript Mathematik 1, SS 2009. FH Köln.
Konen, W. (2005). Skript Mathematik 1, WS 2005/06. FH Köln.
Walz, A. (2002). Maple 7 Rechnen und Programmieren. Oldenbourg, München, 2. edition.
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