1. ¨Ubung zu Liegruppen (Glöckner), WS2010

1. Übung zu Liegruppen (Glöckner), WS 2010
Aufgabe 1 (Kommutatorklammer). Zeigen Sie, dass
[x, y] := xy − yx
für n × n-Matrizen x, y ∈ Mn (R) eine bilineare Abbildung
Mn (R) × Mn (R) → Mn (R)
definiert, welche Mn (R) zu einer Liealgebra macht (für die wir gln (R) schreiben).
Bemerkung: Die gleiche Rechnung funktioniert für die Algebra End(V ) aller linearen Endomorphismen eines reellen Vektorraums V ; wir schreiben hierfür auch
gl(V ) (und allgemeiner für jede assoziative Algebra A).
Aufgabe 2 (Alternierende bilineare Abbildungen Es seien E und F Vektorräume über einem Körper K und β : E × E → F eine bilineare Abbildung.
Wir betrachten die Bedingungen
(A) (∀x ∈ E) β(x, x) = 0;
(B) (∀x, y ∈ E) β(y, x) = −β(x, y).
Zeigen Sie, dass (A)⇒(B).
Zeigen Sie weiter: Ist 1 + 1 6= 0 in K, so sind (A) und (B) äquivalent.
Aufgabe 3 (Bedeutung der Jacobi-Identität). Es sei (g, [., .]) eine Liealgebra. Eine lineare Abbildung D : D → D heißt Derivation, wenn die folgende
“Produktregel” gilt:
(∀x, y ∈ g)
D([x, y]) = [D(x), y] + [x, D(y)] .
(a) Folgern Sie aus der Jacobi-Identität, dass für jedes x ∈ g die Abbildung
adx : g → g ,
adx (y) := [x, y]
eine Derivation von g ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Menge der(g) aller Derivationen von g eine UnterLiealgebra von gl(g) (wie in Aufgabe 1) ist.
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Aufgabe 4 (Liealgebra der Vektorfelder). Sei U ⊆ Rn offen. Gegeben
ξ = (ξ1 , . . . , ξn ), η = (η1 , . . . , ηn ) ∈ V(U ) := C ∞ (U, Rn ) sei [ξ, η] ∈ C ∞ (U, Rn )
unter Benutzung von totalen Ableitungen definiert via
[ξ, η](x) := η 0 (x).ξ(x) − ξ 0 (x).η(x)
Mit anderen Worten,
[ξ, η](x) :=
n
X
∂ξ(x)
∂η(x)
ξi (x) −
ηi (x)) .
(
∂x
∂xi
i
i=1
Rechnen Sie nach, dass (V(U ), [., .]) eine Liealgebra ist.
Aufgabe 5 (Beispiele von abgeschlossenen Untergruppen von GLn (R)
und Liealgebren)
(a) Rechnen Sie nach, dass sln (R) := {x ∈ gln (R) : tr(x) = 0} und on (R) :=
{x ∈ gln (R) : x = −xT } (mit der transponierten Matrix xT ) UnterLiealgebren von gln (R) sind.
Berechnen Sie weiter die Liealgebren L(G) ⊆ gln (R) für die folgenden abgeschlossenen Untergruppen G von GLn (R):
(a) SLn (R) := {x ∈ GLn (R) : det(x) = 1};
(b) On (R) := {x ∈ GLn (R) : xxT = 1}.
Hinweis: Sie dürfen benutzen, dass die Matrix-Exsponentialfunktion auf
einer 0-Umgebung injektiv ist.
Abgabe in der 2. Übungsstunde am 28.10.2010; bitte kreuzen Sie zwei Aufgaben
an, die korrigiert werden sollen.
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